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@@ -1334,7 +1334,7 @@
     \def\phi{\altvarphi}
     \def\varphi{\altphi}
 
-\def\span{\mathop{\text{\upshape Lin}}}
+\def\vectorspacespan{\mathop{\text{\upshape Lin}}}
 \def\dim{\mathop{\text{\upshape dim}}}
 \def\onematrix{\text{\upshape\bfseries I}}
 \def\zeromatrix{\text{\upshape\bfseries 0}}
@@ -1343,6 +1343,8 @@
 \def\graph{\mathop{\text{\textup Gph}}}
 \def\id{\text{\textup id}}
 \def\modfn{\mathop{\text{\textup mod}}}
+\def\divides{\mathbin{\mid}}
+\def\ggT{\mathop{\text{\upshape ggT}}}
 \makeatother
 
 \begin{document}
@@ -1578,7 +1580,7 @@ Dies führt zu einem Fallunterschied:
                         \right\}
                     }$,
                 oder etwas kompakter formuliert,
-                    ${L_{\alpha,\beta}=\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector} + \span\left\{\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector}, \begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector}\right\}}$.
+                    ${L_{\alpha,\beta}=\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector} + \vectorspacespan\left\{\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector}, \begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector}\right\}}$.
         \end{enumerate}
 
     %% FALL 2
@@ -1618,7 +1620,7 @@ Dies führt zu einem Fallunterschied:
                 \right\}
             }$,
         oder etwas kompakter formuliert,
-            ${L_{\alpha,\beta}=\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector} + \frac{\beta-8}{\alpha-4}\cdot\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector} + \span\left\{\begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector}\right\}}$.
+            ${L_{\alpha,\beta}=\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector} + \frac{\beta-8}{\alpha-4}\cdot\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector} + \vectorspacespan\left\{\begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector}\right\}}$.
 \end{enumerate}
 
 Wir fassen die Lösung für alle Fälle zusammen:
@@ -1626,8 +1628,8 @@ Wir fassen die Lösung für alle Fälle zusammen:
     \begin{mathe}[mc]{rcl}
         L_{\alpha,\beta} &= &\begin{cases}[m]{lcl}
             \leer &: &\alpha=4,\,\beta\neq 8\\
-            \mathbf{u} + \span\{\mathbf{v},\mathbf{w}\} &: &\alpha=4,\,\beta=8\\
-            \mathbf{u} + \frac{\alpha-4}{\beta-8}\mathbf{v} + \span\{\mathbf{w}\} &: &\alpha\neq 4\\
+            \mathbf{u} + \vectorspacespan\{\mathbf{v},\mathbf{w}\} &: &\alpha=4,\,\beta=8\\
+            \mathbf{u} + \frac{\alpha-4}{\beta-8}\mathbf{v} + \vectorspacespan\{\mathbf{w}\} &: &\alpha\neq 4\\
         \end{cases}
     \end{mathe}
 
@@ -2283,7 +2285,7 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
                 Da $\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}\neq\zerovector$ bedeutet dies,
                 dass $\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}$ \emph{linear unabhängig} sind. ($\to$ Warum??)\\
                 Also gilt für den Untervektorraum
-                    $U:=\span\{\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}\}$,
+                    $U:=\vectorspacespan\{\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}\}$,
                 dass $\dim(U)=2$.\\
                 Da $U\subseteq\reell^{2}$ Vektorräume sind und $\dim(U)=2=\dim(\reell^{2})$,
                 folgt hieraus, dass $U=\reell^{2}$. ($\to$ Warum??)\\
@@ -2294,7 +2296,7 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
                         \mathbf{\xi} &:= &\mathbf{v}^{\prime}-\mathbf{v}\in\reell^{2}.\\
                     \end{mathe}
 
-                Dann $\mathbf{\xi}\in U=\span\{\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}\}$.
+                Dann $\mathbf{\xi}\in U=\vectorspacespan\{\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}\}$.
                 Folglich existieren Skalare $\alpha,\beta\in\reell$,
                 so dass $\alpha\mathbf{w}+\beta\mathbf{w}^{\prime}=\mathbf{\xi}$
                 gilt.\\
@@ -2623,8 +2625,8 @@ Wir arbeiten im Vektorraum $\reell^{3}$ und betrachten die Vektoren
     \end{mathe}
 
 \textbf{Zu berechnen:}
-    $U:=\span\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\}
-        \cap\span\{\mathbf{w}_{1},\mathbf{w}_{2}\}$
+    $U:=\vectorspacespan\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\}
+        \cap\vectorspacespan\{\mathbf{w}_{1},\mathbf{w}_{2}\}$
 als Untervektorraum von $\reell^{3}$.\\
 Zu diesem Zwecke betrachte einen beliebigen Vektor, $\mathbf{\xi}\in\reell^{3}$.
 Es gilt
@@ -2755,7 +2757,7 @@ Wir können nun \eqcref{eq:0:ueb:3:ex:1} fortsetzen und erhalten
                         28\mathbf{v}_{1}+-8\mathbf{v}_{2}
                     }_{=:\mathbf{u}}
                 )\\
-            &\Longleftrightarrow &\mathbf{\xi}\in\span\{\mathbf{u}\}\\
+            &\Longleftrightarrow &\mathbf{\xi}\in\vectorspacespan\{\mathbf{u}\}\\
     \end{mathe}
 
 für alle $\mathbf{\xi}\in\reell^{3}$.\\
@@ -2773,12 +2775,12 @@ Aus \eqcref{eq:1:ueb:3:ex:1} ergibt sich der zu berechnende Untervektorraum
 als
 
     \begin{mathe}[mc]{rcccccccl}
-        \span\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\}
-        \cap\span\{\mathbf{w}_{1},\mathbf{w}_{2}\}
+        \vectorspacespan\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\}
+        \cap\vectorspacespan\{\mathbf{w}_{1},\mathbf{w}_{2}\}
         &= &U
-        &= &\span\{\mathbf{u}\}
-        &= &\span\{44\begin{svector}1\\1\\1\\\end{svector}\}
-        &= &\span\{\begin{svector}1\\1\\1\\\end{svector}\}.\\
+        &= &\vectorspacespan\{\mathbf{u}\}
+        &= &\vectorspacespan\{44\begin{svector}1\\1\\1\\\end{svector}\}
+        &= &\vectorspacespan\{\begin{svector}1\\1\\1\\\end{svector}\}.\\
     \end{mathe}
 
 %% AUFGABE 3-2
@@ -3473,7 +3475,7 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
                         \end{mathe}
 
                     Also gilt \eqcref{eq:1:\beweislabel}.
-                    Also gilt $\Phi(1)$
+                    Also gilt $\Phi(1)$.
 
                 \item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}]
                     Sei $n>1$.
@@ -3708,7 +3710,7 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
                     Angenommen, $\Phi(k)$ gilt für alle $k<n$.
 
                 \item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}]
-                    Seien $E_{1},E_{2},\ldots,E_{n}$ beliebige endliche Mengen.
+                    Seien $E_{1},E_{2},\ldots,E_{n}$ beliebige endliche Mengen.\\
                     \textbf{Zu zeigen:} $|\prod_{i=1}^{n}E_{i}|=\prod_{i=1}^{n}|E_{i}|$ gilt.\\
                     Es gilt
 
@@ -3835,17 +3837,16 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
                 gilt offensichtlich $\forall{x\in X:~}G(x)$.
 
             \item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}]
-                Sei $n\in\ntrlpos$ mit $n>1$.
-                Angenommen, $\Phi(k)$ gilt für alle $k<n$.
+                Sei $n\in\ntrlpos$ mit $n\geq 1$.
+                Angenommen, $\Phi(n)$ gilt.
 
             \item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}]
-                Sei $X$ eine $n$-elementige Menge von Fischen.\\
+                Sei $X$ eine $n+1$-elementige Menge von Fischen.\\
                 Angenommen, ein $x_{0}\in X$ mit $G(x_{0})$ existiere.
                 \textbf{Zu zeigen:} Für alle $x\in X$ gilt $G(x)$.\\
-                Setze $X_{1}:=X\ohne\{x_{0}\}$, was nicht leer ist, weil $n\geq 2$.\\
-                Fixiere einen Fisch $x_{1}\in X_{1}$
-                und setze $X_{0}:=X\ohne\{x_{1}\}$.\\
-                Da $x_{1}\neq x_{0}$ sind $X_{0},X_{1}$ verschiedene $n-1$-elementige Mengen:
+                Fixiere einen anderen Fisch $x_{1}\in X\ohne\{x_{0}\}$, was möglich ist, weil $|X|=n+1\geq 2$.\\
+                Setze $X_{0}:=X\ohne\{x_{1}\}$ und $X_{1}:=X\ohne\{x_{0}\}$.\\
+                Da $x_{1}\neq x_{0}$, sind $X_{0},X_{1}$ verschiedene $n$-elementige Mengen:
 
                     \hraum
                     {\footnotesize
@@ -3862,7 +3863,6 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
                         \node (X1mid) at (+0.25*\habst,1*\vabst) {};
                         \node[label=above:{$x_{0}$}] (x0) at (-1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
                         \node[label=above:{$x_{1}$}] (x1) at (+1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
-                        \node[above right = 0.3*\rad and 0.3*\rad of X0mid,label=below:{$\tilde{x}$}] {$\bullet$};
                         \node[above left = 0.7*\rad and 0.7*\rad of X0mid] {$X_{0}$};
                         \node[above right = 0.7*\rad and 0.7*\rad of X1mid] {$X_{1}$};
 
@@ -3873,21 +3873,17 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
                     \hraum
 
                 Fokussieren wir uns zunächst auf $X_{0}$ (die schattierte Teilmenge).\\
-                Da $X_{0}$ $n-1$-elementig ist und $x_{0}\in X_{0}$ und $G(x_{0})$,
+                Da $X_{0}$ $n$-elementig ist und $x_{0}\in X_{0}$ und $G(x_{0})$,
                 gilt per IV (\textdagger)~$\forall{x\in X_{0}:~}G(x)$.
 
-                \fbox{Wähle nun einen Fisch, $\tilde{x}\in X_{0}$, mit $\tilde{x}\neq x_{0}$}
-                und setze $X':=X\ohne\{\tilde{x}\}$ .\\
-                Dann ist $X'$ eine $n-1$-elementige Menge und $x_{0}\in X_{1}$ und $G(x_{0})$.\\
-                Per IV gilt also $\forall{x\in X':~}G(x)$.\\
-                Daraus und aus (\textdagger) folgt $\forall{x\in X:~}G(x)$, da ja $X=X_{0}\cup X'$.\footnote{
-                    Per Wahl gilt $\tilde{x}\in X_{0}=X\ohne x_{1}$.
-                    Also, $\tilde{x}\neq x_{1}$.
-                    Also, $x_{1}\in X'$.
-                    Also, $X=X_{0}\cup\{x_{1}\}\subseteq X_{0}\cup X'\subseteq X$.
-                }
+                Wähle nun irgendeinen der Fische, $\tilde{x}\in X_{0}$ und setze $X':=X\ohne\{\tilde{x}\}$.
+                O.\,E. können wir $\tilde{x}:=x_{0}$ wählen, sodass $X'=X_{1}$ gilt.\\
+                Die Teilmenge $X_{1}$ ist nun eine $n$-elementige Menge mit mindestens $n-1$ Goldfischen.\\
+                \fbox{Also $\exists{x\in X_{1}:~}G(x)$.}\\
+                Per IV gilt also $\forall{x\in X_{1}:~}G(x)$.\\
+                Daraus und aus (\textdagger) folgt $\forall{x\in X:~}G(x)$, da ja $X=X_{0}\cup X_{1}$.
 
-                Darum gilt $\Phi(n)$.
+                Darum gilt $\Phi(n+1)$.
         \end{kompaktenum}
 
         Darum gilt $\forall{n\in\ntrlpos:~}\Phi(n)$.
@@ -3897,24 +3893,22 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
 
     \begin{quote}
         \itshape
-        Wähle nun einen Fisch, $\tilde{x}\in X_{0}$, mit $\tilde{x}\neq x_{0}$ \ldots
+        Also $\exists{x\in X':~}G(x)$.
     \end{quote}
 
     Im ursprünglichen Text ist dies die problematische Stelle:
 
     \begin{quote}
         \itshape
-        Jetzt können wir aber \uline{auch einen der Goldfische rausnehmen} und haben wieder \ldots
+        Jetzt können wir aber \uline{auch einen der Goldfische rausnehmen} und haben wieder ein Aquarium mit $n$ Fischen und \uline{mindestens einem Goldfisch}.
     \end{quote}
 
     Zurück aber zu unserer Formalisierung:\\
-    Diese Stelle im Argument ist nur möglich, wenn $X_{0}\ohne\{x_{0}\}$ nicht leer ist,
-    oder äquivalent, wenn $X_{0}\cap X_{1}$ nicht leer ist.
-    Das \uline{Diagramm} mag dies andeuten, aber das Diagramm täuscht.
-    Denn formal betrachtet muss das Element, $\tilde{x}\in X_{0}\cap X_{1}$,
-    verschieden von $x_{0}$ und $x_{1}$ sein.
-    Das setzt voraus, dass $n=|X|\geq 3$.
-    Aber im Induktionsschritt wurde nur $n>1$ vorausgesetzt!
+    Wir haben etwas ausführlicher gezeigt, dass die Menge $X'$ mindestens $n-1$ Goldfische enthält.
+    Wenn wir $\tilde{x}:=x_{0}$ wählen entspricht dies der Größe des Schnitts $X_{0}\cap X_{1}$.
+    Das \uline{Diagramm} mag andeuten, dass dieser Schnitt nicht leer ist, aber das Diagramm täuscht.
+    Im Induktionsschritt setzen wir nur voraus, dass $n\geq 1$.
+    Darum ist $n-1>0$ nur garantiert, wenn stattdessen $n'\geq 2$ vorausgesetzt wird.
 
     Das heißt das Induktionsargument ist faul,
     weil der Schritt $1\rightsquigarrow 2$ implizit übersprungen wird.