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z@Ia;TzNV1Rq7HVvxbm>Q}@~9i0lXXcgrczrHQS<7I1ZL z>X82OV=tqYrwYbrtIWDG=?_*$p{D9(Z>m&oo)2?RK8?u$1zIzrhi(+^pSti{Z*MMA z08-}DzX*uBv48|j2%ee=Vp5U%9!p=m=k7Uj?>O|sN{M)(RL$%sdl{dxeuR(tfTwZ- zJ$)rs3Vwu@?WQ9z=I-pr;DFDmi-p=i%1A2s`M91O7pFbP&OCnE*eC2G@wcXW;GbrU}U4^X-`Fgy(`S@sKl;2^TRKF1q(2Vi7qM_W*oYhucca6Jo&?AXaBD6 zWs}HiE?#zavMKIXrqRKui)(4Geoz4)GYt9YYHHKOUD$S%&h+T!=y{IDOc%3*;QeR) z_`g41G2zd7FFnlx;rs_^T)ckE4T+qGUp1zn5l`J;AkG6Dux0w;uN?V#d5eqRSD1b2;cwie391UYF? zjQ!wzyFY$d`DcAQbLp;I-ug1%%c>~=Y)k+Kj?w$yC@^=8#2@I(V&5xu0CGcpk*oW5 z;XSvkZP=V6+%<7s8y+1VvD!&-n_a?@Y*j4&pF++(p6SJn<4njTlw5L~qM~B6%|@az zI^+?LX=a1+0djIu&Ua#l*5D@w%#z14D7vD-&cF}aD@asE^5l6MNLP~mAm*&#f zyT!cI`s0ad>cJh!6|>JMCW|>sy~kAs)owX&nRpjX#-wjmh8(k)wVEO8H$F~WpA&xI zcFfc&?CjD_Za<@$m}qb`>1O3|;QI9Q40^~oboo9|UUhE3W>~Z~+atJIIxSkv8(XU9 zsW-0OL#JL2E*zYkaWNs>r!89=1af7_%uLyk(7h^vhk^=QjnZ_Hi3 zmAWT%%~Fu0Pdl5IAR!N_`E#05gFTji0)U{Di9jjgGYjutA`m|{)bj$B#~AtU=h~cp z!P{_<2YU$G9=;1z`tXrYdO|aE>`0pcDg4n{?K7nno2wphHa4E)5?z zYsvz}BEngF7z3XIf3L@BXEmqvv!~2XWZ@$4xHs~d(MxO*B}anu7` zg{|i5RTQmtL7vJjZ*SFI)7JI&OfH^fF3t<5OC`>tT5uVZQgPq!$Zjja^Fw!IoeYOF zNhKbl;$JsA4KKb*Iye{*$8#}2nNTSSPnF$mkGsqlv-5BHN;k1m^`As@FVxN<&zG&N z=d|65K-!b}66)I;-f6p7i3OcDBW~BXWhdT2$%Y=Yo8yW9 zu)k5cubb{&y(+A$>~InU?S}ILuG4t@!CzE0o3xJGA#>(k=a< zWKv=bKb=w(%f}!d;rm~YL~tACcUHIHPrm=`7QU?us#-=6H^ZLJTRduFLT^f({8JWj zWna9*&TEaX_gM0t4kOW&Wh-juXnYKJxji(NyEe5i%&WX}6#s%~^EK4mFAZ+6fX=9# zthAUJi~GGlkf_%^8gb4m`>7v7WJacF1M{@3g&@U#6jS87(gnLZ9Bm!WZDh3*qcm1M zm}iYf)bk^Sq`Yn#hg*}Wc@;Ioj?Ng)^tW6wm;SY~W)=UA=aEobB1L>6<-xAP*Ch{p zqjw}5uZ0$x(dkpQbDMNsH+v~#y;-RShZr9g5bXRy?XEcrGZlTBEWcY%uX*2miTK-5;hpBu2_DlzLZRVc~D^0#exNNpHQ=6XE7^-fXx9lM2 z`v0IkwL9TNT~0Uo--jgK&g-rZmK0UyOXY$cH_05Vi{W414IE8ly#w8mgCWh~aB~`F z0Hphm4jcf{HPK)*$B^il>ktd*e=Qm~0uA}gqDjKJhH*}*uxC8G-|B=ihLrbVRen3W ze))^MS{lVc-YeB9ikGt0SUvR0)Hqw`klEq_zh_Rf*Fe7Ql-uoj&_&a-=p(Q0)1_K8 zJrw#@>p)ovV>`Zwo#8JUit7+NhxkJ0^M$UAgct@_Fg=$Y=xzlnU-!23@3^A6iKxW( zkrjH3j44ddB)i@zX_8PQ39C3>9LsJNWtg9ab<(wW3A{!M3s)MPF|Ya$-z7BrB?RQ*{OI+ZYi-X z_1f{QXW&g>WI^f1wfD)T5(ibMx0~kqSZ{IHH$8O{_nk*r>UAw`H=(S2x8URH>chG2 z8N9_1u*U{zT>Da34R%@KK1aol+2=-EZaK_9MO`p;N>T?DW_P!6zJMgGv4EA3c~o7V zTsa|38fz<%uL|fK_zxc%^BqWuCgg!M$WR}!+4+!o0tANGM&Sv;!ys@7Y`chyjJytk z!T7I0~Y0gz}j0{+Cct) zi;vR(@S~7_<2UL%>7H>;lQJ(RtE62qZj`!rq3u9w(H*etZ<$5vbF!G@3zOOf)L-hV z9->eFC{rAM$ZfaKv|iKZmSUmYUYpz1)e0;1KFKUM?xNw$37wlIrl+(lP3MEfKtW)ggG=1$(>SQBh*I|=T zrPT?vVPJ%95>xu8=5uH{_Xz`Q3L*FhN3U-gTZ22y3ikcNxKbQh(`@~?LPeDE_>Kiy zX%!;#HA>E^U@zBB<8jL38zqg82fXj-eZJQfC0l8yztk0EyLOwwAi;fQ7!PCt%n&n^ zha3X-0b~KA=^9{Qto1S)NA3u_XhL8w^od{cQkRl?${`Yw5J`WSI2CJuIj&VuVpk=M zJu@-j2^4Vz0$, wzzw. \enndeOfProof + \item + (Funktioniert nur, wenn $V$ endlich dimensional ist.) + Sei $A$ eine Matrizendarstellung von $\phi$. + \textbf{Zu zeigen:} $\det(A)=0$ (da $A$ invertierbar $\Leftrightarrow$ $\det(A)\neq 0$). + Es gilt $\det(A)^{n}=\det(A^{n})=\det(\zeromatrix)=0$. + Daraus folgt, dass $\det(A)=0$. + \enndeOfProof \end{enumerate} \begin{punktschema} 3 &Argument vollständig (=ausführlich) und logisch gültig.\\ \hdashline 2 &Der Ansatz war richtig aber z.\,B.:\\ - &es fehlte an Ausführlichkeit (enthielt jedoch genug von dem nicht trivialen Teil);\\ + &er war nicht ausführlich (enthielt jedoch genug von dem nicht trivialen Teil);\\ &oder die Aufgabe war in (a) falsch, aber versteckteweise in (b) vorhanden (und zwar vollständig+gültig);\\ - &oder er baute z.\,T. auf einem inkorrekt präsentierten Resultat (was dann z.\,B. auf die Ausführlichkeit eine Auswirkung hatte).\\ + &oder er baute z.\,T. auf einem inkorrekt präsentierten Resultat + (was dann z.\,B. auf die Ausführlichkeit eine Auswirkung hatte).\\ \hdashline 1 &Ansatz enthielt eine richtige Idee, aber wurde nicht korrekt/ausführlich ausgeführt, od. man schließt die (nicht triviale) Lücke zw. Aussage über $\phi^{n}$ und Aussage über $\phi$ nicht\\ @@ -1532,16 +1541,19 @@ Am Schönsten kann man mit \emph{Dimension} arbeiten. {\footnotesize \textbf{Bemerkung.} Da es sich hier um die Bewertung von Argumentationen handelt, -kann man in Wirklichkeit hier kein Schema festlegen. -Stattdessen musste ich über die Qualität ein Urteil treffen. +kann man in Wirklichkeit kein Schema festlegen. +Stattdessen musste über die Qualität Urteile getroffen werden. In erster Linie kriegt man volle Punkte, wenn man vollständig (idealerweise auch ausführlich) + gültig + überzeugend argumentierte. -Ab dann musste ich anhand unterschiedlicher Defizite empirische Graduierungen implementieren. +Ab dann wurden anhand unterschiedlicher Defizite empirische Graduierungen implementiert. Wenn etwas unvollständig oder ungültig war, bekam der Versuch einen Abzug. -Wenn etwas zu unordentlich oder inkohärent war, wurde meistens auf $0$ Pkt gegeben, -aber diese wurde verschont, wenn die Argumentation eine richtige Idee enthielt. -Es gab einen Fall, wo leider ein Denkfehler (ungültiger Schritt) vorlag, +Wenn etwas zu unordentlich oder inkohärent war, wurde meistens $0$ Pkt gegeben. +(Hier ging es nicht um Handschrift, sondern um die Präsentation insgesamt, +den Umgang mit technischen Mitteln +und den Aufbau des Argumentes.) +Dies wurde dennoch gespart, wenn die Argumentation eine richtige Idee enthielt. +Es gab z.\,B. einen Fall, wo leider ein Denkfehler (ungültiger Schritt) vorlag, aber der Ansatz war sonst sauber aufgeschrieben, sodass der Versuch mindestens $1$ Pkt verdiente. } @@ -1664,25 +1676,29 @@ Aber die Zielsetzungen sind anders. \end{punktschema} {\footnotesize -\textbf{Bemerkung.} Hier lagen ähnliche Schwierigkeiten vor, ein Schema festzulegen. -Dafür wandte ich ähnliche Prinzipien an wie in der Bemerkung am Ende von A6a. -Spezifisch zu dieser Aufgabe konnte ich folgendes Beobachten: +\textbf{Bemerkung.} Hier lagen wiederum Schwierigkeiten vor, ein Schema festzulegen. +Dafür wurde ähnliche Prinzipien angewandt wie in A6a (siehe Bemerkung dort). +Spezifisch zu dieser Aufgabe konnte man folgendes Beobachten: \begin{kompaktitem} - \item Denkfehler im Ansatz: Viele haben ein Element in $\ker(\phi)$ gesucht, - dann eins in $\range(\phi)$, aber nicht ein \uline{gemeinsames Element}. + \item Denkfehler im Ansatz: + Viele haben ein Element in $\ker(\phi)$ gesucht, + dann eins in $\range(\phi)$, + aber kein \uline{gemeinsames Element}. \item Technische Kleinigkeiten (die jedoch keine Lappalien sind): Damit man $\phi^{k-1}(v)$ und $\phi^{k-2}(v)$ überhaupt bilden darf, muss man \uline{begründen}, dass $k\geq 1$ bzw. $k\geq 2$. Ein sorgfältiger Umgang mit Randfällen und zu prüfen, dass etwas nicht jenseits eines Randes, sind allgemein wichtig in allen technischen Bereichen. - \item Zu unterscheiden dazwischen, wann etwas trivial ist, und wann etwas explizit/ausführlich begründet werden soll. - \item Man argumentiert für Ergebnisse, - die schon in anderen Teilaufgaben vorhanden sind. - Das weist darauf hin, + \item Es schien für einige schwierig zu unterscheiden, + wann etwas trivial war, + und wann etwas explizit/ausführlich begründet werden soll. + \item Manchmal argumentierte man für Ergebnisse, + die schon in anderen Teilaufgaben vorhanden waren. + So etwas weist darauf hin, dass man sich der Bedeutung der Resultate bzw. der Zusammenhänge nicht bewusst ist. Auch wenn eine Prüfung größtenteils sachlich ist, - ist es generell sinnvoll, + ist es dennoch sinnvoll, sich zu überlegen, wie die Teile einer Aufgabe aufeinander aufbauen und wie sie konzipiert sind. \end{kompaktitem} @@ -1697,9 +1713,10 @@ Spezifisch zu dieser Aufgabe konnte ich folgendes Beobachten: %% AUFGABE 6c \headingTeilaufgabe{6c} -Hier müssen wir für $V=\reell^{2}$ ein ${\phi:V\to V}$, +Hier müssen wir für $V=\reell^{2}$ ein lineares ${\phi:V\to V}$ konstruieren, so dass $\phi\neq 0(\cdot)$ -und so dass $\phi$ \kurs{stark kontrahierend} ist. +und +so dass $\phi$ \kurs{stark kontrahierend} ist. Äquivalent können wir eine passende Matrixdarstellung, $A\in M_{2\times 2}(\reell)$, konstruieren. @@ -1765,7 +1782,7 @@ Hier ein paar Möglichkeiten: 1 &1\\ 1 &1\\ \end{matrix}$. - Da $\rank(A)=1$ ist $A$ nicht invertierbar. + Da $\rank(A)=1$, ist $A$ nicht invertierbar. (Auch möglich: man weise darauf hin, dass die Spalten in $A$ nicht linear unabhängig sind.) Es gilt nun $A^{2}=\begin{matrix}{cc} 2 &2\\ @@ -1774,7 +1791,7 @@ Hier ein paar Möglichkeiten: Darum $A^{3} = A^{2}\cdot A = 2A\cdot A = 2\cdot A^{2} = 2\cdot 2A = 2^{2}A$, usw. - Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=2^{n}A(\neq 0)$ für alle $n\in\ntrlpos$. + Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=2^{n}A\neq\zeromatrix$ für alle $n\in\ntrlpos$. Darum ist $A$ (bzw. $\phi_{A}$) \uline{nicht} \kurs{stark kontrahierend}. \item $A:=\begin{matrix}{cc} @@ -1782,7 +1799,7 @@ Hier ein paar Möglichkeiten: p &1-p\\ \end{matrix}$ für $p\in[0,1]$. - Da $\rank(A)=1$ ist $A$ nicht invertierbar. + Da $\rank(A)=1$, ist $A$ nicht invertierbar. (Auch möglich: man weise darauf hin, dass die Spalten in $A$ nicht linear unabhängig sind.) Es gilt nun $A^{2}=\begin{matrix}{cc} p &1-p\\ @@ -1791,14 +1808,14 @@ Hier ein paar Möglichkeiten: Darum $A^{3} = A^{2}\cdot A = A\cdot A = A^{2} = A$, usw. - Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=A(\neq 0)$ für alle $n\in\ntrlpos$. + Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=A\neq\zeromatrix$ für alle $n\in\ntrlpos$. Darum ist $A$ (bzw. $\phi_{A}$) \uline{nicht} \kurs{stark kontrahierend}. \item $A:=\begin{matrix}{cc} 1 &0\\ 1 &0\\ \end{matrix}$. - Da $\rank(A)=1$ ist $A$ nicht invertierbar. + Da $\rank(A)=1$, ist $A$ nicht invertierbar. (Auch möglich: berechne Zeilenstufen form und begründe dadurch.) Es gilt nun $A^{2}=\begin{matrix}{cc} 1 &0\\ @@ -1807,14 +1824,14 @@ Hier ein paar Möglichkeiten: Darum $A^{3}=A^{2}\cdot A = A\cdot A = A^{2}=A$, usw. - Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=A(\neq 0)$ für alle $n\in\ntrlpos$. + Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=A\neq\zeromatrix$ für alle $n\in\ntrlpos$. Darum ist $A$ (bzw. $\phi_{A}$) \uline{nicht} \kurs{stark kontrahierend}. \item $A:=\begin{matrix}{cc} 1 &0\\ 0 &0\\ \end{matrix}$. - Da $\rank(A)=1$ ist $A$ nicht invertierbar. + Da $\rank(A)=1$, ist $A$ nicht invertierbar. (Auch möglich: man weise darauf hin, dass die Spalten in $A$ nicht linear unabhängig sind.) Es gilt nun $A^{2}=\begin{matrix}{cc} 1 &0\\ @@ -1823,7 +1840,7 @@ Hier ein paar Möglichkeiten: Darum $A^{3}=A^{2}\cdot A = A\cdot A = A^{2}=A$, usw. - Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=A(\neq 0)$ für alle $n\in\ntrlpos$. + Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=A\neq\zeromatrix$ für alle $n\in\ntrlpos$. Darum ist $A$ (bzw. $\phi_{A}$) \uline{nicht} \kurs{stark kontrahierend}. \end{kompaktitem}