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master > master: Woche 10

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93ca8107dc
  1. 122
      notes/berechnungen_wk10.md
  2. 16
      protocol/woche10/README.md

122
notes/berechnungen_wk10.md

@ -2,6 +2,7 @@
U = lin{u1, u2}
V = lin{v1, v2, v3}
### U ⊆ V ? ###
#### Beispiel 1 ####
@ -13,6 +14,14 @@ v1 = (4 0 0 0)ᵀ
v2 = (1 4 0 0)ᵀ
v3 = (1 0 1 0)ᵀ
Anmerkung: lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3} <===> u1, u2 ∈ lin{v1, v2, v3}
Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2)
---> auf Zeilenstufenform reduzieren
---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind.
---> ja
---> lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3}
#### Beispiel 2 ####
u1 = (1 1 0 1)ᵀ
@ -22,7 +31,120 @@ v1 = (4 0 0 0)ᵀ
v2 = (1 4 0 0)ᵀ
v3 = (1 0 1 0)ᵀ
Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2)
---> auf Zeilenstufenform reduzieren
---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind.
---> nein
---> also lin{u1, u2} ⊈ lin{v1, v2, v3}
### Basis von V/U ###
--> Beispiel 1.
u1 = (1 1 0 0)ᵀ
u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
v1 = (4 0 0 0)ᵀ
v2 = (1 0 1 0)ᵀ
v3 = (1 4 0 0)ᵀ
Schreibweise für Äquivalenzklassen:
[v] = v + U
--> die Elemente in V/U
Setze A := (u1 u2 v1 v2 v3)
---> auf Zeilenstufenform reduzieren
---> bestimmen, welche Variablen frei / unfrei sind
---> bestimme die Basis durch die Spalten, die den unfreien Variablen entsprechen
--->
x3, x5 sind frei
x1, x2, x4 nicht frei
---> v2 + U (entspricht x4) bildet eine Basis
## SKA 9-5 ##
Basis für U:
u1 = (1 1 0)ᵀ
u2 = (0 1 1)ᵀ
Basis für V = ℝ^3:
v1 = (1 0 0)ᵀ
v2 = (0 1 0)ᵀ
v3 = (0 0 1)ᵀ
A = (u1, u2, v1, v2, v3)
---> Zeilenstufenform: x1, x2, x3 nicht frei; x4, x5 frei
---> V / U = lin {v1 + U} = lin { e1 + U }
und dim(V/U) = 1
Beachte: v2 = u1 - v1 ===> v2 + U = -(v1 + U)
v3 = (u2-u1) + v1 ===> v3 + U = v1 + U
## UB9-2 (Bsp) ##
Seien
v1 = (1 0 0 4 1)ᵀ
v2 = (0 1 0 8 0)ᵀ
v3 = (-3 0 0 0 1)ᵀ
φ : ℝ^3 ---> ℝ^5
sei linear mit
φ(e_i) = v_i für alle i
1. Sei x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ^3
φ(x1,x2,x3)
= φ(x)
= φ(x1·e1 + x2·e2 + x3·e3)
= φ(x1·e1) + φ(x2·e2) + φ(x3·e3)
= x1·φ(e1) + x2·φ(e2) + x3·φ(e3)
= x1·v1 + x2·v2 + x3·v3
= Ax
wobei A = (v1 v2 v3)
= 1 0 -3
0 1 0
0 0 0
4 8 0
1 0 1
Also ist φ = φ_A (siehe Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020]).
Wℝ berechnen den Rang von A, um die Injektivität/Surjektivität/Bijektivität
von φ zu klassifizieren:
---> A in Zeilenstufenform:
1 0 -3
0 1 0
0 0 0
0 0 12
0 0 4
Rang(A) = 3
---> A ist eine mxn Matrix mit m=5, n=3
Rang(A) = 3 ≥ 3 = n ===> φ = φ_A ist injektiv
Rang(A) = 3 < 5 = m ===> φ = φ_A ist nicht surjektiv
m ≠ n ===> φ = φ_A ist nicht bijektiv
## UB9-3 (wie man ansetzen kann...) ##
ZZ ψ◦ϕ injektiv <===> ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}
(==>) Angenommen, ψ◦ϕ injektiv.
Zz: ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}.
...
(<==) Angenommen, ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}.
Zz: ψ◦ϕ injektiv
Laut Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020] reicht es aus zu zeigen,
dass Kern(ψ◦ϕ) = {0}.
Sei x ∈ U beliebig.
Zz: x ∈ Kern(ψ◦ϕ) <===> x = 0
x ∈ Kern(ψ◦ϕ)
<===> (ψ◦ϕ)(x) = 0
..
.. <--- ϕ injektiv + Kern(ψ) Bild(ϕ) = {0} ausnutzen !
..
<===> x = 0

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protocol/woche10/README.md

@ -5,7 +5,7 @@ Das Material aus _Woche 9_ ist aber für diese Woche noch relevant.
## Ablauf ##
- ( ) allgemeine Ankündigungen
- () allgemeine Ankündigungen
- Antwort auf Frage vom Prof über Argumentation (Berechnungen vs. Worte)
- Semesterende:
- Klausur in letzter Vorlesungswoche, Freitag den 12.02.2021 um 12:00–14:00. Organisatorisch genauso wie Hausaufgaben:
@ -16,9 +16,11 @@ Das Material aus _Woche 9_ ist aber für diese Woche noch relevant.
In letzter Woche Zeit in Übung zur Besprechung der Klausur.
- SKA 12 wird trotzdem veröffentlicht.
- Übrig gebliebene Themen: 5.5, 6.1, 6.2, 6.3, 6.4. Koordinatenwechsel --> Sommersemester.
- ( ) Fragen zu ÜB8
- ( ) Fragen zu SKA 8
- ( ) Fragen zu SKA 9
- Bsp.
- ( ) ÜB9 / Hinweise
- ( ) VL-Stoff + allg. Fragen (Rest)
- (√) Fragen zu ÜB8
- ~~( ) Fragen zu SKA 8~~
- (√) Fragen zu SKA 9 (9-5)
- (√) ÜB9 / Hinweise
- (√) VL-Stoff + allg. Fragen (Rest)
- Verwendung von Sätzen/Lemmate bei Aufgaben
- Faktorräume
- Rang

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