diff --git a/docs/musterloesung_WiSe_2020_2021_Kl1_A6.pdf b/docs/musterloesung_WiSe_2020_2021_Kl1_A6.pdf index 0c40fd6..cd42ad9 100644 Binary files a/docs/musterloesung_WiSe_2020_2021_Kl1_A6.pdf and b/docs/musterloesung_WiSe_2020_2021_Kl1_A6.pdf differ diff --git a/docs/musterloesung_WiSe_2020_2021_Kl1_A6.tex b/docs/musterloesung_WiSe_2020_2021_Kl1_A6.tex index 4a57c02..8d60cc2 100644 --- a/docs/musterloesung_WiSe_2020_2021_Kl1_A6.tex +++ b/docs/musterloesung_WiSe_2020_2021_Kl1_A6.tex @@ -1317,6 +1317,7 @@ \def\vectorspacespan{\mathop{\text{\upshape Lin}}} \def\dim{\mathop{\text{\upshape dim}}} +\def\det{\mathop{\text{\upshape det}}} \def\rank{\mathop{\text{\upshape Rang}}} \def\onematrix{\text{\upshape\bfseries I}} \def\zeromatrix{\text{\upshape\bfseries 0}} @@ -1377,7 +1378,7 @@ \label{ueb:1:ex:1} \let\sectionname\altsectionname -Es sSei $V\neq\{0\}$ ein Vektorraum über einem Körper, $K$. +Es sei $V\neq\{0\}$ ein Vektorraum über einem Körper, $K$. Eine lineare Abbildung ${\phi:V\to V}$ heißt dann \emph{stark kontrahierend}, wenn $\exists{n\in\ntrlpos:~}\phi^{n}=0(\cdot)$. @@ -1397,7 +1398,7 @@ Es gibt hierfür mehrere Ansätze. In jedem der u.\,s. Möglichkeiten fixieren wir ein $n\in\ntrlpos$, so dass $\phi^{n}=\zerovector$, und wir nehmen an, $\phi$ sei \emph{stark kontrahierend}. -Als möglicherweise einfachtsten Ansätze kann man auf der Ebene von Abbildungen argumentieren. +Als möglicherweise einfachste Ansätze kann man auf der Ebene von Abbildungen argumentieren. \setcounternach{enumi}{1} \begin{enumerate}{\bfseries {Ansatz} I.} @@ -1477,8 +1478,8 @@ und konstruktiv vorgehen. \enndeOfProof \end{enumerate} -Am Schönsten kann man mit \emph{Dimension} arbeiten. -(Auf diese Idee ist ein Studierender gekommen.) +Die vielleicht schönsten Ideen kamen von zwei Studierenden +und verwenden \emph{Dimension} bzw. \emph{Determinante}. \begin{enumerate}{\bfseries {Ansatz} I.} \setcounternach{enumi}{5} @@ -1513,15 +1514,23 @@ Am Schönsten kann man mit \emph{Dimension} arbeiten. Darum gilt in allen Fällen $\dim(\ker(\phi))>0$, wzzw. \enndeOfProof + \item + (Funktioniert nur, wenn $V$ endlich dimensional ist.) + Sei $A$ eine Matrizendarstellung von $\phi$. + \textbf{Zu zeigen:} $\det(A)=0$ (da $A$ invertierbar $\Leftrightarrow$ $\det(A)\neq 0$). + Es gilt $\det(A)^{n}=\det(A^{n})=\det(\zeromatrix)=0$. + Daraus folgt, dass $\det(A)=0$. + \enndeOfProof \end{enumerate} \begin{punktschema} 3 &Argument vollständig (=ausführlich) und logisch gültig.\\ \hdashline 2 &Der Ansatz war richtig aber z.\,B.:\\ - &es fehlte an Ausführlichkeit (enthielt jedoch genug von dem nicht trivialen Teil);\\ + &er war nicht ausführlich (enthielt jedoch genug von dem nicht trivialen Teil);\\ &oder die Aufgabe war in (a) falsch, aber versteckteweise in (b) vorhanden (und zwar vollständig+gültig);\\ - &oder er baute z.\,T. auf einem inkorrekt präsentierten Resultat (was dann z.\,B. auf die Ausführlichkeit eine Auswirkung hatte).\\ + &oder er baute z.\,T. auf einem inkorrekt präsentierten Resultat + (was dann z.\,B. auf die Ausführlichkeit eine Auswirkung hatte).\\ \hdashline 1 &Ansatz enthielt eine richtige Idee, aber wurde nicht korrekt/ausführlich ausgeführt, od. man schließt die (nicht triviale) Lücke zw. Aussage über $\phi^{n}$ und Aussage über $\phi$ nicht\\ @@ -1532,16 +1541,19 @@ Am Schönsten kann man mit \emph{Dimension} arbeiten. {\footnotesize \textbf{Bemerkung.} Da es sich hier um die Bewertung von Argumentationen handelt, -kann man in Wirklichkeit hier kein Schema festlegen. -Stattdessen musste ich über die Qualität ein Urteil treffen. +kann man in Wirklichkeit kein Schema festlegen. +Stattdessen musste über die Qualität Urteile getroffen werden. In erster Linie kriegt man volle Punkte, wenn man vollständig (idealerweise auch ausführlich) + gültig + überzeugend argumentierte. -Ab dann musste ich anhand unterschiedlicher Defizite empirische Graduierungen implementieren. +Ab dann wurden anhand unterschiedlicher Defizite empirische Graduierungen implementiert. Wenn etwas unvollständig oder ungültig war, bekam der Versuch einen Abzug. -Wenn etwas zu unordentlich oder inkohärent war, wurde meistens auf $0$ Pkt gegeben, -aber diese wurde verschont, wenn die Argumentation eine richtige Idee enthielt. -Es gab einen Fall, wo leider ein Denkfehler (ungültiger Schritt) vorlag, +Wenn etwas zu unordentlich oder inkohärent war, wurde meistens $0$ Pkt gegeben. +(Hier ging es nicht um Handschrift, sondern um die Präsentation insgesamt, +den Umgang mit technischen Mitteln +und den Aufbau des Argumentes.) +Dies wurde dennoch gespart, wenn die Argumentation eine richtige Idee enthielt. +Es gab z.\,B. einen Fall, wo leider ein Denkfehler (ungültiger Schritt) vorlag, aber der Ansatz war sonst sauber aufgeschrieben, sodass der Versuch mindestens $1$ Pkt verdiente. } @@ -1664,25 +1676,29 @@ Aber die Zielsetzungen sind anders. \end{punktschema} {\footnotesize -\textbf{Bemerkung.} Hier lagen ähnliche Schwierigkeiten vor, ein Schema festzulegen. -Dafür wandte ich ähnliche Prinzipien an wie in der Bemerkung am Ende von A6a. -Spezifisch zu dieser Aufgabe konnte ich folgendes Beobachten: +\textbf{Bemerkung.} Hier lagen wiederum Schwierigkeiten vor, ein Schema festzulegen. +Dafür wurde ähnliche Prinzipien angewandt wie in A6a (siehe Bemerkung dort). +Spezifisch zu dieser Aufgabe konnte man folgendes Beobachten: \begin{kompaktitem} - \item Denkfehler im Ansatz: Viele haben ein Element in $\ker(\phi)$ gesucht, - dann eins in $\range(\phi)$, aber nicht ein \uline{gemeinsames Element}. + \item Denkfehler im Ansatz: + Viele haben ein Element in $\ker(\phi)$ gesucht, + dann eins in $\range(\phi)$, + aber kein \uline{gemeinsames Element}. \item Technische Kleinigkeiten (die jedoch keine Lappalien sind): Damit man $\phi^{k-1}(v)$ und $\phi^{k-2}(v)$ überhaupt bilden darf, muss man \uline{begründen}, dass $k\geq 1$ bzw. $k\geq 2$. Ein sorgfältiger Umgang mit Randfällen und zu prüfen, dass etwas nicht jenseits eines Randes, sind allgemein wichtig in allen technischen Bereichen. - \item Zu unterscheiden dazwischen, wann etwas trivial ist, und wann etwas explizit/ausführlich begründet werden soll. - \item Man argumentiert für Ergebnisse, - die schon in anderen Teilaufgaben vorhanden sind. - Das weist darauf hin, + \item Es schien für einige schwierig zu unterscheiden, + wann etwas trivial war, + und wann etwas explizit/ausführlich begründet werden soll. + \item Manchmal argumentierte man für Ergebnisse, + die schon in anderen Teilaufgaben vorhanden waren. + So etwas weist darauf hin, dass man sich der Bedeutung der Resultate bzw. der Zusammenhänge nicht bewusst ist. Auch wenn eine Prüfung größtenteils sachlich ist, - ist es generell sinnvoll, + ist es dennoch sinnvoll, sich zu überlegen, wie die Teile einer Aufgabe aufeinander aufbauen und wie sie konzipiert sind. \end{kompaktitem} @@ -1697,9 +1713,10 @@ Spezifisch zu dieser Aufgabe konnte ich folgendes Beobachten: %% AUFGABE 6c \headingTeilaufgabe{6c} -Hier müssen wir für $V=\reell^{2}$ ein ${\phi:V\to V}$, +Hier müssen wir für $V=\reell^{2}$ ein lineares ${\phi:V\to V}$ konstruieren, so dass $\phi\neq 0(\cdot)$ -und so dass $\phi$ \kurs{stark kontrahierend} ist. +und +so dass $\phi$ \kurs{stark kontrahierend} ist. Äquivalent können wir eine passende Matrixdarstellung, $A\in M_{2\times 2}(\reell)$, konstruieren. @@ -1765,7 +1782,7 @@ Hier ein paar Möglichkeiten: 1 &1\\ 1 &1\\ \end{matrix}$. - Da $\rank(A)=1$ ist $A$ nicht invertierbar. + Da $\rank(A)=1$, ist $A$ nicht invertierbar. (Auch möglich: man weise darauf hin, dass die Spalten in $A$ nicht linear unabhängig sind.) Es gilt nun $A^{2}=\begin{matrix}{cc} 2 &2\\ @@ -1774,7 +1791,7 @@ Hier ein paar Möglichkeiten: Darum $A^{3} = A^{2}\cdot A = 2A\cdot A = 2\cdot A^{2} = 2\cdot 2A = 2^{2}A$, usw. - Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=2^{n}A(\neq 0)$ für alle $n\in\ntrlpos$. + Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=2^{n}A\neq\zeromatrix$ für alle $n\in\ntrlpos$. Darum ist $A$ (bzw. $\phi_{A}$) \uline{nicht} \kurs{stark kontrahierend}. \item $A:=\begin{matrix}{cc} @@ -1782,7 +1799,7 @@ Hier ein paar Möglichkeiten: p &1-p\\ \end{matrix}$ für $p\in[0,1]$. - Da $\rank(A)=1$ ist $A$ nicht invertierbar. + Da $\rank(A)=1$, ist $A$ nicht invertierbar. (Auch möglich: man weise darauf hin, dass die Spalten in $A$ nicht linear unabhängig sind.) Es gilt nun $A^{2}=\begin{matrix}{cc} p &1-p\\ @@ -1791,14 +1808,14 @@ Hier ein paar Möglichkeiten: Darum $A^{3} = A^{2}\cdot A = A\cdot A = A^{2} = A$, usw. - Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=A(\neq 0)$ für alle $n\in\ntrlpos$. + Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=A\neq\zeromatrix$ für alle $n\in\ntrlpos$. Darum ist $A$ (bzw. $\phi_{A}$) \uline{nicht} \kurs{stark kontrahierend}. \item $A:=\begin{matrix}{cc} 1 &0\\ 1 &0\\ \end{matrix}$. - Da $\rank(A)=1$ ist $A$ nicht invertierbar. + Da $\rank(A)=1$, ist $A$ nicht invertierbar. (Auch möglich: berechne Zeilenstufen form und begründe dadurch.) Es gilt nun $A^{2}=\begin{matrix}{cc} 1 &0\\ @@ -1807,14 +1824,14 @@ Hier ein paar Möglichkeiten: Darum $A^{3}=A^{2}\cdot A = A\cdot A = A^{2}=A$, usw. - Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=A(\neq 0)$ für alle $n\in\ntrlpos$. + Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=A\neq\zeromatrix$ für alle $n\in\ntrlpos$. Darum ist $A$ (bzw. $\phi_{A}$) \uline{nicht} \kurs{stark kontrahierend}. \item $A:=\begin{matrix}{cc} 1 &0\\ 0 &0\\ \end{matrix}$. - Da $\rank(A)=1$ ist $A$ nicht invertierbar. + Da $\rank(A)=1$, ist $A$ nicht invertierbar. (Auch möglich: man weise darauf hin, dass die Spalten in $A$ nicht linear unabhängig sind.) Es gilt nun $A^{2}=\begin{matrix}{cc} 1 &0\\ @@ -1823,7 +1840,7 @@ Hier ein paar Möglichkeiten: Darum $A^{3}=A^{2}\cdot A = A\cdot A = A^{2}=A$, usw. - Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=A(\neq 0)$ für alle $n\in\ntrlpos$. + Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=A\neq\zeromatrix$ für alle $n\in\ntrlpos$. Darum ist $A$ (bzw. $\phi_{A}$) \uline{nicht} \kurs{stark kontrahierend}. \end{kompaktitem}