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 # Woche 13 #
 
+## Bestimmung von invertierbaren Elementen und ihren Inversen ##
 
-ℤ/10
-
-0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-x √ x √ x x x √ x √
-
-invertierbare Elemente: {1, 3, 7, 9}.
+Wir benutzen das Ergebnis
 
     k invertierbar in ℤ/n
     ⟺ ggT(k, n) = 1
     ⟺ k, n teilerfremd
 
-TODO: Inverse von Zahl modulo p
+### Beispiel 1. ###
+
+In ℤ/10:
+
+    k               | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
+    k invertierbar? | x √ x √ x x x √ x √
+
+invertierbare Elemente: {1, 3, 7, 9}.
+
+### Beispiel 2. ###
+
+In ℤ/p sind alle Elemente außer 0 invertierbar. Wir berechnen die Inversen durch Ausprobieren
+und wir beachten
+
+- 0 hat kein Inverses
+- 1 invertiert sich selbst
+- für jedes x ≠ 0
+    - x invertiert sich selbst, oder
+    - ∃y ≠ x, so dass x, y einander invertieren.
 
 ℤ/2
 
-0 1
-- 1
+    k   | 0 1
+    k¯¹ | - 1
 
 ℤ/3
 
-0 1 2
-- 1 2
+    k   | 0 1 2
+    k¯¹ | - 1 2
 
 ℤ/5
 
-0 1 2 3 4
-- 1 3 2 4
+    k   | 0 1 2 3 4
+    k¯¹ | - 1 3 2 4
 
 ℤ/7
 
-0 1 2 3 4 5 6
-- 1 4 5 2 3 6
+    k   | 0 1 2 3 4 5 6
+    k¯¹ | - 1 4 5 2 3 6
+
+Den Vorgang des Ausprobieren können wir für
+ℤ/n verwenden, auch wenn n keine Primzahl ist.
+Es gibt nur 3 statt 2 Möglichkeiten:
+- x nicht invertierbar
+- x invertiert sich selbst
+- x invertiert durch ein y (und y invertiert durch x).
+
+ℤ/4
+
+    k   | 0 1 2 3
+    k¯¹ | - 1 - 3
+
+ℤ/6
+
+    k   | 0 1 2 3 4 5
+    k¯¹ | - 1 - - - 5