master > master: Musterlösung A6 Text überarbeitet, Fälle ergänzt

docs/musterloesung_WiSe_2020_2021_Kl1_A6.tex

@@ -1317,6 +1317,7 @@
 
 \def\vectorspacespan{\mathop{\text{\upshape Lin}}}
 \def\dim{\mathop{\text{\upshape dim}}}
+\def\det{\mathop{\text{\upshape det}}}
 \def\rank{\mathop{\text{\upshape Rang}}}
 \def\onematrix{\text{\upshape\bfseries I}}
 \def\zeromatrix{\text{\upshape\bfseries 0}}
@@ -1377,7 +1378,7 @@
     \label{ueb:1:ex:1}
 \let\sectionname\altsectionname
 
-Es sSei $V\neq\{0\}$ ein Vektorraum über einem Körper, $K$.
+Es sei $V\neq\{0\}$ ein Vektorraum über einem Körper, $K$.
 Eine lineare Abbildung ${\phi:V\to V}$ heißt dann \emph{stark kontrahierend},
 wenn $\exists{n\in\ntrlpos:~}\phi^{n}=0(\cdot)$.
 
@@ -1397,7 +1398,7 @@ Es gibt hierfür mehrere Ansätze.
 In jedem der u.\,s. Möglichkeiten fixieren wir ein $n\in\ntrlpos$, so dass $\phi^{n}=\zerovector$,
 und wir nehmen an, $\phi$ sei \emph{stark kontrahierend}.
 
-Als möglicherweise einfachtsten Ansätze kann man auf der Ebene von Abbildungen argumentieren.
+Als möglicherweise einfachste Ansätze kann man auf der Ebene von Abbildungen argumentieren.
 
 \setcounternach{enumi}{1}
 \begin{enumerate}{\bfseries {Ansatz} I.}
@@ -1477,8 +1478,8 @@ und konstruktiv vorgehen.
         \enndeOfProof
 \end{enumerate}
 
-Am Schönsten kann man mit \emph{Dimension} arbeiten.
+Die vielleicht schönsten Ideen kamen von zwei Studierenden
-(Auf diese Idee ist ein Studierender gekommen.)
+und verwenden \emph{Dimension} bzw. \emph{Determinante}.
 
 \begin{enumerate}{\bfseries {Ansatz} I.}
     \setcounternach{enumi}{5}
@@ -1513,15 +1514,23 @@ Am Schönsten kann man mit \emph{Dimension} arbeiten.
 
         Darum gilt in allen Fällen $\dim(\ker(\phi))>0$, wzzw.
         \enndeOfProof
+    \item
+        (Funktioniert nur, wenn $V$ endlich dimensional ist.)
+        Sei $A$ eine Matrizendarstellung von $\phi$.
+        \textbf{Zu zeigen:} $\det(A)=0$ (da $A$ invertierbar $\Leftrightarrow$ $\det(A)\neq 0$).
+        Es gilt $\det(A)^{n}=\det(A^{n})=\det(\zeromatrix)=0$.
+        Daraus folgt, dass $\det(A)=0$.
+        \enndeOfProof
 \end{enumerate}
 
 \begin{punktschema}
     3   &Argument vollständig (=ausführlich) und logisch gültig.\\
     \hdashline
     2   &Der Ansatz war richtig aber z.\,B.:\\
-        &es fehlte an Ausführlichkeit (enthielt jedoch genug von dem nicht trivialen Teil);\\
+        &er war nicht ausführlich (enthielt jedoch genug von dem nicht trivialen Teil);\\
         &oder die Aufgabe war in (a) falsch, aber versteckteweise in (b) vorhanden (und zwar vollständig+gültig);\\
-        &oder er baute z.\,T. auf einem inkorrekt präsentierten Resultat (was dann z.\,B. auf die Ausführlichkeit eine Auswirkung hatte).\\
+        &oder er baute z.\,T. auf einem inkorrekt präsentierten Resultat
+        (was dann z.\,B. auf die Ausführlichkeit eine Auswirkung hatte).\\
     \hdashline
     1   &Ansatz enthielt eine richtige Idee, aber wurde nicht korrekt/ausführlich ausgeführt,
         od. man schließt die (nicht triviale) Lücke zw. Aussage über $\phi^{n}$ und Aussage über $\phi$ nicht\\
@@ -1532,16 +1541,19 @@ Am Schönsten kann man mit \emph{Dimension} arbeiten.
 {\footnotesize
 \textbf{Bemerkung.}
 Da es sich hier um die Bewertung von Argumentationen handelt,
-kann man in Wirklichkeit hier kein Schema festlegen.
+kann man in Wirklichkeit kein Schema festlegen.
-Stattdessen musste ich über die Qualität ein Urteil treffen.
+Stattdessen musste über die Qualität Urteile getroffen werden.
 In erster Linie kriegt man volle Punkte, wenn man
 vollständig (idealerweise auch ausführlich) + gültig + überzeugend
 argumentierte.
-Ab dann musste ich anhand unterschiedlicher Defizite empirische Graduierungen implementieren.
+Ab dann wurden anhand unterschiedlicher Defizite empirische Graduierungen implementiert.
 Wenn etwas unvollständig oder ungültig war, bekam der Versuch einen Abzug.
-Wenn etwas zu unordentlich oder inkohärent war, wurde meistens auf $0$ Pkt gegeben,
+Wenn etwas zu unordentlich oder inkohärent war, wurde meistens $0$ Pkt gegeben.
-aber diese wurde verschont, wenn die Argumentation eine richtige Idee enthielt.
+(Hier ging es nicht um Handschrift, sondern um die Präsentation insgesamt,
-Es gab einen Fall, wo leider ein Denkfehler (ungültiger Schritt) vorlag,
+den Umgang mit technischen Mitteln
+und den Aufbau des Argumentes.)
+Dies wurde dennoch gespart, wenn die Argumentation eine richtige Idee enthielt.
+Es gab z.\,B. einen Fall, wo leider ein Denkfehler (ungültiger Schritt) vorlag,
 aber der Ansatz war sonst sauber aufgeschrieben,
 sodass der Versuch mindestens $1$ Pkt verdiente.
 }
@@ -1664,25 +1676,29 @@ Aber die Zielsetzungen sind anders.
 \end{punktschema}
 
 {\footnotesize
-\textbf{Bemerkung.} Hier lagen ähnliche Schwierigkeiten vor, ein Schema festzulegen.
+\textbf{Bemerkung.} Hier lagen wiederum Schwierigkeiten vor, ein Schema festzulegen.
-Dafür wandte ich ähnliche Prinzipien an wie in der Bemerkung am Ende von A6a.
+Dafür wurde ähnliche Prinzipien angewandt wie in A6a (siehe Bemerkung dort).
-Spezifisch zu dieser Aufgabe konnte ich folgendes Beobachten:
+Spezifisch zu dieser Aufgabe konnte man folgendes Beobachten:
 
 \begin{kompaktitem}
-    \item Denkfehler im Ansatz: Viele haben ein Element in $\ker(\phi)$ gesucht,
+    \item Denkfehler im Ansatz:
-        dann eins in $\range(\phi)$, aber nicht ein \uline{gemeinsames Element}.
+        Viele haben ein Element in $\ker(\phi)$ gesucht,
+        dann eins in $\range(\phi)$,
+        aber kein \uline{gemeinsames Element}.
     \item Technische Kleinigkeiten (die jedoch keine Lappalien sind):
         Damit man $\phi^{k-1}(v)$ und $\phi^{k-2}(v)$ überhaupt bilden darf,
         muss man \uline{begründen}, dass $k\geq 1$ bzw. $k\geq 2$.
         Ein sorgfältiger Umgang mit Randfällen und zu prüfen, dass etwas nicht jenseits eines Randes,
         sind allgemein wichtig in allen technischen Bereichen.
-    \item Zu unterscheiden dazwischen, wann etwas trivial ist, und wann etwas explizit/ausführlich begründet werden soll.
+    \item Es schien für einige schwierig zu unterscheiden,
-    \item Man argumentiert für Ergebnisse,
+        wann etwas trivial war,
-        die schon in anderen Teilaufgaben vorhanden sind.
+        und wann etwas explizit/ausführlich begründet werden soll.
-        Das weist darauf hin,
+    \item Manchmal argumentierte man für Ergebnisse,
+        die schon in anderen Teilaufgaben vorhanden waren.
+        So etwas weist darauf hin,
         dass man sich der Bedeutung der Resultate bzw. der Zusammenhänge nicht bewusst ist.
         Auch wenn eine Prüfung größtenteils sachlich ist,
-        ist es generell sinnvoll,
+        ist es dennoch sinnvoll,
         sich zu überlegen, wie die Teile einer Aufgabe aufeinander aufbauen
         und wie sie konzipiert sind.
 \end{kompaktitem}
@@ -1697,9 +1713,10 @@ Spezifisch zu dieser Aufgabe konnte ich folgendes Beobachten:
 %% AUFGABE 6c
 \headingTeilaufgabe{6c}
 
-Hier müssen wir für $V=\reell^{2}$ ein ${\phi:V\to V}$,
+Hier müssen wir für $V=\reell^{2}$ ein lineares ${\phi:V\to V}$ konstruieren,
 so dass $\phi\neq 0(\cdot)$
-und so dass $\phi$ \kurs{stark kontrahierend} ist.
+und
+so dass $\phi$ \kurs{stark kontrahierend} ist.
 Äquivalent können wir eine passende
 Matrixdarstellung, $A\in M_{2\times 2}(\reell)$,
 konstruieren.
@@ -1765,7 +1782,7 @@ Hier ein paar Möglichkeiten:
           1 &1\\
           1 &1\\
         \end{matrix}$.
-        Da $\rank(A)=1$ ist $A$ nicht invertierbar.
+        Da $\rank(A)=1$, ist $A$ nicht invertierbar.
         (Auch möglich: man weise darauf hin, dass die Spalten in $A$ nicht linear unabhängig sind.)
         Es gilt nun $A^{2}=\begin{matrix}{cc}
           2 &2\\
@@ -1774,7 +1791,7 @@ Hier ein paar Möglichkeiten:
         Darum
             $A^{3} = A^{2}\cdot A = 2A\cdot A = 2\cdot A^{2} = 2\cdot 2A = 2^{2}A$,
         usw.
-        Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=2^{n}A(\neq 0)$ für alle $n\in\ntrlpos$.
+        Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=2^{n}A\neq\zeromatrix$ für alle $n\in\ntrlpos$.
         Darum ist $A$ (bzw. $\phi_{A}$) \uline{nicht} \kurs{stark kontrahierend}.
     \item
         $A:=\begin{matrix}{cc}
@@ -1782,7 +1799,7 @@ Hier ein paar Möglichkeiten:
           p &1-p\\
         \end{matrix}$
         für $p\in[0,1]$.
-        Da $\rank(A)=1$ ist $A$ nicht invertierbar.
+        Da $\rank(A)=1$, ist $A$ nicht invertierbar.
         (Auch möglich: man weise darauf hin, dass die Spalten in $A$ nicht linear unabhängig sind.)
         Es gilt nun $A^{2}=\begin{matrix}{cc}
           p &1-p\\
@@ -1791,14 +1808,14 @@ Hier ein paar Möglichkeiten:
         Darum
             $A^{3} = A^{2}\cdot A = A\cdot A = A^{2} = A$,
         usw.
-        Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=A(\neq 0)$ für alle $n\in\ntrlpos$.
+        Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=A\neq\zeromatrix$ für alle $n\in\ntrlpos$.
         Darum ist $A$ (bzw. $\phi_{A}$) \uline{nicht} \kurs{stark kontrahierend}.
     \item
         $A:=\begin{matrix}{cc}
           1 &0\\
           1 &0\\
         \end{matrix}$.
-        Da $\rank(A)=1$ ist $A$ nicht invertierbar.
+        Da $\rank(A)=1$, ist $A$ nicht invertierbar.
         (Auch möglich: berechne Zeilenstufen form und begründe dadurch.)
         Es gilt nun $A^{2}=\begin{matrix}{cc}
           1 &0\\
@@ -1807,14 +1824,14 @@ Hier ein paar Möglichkeiten:
         Darum
             $A^{3}=A^{2}\cdot A = A\cdot A = A^{2}=A$,
         usw.
-        Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=A(\neq 0)$ für alle $n\in\ntrlpos$.
+        Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=A\neq\zeromatrix$ für alle $n\in\ntrlpos$.
         Darum ist $A$ (bzw. $\phi_{A}$) \uline{nicht} \kurs{stark kontrahierend}.
     \item
         $A:=\begin{matrix}{cc}
           1 &0\\
           0 &0\\
         \end{matrix}$.
-        Da $\rank(A)=1$ ist $A$ nicht invertierbar.
+        Da $\rank(A)=1$, ist $A$ nicht invertierbar.
         (Auch möglich: man weise darauf hin, dass die Spalten in $A$ nicht linear unabhängig sind.)
         Es gilt nun $A^{2}=\begin{matrix}{cc}
           1 &0\\
@@ -1823,7 +1840,7 @@ Hier ein paar Möglichkeiten:
         Darum
             $A^{3}=A^{2}\cdot A = A\cdot A = A^{2}=A$,
         usw.
-        Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=A(\neq 0)$ für alle $n\in\ntrlpos$.
+        Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=A\neq\zeromatrix$ für alle $n\in\ntrlpos$.
         Darum ist $A$ (bzw. $\phi_{A}$) \uline{nicht} \kurs{stark kontrahierend}.
 \end{kompaktitem}