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8c7e77f0ce
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@ -3078,16 +3078,16 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
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\label{ska:4:ex:1}
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\label{ska:4:ex:1}
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\let\sectionname\altsectionname
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\let\sectionname\altsectionname
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Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen.
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Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen.
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Einer Abbildung, $f:X\to Y$,
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Einer Abbildung, $f:X\to Y$,
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können wir eindeutig die Relation
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können wir eindeutig die Relation
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$\graph(f):=\{(x,y)\in X\times Y\mid f(x)=y\}$
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$\graph(f):=\{(x,y)\in X\times Y\mid f(x)=y\}$
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zuordnen. Dies nennt sich der \textbf{Graph von $f$}
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zuordnen. Dies nennt sich der \textbf{Graph von $f$}
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(siehe \cite[\S{}2.3]{sinn2020}---dort wird dies mit $\Gamma_{f}$ bezeichnet).
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(siehe \cite[\S{}2.3]{sinn2020}---dort wird dies mit $\Gamma_{f}$ bezeichnet).
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Hier ist $\graph(f)$ also eine Relation auf $X\times Y$.
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Hier ist $\graph(f)$ also eine Relation auf $X\times Y$.
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In der Tat \emph{setzen} manche Werke Funktionen mit ihrem Graphen gleich
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In der Tat \emph{setzen} manche Werke Funktionen mit ihrem Graphen gleich
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(siehe bspw. \cite[S.11]{jech1997}),
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(siehe bspw. \cite[S.11]{jech1997}),
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aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
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aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
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%% SKA 4-2
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%% SKA 4-2
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\let\altsectionname\sectionname
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\let\altsectionname\sectionname
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@ -3096,7 +3096,67 @@ aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
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\label{ska:4:ex:2}
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\label{ska:4:ex:2}
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\let\sectionname\altsectionname
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\let\sectionname\altsectionname
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({\itshape Unter Arbeit})
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\textbf{Hinweis:} Hier scheint im Punkt (ii) etwas verwechselt worden zu sein.
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Seien $M$, $N$ Mengen und $R\subseteq M\times N$.
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\begin{claim}
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\makelabel{claim:main:ska:4:ex:2}
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Angenommen, $R$ erfülle folgende Eigenschaften:
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\begin{kompaktenum}{\bfseries (i)}[\rtab][\rtab]
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\item\punktlabel{1}
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$\forall{x\in M:~}\exists{y\in N:~}(x,y)\in R$
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\item\punktlabel{2}
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$\forall{x\in M:~}\forall{y,y'\in N:~}
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(x,y),(x,y')\in R
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\Rightarrow y=y'$
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\end{kompaktenum}
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Dann existiert eine (notwendigerweise eindeutige) Funktion,
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${f:M\to N}$,
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so dass $\graph(f)=R$.
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\end{claim}
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\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
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\begin{proof}
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Wir definieren ${f:M\to N}$ durch
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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f(x) &= &y\\
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\end{mathe}
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für $(x,y)\in R$.
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Offensichtlich gilt
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$\graph(f)
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=\{(x,y)\in M\times N\mid f(x)=y\}
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=\{(x,y)\in M\times N\mid (x,y)\in R\}
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=R$.
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\textbf{Zu zeigen:}
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(1) $f$ ist überall definiert;
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(2) $f$ ist wohldefiniert.
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\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
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\item[\uwave{{\bfseries Überall definiert:}}]
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Sei $x\in M$.
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\textbf{Zu zeigen:} $f(x)=y$ für ein $y\in N$.\\
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Eigenschaft \punktlabel{1} besagt, dass ein $y\in M$ existiert,
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so dass $(x,y)\in R$.
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Per Konstruktion erhalten wir, dass $f(x)=y$ gilt.
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\item[\uwave{{\bfseries Wohldefiniertheit:}}]
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Seien $x\in M$ und $y,y'\in N$.
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Angenommen, $f(x)=y$ und $f(x)=y'$.\\
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\textbf{Zu zeigen:} $y=y'$.\\
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Aus $f(x)=y$ und $f(x)=y'$
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folgt $(x,y),(x,y')\in R$ per Konstruktion von $f$.\\
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Eigenschaft \punktlabel{2} besagt, dass $y=y'$.
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\end{kompaktenum}
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Darum ist $f$ eine Abbildung zwischen $M$ und $N$
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und $\graph(f)=R$.
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\end{proof}
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\end{einzug}
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%% SKA 4-3
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%% SKA 4-3
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\let\altsectionname\sectionname
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\let\altsectionname\sectionname
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@ -3105,7 +3165,134 @@ aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
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\label{ska:4:ex:3}
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\label{ska:4:ex:3}
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\let\sectionname\altsectionname
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\let\sectionname\altsectionname
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({\itshape Unter Arbeit})
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Sei $X=\{a,b,c\}$ und betrachte die binäre Relation,
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$(\Pot(X),\leq)$, definiert durch
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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A\leq B &\Longleftrightarrow &X\ohne A\subseteq X\ohne B\\
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\end{mathe}
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für $A,B\in\Pot(X)$.
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\begin{claim*}
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$(\Pot(X),\leq)$ ist eine partielle Ordnung (auch »Halbordnung« genannt).
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\end{claim*}
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Es gibt nun 3 Ansätze, um dies zu zeigen.
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\begin{proof}[Ansatz I][Ansatz I]
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Beobachte, dass für $A,B\in\Pot(X)$
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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A\leq B
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&\textoverset{Defn}{\Longleftrightarrow}
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|
&X\ohne A\subseteq X\ohne B\\
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||||||
|
&\Longrightarrow
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&X\ohne (X\ohne A)\supseteq X\ohne (X\ohne B)\\
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||||||
|
&\Longrightarrow
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&A\supseteq B,
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||||||
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\,\text{da $A,B\subseteq X$}\\
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||||||
|
&\Longrightarrow
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||||||
|
&X\ohne A\subseteq X\ohne B\\
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||||||
|
&\textoverset{Defn}{\Longleftrightarrow}
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||||||
|
&A\leq B,\\
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||||||
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\end{mathe}
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|
also $A\leq B\Leftrightarrow A\supseteq B$.
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Darum kann $(\Pot(X),\leq)$ mit $(\Pot(X),\supseteq)$
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identifiziert werden.
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Letzteres ist bekanntermaßen eine Halbordnung.
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\end{proof}
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\begin{proof}[Ansatz II][Ansatz II]
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Im konkreten Falle von $X=\{a,b,c\}$ können wir die Relation
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durch ein \emph{Hasse-Diagramm} skizzieren:
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\hraum
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{\footnotesize
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\begin{tikzpicture}[node distance=1.5cm, thick]
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\pgfmathsetmacro\habst{3}
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|
\pgfmathsetmacro\vabst{2}
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|
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||||||
|
\node[label=below:{$X$}] (Set1) at (0*\habst,0*\vabst) {$\bullet$};
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||||||
|
\node[label=left:{$\{a,b\}$}] (SetAB) at (-1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
|
||||||
|
\node[label=above:{$\{a,c\}$}] (SetAC) at (0*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
|
||||||
|
\node[label=right:{$\{b,c\}$}] (SetBC) at (1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
|
||||||
|
\node[label=left:{$\{a\}$}] (SetA) at (-1*\habst,2*\vabst) {$\bullet$};
|
||||||
|
\node[label=below:{$\{b\}$}] (SetB) at (0*\habst,2*\vabst) {$\bullet$};
|
||||||
|
\node[label=right:{$\{c\}$}] (SetC) at (1*\habst,2*\vabst) {$\bullet$};
|
||||||
|
\node[label=above:{$\leer$}] (Set0) at (0*\habst,3*\vabst) {$\bullet$};
|
||||||
|
|
||||||
|
\draw (Set1) edge [->] (SetAB);
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||||||
|
\draw (Set1) edge [->] (SetAC);
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||||||
|
\draw (Set1) edge [->] (SetBC);
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||||||
|
\draw (SetAB) edge [->] (SetA);
|
||||||
|
\draw (SetAB) edge [->] (SetB);
|
||||||
|
\draw (SetAC) edge [->] (SetA);
|
||||||
|
\draw (SetAC) edge [->] (SetC);
|
||||||
|
\draw (SetBC) edge [->] (SetB);
|
||||||
|
\draw (SetBC) edge [->] (SetC);
|
||||||
|
\draw (SetA) edge [->] (Set0);
|
||||||
|
\draw (SetB) edge [->] (Set0);
|
||||||
|
\draw (SetC) edge [->] (Set0);
|
||||||
|
\end{tikzpicture}}
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||||||
|
\hraum
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||||||
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||||||
|
Man sieht, dass dies einen \emph{Verband} und damit insbesondere eine Halbordnung bildet.
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\end{proof}
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\begin{proof}[Ansatz III][Ansatz III]
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Wir gehen die Axiome einer Halbordnung durch:
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\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
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\item[\uwave{{\itshape Reflexivität:}}]
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Sei $A\in\Pot(X)$ beliebig.
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\textbf{Zu zeigen:} $A\leq A$.\\
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Offensichtlich gilt $X\ohne A\subseteq X\ohne A$.\\
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Per Konstruktion gilt also $A\leq A$.
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\item[\uwave{{\itshape Antisymmetrie:}}]
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Seien $ A, A'\in\Pot(X)$ beliebig.\\
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\textbf{Zu zeigen:} $A\leq A'$ und $A'\leq A$ $\Rightarrow$ $A=A'$.\\
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|
Es gilt
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\begin{mathe}[mc]{rclql}
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A\leq A'\,\text{und}\, A'\leq A
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|
&\Longleftrightarrow
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||||||
|
&X\ohne A\subseteq X\ohne A'
|
||||||
|
\,\text{und}\,
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||||||
|
X\ohne A'\subseteq X\ohne A
|
||||||
|
&\text{(per Konstruktion)}\\
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||||||
|
&\Longrightarrow
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||||||
|
&X\ohne A=X\ohne A'
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||||||
|
&\text{(per Definition von Mengengleichheit)}\\
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|
&\Longrightarrow
|
||||||
|
&A=A',
|
||||||
|
&\text{da $A,A'\subseteq X$}.\\
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||||||
|
\end{mathe}
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\item[\uwave{{\itshape Transitivität:}}]
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|
Seien $A, A',(a'',b'')\in\Pot(X)$ beliebig.\\
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|
\textbf{Zu zeigen:} $A\leq A'$ und $A'\leq A''$ $\Rightarrow$ $A\leq A''$.\\
|
||||||
|
Es gilt
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||||
|
A\leq A'\,\text{und}\, A'\leq A''
|
||||||
|
&\Longleftrightarrow
|
||||||
|
&X\ohne A\subseteq X\ohne A'
|
||||||
|
\,\text{und}\,
|
||||||
|
X\ohne A'\subseteq X\ohne A''
|
||||||
|
\,\text{(per Konstruktion)}\\
|
||||||
|
&\Longrightarrow
|
||||||
|
&X\ohne A\subseteq X\ohne A''\\
|
||||||
|
&\Longleftrightarrow
|
||||||
|
&A\leq A''
|
||||||
|
\,\text{(per Konstruktion)}.\\
|
||||||
|
\end{mathe}
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\end{kompaktenum}
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|
Darum erfüllt $(\Pot(X),\leq)$ die Axiome einer Halbordnung.
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|
\end{proof}
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%% SKA 4-4
|
%% SKA 4-4
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\let\altsectionname\sectionname
|
\let\altsectionname\sectionname
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@ -3114,7 +3301,71 @@ aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
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|||||||
\label{ska:4:ex:4}
|
\label{ska:4:ex:4}
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||||||
\let\sectionname\altsectionname
|
\let\sectionname\altsectionname
|
||||||
|
|
||||||
({\itshape Unter Arbeit})
|
Betrachten wir die Halbordnung aus \cite[Beispiel 2.4.2(2)]{sinn2020}.
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|
Es sei also $C=\{a,b,c\}$ und
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die durch folgendes \emph{Hasse-Diagramm} dargestellte Ordnungsrelation auf $Pot(C)$:
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\hraum
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|
{\footnotesize
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[node distance=1.5cm, thick]
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro\habst{3}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro\vabst{2}
|
||||||
|
|
||||||
|
\node[label=above:{$C$}] (Set1) at (0*\habst,3*\vabst) {$\bullet$};
|
||||||
|
\node[label=left:{$\{a,b\}$}] (SetAB) at (-1*\habst,2*\vabst) {$\bullet$};
|
||||||
|
\node[label=below:{$\{a,c\}$}] (SetAC) at (0*\habst,2*\vabst) {$\bullet$};
|
||||||
|
\node[label=right:{$\{b,c\}$}] (SetBC) at (1*\habst,2*\vabst) {$\bullet$};
|
||||||
|
\node[label=left:{$\{a\}$}] (SetA) at (-1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
|
||||||
|
\node[label=above:{$\{b\}$}] (SetB) at (0*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
|
||||||
|
\node[label=right:{$\{c\}$}] (SetC) at (1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
|
||||||
|
\node[label=below:{$\leer$}] (Set0) at (0*\habst,0*\vabst) {$\bullet$};
|
||||||
|
|
||||||
|
\draw (Set0) edge [->] (SetA);
|
||||||
|
\draw (Set0) edge [->] (SetB);
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||||||
|
\draw (Set0) edge [->] (SetC);
|
||||||
|
\draw (SetA) edge [->] (SetAB);
|
||||||
|
\draw (SetA) edge [->] (SetAC);
|
||||||
|
\draw (SetB) edge [->] (SetAB);
|
||||||
|
\draw (SetB) edge [->] (SetBC);
|
||||||
|
\draw (SetC) edge [->] (SetAC);
|
||||||
|
\draw (SetC) edge [->] (SetBC);
|
||||||
|
\draw (SetAB) edge [->] (Set1);
|
||||||
|
\draw (SetAC) edge [->] (Set1);
|
||||||
|
\draw (SetBC) edge [->] (Set1);
|
||||||
|
\end{tikzpicture}}
|
||||||
|
\hraum
|
||||||
|
|
||||||
|
Wenn wir das Element $\leer$ von $\Pot(C)$ entfernen sieht die Struktur folgendermaßen aus
|
||||||
|
|
||||||
|
\hraum
|
||||||
|
{\footnotesize
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[node distance=1.5cm, thick]
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro\habst{3}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro\vabst{2}
|
||||||
|
|
||||||
|
\node[label=above:{$C$}] (Set1) at (0*\habst,3*\vabst) {$\bullet$};
|
||||||
|
\node[label=left:{$\{a,b\}$}] (SetAB) at (-1*\habst,2*\vabst) {$\bullet$};
|
||||||
|
\node[label=below:{$\{a,c\}$}] (SetAC) at (0*\habst,2*\vabst) {$\bullet$};
|
||||||
|
\node[label=right:{$\{b,c\}$}] (SetBC) at (1*\habst,2*\vabst) {$\bullet$};
|
||||||
|
\node[label=left:{$\{a\}$}] (SetA) at (-1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
|
||||||
|
\node[label=above:{$\{b\}$}] (SetB) at (0*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
|
||||||
|
\node[label=right:{$\{c\}$}] (SetC) at (1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
|
||||||
|
|
||||||
|
\draw (SetA) edge [->] (SetAB);
|
||||||
|
\draw (SetA) edge [->] (SetAC);
|
||||||
|
\draw (SetB) edge [->] (SetAB);
|
||||||
|
\draw (SetB) edge [->] (SetBC);
|
||||||
|
\draw (SetC) edge [->] (SetAC);
|
||||||
|
\draw (SetC) edge [->] (SetBC);
|
||||||
|
\draw (SetAB) edge [->] (Set1);
|
||||||
|
\draw (SetAC) edge [->] (Set1);
|
||||||
|
\draw (SetBC) edge [->] (Set1);
|
||||||
|
\end{tikzpicture}}
|
||||||
|
\hraum
|
||||||
|
|
||||||
|
Offensichtlich hat $(\Pot(C)\ohne\{\leer\},\subseteq)$ kein kleinstes Element.
|
||||||
|
Die Menge der minimalen Elementen ist $\{\{a\},\{b\},\{c\}\}$,
|
||||||
|
d.\,h. es gibt $3$ minimale Elemente.
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||||||
|
|
||||||
%% SKA 4-5
|
%% SKA 4-5
|
||||||
\let\altsectionname\sectionname
|
\let\altsectionname\sectionname
|
||||||
@ -3123,7 +3374,35 @@ aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
|
|||||||
\label{ska:4:ex:5}
|
\label{ska:4:ex:5}
|
||||||
\let\sectionname\altsectionname
|
\let\sectionname\altsectionname
|
||||||
|
|
||||||
({\itshape Unter Arbeit})
|
Sei $W$ die Menge aller Wörter und $\Sigma$ die Menge aller Buchstaben.
|
||||||
|
O.\,E. können wir annehmen, dass jedes Wort $w\in W$ der Länge $|w|\geq 2$ ist.
|
||||||
|
(In Sprachen wie Englisch, Russisch, usw. ist dies nicht der Fall,
|
||||||
|
aber wir könnten diese trivialen Wörter einfach ausschließen.)
|
||||||
|
|
||||||
|
Betrachten wir die Relation $(W,\sim)$ gegeben durch
|
||||||
|
|
||||||
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||||
|
\eqtag[eq:1:ska:4:ex:5]
|
||||||
|
w\sim w' &:\Longleftrightarrow &f(w)=f(w),
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
|
||||||
|
wobei
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||||||
|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||||||
|
f &: &W &\to &\Sigma\\
|
||||||
|
&: &w &\mapsto &\text{1. Buchstabe in $w$}\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
|
||||||
|
Dann per Konstruktion \uline{reduziert} $f$
|
||||||
|
die Relation $(W,\sim)$ auf $(\Sigma,=)$.
|
||||||
|
Aufgrund dessen und da $(\Sigma,=)$ eine Äquivalenzrelation ist,
|
||||||
|
ist $(W,\sim)$ automatisch eine Äquivalenzrelation auch.
|
||||||
|
|
||||||
|
Eigentlich spielt est keine Rolle, wie die Funktion, $f$, aussieht.
|
||||||
|
Solange die Reduktion \eqcref{eq:1:ska:4:ex:5} gilt,
|
||||||
|
bleibt $(W,\sim)$ eine Äquivalenzrelation.
|
||||||
|
Dies gilt also insbesondere ebenfalls,
|
||||||
|
wenn $f$ den zweitletzten Buchstaben von Wörtern berechnet.
|
||||||
|
|
||||||
%% SKA 4-6
|
%% SKA 4-6
|
||||||
\let\altsectionname\sectionname
|
\let\altsectionname\sectionname
|
||||||
@ -3132,7 +3411,34 @@ aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
|
|||||||
\label{ska:4:ex:6}
|
\label{ska:4:ex:6}
|
||||||
\let\sectionname\altsectionname
|
\let\sectionname\altsectionname
|
||||||
|
|
||||||
({\itshape Unter Arbeit})
|
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
|
||||||
|
%% SKA 4-6a
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||||
|
\sum_{i=2}^{6}(-1)^{i}i^{2}
|
||||||
|
&= &(-1)^{2}\cdot 2^{2}
|
||||||
|
+(-1)^{3}\cdot 3^{2}
|
||||||
|
+(-1)^{4}\cdot 4^{2}
|
||||||
|
+(-1)^{5}\cdot 5^{2}
|
||||||
|
+(-1)^{6}\cdot 6^{2}\\
|
||||||
|
&= &4-9+16-25+36
|
||||||
|
= 22\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
|
||||||
|
%% SKA 4-6b
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||||
|
\prod_{j=1}^{4}(2j-1)
|
||||||
|
&= &(2\cdot 1 - 1)
|
||||||
|
+(2\cdot 2 - 1)
|
||||||
|
+(2\cdot 3 - 1)
|
||||||
|
+(2\cdot 4 - 1)\\
|
||||||
|
&= &1-3+5-7
|
||||||
|
= -4\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
|
||||||
%% SKA 4-7
|
%% SKA 4-7
|
||||||
\let\altsectionname\sectionname
|
\let\altsectionname\sectionname
|
||||||
@ -3141,7 +3447,94 @@ aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
|
|||||||
\label{ska:4:ex:7}
|
\label{ska:4:ex:7}
|
||||||
\let\sectionname\altsectionname
|
\let\sectionname\altsectionname
|
||||||
|
|
||||||
({\itshape Unter Arbeit})
|
\begin{claim}
|
||||||
|
\makelabel{claim:main:ska:4:ex:7}
|
||||||
|
Bezeichne mit $\Phi(n)$ die Aussage
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||||
|
\eqcref{eq:1:\beweislabel}
|
||||||
|
\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i}i^{2} &= &(-1)^{n}\frac{1}{2}n(n+1).\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
|
||||||
|
Dann gilt $\forall{n\in\ntrlpos:~}\Phi(n)$.
|
||||||
|
\end{claim}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
|
||||||
|
\begin{proof}
|
||||||
|
Wir zeigen \Cref{\beweislabel} stumpf per Induktion.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
|
||||||
|
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsanfang:}}]
|
||||||
|
Sei $n=1$. Dann
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||||
|
\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i}i^{2}
|
||||||
|
&= &(-1)^{1}1^{2} = -1\\
|
||||||
|
(-1)^{n}\frac{1}{2}n(n+1)
|
||||||
|
&= &(-1)^{1}\frac{1}{2}\cdot 1\cdot (1+1) = -1\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
|
||||||
|
Also gilt \eqcref{eq:1:\beweislabel}.
|
||||||
|
Also gilt $\Phi(1)$
|
||||||
|
|
||||||
|
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}]
|
||||||
|
Sei $n>1$.
|
||||||
|
Angenommen, $\Phi(n-1)$ gilt.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}]
|
||||||
|
\textbf{Zu zeigen:} $\Phi(n)$ gilt, d.\,h.
|
||||||
|
Gleichung \eqcref{eq:1:\beweislabel} gilt.\\
|
||||||
|
Es gilt
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||||
|
\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i}i^{2}
|
||||||
|
&= &\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i}i^{2} + (-1)^{n}n^{2}\\
|
||||||
|
&= &(-1)^{n-1}\frac{1}{2}(n-1)(n-1+1) + (-1)^{n}n^{2}\\
|
||||||
|
&&\text{wegen der IV}\\
|
||||||
|
&= &(-1)^{n}\cdot(-\frac{1}{2}n(n-1) + n^{2})\\
|
||||||
|
&= &(-1)^{n}\cdot(-\frac{1}{2}n^{2} + \frac{1}{2}n + n^{2})\\
|
||||||
|
&= &(-1)^{n}\cdot(\frac{1}{2}n^{2} + \frac{1}{2}n)\\
|
||||||
|
&= &(-1)^{n}\frac{1}{2}n(n+1).\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
|
||||||
|
Also gilt \eqcref{eq:1:\beweislabel}.
|
||||||
|
Also gilt $\Phi(n)$.
|
||||||
|
\end{kompaktenum}
|
||||||
|
|
||||||
|
Also gilt $\forall{n\in\ntrlpos:~}\Phi(n)$.
|
||||||
|
\end{proof}
|
||||||
|
\end{einzug}
|
||||||
|
|
||||||
|
Für die Summe $\sum_{i=3}^{n}(-1)^{i}i^{2}$
|
||||||
|
ist der Ausdruck lediglich
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||||
|
\sum_{i=3}^{n}(-1)^{i}i^{2}
|
||||||
|
&= &\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i}i^{2}-(-1)^{1}\cdot 1-(-1)^{2}2^{2}\\
|
||||||
|
&= &(-1)^{n}\frac{1}{2}n(n+1)-3\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
|
||||||
|
für alle $n\geq 3$.
|
||||||
|
Sollten wir dies per Induktion beweisen wollen,
|
||||||
|
brauchen wir lediglich im o.\,s. Beweis
|
||||||
|
den \textbf{Induktionsanfang} auf $n=3$ zu ändern.
|
||||||
|
Der Rest bleibt erhalten.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{rem}
|
||||||
|
Induktion hat mit Deduzieren (»Ableiten«) nichts zu tun.
|
||||||
|
Induktion ist nur ein Werkzeug, um Aussagen zu \emph{verifizieren}.
|
||||||
|
Sie hilft uns überhaupt nicht, um \emph{auf die Behauptungen zu kommen}.
|
||||||
|
In diesem konkreten Falle wurde Vorarbeit geleistet
|
||||||
|
und \emph{direkt} argumentiert,
|
||||||
|
um auf den Ausdruck in \eqcref{eq:1:\beweislabel} zu kommen.
|
||||||
|
In dieser Vorarbeit steckt die eigentliche mathematische Arbeit
|
||||||
|
und dies bedarf etwas Kreativität, Intuition, usw.
|
||||||
|
Häufig reicht diese Vorarbeit aber nur,
|
||||||
|
um auf eine sinnvolle Behauptung zu kommen,
|
||||||
|
und zum Schluss runden wir dies mit Induktion ab,
|
||||||
|
um formal die behauptete Aussage zu bestätigen.
|
||||||
|
Das ist die eigentliche Rolle von Induktion als Beweismittel.
|
||||||
|
\end{rem}
|
||||||
|
|
||||||
%% SKA 4-8
|
%% SKA 4-8
|
||||||
\let\altsectionname\sectionname
|
\let\altsectionname\sectionname
|
||||||
@ -3150,7 +3543,56 @@ aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
|
|||||||
\label{ska:4:ex:8}
|
\label{ska:4:ex:8}
|
||||||
\let\sectionname\altsectionname
|
\let\sectionname\altsectionname
|
||||||
|
|
||||||
({\itshape Unter Arbeit})
|
\uwave{{\bfseries Kurzes Argument:}}\\
|
||||||
|
Wenn jede Farbe jeweils auf maximal $1$ Karte vorkommt,
|
||||||
|
gibt es $\leq 4\cdot 1=4$ Karten.
|
||||||
|
Aber $5$ Karten wurden gewählt.
|
||||||
|
|
||||||
|
\uwave{{\bfseries Ausführliches Argument:}}\\
|
||||||
|
Seien
|
||||||
|
${X:=\{\clubsuit, \diamondsuit, \heartsuit, \spadesuit\}}$
|
||||||
|
die Menge der Farben und
|
||||||
|
${Y:=\{1,2,3,4,5\}}$
|
||||||
|
die Indizes der Karten.
|
||||||
|
Sei ${f:X\to\Pot(Y)}$ die Funktion,
|
||||||
|
die der Wahl entspricht, d.\,h.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||||
|
f(x) &= &\{y\in Y\mid\text{Karte $y$ hat Farbe $x$}\}\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
|
||||||
|
für alle Farben $x\in X$.
|
||||||
|
|
||||||
|
Nun, jede Karte, $y\in Y$, hat eine Farbe, sodass $y\in f(x)$ für ein $x\in X$.
|
||||||
|
Also $Y\subseteq\bigcup_{x\in X}f(x)$.
|
||||||
|
Und per Definition $f(x)\subseteq Y$ für alle $x\in X$.
|
||||||
|
Darum $\bigcup_{x\in X}f(x)\subseteq Y$.
|
||||||
|
Also
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||||
|
Y &= &\bigcup_{x\in X}f(x)\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
|
||||||
|
Andererseits sind die Mengen $(f(x))_{x\in X}$ paarweise disjunkt,
|
||||||
|
da jede Karte höchstens eine Farbe hat.
|
||||||
|
Also ist $(f(x))_{x\in X}$ eine \emph{Partition} von $Y$.
|
||||||
|
Darum
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{ll}
|
||||||
|
&|Y| = |\bigcup_{x\in X}f(x)|
|
||||||
|
= \sum_{x\in X}|f(x)|
|
||||||
|
\leq |X|\cdot\max_{x\in X}|f(x)|\\
|
||||||
|
\Longrightarrow
|
||||||
|
&\max_{x\in X}|f(x)| \geq |Y|/|X| = 5/4 > 1\\
|
||||||
|
\Longrightarrow
|
||||||
|
&\exists{x\in X:~}|f(x)|>1\\
|
||||||
|
\Longrightarrow
|
||||||
|
&\exists{x\in X:~}|f(x)|\geq 2\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
|
||||||
|
Nach der Definition von $f$ heißt dies,
|
||||||
|
es gibt eine Farbe, $x\in\{\clubsuit, \diamondsuit, \heartsuit, \spadesuit\}$,
|
||||||
|
so dass mindestens $2$ der gezogenen Karten die Farbe $x$ haben.
|
||||||
|
|
||||||
%% SKA 4-9
|
%% SKA 4-9
|
||||||
\let\altsectionname\sectionname
|
\let\altsectionname\sectionname
|
||||||
@ -3159,7 +3601,58 @@ aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
|
|||||||
\label{ska:4:ex:9}
|
\label{ska:4:ex:9}
|
||||||
\let\sectionname\altsectionname
|
\let\sectionname\altsectionname
|
||||||
|
|
||||||
({\itshape Unter Arbeit})
|
\uwave{{\bfseries Kurzes Argument:}}\\
|
||||||
|
Wenn jeder Kalendartag jeweils von maximal $17$ Studierenden gefeiert wird,
|
||||||
|
gibt es $\leq 366\cdot 17=6222$ Studierende.
|
||||||
|
Aber es gibt $\geq 7000$ Studierende.
|
||||||
|
|
||||||
|
\uwave{{\bfseries Ausführliches Argument:}}\\
|
||||||
|
Seien
|
||||||
|
${X=\{\text{1.~Jan},\,\text{2.~Jan},\,\ldots,\,\text{31.~Dez}\}}$
|
||||||
|
die Menge der Kalendartage
|
||||||
|
und
|
||||||
|
${Y=\{x\mid x\,\text{ein/e Studierende/r an der Uni Leipzig}\}}$.
|
||||||
|
Sei ${f:X\to\Pot(Y)}$ die Funktion,
|
||||||
|
die der Wahl entspricht, d.\,h.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||||
|
f(x) &= &\{y\in Y\mid\text{Studierende/r $y$ hat am Tag $x$ Geburtstag}\}\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
|
||||||
|
für alle Kalendartage $x\in X$.
|
||||||
|
|
||||||
|
Nun, jede/r Studierende/r, $y\in Y$, hat einen Geburtstag,
|
||||||
|
sodass $y\in f(x)$ für ein $x\in X$.
|
||||||
|
Also $Y\subseteq\bigcup_{x\in X}f(x)$.
|
||||||
|
Und per Definition $f(x)\subseteq Y$ für alle $x\in X$.
|
||||||
|
Darum $\bigcup_{x\in X}f(x)\subseteq Y$.
|
||||||
|
Also
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||||
|
Y &= &\bigcup_{x\in X}f(x)\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
|
||||||
|
Andererseits sind die Mengen $(f(x))_{x\in X}$ paarweise disjunkt,
|
||||||
|
da jede/r Studierende/r höchstens einen Geburtstag hat.
|
||||||
|
Also ist $(f(x))_{x\in X}$ eine \emph{Partition} von $Y$.
|
||||||
|
Darum
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{ll}
|
||||||
|
&|Y| = |\bigcup_{x\in X}f(x)|
|
||||||
|
= \sum_{x\in X}|f(x)|
|
||||||
|
\leq |X|\cdot\max_{x\in X}|f(x)|\\
|
||||||
|
\Longrightarrow
|
||||||
|
&\max_{x\in X}|f(x)| \geq |Y|/|X| \geq 7000/366 > 19\\
|
||||||
|
\Longrightarrow
|
||||||
|
&\exists{x\in X:~}|f(x)|>19\\
|
||||||
|
\Longrightarrow
|
||||||
|
&\exists{x\in X:~}|f(x)|\geq 20\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
|
||||||
|
Nach der Definition von $f$ heißt dies,
|
||||||
|
es gibt einen Kalendartag, ${x\in\{\text{1.~Jan},\,\text{2.~Jan},\,\ldots,\,\text{31.~Dez}\}}$,
|
||||||
|
so dass mindestens $20$ Studierende $x$ als Geburtstag feiern.
|
||||||
|
Insbesondere gibt es $18$ Menschen, die den gleichen Geburtstag feiern.
|
||||||
|
|
||||||
%% SKA 4-10
|
%% SKA 4-10
|
||||||
\let\altsectionname\sectionname
|
\let\altsectionname\sectionname
|
||||||
@ -3168,7 +3661,142 @@ aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
|
|||||||
\label{ska:4:ex:10}
|
\label{ska:4:ex:10}
|
||||||
\let\sectionname\altsectionname
|
\let\sectionname\altsectionname
|
||||||
|
|
||||||
({\itshape Unter Arbeit})
|
\begin{claim}
|
||||||
|
\makelabel{claim:main:ska:4:ex:10}
|
||||||
|
Bezeichne mit $\Phi(n)$ die Aussage
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{kompaktitem}[\rtab][\rtab]
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
Für alle endlichen Mengen, $E_{1},E_{2},\ldots,E_{n}$,
|
||||||
|
gilt $|\prod_{i=1}^{n}E_{i}|=\prod_{i=1}^{n}|E_{i}|$.
|
||||||
|
\end{kompaktitem}
|
||||||
|
Dann gilt $\forall{n\in\ntrlpos:~}\Phi(n)$.
|
||||||
|
\end{claim}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
|
||||||
|
\begin{proof}
|
||||||
|
Wir zeigen \Cref{\beweislabel} per Induktion.
|
||||||
|
Als Induktionsanfang widmen wir uns den Fällen $n\leq 2$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
|
||||||
|
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsanfang:}}]
|
||||||
|
Sei $n=1$. Dann für alle Mengen, $E_{1}$
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||||||
|
|\prod_{i=1}^{1}E_{i}|
|
||||||
|
&= &|E_{1}|
|
||||||
|
&= &\prod_{i=1}^{1}|E_{i}|\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
|
||||||
|
Also gilt $\Phi(1)$.
|
||||||
|
\item[]
|
||||||
|
Sei $n=2$. Dann gilt für alle endlichen Mengen $E_{1},E_{2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{rcccccl}
|
||||||
|
|\prod_{i=1}^{2}E_{i}|
|
||||||
|
&= &|E_{1}\times E_{2}|
|
||||||
|
&= &|E_{1}|\cdot|E_{2}|
|
||||||
|
&= &\prod_{i=1}^{2}|E_{i}|.\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
|
||||||
|
(Dieses Resultat haben wir in \Cref{lemm:1:ska:4:ex:10} ausgelagert.)\\
|
||||||
|
Also gilt $\Phi(2)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}]
|
||||||
|
Sei $n>2$.
|
||||||
|
Angenommen, $\Phi(k)$ gilt für alle $k<n$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}]
|
||||||
|
Seien $E_{1},E_{2},\ldots,E_{n}$ beliebige endliche Mengen.
|
||||||
|
\textbf{Zu zeigen:} $|\prod_{i=1}^{n}E_{i}|=\prod_{i=1}^{n}|E_{i}|$ gilt.\\
|
||||||
|
Es gilt
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||||
|
|\prod_{i=1}^{n}E_{i}|
|
||||||
|
&= &|\prod_{i=1}^{n-1}E_{i}\times E_{n}|\\
|
||||||
|
&= &|\prod_{i=1}^{n-1}E_{i}|\cdot|E_{n}|\\
|
||||||
|
&&\text{da $\Phi(2)$ gilt}\\
|
||||||
|
&= &\prod_{i=1}^{n-1}|E_{i}|\cdot|E_{n}|\\
|
||||||
|
&&\text{wegen der IV}\\
|
||||||
|
&= &\prod_{i=1}^{n}|E_{i}|.\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
|
||||||
|
Also gilt $\Phi(n)$.
|
||||||
|
\end{kompaktenum}
|
||||||
|
|
||||||
|
Also gilt $\forall{n\in\ntrlpos:~}\Phi(n)$.
|
||||||
|
\end{proof}
|
||||||
|
\end{einzug}
|
||||||
|
|
||||||
|
Wir müssen noch den Fall für $2$ Mengen beweisen.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{lemm}
|
||||||
|
\makelabel{lemm:1:ska:4:ex:10}
|
||||||
|
Seien $X$, $Y$ beliebige \uline{endliche} Mengen.
|
||||||
|
Dann $|X\times Y|=|X|\cdot |Y|$.
|
||||||
|
\end{lemm}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{einzug}[\rtab][\rtab]
|
||||||
|
\begin{proof}
|
||||||
|
Wir beweisen dies per Induktion über $|Y|$ durchführen.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
|
||||||
|
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsanfang:}}]
|
||||||
|
Sei $Y$ eine endliche Menge mit $|Y|=0$.
|
||||||
|
Also $Y=\leer$.
|
||||||
|
Darum
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{rcccccccccl}
|
||||||
|
|X\times Y|
|
||||||
|
&= &|X\times\leer|
|
||||||
|
&= &|\leer|
|
||||||
|
&= &0
|
||||||
|
&= &|X|\cdot 0
|
||||||
|
&= &|X|\cdot|Y|.\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
\item[]
|
||||||
|
Sei $Y$ eine $1$-elementige Menge.
|
||||||
|
Dann $Y=\{y\}$ für ein Objekt, $y$.
|
||||||
|
Es ist einfach zu sehen, dass
|
||||||
|
${x\in X\mapsto (x,y)\in X\times Y}$
|
||||||
|
eine Bijektion ist.
|
||||||
|
Folglich sind $X$ und $X\times Y$ gleichmächtig.
|
||||||
|
D.\,h. $|X\times Y|=|X|=|X|\cdot 1=|X|\cdot|Y|$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}]
|
||||||
|
Sei $n>1$.
|
||||||
|
Angenommen, $|X\times Y'|=|X|\cdot |Y'|$
|
||||||
|
für alle $k$-elementigen Mengen, $Y'$
|
||||||
|
und für alle $k<n$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}]
|
||||||
|
Sei $Y$ eine beliebige $n$-elementige Menge.\\
|
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\textbf{Zu zeigen:} $|X\times Y|=|X|\times|Y|$ gilt.\\
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Da $n>0$, können wir ein beliebiges $y_{0}\in Y$ fixieren.\\
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Setze $Y':=Y\ohne\{y_{0}\}$.
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Da $Y'$ $n-1$-elementig ist, gilt per Induktionsvoraussetzung
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$|X\times Y'|=|X|\cdot|Y'|=|X|\cdot(n-1)$.\\
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Wegen Disjunktheit von $Y'$ und $\{y_{0}\}$,
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sind $X\times Y'$ und $X\times\{y_{0}\}$ ebenfalls disjunkt.
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Es folgt
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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|X\times Y|
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&= &|X\times (Y'\cup\{y_{0}\}|\\
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&= &|(X\times Y')\cup (X\times\{y_{0}\})|\\
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&= &|X\times Y'| + |X\times\{y_{0}\}|\\
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&&\text{wegen Disjunktheit}\\
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&= &|X|\cdot(n-1) + |X|\cdot 1\\
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&&\text{wegen des Falls für $1$-elementigen Mengen}\\
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&= &|X|\cdot n\\
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&&\text{wegen der rekursiven Definition von Multiplikation}\\
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&= &|X|\cdot |Y|,\\
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\end{mathe}
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\end{kompaktenum}
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Darum gilt $|X\times Y|=|X|\cdot|Y|$ für alle Mengen $X,Y$.
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\end{proof}
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\end{einzug}
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%% SKA 4-11
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%% SKA 4-11
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\let\altsectionname\sectionname
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\let\altsectionname\sectionname
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@ -3177,7 +3805,22 @@ aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit.
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\label{ska:4:ex:11}
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\label{ska:4:ex:11}
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\let\sectionname\altsectionname
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\let\sectionname\altsectionname
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({\itshape Unter Arbeit})
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In dem Induktionsschritt
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\begin{quote}
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Jetzt können wir aber auch einen der Goldfische rausnehmen
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und haben wieder ein Aquarium mit $n$ Fischen \uline{und mindestens einem} Golfisch.
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\end{quote}
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Dieser Teil des Arguments voraus, dass unter der zweiten Auswahl von $n$ Fischen
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ein Goldfisch vorhanden ist.
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In \emph{dieser} Auswahl kommt aber der zuerst rausgezogene Fisch vor
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und dieser war kein Goldfisch.
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Darum muss ein Goldfisch unter den $n-1$ anderen Fischen.
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Aber das ist nur möglich, wenn $n-1\geq 1$,
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also wenn $n\geq 2$.
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Das heißt, das Induktionsargument überspringt den Fall $n=2$!
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\setcounternach{part}{3}
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\setcounternach{part}{3}
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\part{Quizzes}
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\part{Quizzes}
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