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# Woche 13 #
## Bestimmung von invertierbaren Elementen und ihren Inversen ##
/10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x √ x √ x x x √ x √
invertierbare Elemente: {1, 3, 7, 9}.
Wir benutzen das Ergebnis
k invertierbar in /n
⟺ ggT(k, n) = 1
⟺ k, n teilerfremd
TODO: Inverse von Zahl modulo p
### Beispiel 1. ###
In /10:
k | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
k invertierbar? | x √ x √ x x x √ x √
invertierbare Elemente: {1, 3, 7, 9}.
### Beispiel 2. ###
In /p sind alle Elemente außer 0 invertierbar. Wir berechnen die Inversen durch Ausprobieren
und wir beachten
- 0 hat kein Inverses
- 1 invertiert sich selbst
- für jedes x ≠ 0
- x invertiert sich selbst, oder
- ∃y ≠ x, so dass x, y einander invertieren.
/2
0 1
- 1
k | 0 1
k¯¹ | - 1
/3
0 1 2
- 1 2
k | 0 1 2
k¯¹ | - 1 2
/5
0 1 2 3 4
- 1 3 2 4
k | 0 1 2 3 4
k¯¹ | - 1 3 2 4
/7
0 1 2 3 4 5 6
- 1 4 5 2 3 6
k | 0 1 2 3 4 5 6
k¯¹ | - 1 4 5 2 3 6
Den Vorgang des Ausprobieren können wir für
/n verwenden, auch wenn n keine Primzahl ist.
Es gibt nur 3 statt 2 Möglichkeiten:
- x nicht invertierbar
- x invertiert sich selbst
- x invertiert durch ein y (und y invertiert durch x).
/4
k | 0 1 2 3
k¯¹ | - 1 - 3
/6
k | 0 1 2 3 4 5
k¯¹ | - 1 - - - 5