From 916db9c9a022c4979c34e2371bc0c39c12c93d71 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: raj_mathe Date: Thu, 21 Jan 2021 10:45:03 +0100 Subject: [PATCH] master > master: Formattierung --- notes/berechnungen_wk11.md | 132 +++++++++++++++++++++---------------- 1 file changed, 75 insertions(+), 57 deletions(-) diff --git a/notes/berechnungen_wk11.md b/notes/berechnungen_wk11.md index 5b1ae9e..5ea9045 100644 --- a/notes/berechnungen_wk11.md +++ b/notes/berechnungen_wk11.md @@ -1,63 +1,80 @@ ## §1. Linear oder nicht? ## -Betrachte φ : ℝ^3 ⟶ ℝ^2 definiert wie folgt -und bestimme, in jedem Falle, ob φ linear ist. +In folgenden Aufgaben wird eine Funktion φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert. +Bestimme in jedem Falle, ob φ linear ist. a) - φ(x1, x2, x3) = ( 4·x1·x3 ) - ( 10·x2 ) -nicht linear + φ(x1, x2, x3) = ( 4·x1·x3 ) + ( 10·x2 ) + +Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(2, 0, 2) = 2·φ(1, 0, 1) gelten. +Aber: + + φ(2, 0, 2) = (16, 0)ᵀ + 2·φ(1, 0, 1) = 2·(4, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠ φ(2, 0, 2) + +Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird. b) - φ(x1, x2, x3) = ( x3^2 ) - ( 0 ) + + φ(x1, x2, x3) = ( x3² ) + ( 0 ) Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0, 0, 8) = 8·φ(0, 0, 1) gelten. Aber: - φ(0, 0, 8) = (64, 0)^T - 8·φ(0, 0, 1) = 8·(1, 0)^T = (8, 0)^T + φ(0, 0, 8) = (64, 0)ᵀ + 8·φ(0, 0, 1) = 8·(1, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠ φ(0, 0, 8) Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird. c) + φ(x1, x2, x3) = ( x3 ) ( 0 ) -linear -d) φ(x1, x2, x3) = ( 0 ) - ( 0 ) -linear +--> linear + +d) + + φ(x1, x2, x3) = ( 0 ) + ( 0 ) + +--> linear e) - φ(x1, x2, x3) = ( 4 ) - ( 0 ) + + φ(x1, x2, x3) = ( 4 ) + ( 0 ) Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2] Aber φ ist hier niemals der Nullvektor! Also ist φ nicht linear. f) - φ(x1, x2, x3) = ( 10·x3 ) - ( -x2 + x1 ) + + φ(x1, x2, x3) = ( 10·x3 ) + ( -x2 + x1 ) linear! -f') - φ(x1, x2, x3) = ( 1 - 10·x3 ) - ( -x2 + x1 ) +g) + + φ(x1, x2, x3) = ( 1 - 10·x3 ) + ( -x2 + x1 ) Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2] -Aber φ(0) = (1, 0)^T. +Aber φ(0) = (1, 0)ᵀ. Also ist φ nicht linear. -g) - φ(x1, x2, x3) = ( exp(-(7·x2 + 8·x1)) ) - ( 0 ) +h) + + φ(x1, x2, x3) = ( exp(-(7·x2 + 8·x1)) ) + ( 0 ) Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2] -Aber φ(0) = (exp(0), 0)^T = (1, 0)^T. +Aber φ(0) = (exp(0), 0)ᵀ = (1, 0)ᵀ. Also ist φ nicht linear. ## §2. Aufgaben ähnlich zu ÜB 10-2 ## @@ -65,25 +82,27 @@ Also ist φ nicht linear. Seien A = (u1, u2, u3) und B = (v1, v2), wobei - u1 = (3, 0, 1)^T - u2 = (0, -1, 0)^T - u3 = (4, 0, 0)^T + u1 = (3, 0, 1)ᵀ + u2 = (0, -1, 0)ᵀ + u3 = (4, 0, 0)ᵀ - v1 = (4, 5)^T - v2 = (0, 1)^T + v1 = (4, 5)ᵀ + v2 = (0, 1)ᵀ -[√] A bildet eine Basis für ℝ^3 -[√] B bildet eine Basis für ℝ^2 +Beachte: -Sei nun φ : ℝ^3 ⟶ ℝ^2 definiert durch +- A bildet eine Basis für ℝ³ +- B bildet eine Basis für ℝ² - φ(x1, x2, x3) = ( 4·x1 - x3 ) - ( 10·x2 + x1 ) +Sei nun φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert durch + + φ(x1, x2, x3) = ( 4·x1 - x3 ) + ( 10·x2 + x1 ) ### Zur Linearität ### Seien - (x1,x2,x3), (x1',x2',x3') ∈ ℝ^3 + (x1,x2,x3), (x1',x2',x3') ∈ ℝ³ c, c' ∈ ℝ **Zu zeigen:** @@ -92,30 +111,29 @@ Seien Es gilt l. S. = φ(c(x1, x2, x3) +c'(x1',x2',x3')) - = φ(c(x1·e1 + x2·e2 + x3·e3) +c'(x1'·e1 + x2'·e2 + x3'·e3)) - = φ((c·x1 + c'·x1)·e1 + (c·x2 + c'·x2)·e2 + (c·x3 + c'·x3)·e3) - = φ(c·x1 + c'·x1', c·x2 + c'·x2', c·x3 + c'·x3') + = φ(c(x1·e1 + x2·e2 + x3·e3) +c'(x1'·e1 + x2'·e2 + x3'·e3)) + = φ((c·x1 + c'·x1)·e1 + (c·x2 + c'·x2)·e2 + (c·x3 + c'·x3)·e3) + = φ(c·x1 + c'·x1', c·x2 + c'·x2', c·x3 + c'·x3') - = ( 4·(c·x1 + c'·x1') - (c·x3 + c'·x3') ) - ( 10·(c·x2 + c'·x2') + (c·x1 + c'·x1') ) + = ( 4·(c·x1 + c'·x1') - (c·x3 + c'·x3') ) + ( 10·(c·x2 + c'·x2') + (c·x1 + c'·x1') ) - = ( c·(4·x1 - x3) + c'·(4·x1' - x3') ) - ( c·(10·x2 + x1) + c'·(10·x2' + x1')) + = ( c·(4·x1 - x3) + c'·(4·x1' - x3') ) + ( c·(10·x2 + x1) + c'·(10·x2' + x1') ) - = c·( 4·x1 - x3 ) - ( 10·x2 + x1 ) - + c'·( 4·x1' - x3' ) - ( 10·x2' + x1' ) - = r. S. + = c·( 4·x1 - x3 ) + c'·( 4·x1' - x3' ) + ( 10·x2 + x1 ) ( 10·x2' + x1' ) + + = r. S. Darum ist φ linear. ### Darstellung ### Zunächst beobachten wir: - φ(x1, x2, x3) = ( 4 0 -1 ) ( x1 ) - ( 1 10 0 ) ( x2 ) - ( x3 ) + φ(x1, x2, x3) = ( 4 0 -1 ) ( x1 ) + ( 1 10 0 ) ( x2 ) + ( x3 ) = C·x = φ_C(x) siehe [Skript, Bsp 6.2.2], @@ -134,14 +152,14 @@ _Zurück zur Berechnung der Darstellung..._ Die zu berechnende Matrix M := M_A^B(φ), ist diejenige, die erfüllt: - ist x der Form x = ∑ α_j·u_j = (α_j) <--- als Vektor über Basis A -- und ist M·(α_j) = (β_i) für einen Vektor (β_i) ∈ ℝ^2 +- und ist M·(α_j) = (β_i) für einen Vektor (β_i) ∈ ℝ² - dann gilt φ(x) = y, wobei y = ∑ β_i·v_i Zusammengefasst ist M genau die Matrix, für die gilt: B·M·α = φ(A·α) -für alle α ∈ ℝ^3. Da φ = φ_C, ist die äquivalent zu +für alle α ∈ ℝ³. Da φ = φ_C, ist die äquivalent zu B·M·α = C·A·α @@ -165,9 +183,9 @@ Also ist das augmentiere System ( B | C·A ) - = ( 4 0 | 11 0 16 ) - ( 5 1 | 3 -10 4 ) - Zeile2 <- 4*Zeile2 - 5*Zeile1 + = ( 4 0 | 11 0 16 ) + ( 5 1 | 3 -10 4 ) + Zeile2 <- 4*Zeile2 - 5*Zeile1 ~> ( 4 0 | 11 0 16 ) ( 0 4 | -43 -40 -64 ) @@ -186,7 +204,7 @@ Darum gilt ## §3. Lineare Fortsetzung von partiell definierten Funktionen ## -Sei φ : ℝ^5 ⟶ ℝ^3 +Sei φ : ℝ^5 ⟶ ℝ³ Seien u1, u2, u3, u4, u5 eine Basis für ℝ^5.