diff --git a/docs/loesungen.pdf b/docs/loesungen.pdf index 9eb4113..572112a 100644 Binary files a/docs/loesungen.pdf and b/docs/loesungen.pdf differ diff --git a/docs/loesungen.tex b/docs/loesungen.tex index 408362e..dbd2c02 100644 --- a/docs/loesungen.tex +++ b/docs/loesungen.tex @@ -63,6 +63,8 @@ %% | %% ---- body/uebung/ueb9.tex; %% | +%% ---- body/uebung/ueb10.tex; +%% | %% ---- body/ska/ska4.tex; %% | %% ---- body/ska/ska5.tex; @@ -1308,6 +1310,7 @@ %% MATHE: %% **************************************************************** +\def\cal#1{\mathcal{#1}} \def\reell{\mathbb{R}} \def\kmplx{\mathbb{C}} \def\Torus{\mathbb{T}} @@ -1468,11 +1471,11 @@ durch \begin{mathe}[mc]{rclqrcl} A_{\alpha} &:= &\begin{matrix}{cccc} - 1 &7 &2 &-1\\ - 1 &8 &6 &-3\\ - 2 &14 &\alpha &-2\\ + 1 &7 &2 &-1\\ + 1 &8 &6 &-3\\ + 2 &14 &\alpha &-2\\ \end{matrix} - &\mathbf{b}_{\beta} &:= &\begin{vector}4\\0\\\beta\\\end{vector} + &\mathbf{b}_{\beta} &:= &\begin{vector} 4\\ 0\\ \beta\\\end{vector} \end{mathe} gegeben sind. @@ -1483,9 +1486,9 @@ Um die Lösungsmenge zu bestimmen führen wir das Gaußverfahren aus: \begin{mathe}[mc]{c} \begin{matrix}{cccc|c} - 1 &7 &2 &-1 &4\\ - 1 &8 &6 &-3 &0\\ - 2 &14 &\alpha &-2 &\beta\\ + 1 &7 &2 &-1 &4\\ + 1 &8 &6 &-3 &0\\ + 2 &14 &\alpha &-2 &\beta\\ \end{matrix}\\ \end{mathe} @@ -1501,9 +1504,9 @@ Um die Lösungsmenge zu bestimmen führen wir das Gaußverfahren aus: \begin{mathe}[mc]{c} \begin{matrix}{cccc|c} - \boxed{1} &7 &2 &-1 &4\\ - 0 &\boxed{1} &4 &-2 &-4\\ - 0 &0 &\boxed{\alpha - 4} &0 &\beta - 8\\ + \boxed{1} &7 &2 &-1 &4\\ + 0 &\boxed{1} &4 &-2 &-4\\ + 0 &0 &\boxed{\alpha - 4} &0 &\beta - 8\\ \end{matrix}\\ \end{mathe} @@ -1521,9 +1524,9 @@ Dies führt zu einem Fallunterschied: \begin{mathe}[mc]{c} \begin{matrix}{cccc|c} - \boxed{1} &7 &2 &-1 &4\\ - 0 &\boxed{1} &4 &-2 &-4\\ - 0 &0 &0 &0 &\beta - 8\\ + \boxed{1} &7 &2 &-1 &4\\ + 0 &\boxed{1} &4 &-2 &-4\\ + 0 &0 &0 &0 &\beta - 8\\ \end{matrix}\\ \end{mathe} @@ -1543,9 +1546,9 @@ Dies führt zu einem Fallunterschied: \begin{mathe}[mc]{c} \begin{matrix}{cccc|c} - \boxed{1} &7 &2 &-1 &4\\ - 0 &\boxed{1} &4 &-2 &-4\\ - 0 &0 &0 &0 &0\\ + \boxed{1} &7 &2 &-1 &4\\ + 0 &\boxed{1} &4 &-2 &-4\\ + 0 &0 &0 &0 &0\\ \end{matrix}\\ \end{mathe} @@ -1571,15 +1574,15 @@ Dies führt zu einem Fallunterschied: Zusammengefasst erhalten wir die allgemeine Form der Lösung: \begin{mathe}[mc]{rcl} - \mathbf{x} &= &\begin{svector}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\\\end{svector}\\ - &= &\begin{svector}32 + 26x_{3} + -13x_{4}\\-4 - 4x_{3} + 2x_{4}\\x_{3}\\x_{4}\\\end{svector}\\ - &= &\begin{svector}32 + 26x_{3} + -13x_{4}\\-4 - 4x_{3} + 2x_{4}\\0 + 1x_{3} + 0x_{4}\\0 + 0x_{3} + 1x_{4}\\\end{svector}\\ - &= &\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector} - + \begin{svector}26x_{3}\\-4x_{3}\\1x_{3}\\0x_{3}\\\end{svector} - + \begin{svector}-13x_{4}\\2x_{4}\\1x_{4}\\1x_{4}\\\end{svector}\\ - &= &\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector} - + x_{3}\cdot\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector} - + x_{4}\cdot\begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector}\\ + \mathbf{x} &= &\begin{svector} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\\ x_{4}\\\end{svector}\\ + &= &\begin{svector} 32 + 26x_{3} + -13x_{4}\\ -4 - 4x_{3} + 2x_{4}\\ x_{3}\\ x_{4}\\\end{svector}\\ + &= &\begin{svector} 32 + 26x_{3} + -13x_{4}\\ -4 - 4x_{3} + 2x_{4}\\ 0 + 1x_{3} + 0x_{4}\\ 0 + 0x_{3} + 1x_{4}\\\end{svector}\\ + &= &\begin{svector} 32\\ -4\\ 0\\ 0\\\end{svector} + + \begin{svector} 26x_{3}\\ -4x_{3}\\ 1x_{3}\\ 0x_{3}\\\end{svector} + + \begin{svector} -13x_{4}\\ 2x_{4}\\ 1x_{4}\\ 1x_{4}\\\end{svector}\\ + &= &\begin{svector} 32\\ -4\\ 0\\ 0\\\end{svector} + + x_{3}\cdot\begin{svector} 26\\ -4\\ 1\\ 0\\\end{svector} + + x_{4}\cdot\begin{svector} -13\\ 2\\ 1\\ 1\\\end{svector}\\ \end{mathe} mit $x_{3}$, $x_{4}$ frei wählbar. @@ -1588,14 +1591,14 @@ Dies führt zu einem Fallunterschied: Also erhalten wird in diesem Falle $\boxed{ L_{\alpha,\beta}=\left\{ - \begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector} - + t_{1}\cdot\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector} - + t_{2}\cdot\begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector} + \begin{svector} 32\\ -4\\ 0\\ 0\\\end{svector} + + t_{1}\cdot\begin{svector} 26\\ -4\\ 1\\ 0\\\end{svector} + + t_{2}\cdot\begin{svector} -13\\ 2\\ 1\\ 1\\\end{svector} \mid t_{1}, t_{2}\in\reell \right\} }$, oder etwas kompakter formuliert, - ${L_{\alpha,\beta}=\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector} + \vectorspacespan\left\{\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector}, \begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector}\right\}}$. + ${L_{\alpha,\beta}=\begin{svector} 32\\ -4\\ 0\\ 0\\\end{svector} + \vectorspacespan\left\{\begin{svector} 26\\ -4\\ 1\\ 0\\\end{svector}, \begin{svector} -13\\ 2\\ 1\\ 1\\\end{svector}\right\}}$. \end{enumerate} %% FALL 2 @@ -1614,12 +1617,12 @@ Dies führt zu einem Fallunterschied: das heißt \begin{mathe}[mc]{rcl} - \mathbf{x} &= &\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector} - + x_{3}\cdot\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector} - + x_{4}\cdot\begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector}\\ - &= &\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector} - + \frac{\beta-8}{\alpha-4}\cdot\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector} - + x_{4}\cdot\begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector},\\ + \mathbf{x} &= &\begin{svector} 32\\ -4\\ 0\\ 0\\\end{svector} + + x_{3}\cdot\begin{svector} 26\\ -4\\ 1\\ 0\\\end{svector} + + x_{4}\cdot\begin{svector} -13\\ 2\\ 1\\ 1\\\end{svector}\\ + &= &\begin{svector} 32\\ -4\\ 0\\ 0\\\end{svector} + + \frac{\beta-8}{\alpha-4}\cdot\begin{svector} 26\\ -4\\ 1\\ 0\\\end{svector} + + x_{4}\cdot\begin{svector} -13\\ 2\\ 1\\ 1\\\end{svector},\\ \end{mathe} wobei $x_{4}$ frei wählbar ist. @@ -1628,14 +1631,14 @@ Dies führt zu einem Fallunterschied: Also erhalten wird in diesem Falle $\boxed{ L_{\alpha,\beta}=\left\{ - \begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector} - + \frac{\beta-8}{\alpha-4}\cdot\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector} - + t\cdot\begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector} + \begin{svector} 32\\ -4\\ 0\\ 0\\\end{svector} + + \frac{\beta-8}{\alpha-4}\cdot\begin{svector} 26\\ -4\\ 1\\ 0\\\end{svector} + + t\cdot\begin{svector} -13\\ 2\\ 1\\ 1\\\end{svector} \mid t\in\reell \right\} }$, oder etwas kompakter formuliert, - ${L_{\alpha,\beta}=\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector} + \frac{\beta-8}{\alpha-4}\cdot\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector} + \vectorspacespan\left\{\begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector}\right\}}$. + ${L_{\alpha,\beta}=\begin{svector} 32\\ -4\\ 0\\ 0\\\end{svector} + \frac{\beta-8}{\alpha-4}\cdot\begin{svector} 26\\ -4\\ 1\\ 0\\\end{svector} + \vectorspacespan\left\{\begin{svector} -13\\ 2\\ 1\\ 1\\\end{svector}\right\}}$. \end{enumerate} Wir fassen die Lösung für alle Fälle zusammen: @@ -1650,9 +1653,9 @@ Wir fassen die Lösung für alle Fälle zusammen: für alle $\alpha,\beta\in\reell$, wobei - $\mathbf{u} = \begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector}$, - $\mathbf{v} = \begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector}$, - $\mathbf{w} = \begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector}$. + $\mathbf{u} = \begin{svector} 32\\ -4\\ 0\\ 0\\\end{svector}$, + $\mathbf{v} = \begin{svector} 26\\ -4\\ 1\\ 0\\\end{svector}$, + $\mathbf{w} = \begin{svector} -13\\ 2\\ 1\\ 1\\\end{svector}$. %% AUFGABE 1-2 \let\altsectionname\sectionname @@ -1969,12 +1972,12 @@ Für diese Aufgabe wird das Konzept der \emph{linearen Unabhängigkeit} aus Kapi {\scriptsize \begin{mathe}[mc]{c} \begin{matrix}{ccc|c} - -5 &0 &0 &-7\\ - 4 &-6 &-10 &6\\ - -2 &-6 &-6 &9\\ - -7 &4 &-1 &-5\\ - 4 &-5 &2 &-9\\ - -5 &8 &-7 &-5\\ + -5 &0 &0 &-7\\ + 4 &-6 &-10 &6\\ + -2 &-6 &-6 &9\\ + -7 &4 &-1 &-5\\ + 4 &-5 &2 &-9\\ + -5 &8 &-7 &-5\\ \end{matrix} \end{mathe}} @@ -1983,9 +1986,9 @@ Für diese Aufgabe wird das Konzept der \emph{linearen Unabhängigkeit} aus Kapi {\scriptsize \begin{mathe}[bc]{c} \begin{matrix}{ccc|c} - 4 &-6 &-10 &6\\ - 4 &-5 &2 &-9\\ - -5 &8 &-7 &-5\\ + 4 &-6 &-10 &6\\ + 4 &-5 &2 &-9\\ + -5 &8 &-7 &-5\\ \end{matrix}. \end{mathe}} @@ -2152,13 +2155,13 @@ Mit diesem Mittel können wir nun die Hauptaussage in der Aufgabe formulieren: {\scriptsize \begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{matrix}{cccccccc|c} - \underbrace{0\,0\,\ldots\,0}_{\ell_{1}} &\gamma_{1} &\cdots\cdots &\ast &\cdots\cdots &\cdots\cdots &\ast &\cdots\cdots &b^{(N)}_{1}\\ - 0\,0\,\ldots\,0 &0 &\underbrace{0\,0\,\ldots\,0}_{\ell_{2}} &\gamma_{2} &\cdots\cdots &\cdots\cdots &\ast &\cdots\cdots &b^{(N)}_{2}\\ - \vdots & & & & & & &\vdots\\ - 0\,0\,\ldots\,0 &0 &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &\underbrace{0\,0\,\ldots\,0}_{\ell_{r}} &\gamma_{r} &\cdots\cdots &b^{(N)}_{r}\\ - 0\,0\,\ldots\,0 &0 &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &b^{(N)}_{r+1}\\ - \vdots & & & & & & &\vdots\\ - 0\,0\,\ldots\,0 &0 &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &b^{(N)}_{m}\\ + \underbrace{0\,0\,\ldots\,0}_{\ell_{1}} &\gamma_{1} &\cdots\cdots &\ast &\cdots\cdots &\cdots\cdots &\ast &\cdots\cdots &b^{(N)}_{1}\\ + 0\,0\,\ldots\,0 &0 &\underbrace{0\,0\,\ldots\,0}_{\ell_{2}} &\gamma_{2} &\cdots\cdots &\cdots\cdots &\ast &\cdots\cdots &b^{(N)}_{2}\\ + \vdots & & & & & & &\vdots\\ + 0\,0\,\ldots\,0 &0 &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &\underbrace{0\,0\,\ldots\,0}_{\ell_{r}} &\gamma_{r} &\cdots\cdots &b^{(N)}_{r}\\ + 0\,0\,\ldots\,0 &0 &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &b^{(N)}_{r+1}\\ + \vdots & & & & & & &\vdots\\ + 0\,0\,\ldots\,0 &0 &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &b^{(N)}_{m}\\ \end{matrix} \end{mathe}} @@ -2388,10 +2391,10 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve Betrachte die folgenden Vektoren in $\reell^{3}$: \begin{mathe}[mc]{rclqrclqrclqrcl} - \mathbf{v} &= &\begin{svector}0\\0\\0\\\end{svector}, - &\mathbf{v}^{\prime} &= &\begin{svector}1\\0\\0\\\end{svector}, - &\mathbf{w} &= &\begin{svector}0\\1\\0\\\end{svector}, - &\mathbf{w}^{\prime} &= &\begin{svector}0\\1\\1\\\end{svector}.\\ + \mathbf{v} &= &\begin{svector} 0\\ 0\\ 0\\\end{svector}, + &\mathbf{v}^{\prime} &= &\begin{svector} 1\\ 0\\ 0\\\end{svector}, + &\mathbf{w} &= &\begin{svector} 0\\ 1\\ 0\\\end{svector}, + &\mathbf{w}^{\prime} &= &\begin{svector} 0\\ 1\\ 1\\\end{svector}.\\ \end{mathe} Bis auf 2-Dimensionalität erfüllen diese die Voraussetzungen in \Cref{satz:main:ueb:2:ex:2a}. @@ -2471,15 +2474,15 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve gelten muss, da $\gamma_{1}\neq\gamma_{2}$. Eingesetzt in die erste Gleichung oben liefert $2x+y=\gamma\cdot 0=0$. - Darum muss $\begin{svector}x\\y\\\end{svector}$ + Darum muss $\begin{svector} x\\ y\\\end{svector}$ das LGS $(A|\mathbf{b})$ lösen, wobei \begin{mathe}[mc]{rclqrcl} A &= &\begin{smatrix} - 1&-3\\ - 2&1\\ + 1 &-3\\ + 2 &1\\ \end{smatrix}, - &\mathbf{b} &= &\begin{svector}7\\0\\\end{svector} + &\mathbf{b} &= &\begin{svector} 7\\ 0\\\end{svector} \end{mathe} \begin{algorithm}[\rtab][\rtab] @@ -2487,8 +2490,8 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve \begin{mathe}[mc]{c} \begin{matrix}{cc|c} - 1 &-3 &7\\ - 2 &1 &0\\ + 1 &-3 &7\\ + 2 &1 &0\\ \end{matrix}\\ \end{mathe} @@ -2498,8 +2501,8 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve \begin{mathe}[mc]{c} \begin{matrix}{cc|c} - 1 &-3 &7\\ - 0 &7 &-14\\ + 1 &-3 &7\\ + 0 &7 &-14\\ \end{matrix}\\ \end{mathe} @@ -2632,10 +2635,10 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve Wir arbeiten im Vektorraum $\reell^{3}$ und betrachten die Vektoren \begin{mathe}[mc]{rclqrclqrclqrcl} - \mathbf{v}_{1} &= &\begin{svector}1\\3\\1\\\end{svector} - &\mathbf{v}_{2} &= &\begin{svector}-2\\5\\-2\\\end{svector} - &\mathbf{w}_{1} &= &\begin{svector}4\\-3\\-3\\\end{svector} - &\mathbf{w}_{2} &= &\begin{svector}0\\1\\1\\\end{svector}\\ + \mathbf{v}_{1} &= &\begin{svector} 1\\ 3\\ 1\\\end{svector} + &\mathbf{v}_{2} &= &\begin{svector} -2\\ 5\\ -2\\\end{svector} + &\mathbf{w}_{1} &= &\begin{svector} 4\\ -3\\ -3\\\end{svector} + &\mathbf{w}_{2} &= &\begin{svector} 0\\ 1\\ 1\\\end{svector}\\ \end{mathe} \textbf{Zu berechnen:} @@ -2690,9 +2693,9 @@ wobei \mathbf{w}_{2} \right) &= &\begin{smatrix} - 1&-2&4&0\\ - 3&5&-3&1\\ - 1&-2&-3&1\\ + 1 &-2 &4 &0\\ + 3 &5 &-3 &1\\ + 1 &-2 &-3 &1\\ \end{smatrix}\\ \end{mathe} @@ -2709,9 +2712,9 @@ und daraus die Parameter abzulesen. \begin{mathe}[mc]{c} \begin{smatrix} - 1&-2&4&0\\ - 0&11&-15&1\\ - 0&0&-7&1\\ + 1 &-2 &4 &0\\ + 0 &11 &-15 &1\\ + 0 &0 &-7 &1\\ \end{smatrix}\\ \end{mathe} @@ -2721,9 +2724,9 @@ und daraus die Parameter abzulesen. \begin{mathe}[mc]{c} \begin{smatrix} - 1&-2&4&0\\ - 0&11&-8&0\\ - 0&0&-7&1\\ + 1 &-2 &4 &0\\ + 0 &11 &-8 &0\\ + 0 &0 &-7 &1\\ \end{smatrix}\\ \end{mathe} @@ -2743,7 +2746,7 @@ und daraus die Parameter abzulesen. Also ist die homogene Lösung gegeben durch \begin{mathe}[mc]{rcl} - \mathbf{t} &= &\beta\begin{svector}28\\-8\\-11\\-77\\\end{svector}, + \mathbf{t} &= &\beta\begin{svector} 28\\ -8\\ -11\\ -77\\\end{svector}, \quad\text{mit $\beta\in\reell$ frei wählbar}. \end{mathe} \end{algorithm} @@ -2763,7 +2766,7 @@ Wir können nun \eqcref{eq:0:ueb:3:ex:1} fortsetzen und erhalten \mathbf{\xi}=t_{1}\mathbf{v}_{1}+t_{2}\mathbf{v}_{2} \,\text{und}\, \exists{\beta\in\reell:~} - \mathbf{t}=\beta\begin{svector}28\\-8\\-11\\-77\\\end{svector}\\ + \mathbf{t}=\beta\begin{svector} 28\\ -8\\ -11\\ -77\\\end{svector}\\ &\Longleftrightarrow &\exists{\beta\in\reell:~} \mathbf{\xi}=\beta\cdot( @@ -2779,10 +2782,10 @@ Es gilt \begin{mathe}[mc]{rcccccl} \mathbf{u} - &= &28\begin{svector}1\\3\\1\\\end{svector} - -8\begin{svector}-2\\5\\-2\\\end{svector} - &= &\begin{svector}44\\44\\44\\\end{svector} - &= &44\begin{svector}1\\1\\1\\\end{svector}.\\ + &= &28\begin{svector} 1\\ 3\\ 1\\\end{svector} + -8\begin{svector} -2\\ 5\\ -2\\\end{svector} + &= &\begin{svector} 44\\ 44\\ 44\\\end{svector} + &= &44\begin{svector} 1\\ 1\\ 1\\\end{svector}.\\ \end{mathe} Aus \eqcref{eq:1:ueb:3:ex:1} ergibt sich der zu berechnende Untervektorraum @@ -2793,8 +2796,8 @@ als \cap\vectorspacespan\{\mathbf{w}_{1},\mathbf{w}_{2}\} &= &U &= &\vectorspacespan\{\mathbf{u}\} - &= &\vectorspacespan\{44\begin{svector}1\\1\\1\\\end{svector}\} - &= &\vectorspacespan\{\begin{svector}1\\1\\1\\\end{svector}\}.\\ + &= &\vectorspacespan\{44\begin{svector} 1\\ 1\\ 1\\\end{svector}\} + &= &\vectorspacespan\{\begin{svector} 1\\ 1\\ 1\\\end{svector}\}.\\ \end{mathe} %% AUFGABE 3-2 @@ -4161,7 +4164,7 @@ für alle $A,B\in R$. Wir identifizieren $\kmplx$ mit $\reell^{2}$ mittel der Abbildungen \begin{mathe}[mc]{rcl} - z\in\kmplx &\mapsto &\begin{svector}\ReTeil(z)\\\ImTeil(z)\\\end{svector}\in\reell^{2},\\ + z\in\kmplx &\mapsto &\begin{svector} \ReTeil(z)\\ \ImTeil(z)\\\end{svector}\in\reell^{2},\\ \mathbf{x}\in\reell^{2} &\mapsto &x_{1}+\imageinh x_{2}\in\kmplx.\\ \end{mathe} @@ -4170,12 +4173,12 @@ Wir identifizieren $\kmplx$ mit $\reell^{2}$ mittel der Abbildungen \item \begin{claim*} Für alle $z\in\kmplx\ohne\{0\}$ existieren eindeutige Werte $r\in(0,\infty)$ und $\alpha\in[0,2\pi)$, - dann $z=r\cdot\begin{svector}\cos(\alpha)\\\sin(\alpha)\\\end{svector}$ (unter der o.\,s. Identifizierung). + dann $z=r\cdot\begin{svector} \cos(\alpha)\\ \sin(\alpha)\\\end{svector}$ (unter der o.\,s. Identifizierung). \end{claim*} \begin{proof} - Unter der Identifizierung können wir $z=\begin{svector}x\\y\\\end{svector}$ schreiben, wobei $x,y\in\reell$. - Da $z\neq 0=\begin{svector}0\\0\\\end{svector}$, muss entweder $x\neq 0$ oder $y\neq 0$ gelten. + Unter der Identifizierung können wir $z=\begin{svector} x\\ y\\\end{svector}$ schreiben, wobei $x,y\in\reell$. + Da $z\neq 0=\begin{svector} 0\\ 0\\\end{svector}$, muss entweder $x\neq 0$ oder $y\neq 0$ gelten. Zur {\bfseries Existenz}: Sei $r:=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$. Dann $r>0$ weil $(x,y)\neq (0,0)$.\\ @@ -4223,15 +4226,15 @@ Wir identifizieren $\kmplx$ mit $\reell^{2}$ mittel der Abbildungen \end{kompaktenum} Darum gilt in allen Fällen - $r\cdot\begin{svector}\cos(\alpha)\\\sin(\alpha)\\\end{svector} - =\begin{svector}r\cos(\alpha)\\r\sin(\alpha)\\\end{svector} - =\begin{svector}x\\y\\\end{svector} + $r\cdot\begin{svector} \cos(\alpha)\\ \sin(\alpha)\\\end{svector} + =\begin{svector} r\cos(\alpha)\\ r\sin(\alpha)\\\end{svector} + =\begin{svector} x\\ y\\\end{svector} =z$. Zur {\bfseries Eindeutigkeit}: Seien $r_{i}\in(0,\infty)$, $\alpha_{i}\in[0,2\pi)$ mit - $r_{i}\cdot\begin{svector}\cos(\alpha_{i})\\\sin(\alpha_{i})\\\end{svector}=z$ + $r_{i}\cdot\begin{svector} \cos(\alpha_{i})\\ \sin(\alpha_{i})\\\end{svector}=z$ für $i\in\{1,2\}$. \textbf{Zu zeigen:} $r_{1}=r_{2}$ und $\alpha_{1}=\alpha_{2}$. Es gilt @@ -4291,10 +4294,10 @@ Wir identifizieren $\kmplx$ mit $\reell^{2}$ mittel der Abbildungen \item \begin{claim*} Seien $z_{1},z_{2}\in\kmplx\ohne\{0\}$ mit Darstellungen - $z_{i}=r_{i}\cdot\begin{svector}\cos(\alpha_{i})\\\sin(\alpha_{i})\\\end{svector}$ + $z_{i}=r_{i}\cdot\begin{svector} \cos(\alpha_{i})\\ \sin(\alpha_{i})\\\end{svector}$ für $i\in\{1,2\}$. Dann gilt die Rechenregel - $z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\cdot\begin{svector}\cos(\alpha_{1}+\alpha_{2})\\\sin(\alpha_{1}+\alpha_{2})\\\end{svector}$. + $z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\cdot\begin{svector} \cos(\alpha_{1}+\alpha_{2})\\ \sin(\alpha_{1}+\alpha_{2})\\\end{svector}$. \end{claim*} \begin{proof} @@ -4302,10 +4305,10 @@ Wir identifizieren $\kmplx$ mit $\reell^{2}$ mittel der Abbildungen \begin{longmathe}[mc]{RCL} z_{1}z_{2} - &= &\begin{svector}\ReTeil(z_{1})\ReTeil(z_{2})-\ImTeil(z_{1})\ImTeil(z_{2})\\\ReTeil(z_{1})\ImTeil(z_{2})+\ReTeil(z_{1})\ImTeil(z_{2})\\\end{svector}\\ - &= &\begin{svector}r_{1}\cos(\alpha_{1})\cdot r_{2}\cos(\alpha_{2})-r_{1}\sin(\alpha_{1})\cdot r_{2}\sin(\alpha_{2})\\r_{1}\cos(\alpha_{1})\cdot r_{2}\sin(\alpha_{2})+r_{1}\cos(\alpha_{1})\cdot r_{2}\sin(\alpha_{2})\\\end{svector}\\ - &= &r_{1}r_{2}\begin{svector}\cos(\alpha_{1})\cos(\alpha_{2})-\sin(\alpha_{1})\sin(\alpha_{2})\\\cos(\alpha_{1})\sin(\alpha_{2})+\cos(\alpha_{1})\sin(\alpha_{2})\\\end{svector}\\ - &= &r_{1}r_{2}\begin{svector}\cos(\alpha_{1}+\alpha_{2})\\\sin(\alpha_{1}+\alpha_{2})\\\end{svector}.\\ + &= &\begin{svector} \ReTeil(z_{1})\ReTeil(z_{2})-\ImTeil(z_{1})\ImTeil(z_{2})\\ \ReTeil(z_{1})\ImTeil(z_{2})+\ReTeil(z_{1})\ImTeil(z_{2})\\\end{svector}\\ + &= &\begin{svector} r_{1}\cos(\alpha_{1})\cdot r_{2}\cos(\alpha_{2})-r_{1}\sin(\alpha_{1})\cdot r_{2}\sin(\alpha_{2})\\ r_{1}\cos(\alpha_{1})\cdot r_{2}\sin(\alpha_{2})+r_{1}\cos(\alpha_{1})\cdot r_{2}\sin(\alpha_{2})\\\end{svector}\\ + &= &r_{1}r_{2}\begin{svector} \cos(\alpha_{1})\cos(\alpha_{2})-\sin(\alpha_{1})\sin(\alpha_{2})\\ \cos(\alpha_{1})\sin(\alpha_{2})+\cos(\alpha_{1})\sin(\alpha_{2})\\\end{svector}\\ + &= &r_{1}r_{2}\begin{svector} \cos(\alpha_{1}+\alpha_{2})\\ \sin(\alpha_{1}+\alpha_{2})\\\end{svector}.\\ \end{longmathe} Die letzte Vereinfachung folgt aus der trigonometrischen Additionsregel. @@ -4314,9 +4317,9 @@ Wir identifizieren $\kmplx$ mit $\reell^{2}$ mittel der Abbildungen \item \begin{claim*}[de Moivre] Sei $z\in\kmplx\ohne\{0\}$ mit Darstellungen - $z=r\cdot\begin{svector}\cos(\alpha)\\\sin(\alpha)\\\end{svector}$. + $z=r\cdot\begin{svector} \cos(\alpha)\\ \sin(\alpha)\\\end{svector}$. Dann gilt die Potenzregel - $z^{n}=r^{n}\cdot\begin{svector}\cos(n\alpha)\\\sin(n\alpha)\\\end{svector}$ + $z^{n}=r^{n}\cdot\begin{svector} \cos(n\alpha)\\ \sin(n\alpha)\\\end{svector}$ für alle $n\in\ntrlpos$. \end{claim*} @@ -4328,10 +4331,10 @@ Wir identifizieren $\kmplx$ mit $\reell^{2}$ mittel der Abbildungen Die Gleichung gilt offensichtlich für $n=1$. \item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}] - Sei $n>1$. Angenommen, $z^{n-1}=r^{n-1}\cdot\begin{svector}\cos((n-1)\alpha)\\\sin((n-1)\alpha)\\\end{svector}$. + Sei $n>1$. Angenommen, $z^{n-1}=r^{n-1}\cdot\begin{svector} \cos((n-1)\alpha)\\ \sin((n-1)\alpha)\\\end{svector}$. \item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}] - \textbf{Zu zeigen:} $z^{n}=r^{n}\cdot\begin{svector}\cos(n\alpha)\\\sin(n\alpha)\\\end{svector}$.\\ + \textbf{Zu zeigen:} $z^{n}=r^{n}\cdot\begin{svector} \cos(n\alpha)\\ \sin(n\alpha)\\\end{svector}$.\\ Per rekursive Definition vom Potenzieren gilt zunächst $z^{n}=z^{n-1}\cdot z$ (Multiplikation innerhalb der Algebra $\kmplx$). Aufgabe 6-2(b) zur Folge gilt somit @@ -4339,11 +4342,11 @@ Wir identifizieren $\kmplx$ mit $\reell^{2}$ mittel der Abbildungen \begin{mathe}[mc]{rcl} z^{n}=z^{n-1}\cdot z &\textoverset{IV}{=} - &r^{n-1}\cdot\begin{svector}\cos((n-1)\alpha)\\\sin((n-1)\alpha)\\\end{svector} - \cdot r\cdot\begin{svector}\cos(\alpha)\\\sin(\alpha)\\\end{svector}\\ + &r^{n-1}\cdot\begin{svector} \cos((n-1)\alpha)\\ \sin((n-1)\alpha)\\\end{svector} + \cdot r\cdot\begin{svector} \cos(\alpha)\\ \sin(\alpha)\\\end{svector}\\ &\textoverset{(2b)}{=} - &r^{n-1}r\cdot\begin{svector}\cos((n-1)\alpha+\alpha)\\\sin((n-1)\alpha+\alpha)\\\end{svector}\\ - &= &r^{n}\cdot\begin{svector}\cos(n\alpha)\\\sin(n\alpha)\\\end{svector}.\\ + &r^{n-1}r\cdot\begin{svector} \cos((n-1)\alpha+\alpha)\\ \sin((n-1)\alpha+\alpha)\\\end{svector}\\ + &= &r^{n}\cdot\begin{svector} \cos(n\alpha)\\ \sin(n\alpha)\\\end{svector}.\\ \end{mathe} Darum gilt die Gleichung für $n$. @@ -4359,21 +4362,21 @@ Wir identifizieren $\kmplx$ mit $\reell^{2}$ mittel der Abbildungen $% z^{0} =1+\imageinh 0 - =\begin{svector}1\\0\\\end{svector} - =r^{0}\cdot\begin{svector}\cos(0\alpha)\\\sin(0\alpha)\\\end{svector}% + =\begin{svector} 1\\ 0\\\end{svector} + =r^{0}\cdot\begin{svector} \cos(0\alpha)\\ \sin(0\alpha)\\\end{svector}% $. Für $n=-1$ liefert uns die Rechenregel für Multiplikation innerhalb $\kmplx$, dass - $r^{-1}\cdot\begin{svector}\cos(-\alpha)\\\sin(-\alpha)\\\end{svector}$ + $r^{-1}\cdot\begin{svector} \cos(-\alpha)\\ \sin(-\alpha)\\\end{svector}$ eine hinreichende Konstruktion für ein Inverses von $z$ ist, und darum ist dies wegen Eindeutigkeit des Inverses gleich $z^{-1}$. Für $n<0$ allgemein wenden wir schließlich $% z^{n} =(z^{-1})^{|n|} - =(r^{-1}\cdot\begin{svector}\cos(-\alpha)\\\sin(-\alpha)\\\end{svector})^{|n|} - =(r^{-1})^{|n|}\cdot\begin{svector}\cos(|n|\cdot-\alpha)\\\sin(|n|\cdot-\alpha)\\\end{svector} - =r^{n}\cdot\begin{svector}\cos(n\alpha)\\\sin(n\alpha)\\\end{svector}% + =(r^{-1}\cdot\begin{svector} \cos(-\alpha)\\ \sin(-\alpha)\\\end{svector})^{|n|} + =(r^{-1})^{|n|}\cdot\begin{svector} \cos(|n|\cdot-\alpha)\\ \sin(|n|\cdot-\alpha)\\\end{svector} + =r^{n}\cdot\begin{svector} \cos(n\alpha)\\ \sin(n\alpha)\\\end{svector}% $ an. \end{rem*} @@ -4710,9 +4713,9 @@ Dies ist zufälligerweise auch das Nullelement von $V$. \item \begin{claim*} Sei $K=\rtnl$. Dann sind - ${\mathbf{v}_{1}=\begin{svector}1\\2\\2\\\end{svector}}$, - ${\mathbf{v}_{2}=\begin{svector}3\\2\\1\\\end{svector}}$, und - ${\mathbf{v}_{3}=\begin{svector}2\\1\\-1\\\end{svector}}$ + ${\mathbf{v}_{1}=\begin{svector} 1\\ 2\\ 2\\\end{svector}}$, + ${\mathbf{v}_{2}=\begin{svector} 3\\ 2\\ 1\\\end{svector}}$, und + ${\mathbf{v}_{3}=\begin{svector} 2\\ 1\\ -1\\\end{svector}}$ über $K$ \fbox{linear unabhängig}. \end{claim*} @@ -4721,9 +4724,9 @@ Dies ist zufälligerweise auch das Nullelement von $V$. \begin{mathe}[mc]{rcl} A &:= &\begin{matrix}{ccc} - 1 &3 &2\\ - 2 &2 &1\\ - 2 &1 &-1\\ + 1 &3 &2\\ + 2 &2 &1\\ + 2 &1 &-1\\ \end{matrix} \end{mathe} @@ -4739,9 +4742,9 @@ Dies ist zufälligerweise auch das Nullelement von $V$. \begin{mathe}[mc]{c} \begin{matrix}{ccc} - 1 &2 &2\\ - 0 &4 &5\\ - 0 &3 &5\\ + 1 &2 &2\\ + 0 &4 &5\\ + 0 &3 &5\\ \end{matrix}\\ \end{mathe} @@ -4751,9 +4754,9 @@ Dies ist zufälligerweise auch das Nullelement von $V$. \begin{mathe}[mc]{c} \begin{matrix}{ccc} - \boxed{1} &2 &2\\ - 0 &\boxed{4} &5\\ - 0 &0 &\boxed{5}\\ + \boxed{1} &2 &2\\ + 0 &\boxed{4} &5\\ + 0 &0 &\boxed{5}\\ \end{matrix}\\ \end{mathe} \end{algorithm} @@ -4768,9 +4771,9 @@ Dies ist zufälligerweise auch das Nullelement von $V$. \item \begin{claim*} Sei $K=\mathbb{F}_{5}$. Dann sind - ${\mathbf{v}_{1}=\begin{svector}1\\2\\2\\\end{svector}}$, - ${\mathbf{v}_{2}=\begin{svector}3\\2\\1\\\end{svector}}$, und - ${\mathbf{v}_{3}=\begin{svector}2\\1\\4\\\end{svector}}$ + ${\mathbf{v}_{1}=\begin{svector} 1\\ 2\\ 2\\\end{svector}}$, + ${\mathbf{v}_{2}=\begin{svector} 3\\ 2\\ 1\\\end{svector}}$, und + ${\mathbf{v}_{3}=\begin{svector} 2\\ 1\\ 4\\\end{svector}}$ über $K$ \fbox{nicht linear unabhängig}. \end{claim*} @@ -4779,9 +4782,9 @@ Dies ist zufälligerweise auch das Nullelement von $V$. \begin{mathe}[mc]{rcl} A &:= &\begin{matrix}{ccc} - 1 &3 &2\\ - 2 &2 &1\\ - 2 &1 &4\\ + 1 &3 &2\\ + 2 &2 &1\\ + 2 &1 &4\\ \end{matrix} \end{mathe} @@ -4794,9 +4797,9 @@ Dies ist zufälligerweise auch das Nullelement von $V$. \begin{mathe}[mc]{c} \begin{matrix}{ccl} - \boxed{1} &2 &2\\ - 0 &\boxed{4} &5(=0)\\ - 0 &0 &5(=0)\\ + \boxed{1} &2 &2\\ + 0 &\boxed{4} &5(=0)\\ + 0 &0 &5(=0)\\ \end{matrix}\\ \end{mathe} @@ -4811,9 +4814,9 @@ Dies ist zufälligerweise auch das Nullelement von $V$. \item \begin{claim*} Sei $K=\kmplx$. Dann sind - ${\mathbf{v}_{1}=\begin{svector}1\\\imageinh\\0\\\end{svector}}$, - ${\mathbf{v}_{2}=\begin{svector}1+\imageinh\\-\imageinh\\1-2\imageinh\\\end{svector}}$, und - ${\mathbf{v}_{3}=\begin{svector}\imageinh\\1-\imageinh\\2-\imageinh\\\end{svector}}$ + ${\mathbf{v}_{1}=\begin{svector} 1\\ \imageinh\\ 0\\\end{svector}}$, + ${\mathbf{v}_{2}=\begin{svector} 1+\imageinh\\ -\imageinh\\ 1-2\imageinh\\\end{svector}}$, und + ${\mathbf{v}_{3}=\begin{svector} \imageinh\\ 1-\imageinh\\ 2-\imageinh\\\end{svector}}$ über $K$ \fbox{nicht linear unabhängig}. \end{claim*} @@ -4822,9 +4825,9 @@ Dies ist zufälligerweise auch das Nullelement von $V$. \begin{mathe}[mc]{rcl} A &:= &\begin{matrix}{ccc} - 1 &1+\imageinh &\imageinh\\ - \imageinh &-\imageinh &1-\imageinh\\ - 0 &1-2\imageinh &2-\imageinh\\ + 1 &1+\imageinh &\imageinh\\ + \imageinh &-\imageinh &1-\imageinh\\ + 0 &1-2\imageinh &2-\imageinh\\ \end{matrix} \end{mathe} @@ -4838,9 +4841,9 @@ Dies ist zufälligerweise auch das Nullelement von $V$. \begin{mathe}[mc]{c} \begin{matrix}{ccc} - 1 &1+\imageinh &\imageinh\\ - 0 &2+\imageinh &1+2\imageinh\\ - 0 &1-2\imageinh &2-\imageinh\\ + 1 &1+\imageinh &\imageinh\\ + 0 &2+\imageinh &1+2\imageinh\\ + 0 &1-2\imageinh &2-\imageinh\\ \end{matrix}\\ \end{mathe} @@ -4850,9 +4853,9 @@ Dies ist zufälligerweise auch das Nullelement von $V$. \begin{mathe}[mc]{c} \begin{matrix}{ccc} - \boxed{1} &1+\imageinh &\imageinh\\ - 0 &\boxed{2+\imageinh} &1+2\imageinh\\ - 0 &0 &0\\ + \boxed{1} &1+\imageinh &\imageinh\\ + 0 &\boxed{2+\imageinh} &1+2\imageinh\\ + 0 &0 &0\\ \end{matrix}\\ \end{mathe} \end{algorithm} @@ -4868,9 +4871,9 @@ Dies ist zufälligerweise auch das Nullelement von $V$. \begin{claim*} Sei $K=\reell$. Dann sind - ${\mathbf{v}_{1}=\begin{svector}1\\0\\0\\1\\0\\0\\\end{svector}}$, - ${\mathbf{v}_{2}=\begin{svector}1\\1\\0\\-1\\1\\-2\\\end{svector}}$, und - ${\mathbf{v}_{3}=\begin{svector}0\\1\\1\\-1\\2\\-1\\\end{svector}}$ + ${\mathbf{v}_{1}=\begin{svector} 1\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\\\end{svector}}$, + ${\mathbf{v}_{2}=\begin{svector} 1\\ 1\\ 0\\ -1\\ 1\\ -2\\\end{svector}}$, und + ${\mathbf{v}_{3}=\begin{svector} 0\\ 1\\ 1\\ -1\\ 2\\ -1\\\end{svector}}$ über $K$ \fbox{linear unabhängig}. \end{claim*} @@ -4879,12 +4882,12 @@ Dies ist zufälligerweise auch das Nullelement von $V$. \begin{mathe}[mc]{rcl} A &:= &\begin{smatrix} - 1&1&0\\ - 0&1&1\\ - 0&0&1\\ - 1&-1&-1\\ - 0&1&2\\ - 0&-2&-1\\ + 1 &1 &0\\ + 0 &1 &1\\ + 0 &0 &1\\ + 1 &-1 &-1\\ + 0 &1 &2\\ + 0 &-2 &-1\\ \end{smatrix} \end{mathe} @@ -4898,12 +4901,12 @@ Dies ist zufälligerweise auch das Nullelement von $V$. \begin{mathe}[mc]{c} \begin{smatrix} - 1&1&0\\ - 0&1&1\\ - 0&0&1\\ - 0&2&1\\ - 0&1&2\\ - 0&-2&-1\\ + 1 &1 &0\\ + 0 &1 &1\\ + 0 &0 &1\\ + 0 &2 &1\\ + 0 &1 &2\\ + 0 &-2 &-1\\ \end{smatrix}\\ \end{mathe} @@ -4913,12 +4916,12 @@ Dies ist zufälligerweise auch das Nullelement von $V$. \begin{mathe}[mc]{c} \begin{smatrix} - 1&1&0\\ - 0&1&1\\ - 0&-2&-1\\ - 0&2&1\\ - 0&1&2\\ - 0&0&1\\ + 1 &1 &0\\ + 0 &1 &1\\ + 0 &-2 &-1\\ + 0 &2 &1\\ + 0 &1 &2\\ + 0 &0 &1\\ \end{smatrix}\\ \end{mathe} @@ -4931,12 +4934,12 @@ Dies ist zufälligerweise auch das Nullelement von $V$. \begin{mathe}[mc]{c} \begin{smatrix} - 1&1&0\\ - 0&1&1\\ - 0&0&1\\ - 0&0&1\\ - 0&0&1\\ - 0&0&1\\ + 1 &1 &0\\ + 0 &1 &1\\ + 0 &0 &1\\ + 0 &0 &1\\ + 0 &0 &1\\ + 0 &0 &1\\ \end{smatrix}\\ \end{mathe} @@ -4949,12 +4952,12 @@ Dies ist zufälligerweise auch das Nullelement von $V$. \begin{mathe}[mc]{c} \begin{smatrix} - 1&1&0\\ - 0&1&1\\ - 0&0&1\\ - 0&0&0\\ - 0&0&0\\ - 0&0&0\\ + 1 &1 &0\\ + 0 &1 &1\\ + 0 &0 &1\\ + 0 &0 &0\\ + 0 &0 &0\\ + 0 &0 &0\\ \end{smatrix}\\ \end{mathe} \end{algorithm} @@ -5042,14 +5045,14 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. und betrachte die Vektoren \begin{mathe}[mc]{rclqrcl} - \mathbf{v}_{1}=\mathbf{v}_{2}=\ldots=\mathbf{v}_{n-1} &:= &\begin{svector}1\\0\\\end{svector} - &\mathbf{v}_{n} &:= &\begin{svector}0\\1\\\end{svector}\\ + \mathbf{v}_{1}=\mathbf{v}_{2}=\ldots=\mathbf{v}_{n-1} &:= &\begin{svector} 1\\ 0\\\end{svector} + &\mathbf{v}_{n} &:= &\begin{svector} 0\\ 1\\\end{svector}\\ \end{mathe} Dann gilt $\mathbf{v}_{n}\notin\vectorspacespan(\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\ldots,\mathbf{v}_{n-1})$, weil $\vectorspacespan(\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\ldots,\mathbf{v}_{n-1}) =\vectorspacespan(\mathbf{v}_{1}) - =\{\begin{svector}t\\0\\\end{svector}\mid t\in K\}\notni \begin{svector}0\\1\\\end{svector}$. + =\{\begin{svector} t\\ 0\\\end{svector}\mid t\in K\}\notni \begin{svector} 0\\ 1\\\end{svector}$. Andererseits sind die $n-1\geq 2$ Vektoren, $\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\ldots,\mathbf{v}_{n}$ per Wahl nicht linear unabhängig (weil die alle gleich sind). @@ -5076,9 +5079,9 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. Sei $V=K^{2}$ und betrachte \begin{mathe}[mc]{rclqrclqrcl} - \mathbf{v}_{1} &:= &\begin{svector}0\\1\\\end{svector}, - &\mathbf{v}_{2} &:= &\begin{svector}1\\0\\\end{svector}, - &\mathbf{v}_{3} &:= &\begin{svector}1\\1\\\end{svector}.\\ + \mathbf{v}_{1} &:= &\begin{svector} 0\\ 1\\\end{svector}, + &\mathbf{v}_{2} &:= &\begin{svector} 1\\ 0\\\end{svector}, + &\mathbf{v}_{3} &:= &\begin{svector} 1\\ 1\\\end{svector}.\\ \end{mathe} Es ist einfach zu sehen, dass die echten Teilsysteme @@ -5204,7 +5207,7 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. &\Longleftrightarrow &\underbrace{ \begin{matrix}{cccc} - 1 &-1 &-2 &2\\ + 1 &-1 &-2 &2\\ \end{matrix} }_{=:A_{1}} \mathbf{x}=\zerovector\\ @@ -5214,7 +5217,7 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. &\Longleftrightarrow &\underbrace{ \begin{matrix}{cccc} - 1 &-1 &-1 &-1\\ + 1 &-1 &-1 &-1\\ \end{matrix} }_{=:A_{2}} \mathbf{x}=\zerovector\\ @@ -5227,8 +5230,8 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. &\Longleftrightarrow &\underbrace{ \begin{matrix}{cccc} - 1 &-1 &-2 &2\\ - 1 &-1 &-1 &-1\\ + 1 &-1 &-2 &2\\ + 1 &-1 &-1 &-1\\ \end{matrix} }_{=:A_{3}} \mathbf{x}=\zerovector\\ @@ -5247,7 +5250,7 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rcl} A_{1} &= &\begin{matrix}{cccc} - 1 &-1 &-2 &2\\ + 1 &-1 &-2 &2\\ \end{matrix}\\ \end{mathe} @@ -5266,13 +5269,13 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rcl} x_{2}:=1,\,x_{3}:=0,\,x_{4}:=0 &\Longrightarrow - &\mathbf{x}=\begin{svector}1\\1\\0\\0\\\end{svector},\\ + &\mathbf{x}=\begin{svector} 1\\ 1\\ 0\\ 0\\\end{svector},\\ x_{2}:=0,\,x_{3}:=1,\,x_{4}:=0 &\Longrightarrow - &\mathbf{x}=\begin{svector}2\\0\\1\\0\\\end{svector},\\ + &\mathbf{x}=\begin{svector} 2\\ 0\\ 1\\ 0\\\end{svector},\\ x_{2}:=0,\,x_{3}:=0,\,x_{4}:=1 &\Longrightarrow - &\mathbf{x}=\begin{svector}-2\\0\\0\\1\\\end{svector}.\\ + &\mathbf{x}=\begin{svector} -2\\ 0\\ 0\\ 1\\\end{svector}.\\ \end{mathe} \end{algorithm} @@ -5283,9 +5286,9 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. &= &\{\mathbf{x}\in V\mid A_{1}\mathbf{x}=\zerovector\} &= &\vectorspacespan\underbrace{ \left\{ - \begin{svector}1\\1\\0\\0\\\end{svector}, - \begin{svector}2\\0\\1\\0\\\end{svector}, - \begin{svector}-2\\0\\0\\1\\\end{svector} + \begin{svector} 1\\ 1\\ 0\\ 0\\\end{svector}, + \begin{svector} 2\\ 0\\ 1\\ 0\\\end{svector}, + \begin{svector} -2\\ 0\\ 0\\ 1\\\end{svector} \right\} }_{=:B_{1}}\\ \end{mathe} @@ -5297,7 +5300,7 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rcl} A_{2} &= &\begin{matrix}{cccc} - 1 &-1 &-2 &2\\ + 1 &-1 &-2 &2\\ \end{matrix}\\ \end{mathe} @@ -5314,13 +5317,13 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rcl} x_{2}:=1,\,x_{3}:=0,\,x_{4}:=0 &\Longrightarrow - &\mathbf{x}=\begin{svector}1\\1\\0\\0\\\end{svector},\\ + &\mathbf{x}=\begin{svector} 1\\ 1\\ 0\\ 0\\\end{svector},\\ x_{2}:=0,\,x_{3}:=1,\,x_{4}:=0 &\Longrightarrow - &\mathbf{x}=\begin{svector}1\\0\\1\\0\\\end{svector},\\ + &\mathbf{x}=\begin{svector} 1\\ 0\\ 1\\ 0\\\end{svector},\\ x_{2}:=0,\,x_{3}:=0,\,x_{4}:=1 &\Longrightarrow - &\mathbf{x}=\begin{svector}1\\0\\0\\1\\\end{svector}.\\ + &\mathbf{x}=\begin{svector} 1\\ 0\\ 0\\ 1\\\end{svector}.\\ \end{mathe} \end{algorithm} @@ -5331,9 +5334,9 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. &= &\{\mathbf{x}\in V\mid A_{2}\mathbf{x}=\zerovector\} &= &\vectorspacespan\underbrace{ \left\{ - \begin{svector}1\\1\\0\\0\\\end{svector}, - \begin{svector}1\\0\\1\\0\\\end{svector}, - \begin{svector}1\\0\\0\\1\\\end{svector} + \begin{svector} 1\\ 1\\ 0\\ 0\\\end{svector}, + \begin{svector} 1\\ 0\\ 1\\ 0\\\end{svector}, + \begin{svector} 1\\ 0\\ 0\\ 1\\\end{svector} \right\} }_{=:B_{2}}\\ \end{mathe} @@ -5346,12 +5349,12 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rclcl} A_{3} &= &\begin{matrix}{cccc} - 1 &-1 &-2 &2\\ - 1 &-1 &-1 &-1\\ + 1 &-1 &-2 &2\\ + 1 &-1 &-1 &-1\\ \end{matrix} &\rightsquigarrow &\begin{matrix}{cccc} - 1 &-1 &-2 &2\\ - 0 &0 &1 &-3\\ + 1 &-1 &-2 &2\\ + 0 &0 &1 &-3\\ \end{matrix}\\ \end{mathe} @@ -5371,10 +5374,10 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rcl} x_{2}:=1,\,x_{4}:=0 &\Longrightarrow - &\mathbf{x}=\begin{svector}1\\1\\0\\0\\\end{svector},\\ + &\mathbf{x}=\begin{svector} 1\\ 1\\ 0\\ 0\\\end{svector},\\ x_{2}:=0,\,x_{4}:=1 &\Longrightarrow - &\mathbf{x}=\begin{svector}4\\0\\3\\1\\\end{svector}.\\ + &\mathbf{x}=\begin{svector} 4\\ 0\\ 3\\ 1\\\end{svector}.\\ \end{mathe} gegeben. @@ -5387,8 +5390,8 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. &= &\{\mathbf{x}\in V\mid A_{3}\mathbf{x}=\zerovector\} &= &\vectorspacespan\underbrace{ \left\{ - \begin{svector}1\\1\\0\\0\\\end{svector}, - \begin{svector}4\\0\\3\\1\\\end{svector} + \begin{svector} 1\\ 1\\ 0\\ 0\\\end{svector}, + \begin{svector} 4\\ 0\\ 3\\ 1\\\end{svector} \right\} }_{=:B_{3}}\\ \end{mathe} @@ -5403,21 +5406,21 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rcl} U_{1}+U_{2} &= &\vectorspacespan\big\{ - \begin{svector}1\\1\\0\\0\\\end{svector}, - \begin{svector}2\\0\\1\\0\\\end{svector}, - \begin{svector}-2\\0\\0\\1\\\end{svector} + \begin{svector} 1\\ 1\\ 0\\ 0\\\end{svector}, + \begin{svector} 2\\ 0\\ 1\\ 0\\\end{svector}, + \begin{svector} -2\\ 0\\ 0\\ 1\\\end{svector} \big\} +\vectorspacespan\big\{ - \begin{svector}1\\1\\0\\0\\\end{svector}, - \begin{svector}1\\0\\1\\0\\\end{svector}, - \begin{svector}1\\0\\0\\1\\\end{svector} + \begin{svector} 1\\ 1\\ 0\\ 0\\\end{svector}, + \begin{svector} 1\\ 0\\ 1\\ 0\\\end{svector}, + \begin{svector} 1\\ 0\\ 0\\ 1\\\end{svector} \big\}\\ &= &\vectorspacespan\big\{ - \begin{svector}1\\1\\0\\0\\\end{svector}, - \begin{svector}2\\0\\1\\0\\\end{svector}, - \begin{svector}-2\\0\\0\\1\\\end{svector} - \begin{svector}1\\0\\1\\0\\\end{svector}, - \begin{svector}1\\0\\0\\1\\\end{svector} + \begin{svector} 1\\ 1\\ 0\\ 0\\\end{svector}, + \begin{svector} 2\\ 0\\ 1\\ 0\\\end{svector}, + \begin{svector} -2\\ 0\\ 0\\ 1\\\end{svector} + \begin{svector} 1\\ 0\\ 1\\ 0\\\end{svector}, + \begin{svector} 1\\ 0\\ 0\\ 1\\\end{svector} \big\}.\\ \end{mathe} @@ -5435,10 +5438,10 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{matrix}{ccccc} - 1 &2 &-2 &1 &1\\ - 1 &0 &0 &0 &0\\ - 0 &1 &0 &1 &0\\ - 0 &0 &1 &0 &1\\ + 1 &2 &-2 &1 &1\\ + 1 &0 &0 &0 &0\\ + 0 &1 &0 &1 &0\\ + 0 &0 &1 &0 &1\\ \end{matrix}\\ \end{mathe} @@ -5448,10 +5451,10 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{matrix}{ccccc} - 1 &2 &-2 &1 &1\\ - 0 &2 &-2 &1 &1\\ - 0 &1 &0 &1 &0\\ - 0 &0 &1 &0 &1\\ + 1 &2 &-2 &1 &1\\ + 0 &2 &-2 &1 &1\\ + 0 &1 &0 &1 &0\\ + 0 &0 &1 &0 &1\\ \end{matrix}\\ \end{mathe} @@ -5461,10 +5464,10 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{matrix}{ccccc} - 1 &2 &-2 &1 &1\\ - 0 &2 &-2 &1 &1\\ - 0 &0 &2 &1 &-1\\ - 0 &0 &1 &0 &1\\ + 1 &2 &-2 &1 &1\\ + 0 &2 &-2 &1 &1\\ + 0 &0 &2 &1 &-1\\ + 0 &0 &1 &0 &1\\ \end{matrix}\\ \end{mathe} @@ -5474,10 +5477,10 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{matrix}{ccccc} - 1 &2 &-2 &1 &1\\ - 0 &2 &-2 &1 &1\\ - 0 &0 &2 &1 &-1\\ - 0 &0 &0 &1 &-3\\ + 1 &2 &-2 &1 &1\\ + 0 &2 &-2 &1 &1\\ + 0 &0 &2 &1 &-1\\ + 0 &0 &0 &1 &-3\\ \end{matrix}\\ \end{mathe} @@ -5489,10 +5492,10 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{c} \left\{ - \begin{svector}1\\1\\0\\0\\\end{svector}, - \begin{svector}2\\0\\1\\0\\\end{svector}, - \begin{svector}-2\\0\\0\\1\\\end{svector} - \begin{svector}1\\0\\1\\0\\\end{svector} + \begin{svector} 1\\ 1\\ 0\\ 0\\\end{svector}, + \begin{svector} 2\\ 0\\ 1\\ 0\\\end{svector}, + \begin{svector} -2\\ 0\\ 0\\ 1\\\end{svector} + \begin{svector} 1\\ 0\\ 1\\ 0\\\end{svector} \right\}\\ \end{mathe} @@ -5517,10 +5520,10 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{c} \left\{ - \begin{svector}1\\0\\0\\0\\\end{svector}, - \begin{svector}0\\1\\0\\0\\\end{svector}, - \begin{svector}0\\0\\1\\0\\\end{svector}, - \begin{svector}0\\0\\0\\1\\\end{svector} + \begin{svector} 1\\ 0\\ 0\\ 0\\\end{svector}, + \begin{svector} 0\\ 1\\ 0\\ 0\\\end{svector}, + \begin{svector} 0\\ 0\\ 1\\ 0\\\end{svector}, + \begin{svector} 0\\ 0\\ 0\\ 1\\\end{svector} \right\}\\ \end{mathe} @@ -5850,8 +5853,8 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. mit der kanonischen Basis \begin{mathe}[mc]{cqc} - \mathbf{v}_{1}:=\begin{svector}1\\0\\\end{svector}, - &\mathbf{v}_{2}:=\begin{svector}0\\1\\\end{svector}.\\ + \mathbf{v}_{1}:=\begin{svector} 1\\ 0\\\end{svector}, + &\mathbf{v}_{2}:=\begin{svector} 0\\ 1\\\end{svector}.\\ \end{mathe} \Cref{claim:2-3:ueb:8:ex:3} zufolge ist @@ -5859,8 +5862,8 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{cqcqcqc} \mathbf{v}_{1}, &\mathbf{v}_{2}, - &\mathbf{v}_{3}:=\imageinh\cdot\mathbf{v}_{1} = \begin{svector}\imageinh\\0\\\end{svector}, - &\mathbf{v}_{4}:=\imageinh\cdot\mathbf{v}_{2} = \begin{svector}0\\\imageinh\\\end{svector}.\\ + &\mathbf{v}_{3}:=\imageinh\cdot\mathbf{v}_{1} = \begin{svector} \imageinh\\ 0\\\end{svector}, + &\mathbf{v}_{4}:=\imageinh\cdot\mathbf{v}_{2} = \begin{svector} 0\\ \imageinh\\\end{svector}.\\ \end{mathe} eine Basis für $W:=\kmplx^{2}$, wenn dies als $\reell$-Vektorraum betrachtet wird. @@ -5884,11 +5887,11 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. Seien \begin{mathe}[mc]{cqcqcqcqc} - u_{1} := \begin{svector}1\\2\\-1\\1\\\end{svector}, - &u_{2} := \begin{svector}-1\\-2\\1\\2\\\end{svector}, - &v_{1} := \begin{svector}1\\2\\-1\\-2\\\end{svector}, - &v_{2} := \begin{svector}-1\\3\\0\\-2\\\end{svector}, - &v_{3} := \begin{svector}2\\-1\\-1\\1\\\end{svector}.\\ + u_{1} := \begin{svector} 1\\ 2\\ -1\\ 1\\\end{svector}, + &u_{2} := \begin{svector} -1\\ -2\\ 1\\ 2\\\end{svector}, + &v_{1} := \begin{svector} 1\\ 2\\ -1\\ -2\\\end{svector}, + &v_{2} := \begin{svector} -1\\ 3\\ 0\\ -2\\\end{svector}, + &v_{3} := \begin{svector} 2\\ -1\\ -1\\ 1\\\end{svector}.\\ \end{mathe} Vektoren in $\reell^{4}$ und setze @@ -5918,10 +5921,10 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. v_{1}\:v_{2}\:v_{3}\:u_{1}\:u_{2} \right) &= &\begin{smatrix} - 1&-1&2&1&-1\\ - 2&3&-1&2&-2\\ - -1&0&-1&-1&1\\ - -2&-2&1&1&2\\ + 1 &-1 &2 &1 &-1\\ + 2 &3 &-1 &2 &-2\\ + -1 &0 &-1 &-1 &1\\ + -2 &-2 &1 &1 &2\\ \end{smatrix}\\ \end{mathe} @@ -5937,10 +5940,10 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{matrix}{ccccc} - 1 &-1 &2 &1 &-1\\ - 0 &5 &-5 &0 &0\\ - 0 &-1 &1 &0 &0\\ - 0 &-4 &5 &3 &0\\ + 1 &-1 &2 &1 &-1\\ + 0 &5 &-5 &0 &0\\ + 0 &-1 &1 &0 &0\\ + 0 &-4 &5 &3 &0\\ \end{matrix}.\\ \end{mathe} @@ -5952,10 +5955,10 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{matrix}{ccccc} - 1 &-1 &2 &1 &-1\\ - 0 &5 &-5 &0 &0\\ - 0 &0 &0 &0 &0\\ - 0 &0 &1 &3 &0\\ + 1 &-1 &2 &1 &-1\\ + 0 &5 &-5 &0 &0\\ + 0 &0 &0 &0 &0\\ + 0 &0 &1 &3 &0\\ \end{matrix}.\\ \end{mathe} @@ -5965,10 +5968,10 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{matrix}{ccccc} - \boxed{1} &-1 &2 &1 &-1\\ - 0 &\boxed{5} &-5 &0 &0\\ - 0 &0 &\boxed{1} &3 &0\\ - 0 &0 &0 &0 &0\\ + \boxed{1} &-1 &2 &1 &-1\\ + 0 &\boxed{5} &-5 &0 &0\\ + 0 &0 &\boxed{1} &3 &0\\ + 0 &0 &0 &0 &0\\ \end{matrix}.\\ \end{mathe} \end{algorithm} @@ -6047,10 +6050,10 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. u_{1}\:u_{2}\:v_{1}\:v_{2}\:v_{3} \right) &= &\begin{smatrix} - 1&-1&1&-1&2\\ - 2&-2&2&3&-1\\ - -1&1&-1&0&-1\\ - 1&2&-2&-2&1\\ + 1 &-1 &1 &-1 &2\\ + 2 &-2 &2 &3 &-1\\ + -1 &1 &-1 &0 &-1\\ + 1 &2 &-2 &-2 &1\\ \end{smatrix}.\\ \end{mathe} @@ -6067,10 +6070,10 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{matrix}{ccccc} - 1 &-1 &1 &-1 &2\\ - 0 &0 &0 &5 &-5\\ - 0 &0 &0 &-1 &1\\ - 0 &3 &-3 &-1 &-1\\ + 1 &-1 &1 &-1 &2\\ + 0 &0 &0 &5 &-5\\ + 0 &0 &0 &-1 &1\\ + 0 &3 &-3 &-1 &-1\\ \end{matrix}.\\ \end{mathe} @@ -6080,10 +6083,10 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{matrix}{ccccc} - 1 &-1 &1 &-1 &2\\ - 0 &3 &-3 &-1 &-1\\ - 0 &0 &0 &-1 &1\\ - 0 &0 &0 &5 &-5\\ + 1 &-1 &1 &-1 &2\\ + 0 &3 &-3 &-1 &-1\\ + 0 &0 &0 &-1 &1\\ + 0 &0 &0 &5 &-5\\ \end{matrix}.\\ \end{mathe} @@ -6093,10 +6096,10 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{matrix}{ccccc} - \boxed{1} &-1 &1 &-1 &2\\ - 0 &\boxed{3} &-3 &-1 &-1\\ - 0 &0 &0 &\boxed{-1} &1\\ - 0 &0 &0 &0 &0\\ + \boxed{1} &-1 &1 &-1 &2\\ + 0 &\boxed{3} &-3 &-1 &-1\\ + 0 &0 &0 &\boxed{-1} &1\\ + 0 &0 &0 &0 &0\\ \end{matrix}.\\ \end{mathe} \end{algorithm} @@ -6133,9 +6136,9 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. Seien \begin{mathe}[mc]{cqcqcqcqc} - \mathbf{v}_{1} := \begin{svector}1\\-2\\3\\1\\\end{svector}, - &\mathbf{v}_{2} := \begin{svector}2\\-5\\7\\0\\\end{svector}, - &\mathbf{v}_{3} := \begin{svector}-2\\6\\-9\\-3\\\end{svector}.\\ + \mathbf{v}_{1} := \begin{svector} 1\\ -2\\ 3\\ 1\\\end{svector}, + &\mathbf{v}_{2} := \begin{svector} 2\\ -5\\ 7\\ 0\\\end{svector}, + &\mathbf{v}_{3} := \begin{svector} -2\\ 6\\ -9\\ -3\\\end{svector}.\\ \end{mathe} Vektoren in $\reell^{4}$ und sei $\phi:\reell^{3}\to\reell^{4}$ @@ -6161,10 +6164,10 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rcl} A &:= &\begin{smatrix} - 1&2&-2\\ - -2&-5&6\\ - 3&7&-9\\ - 1&0&-3\\ + 1 &2 &-2\\ + -2 &-5 &6\\ + 3 &7 &-9\\ + 1 &0 &-3\\ \end{smatrix} \end{mathe} @@ -6187,10 +6190,10 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{matrix}{ccccc} - 1 &2 &-2\\ - 0 &-1 &2\\ - 0 &1 &-3\\ - 0 &-2 &-1\\ + 1 &2 &-2\\ + 0 &-1 &2\\ + 0 &1 &-3\\ + 0 &-2 &-1\\ \end{matrix}.\\ \end{mathe} @@ -6202,10 +6205,10 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{matrix}{ccccc} - 1 &2 &-2\\ - 0 &-1 &2\\ - 0 &0 &-1\\ - 0 &0 &-5\\ + 1 &2 &-2\\ + 0 &-1 &2\\ + 0 &0 &-1\\ + 0 &0 &-5\\ \end{matrix}.\\ \end{mathe} @@ -6215,10 +6218,10 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{matrix}{ccccc} - \boxed{1} &2 &-2\\ - 0 &\boxed{-1} &2\\ - 0 &0 &\boxed{-1}\\ - 0 &0 &0\\ + \boxed{1} &2 &-2\\ + 0 &\boxed{-1} &2\\ + 0 &0 &\boxed{-1}\\ + 0 &0 &0\\ \end{matrix}.\\ \end{mathe} @@ -6349,6 +6352,773 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. ist dies zur Injektivität von $\psi\circ\phi$ äquivalent. \end{proof} +%% ******************************************************************************** +%% FILE: body/uebung/ueb10.tex +%% ******************************************************************************** + +\setcounternach{chapter}{10} +\chapter[Woche 10]{Woche 10} + \label{ueb:10} + +\textbf{ACHTUNG.} +Diese Lösungen dienen \emph{nicht} als Musterlösungen sondern eher als Referenz. +Hier wird eingehender gearbeitet, als generell verlangt wird. +Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche vergleichen kann. + +%% AUFGABE 10-1 +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{Aufgabe} +\section[Aufgabe 1]{} + \label{ueb:10:ex:1} +\let\sectionname\altsectionname + + Seien $V,W,X$ Vektorräume über einem Körper $K$ + und seien ${\phi:V\to W}$ und ${\psi:W\to X}$ linear. + Des Weiteren sei angenommen, $V,W,X$ seien endlich dimensional. + + \begin{enumerate}{\bfseries (a)} + %% AUFGABE 10-1(a) + \item\voritemise + \begin{schattierteboxdunn} + \begin{claim*} + $\rank(\psi\circ\phi)\leq\min\{\rank(\psi),\rank(\phi)\}$. + \end{claim*} + \end{schattierteboxdunn} + + \begin{proof} + Sei $d=\rank(\psi\circ\phi)=\dim(\range(\psi\circ\phi))$. + \textbf{Zu zeigen:} + ${d\leq\rank(\psi)\textoverset{Defn}{=}\dim(\range(\psi))}$ + und + ${d\leq\rank(\phi)\textoverset{Defn}{=}\dim(\range(\phi))}$. + Da $d=\dim(\range(\psi\circ\phi))$, existiert eine Basis + + \begin{mathe}[mc]{c} + (x_{1},x_{2},\ldots,x_{d})\subseteq\range(\psi\circ\phi)\\ + \end{mathe} + + für $\range(\psi\circ\phi)$. + Insbesondere sind $x_{1},x_{2},\ldots,x_{d}$ linear unabhängig. + Da jedes $x_{i}\in\range(\psi\circ\phi)$, existieren $v_{i}\in V$, + so dass $(\psi\circ\phi)(v_{i})=x_{i}$ für alle ${i\in\{1,2,\ldots,d\}}$. + Setze außerdem $w_{i}:=\phi(v_{i})$ für jedes ${i\in\{1,2,\ldots,d\}}$. + Darum $x_{i}=(\psi\circ\phi)(v_{i})=\psi(\phi(v_{i}))=\psi(w_{i})$ für alle ${i\in\{1,2,\ldots,d\}}$. + + Da ${x_{i}=\psi(w_{i})\in\range(\psi)}$ für alle ${i\in\{1,2,\ldots,d\}}$, + folgt aus der linearen Unabhängigkeit von + ${(x_{1},x_{2},\ldots,x_{d})}$, + dass \fbox{$d\leq\dim(\range(\psi))$} + (siehe \cite[Satz~5.3.4]{sinn2020}). + + Es bleibt noch zu zeigen, dass $d\leq\rank(\phi)$ gilt. + Da $w_{i}\in\range(\phi)$ für alle ${i\in\{1,2,\ldots,d\}}$, + reicht es aus wie oben zu zeigen, + dass ${(w_{1},w_{2},\ldots,w_{d})}$ linear unabhängig sind. + Seien also $c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}\in K$ beliebig + mit $\sum_{i=1}^{d}c_{i}w_{i}=\zerovector$. + \textbf{Zu zeigen:} $c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}=0_{K}$. + Es gilt nun + + \begin{mathe}[mc]{rclql} + \sum_{i=1}^{d}c_{i}x_{i} + &= &\sum_{i=1}^{d}c_{i}\psi(w_{i}) + &\text{(siehe oben)}\\ + &= &\psi(\sum_{i=1}^{d}c_{i}w_{i}) + &\text{wegen Linearität}\\ + &= &\psi(\zerovector) + &\text{per Voraussetzung}\\ + &= &\zerovector + &\text{(siehe \cite[Lemma~6.1.2]{sinn2020})}.\\ + \end{mathe} + + Wegen linearer Unabhängigkeit von ${(x_{1},x_{2},\ldots,x_{d})}$, + folgt hieraus, dass $c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}=0_{K}$. + Damit haben wir die lineare Unabhängigkeit von ${(w_{1},w_{2},\ldots,w_{d})}$ bewiesen. + Da $w_{i}\in\range(\phi)$ für alle ${i\in\{1,2,\ldots,d\}}$, + erschließt sich aus der linearen Unabhängigkeit + \fbox{$d\leq\dim(\range(\phi))$} + (siehe \cite[Satz~5.3.4]{sinn2020}). + \end{proof} + %% AUFGABE 10-1(b) + \item\voritemise + \begin{schattierteboxdunn} + \begin{claim*} + Falls $\psi$ injektiv ist, + so gilt $\rank(\psi\circ\phi)=\rank(\phi)$. + \end{claim*} + \end{schattierteboxdunn} + + \begin{proof} + Laut Teil (a) wissen wir bereits, dass $\rank(\psi\circ\phi)\leq\rank(\phi)$. + Es bleibt \textbf{zu zeigen}, dass $\rank(\psi\circ\phi)\geq\rank(\phi)$. + Sei $d:=\rank(\phi)\textoverset{Defn}{=}\rank(\range(\phi))$. + Dann existiert eine Basis + + \begin{mathe}[mc]{c} + (w_{1},w_{2},\ldots,w_{d})\subseteq\range(\phi)\\ + \end{mathe} + + für $\range(\phi)$. + Da jedes $w_{i}\in\range(\phi)$, existieren $v_{i}\in V$, + so dass $\phi(v_{i})=w_{i}$ für alle ${i\in\{1,2,\ldots,d\}}$. + Setze außerdem + $x_{i}:=\psi(w_{i})=\psi(\phi(v_{i}))=(\psi\circ\phi)(v_{i})\in\range(\psi\circ\phi)$ + für jedes ${i\in\{1,2,\ldots,d\}}$. + + Wir zeigen nun, dass + $(x_{1},x_{2},\ldots,x_{d})$ + linear unabhängig ist. + Seien also $c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}\in K$ beliebig + mit $\sum_{i=1}^{d}c_{i}x_{i}=\zerovector$. + \textbf{Zu zeigen:} $c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}=0_{K}$. + Es gilt nun + + \begin{mathe}[mc]{rclql} + \psi(\sum_{i=1}^{d}c_{i}w_{i}) + &= &\sum_{i=1}^{d}c_{i}\psi(w_{i}) + &\text{wegen Linearität}\\ + &= &\sum_{i=1}^{d}c_{i}x_{i} + &\text{per Konstruktion}\\ + &= &\zerovector + &\text{per Voraussetzung}.\\ + \end{mathe} + + Darum $\sum_{i=1}^{d}c_{i}w_{i}\in\ker(\psi)=\{\zerovector\}$ + wegen \uline{Injektivität} von $\psi$ (siehe \cite[Lemma~6.1.4]{sinn2020}). + Also $\sum_{i=1}^{d}c_{i}w_{i}=\zerovector$, + woraus sich ergibt, dass $c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}=0_{K}$, + weil ${(w_{1},w_{2},\ldots,w_{d})}$ linear unabhängig ist. + Darum haben wir die lineare Unabhängigkeit von $(x_{1},x_{2},\ldots,x_{d})$ bewiesen. + + Da $(x_{1},x_{2},\ldots,x_{d})$ linear unabhängig ist + und $x_{i}\in\range(\psi\circ\phi)$ für alle ${i\in\{1,2,\ldots,d\}}$, + folgt \fbox{$% + d\leq\dim(\range(\psi\circ\phi)) + \textoverset{Defn}{=}\rank(\psi\circ\phi)% + $} + (siehe \cite[Satz~5.3.4]{sinn2020}). + \end{proof} + %% AUFGABE 10-1(c) + \item\voritemise + \begin{schattierteboxdunn} + \begin{claim*} + Falls $\phi$ surjektiv ist, + so gilt $\rank(\psi\circ\phi)=\rank(\psi)$. + \end{claim*} + \end{schattierteboxdunn} + + \begin{proof} + Es gilt + + \begin{mathe}[bc]{rcl} + \rank(\psi\circ\phi) + &\textoverset{Defn}{=} + &\dim(\range(\psi\circ\phi))\\ + &= &\dim((\psi\circ\phi)(V))\\ + &= &\dim(\psi(\phi(V)))\\ + &= &\dim(\psi(\range(\phi)))\\ + &= &\dim(\psi(W)), + \quad\text{da $\phi$ surjektiv ist}\\ + &= &\dim(\range(\psi))\\ + &\textoverset{Defn}{=} + &\rank(\psi).\\ + \end{mathe} + + \end{proof} + \end{enumerate} + +%% AUFGABE 10-2 +\clearpage +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{Aufgabe} +\section[Aufgabe 2]{} + \label{ueb:10:ex:2} +\let\sectionname\altsectionname + + Seien + + \begin{mathe}[mc]{ccccc} + v_{1} = \begin{vector} 2\\ 1\\\end{vector}, + &v_{2} = \begin{vector} -1\\ 1\\\end{vector}, + &w_{1} = \begin{vector} 1\\ 1\\ 0\\\end{vector}, + &w_{2} = \begin{vector} 1\\ -1\\ 2\\\end{vector}, + &w_{3} = \begin{vector} 0\\ 3\\ -1\\\end{vector}. + \end{mathe} + + Zuerst beoachten wir dass + $\cal{A}:=(v_{1},\,v_{2})$ + und + $\cal{B}:=(w_{1},\,w_{2},\,w_{3})$ + Basen für $\reell^{2}$ bzw. $\reell^{3}$: + + Setze + ${A:=(v_{1}\ v_{2})=\begin{smatrix} + 2 &-1\\ + 1 &1\\ + \end{smatrix}}$ + und + ${B:=(w_{1}\ w_{2}\ w_{3})=\begin{smatrix} + 1 &1 &0\\ + 1 &-1 &3\\ + 0 &2 &-1\\ + \end{smatrix}}$. + Anwendung des Gaußverfahrens liefert + + \begin{mathe}[mc]{rclcl} + A + &\xrightarrow{ + Z_{2}\mapsfrom 2\cdot Z_{2} - Z_{1} + } + & + \begin{matrix}{rr} + \boxed{2} &-1\\ + 0 &\boxed{3}\\ + \end{matrix} + \\ + B + &\xrightarrow{ + Z_{2}\mapsfrom Z_{2} - Z_{1} + } + & + \begin{matrix}{rrr} + 1 &1 &0\\ + 0 &-2 &3\\ + 0 &2 &-1\\ + \end{matrix} + &\xrightarrow{ + Z_{3}\mapsfrom Z_{3} + Z_{2} + } + & + \begin{matrix}{rrr} + \boxed{1} &1 &0\\ + 0 &\boxed{-2} &3\\ + 0 &0 &\boxed{2}\\ + \end{matrix} + \\ + \end{mathe} + + Darum gilt + ${\rank(A)=2=\dim(\reell^{2})}$ + und + ${\rank(B)=3=\dim(\reell^{3})}$, + woraus sich ergibt, + dass + $\cal{A}$ eine Basis für $\reell^{2}$ + und $\cal{B}$ eine Basis für $\reell^{3}$ + sind (vgl. \cite[Korollar~5.4.4]{sinn2020}). + + \begin{enumerate}{\bfseries (a)} + %% AUFGABE 10-2(a) + \item + Für $x\in\reell^{2}$ sei $\phi(x)\in\reell^{2}$ definiert durch + + \begin{mathe}[mc]{rcccccl} + \phi(x) + &= &\begin{vector} 2x_{1}\\ -x_{2}\\\end{vector} + &= &\begin{vector} 2\\ 0\\\end{vector}x_{1} + + \begin{vector} 0\\ -1\\\end{vector}x_{2} + &= &\underbrace{ + \begin{matrix}{rr} + 2 &0\\ + 0 &-1\\ + \end{matrix} + }_{=:C} + x.\\ + \end{mathe} + + Also gilt $\phi=\phi_{C}$. + Folglich gilt $M^{\cal{A}}_{\cal{A}}(\phi)=A^{-1}CA$. + Um dies zu berechnen betrachten wir das augmentierte System + $\left(A \vert CA\right)$ + und führen darauf das Gaußverfahren, bis die linke Hälfte wie die Identitätsmatrix aussieht. + Dann steht in der rechten Hälfte die Matrix $A^{-1}CA$. + Es gilt + + \begin{mathe}[mc]{rcccl} + CA &= &\begin{matrix}{rr} + 2 &0\\ + 0 &-1\\ + \end{matrix} \begin{matrix}{rr} + 2 &-1\\ + 1 &1\\ + \end{matrix} + &= & + \begin{matrix}{rr} + 4 &-2\\ + -1 &-1\\ + \end{matrix} + .\\ + \end{mathe} + + Und das augmentierte System, $\left(A \vert CA\right)$, wird wie folgt reduziert: + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \begin{matrix}{rr|rr} + 2 &-1 &4 &-2\\ + 1 &1 &-1 &-1\\ + \end{matrix} + &\xrightarrow{ + Z_{2}\mapsfrom 2\cdot Z_{2} - Z_{1} + } + & + \begin{matrix}{rr|rr} + 2 &-1 &4 &-2\\ + 0 &3 &-6 &0\\ + \end{matrix} + \\ + &\xrightarrow{ + Z_{1}\mapsfrom 3\cdot Z_{1} + Z_{2} + } + & + \begin{matrix}{rr|rr} + 6 &0 &6 &-6\\ + 0 &3 &-6 &0\\ + \end{matrix} + \\ + &\xrightarrow{ + \substack{ + Z_{1}\mapsfrom Z_{1}:6\\ + Z_{2}\mapsfrom Z_{2}:3\\ + } + } + & + \begin{matrix}{rr|rr} + 1 &0 &1 &-1\\ + 0 &1 &-2 &0\\ + \end{matrix} + .\\ + \end{mathe} + + Darum gilt $M^{\cal{A}}_{\cal{A}}(\phi)=A^{-1}CA=\boxed{\begin{matrix}{rr} + 1 &-1\\ + -2 &0\\ + \end{matrix}}$. + + %% AUFGABE 10-2(b) + \item + Für $x\in\reell^{2}$ sei $\phi(x)\in\reell^{3}$ definiert durch + + \begin{mathe}[mc]{rcccccl} + \phi(x) + &= &\begin{vector} x_{1}+x_{2}\\ 5x_{2}-x_{1}\\ 2x_{1}-4x_{2}\\\end{vector} + &= &\begin{vector} 1\\ -1\\ 2\\\end{vector}x_{1} + + \begin{vector} 1\\ 5\\ -4\\\end{vector}x_{2} + &= &\underbrace{ + \begin{matrix}{rr} + 1 &1\\ + -1 &5\\ + 2 &-4\\ + \end{matrix} + }_{=:C} + x.\\ + \end{mathe} + + Also gilt $\phi=\phi_{C}$. + Folglich gilt $M^{\cal{A}}_{\cal{B}}(\phi)=B^{-1}CA$. + Um dies zu berechnen betrachten wir das augmentierte System + $\left(B \vert CA\right)$ + und führen darauf das Gaußverfahren, bis die linke Hälfte wie die Identitätsmatrix aussieht. + Dann steht in der rechten Hälfte die Matrix $B^{-1}CA$. + Es gilt + + \begin{mathe}[mc]{rcccl} + CA &= &\begin{matrix}{rr} + 1 &1\\ + -1 &5\\ + 2 &-4\\ + \end{matrix} \begin{matrix}{rr} + 2 &-1\\ + 1 &1\\ + \end{matrix} + &= & + \begin{matrix}{rrr} + 3 &0\\ + 3 &6\\ + 0 &-6\\ + \end{matrix} + .\\ + \end{mathe} + + Und das augmentierte System, $\left(B \vert CA\right)$, wird wie folgt reduziert: + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \begin{matrix}{rrr|rr} + 1 &1 &0 &3 &0\\ + 1 &-1 &3 &3 &6\\ + 0 &2 &-1 &0 &-6\\ + \end{matrix} + &\xrightarrow{ + Z_{2}\mapsfrom Z_{1} - Z_{2} + } + & + \begin{matrix}{rrr|rr} + 1 &1 &0 &3 &0\\ + 0 &2 &-3 &0 &-6\\ + 0 &2 &-1 &0 &-6\\ + \end{matrix} + \\ + &\xrightarrow{ + \substack{ + Z_{1}\mapsfrom 2\cdot Z_{1}-Z_{2}\\ + Z_{3}\mapsfrom Z_{3}-Z_{2}\\ + } + } + & + \begin{matrix}{rrr|rr} + 2 &0 &3 &6 &6\\ + 0 &2 &-3 &0 &-6\\ + 0 &0 &2 &0 &0\\ + \end{matrix} + \\ + &\xrightarrow{ + \substack{ + Z_{1}\mapsfrom 2\cdot Z_{1} - 3\cdot Z_{3}\\ + Z_{2}\mapsfrom 2\cdot Z_{1} + 3\cdot Z_{3}\\ + } + } + & + \begin{matrix}{rrr|rr} + 4 &0 &0 &12 &12\\ + 0 &4 &0 &0 &-12\\ + 0 &0 &2 &0 &0\\ + \end{matrix} + \\ + &\xrightarrow{ + \substack{ + Z_{1}\mapsfrom Z_{1}:4\\ + Z_{2}\mapsfrom Z_{2}:4\\ + Z_{3}\mapsfrom Z_{3}:2\\ + } + } + & + \begin{matrix}{rrr|rr} + 1 &0 &0 &3 &3\\ + 0 &1 &0 &0 &-3\\ + 0 &0 &1 &0 &0\\ + \end{matrix} + .\\ + \end{mathe} + + Darum gilt $M^{\cal{A}}_{\cal{B}}(\phi)=B^{-1}CA=\boxed{\begin{matrix}{rr} + 3 &3\\ + 0 &-3\\ + 0 &0\\ + \end{matrix}}$. + + \item + Für $x\in\reell^{3}$ sei $\phi(x)\in\reell^{2}$ definiert durch + + \begin{mathe}[mc]{rcccccl} + \phi(x) + &= &\begin{vector} 2x_{2}\\ 3x_{1}-4x_{3}\\\end{vector} + &= &\begin{vector} 0\\ 3\\\end{vector}x_{1} + + \begin{vector} 2\\ 0\\\end{vector}x_{2} + + \begin{vector} 0\\ -4\\\end{vector}x_{3} + &= &\underbrace{ + \begin{matrix}{rrr} + 0 &2 &0\\ + 3 &0 &-4\\ + \end{matrix} + }_{=:C} + x.\\ + \end{mathe} + + Also gilt $\phi=\phi_{C}$. + Folglich gilt $M^{\cal{B}}_{\cal{A}}(\phi)=A^{-1}CB$. + Um dies zu berechnen betrachten wir das augmentierte System + $\left(A \vert CB\right)$ + und führen darauf das Gaußverfahren, bis die linke Hälfte wie die Identitätsmatrix aussieht. + Dann steht in der rechten Hälfte die Matrix $A^{-1}CB$. + Es gilt + + \begin{mathe}[mc]{rcccl} + CB &= &\begin{matrix}{rrr} + 0 &2 &0\\ + 3 &0 &-4\\ + \end{matrix} \begin{matrix}{rrr} + 1 &1 &0\\ + 1 &-1 &3\\ + 0 &2 &-1\\ + \end{matrix} + &= & + \begin{matrix}{rrr} + 2 &-2 &6\\ + 3 &-5 &4\\ + \end{matrix} + .\\ + \end{mathe} + + Und das augmentierte System, $\left(A \vert CB\right)$, wird wie folgt reduziert: + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \begin{matrix}{rr|rrr} + 2 &-1 &2 &-2 &6\\ + 1 &1 &3 &-5 &4\\ + \end{matrix} + &\xrightarrow{ + Z_{2}\mapsfrom 2\cdot Z_{2} - Z_{1} + } + & + \begin{matrix}{rr|rrr} + 2 &-1 &2 &-2 &6\\ + 0 &3 &4 &-8 &2\\ + \end{matrix} + \\ + &\xrightarrow{ + Z_{1}\mapsfrom 3\cdot Z_{1}+Z_{2} + } + & + \begin{matrix}{rr|rrr} + 6 &0 &10 &-14 &20\\ + 0 &3 &4 &-8 &2\\ + \end{matrix} + \\ + &\xrightarrow{ + \substack{ + Z_{1}\mapsfrom Z_{1}:6\\ + Z_{2}\mapsfrom Z_{2}:3\\ + } + } + & + \begin{matrix}{rr|rrr} + 1 &0 &5/3 &-7/3 &10/3\\ + 0 &1 &4/3 &-8/3 &2/3\\ + \end{matrix} + .\\ + \end{mathe} + + Darum gilt $M^{\cal{B}}_{\cal{A}}(\phi)=A^{-1}CB=\boxed{\begin{matrix}{rrr} + 5/3 &-7/3 &10/3\\ + 4/3 &-8/3 &2/3\\ + \end{matrix}}$. + \end{enumerate} + +%% AUFGABE 10-3 +\clearpage +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{Aufgabe} +\section[Aufgabe 3]{} + \label{ueb:10:ex:3} +\let\sectionname\altsectionname + + Seien $d\in\ntrlpos$ und $a\in\reell$. + Betrachet sei die Abbildung + + \begin{mathe}[mc]{rcccl} + \phi &: &\reell[x]_{\leq d} &\to &\reell[x]_{\leq d}\\ + &: &f(x) &\mapsto &f(x+a)\\ + \end{mathe} + + Bevor wir die uns den Aufgaben widmen, + machen wir von der binomischen Formel mehrfach Gebrauch + und beobachten wir + für + $f\in\reell[x]_{\leq d}$ + der Form $f=\sum_{k=0}^{d}\alpha_{k}x^{k}$, + wobei $\alpha_{0},\alpha_{1},\ldots,\alpha_{d}\in\reell$, + dass + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \eqtag[eq:0:ueb:10:ex:3] + \phi(f)(x) + &= &f(x+a)\\ + &= &\sum_{k=0}^{d}\alpha_{k}(x+a)^{k}\\ + &= &\sum_{k=0}^{d}\alpha_{k}\sum_{i=0}^{k}\choose{k}{i}a^{k-i}x^{i} + \quad\text{(Anwendung der bin. Formel)}\\ + &= &\sum_{k=0}^{d}\sum_{i=0}^{k}\alpha_{k}\choose{k}{i}a^{k-i}x^{i}\\ + &= &\sum_{i=0}^{d} + \big( + \underbrace{ + \sum_{k=i}^{d} + \choose{k}{i}a^{k-i}\alpha_{k} + }_{=:\alpha'_{i}} + \big) + x^{i}.\\ + \end{mathe} + + Insbesondere ist es zumindest klar, + dass $\phi(f)\in\reell[x]_{\leq d}$ + für alle $f\in\reell[x]_{\leq d}$ + gilt. D.\,h. $\phi$ ist wohldefiniert. + + \begin{enumerate}{\bfseries (a)} + %% AUFGABE 10-3(a) + \item + + \begin{claim*} + $\phi$ ist linear. + \end{claim*} + + \begin{proof}[Ansatz I] + Wir beweisen die Aussage direkt. + Für diesen Beweis ist es wichtig, dass wir die Objekte des Vektorraumes, + $\reell[x]_{\leq d}$ + wirklich als Funktionen und nicht als abstrakte Objekt betrachten. + + Es reicht aus \textbf{zu zeigen}, + dass $\phi$ dem (LIN)-Axiom genügt (siehe \cite[\S{}6.1]{sinn2020}). + Seien also $c,c'\in\reell$ und $f,g\in\reell[x]_{\leq d}$ beliebig. + \textbf{Zu zeigen:} $\phi(cf+c'g)=c\phi(f)+c'\phi(g)$. + Für alle $x\in\reell$ berechnen wir + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \eqtag[eq:1:ueb:10:ex:3] + (\phi(cf+c'g))(x) + &\textoverset{Defn}{=} + &(cf+c'g)(x+a)\\ + &\textoverset{($\ast$)}{=} + &(cf)(x+a)+(c'g)(x+a)\\ + &\textoverset{($\ast$)}{=} + &c\cdot (f(x+a)) + c'\cdot (g(x+a))\\ + &\textoverset{Defn}{=} + &c\cdot(\phi(f)(x)) + c'\cdot(\phi(g)(x))\\ + &\textoverset{($\ast$)}{=} + &(c\cdot\phi(f))(x) + (c'\cdot\phi(g))(x)\\ + &\textoverset{($\ast$)}{=} + &(c\cdot\phi(f)+c'\cdot\phi(g))(x)\\ + \end{mathe} + + Hier gelten die mit ($\ast$) gekennzeichneten Gleichungen, + per Definition von (punktweise) Skalarmultiplikation und Vektoraddition + innerhalb des Vektorraumes, der aus $\reell$-wertigen Funktionen besteht. + + Da nun \eqcref{eq:1:ueb:10:ex:3} für alle $x\in\reell$ gilt, + haben wir beweisen, dass $\phi(cf+c'g)=c\phi(f)+c'\phi(g)$ + für alle $c,c'\in\reell$ und $f,g\in\reell[x]_{\leq d}$ + Darum gilt das (LIN)-Axiom. + Somit ist $\phi$ linear. + \end{proof} + + \begin{proof}[Ansatz II] + In diesem Ansatz machen wir von Darstellungsmatrizen Gebrauch. + Da nun ${\cal{B}=\{x^{0},x^{1},\ldots,x^{d}\}}$ eine Basis von ${V:=\reell[x]_{\leq d}}$ ist + und $\phi$ eine wohldefinierte Funktion von $V$ nach $V$ ist, + können wir o.\,E. $\phi$ als Abbildung von $\reell^{d+1}$ nach $\reell^{d+1}$ betrachten. + Bezeichen wir diese Abbildung als $\tilde{\phi}$. + Da $\reell^{d+1}$ zu $V$ isomorph ist, + reicht es aus, um die Linearität von $\phi$ zu beweisen, + \textbf{zu zeigen}, + dass eine Matrix $C\in\reell^{(d+1)\times(d+1)}$ existiert, + so dass $\tilde{\phi}$ gleich $\phi_{C}$ ist, + was auf jeden Fall linear ist (siehe \cite[\S{}6.2]{sinn2020}). + Zu diesem Zwecke konstruieren wir die Matrix, + ${C\in\reell^{(d+1)\times(d+1)}}$, + mit Einträgen + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + C_{ij} &= + &\begin{cases}[m]{ccl} + \choose{j}{i}a^{j-i} &: &j\geq i\\ + 0 &: &j