1 changed files with 46 additions and 15 deletions
@ -1,35 +1,66 @@
|
||||
# Woche 13 # |
||||
|
||||
## Bestimmung von invertierbaren Elementen und ihren Inversen ## |
||||
|
||||
ℤ/10 |
||||
Wir benutzen das Ergebnis |
||||
|
||||
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
||||
x √ x √ x x x √ x √ |
||||
k invertierbar in ℤ/n |
||||
⟺ ggT(k, n) = 1 |
||||
⟺ k, n teilerfremd |
||||
|
||||
### Beispiel 1. ### |
||||
|
||||
In ℤ/10: |
||||
|
||||
k | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
||||
k invertierbar? | x √ x √ x x x √ x √ |
||||
|
||||
invertierbare Elemente: {1, 3, 7, 9}. |
||||
|
||||
k invertierbar in ℤ/n |
||||
⟺ ggT(k, n) = 1 |
||||
⟺ k, n teilerfremd |
||||
### Beispiel 2. ### |
||||
|
||||
TODO: Inverse von Zahl modulo p |
||||
In ℤ/p sind alle Elemente außer 0 invertierbar. Wir berechnen die Inversen durch Ausprobieren |
||||
und wir beachten |
||||
|
||||
- 0 hat kein Inverses |
||||
- 1 invertiert sich selbst |
||||
- für jedes x ≠ 0 |
||||
- x invertiert sich selbst, oder |
||||
- ∃y ≠ x, so dass x, y einander invertieren. |
||||
|
||||
ℤ/2 |
||||
|
||||
0 1 |
||||
- 1 |
||||
k | 0 1 |
||||
k¯¹ | - 1 |
||||
|
||||
ℤ/3 |
||||
|
||||
0 1 2 |
||||
- 1 2 |
||||
k | 0 1 2 |
||||
k¯¹ | - 1 2 |
||||
|
||||
ℤ/5 |
||||
|
||||
0 1 2 3 4 |
||||
- 1 3 2 4 |
||||
k | 0 1 2 3 4 |
||||
k¯¹ | - 1 3 2 4 |
||||
|
||||
ℤ/7 |
||||
|
||||
0 1 2 3 4 5 6 |
||||
- 1 4 5 2 3 6 |
||||
k | 0 1 2 3 4 5 6 |
||||
k¯¹ | - 1 4 5 2 3 6 |
||||
|
||||
Den Vorgang des Ausprobieren können wir für |
||||
ℤ/n verwenden, auch wenn n keine Primzahl ist. |
||||
Es gibt nur 3 statt 2 Möglichkeiten: |
||||
- x nicht invertierbar |
||||
- x invertiert sich selbst |
||||
- x invertiert durch ein y (und y invertiert durch x). |
||||
|
||||
ℤ/4 |
||||
|
||||
k | 0 1 2 3 |
||||
k¯¹ | - 1 - 3 |
||||
|
||||
ℤ/6 |
||||
|
||||
k | 0 1 2 3 4 5 |
||||
k¯¹ | - 1 - - - 5 |
||||
|
Loading…
Reference in new issue