diff --git a/docs/loesungen.pdf b/docs/loesungen.pdf index bc1fa65..33cebfb 100644 Binary files a/docs/loesungen.pdf and b/docs/loesungen.pdf differ diff --git a/docs/loesungen.tex b/docs/loesungen.tex index 121d0fc..40c3a8e 100644 --- a/docs/loesungen.tex +++ b/docs/loesungen.tex @@ -90,6 +90,10 @@ %% ---- body/quizzes/quiz8.tex; %% | %% ---- body/quizzes/quiz9.tex; +%% | +%% ---- body/quizzes/quiz10.tex; +%% | +%% ---- body/quizzes/quiz11.tex; %% | %% ---- back/index.tex; %% | @@ -344,6 +348,7 @@ \newcount\bufferctr \newcount\bufferreplace +\newcounter{columnanzahl} \newlength\rtab \newlength\gesamtlinkerRand @@ -657,15 +662,15 @@ \theoremstyle{nonumberplain} \theoremseparator{\thmForceSepPt} \theoremprework{\ra@pretheoremwork} - \@ifundefined{#1@star@basic}{\newtheorem{#1@star@basic}[#4]{#2}}{\renewtheorem{#1@star@basic}[#4]{#2}} + \@ifundefined{#1@star@basic}{\newtheorem{#1@star@basic}[Xdisplaynone]{#2}}{\renewtheorem{#1@star@basic}[Xdisplaynone]{#2}} %% FOR \BEGIN{THM*}[...] \theoremstyle{nonumberplain} \theoremseparator{\thmForceSepPt} \theoremprework{\ra@pretheoremwork} - \@ifundefined{#1@star@withName}{\newtheorem{#1@star@withName}[#4]{#2}}{\renewtheorem{#1@star@withName}[#4]{#2}} + \@ifundefined{#1@star@withName}{\newtheorem{#1@star@withName}[Xdisplaynone]{#2}}{\renewtheorem{#1@star@withName}[Xdisplaynone]{#2}} %% GENERATE ENVIRONMENTS: \umbauenenv{#1}{#3}[#4] - \umbauenenv{#1@star}{#3}[#4] + \umbauenenv{#1@star}{#3}[Xdisplaynone] %% TRANSFER *-DEFINITION \rathmtransfer{#1@star}{#1*} } @@ -752,6 +757,8 @@ \ranewthm{fact}{Fakt}{\enndeOnNeutralSign}[X] \ranewthm{rem}{Bemerkung}{\enndeOnNeutralSign}[X] \ranewthm{qstn}{Frage}{\enndeOnNeutralSign}[X] + \ranewthm{exer}{Aufgabe}{\enndeOnNeutralSign}[X] + \ranewthm{soln}{Lösung}{\enndeOnNeutralSign}[X] \theoremheaderfont{\itshape\bfseries} \theorembodyfont{\upshape} @@ -10625,6 +10632,226 @@ für alle linearen Unterräume, $U\subseteq V$. $\psi\circ\phi$ surjektiv $\Rightarrow$ \eqcref{it:1:quiz:9}+\eqcref{it:2:quiz:9} gelten. \end{rem*} +%% ******************************************************************************** +%% FILE: body/quizzes/quiz10.tex +%% ******************************************************************************** + +\setcounternach{chapter}{10} +\chapter[Woche 10]{Woche 10} + \label{quiz:10} + +Seien + + \begin{mathe}[mc]{cccc} + v_{1} = \begin{vector} 3\\ 2\\\end{vector}, + &v_{2} = \begin{vector} 2\\ 1\\\end{vector}, + &w_{1} = \begin{vector} 2\\ -1\\\end{vector}, + &w_{2} = \begin{vector} 0\\ 5\\\end{vector}. + \end{mathe} + +\begin{enumerate}{\bfseries (a)} +%% (a) +\item + \begin{claim*} + $\cal{A}:=(v_{1},\,v_{2})$ + und $\cal{B}:=(w_{1},\,w_{2})$ + sind jeweils Basen von $\reell^{2}$. + \end{claim*} + + \begin{proof} + Da $\dim(\reell^{2})=2$, reicht es aus zu zeigen, + dass $\cal{A}$ und $\cal{B}$ linear unabhängige Systeme sind. + Hierfür reicht es aus \textbf{zu zeigen}, + das $\rank(A)=2$ und $\rank(B)=2$, + wobei + ${A:=\left(v_{1}\ v_{2}\right)=\begin{smatrix} + 3 &2\\ + 2 &1\\ + \end{smatrix}}$ + und + ${B:=\left(w_{1}\ w_{2}\right)=\begin{smatrix} + 2 &0\\ + -1 &5\\ + \end{smatrix}}$. + Zeilenreduktion liefert uns + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + A + &\xrightarrow{ + Z_{2}\mapsfrom 3\cdot Z_{2} - 2\cdot Z_{1} + } + & + \begin{smatrix} + 3 &2\\ + 0 &-1\\ + \end{smatrix} + \\ + B + &\xrightarrow{ + Z_{2}\mapsfrom 2\cdot Z_{2} + \cdot Z_{1} + } + & + \begin{smatrix} + 2 &0\\ + 0 &10\\ + \end{smatrix} + \\ + \end{mathe} + + Also $\rank(A)=2$ und $\rank(B)=2$, + wie zu zeigen war. + \end{proof} + +%% (b) +\item + Sei $\cal{K}:=(e_{1},\,e_{2})$, die Standardbasis für $\reell^{2}$. + Sei $\phi:\reell^{2}\to\reell^{2}$ + die eindeutige lineare Abbildung, + die $\phi(v_{i})=w_{i}$ für $i\in\{1,2\}$ erfüllt.\footnote{ + Da $\cal{A}$ eine Basis von $\reell^{2}$ ist, + definieren laut \cite[Satz~6.1.13]{sinn2020} diese Bedingungen eine (eindeutige) + lineare Abbildung. + } + \textbf{Zu bestimmen:} die Matrizendarstellung $M:=M_{\cal{K}}^{\cal{K}}(\phi)$. + + \textbf{ANSATZ I}\\ + Wir versuchen, die Standardbasiselement in Bezug auf $\cal{A}$ + umzuschreiben, und berechnen die entsprechenden Outputvektoren: + + \begin{mathe}[mc]{rcccccl} + \mathbf{e}_{1} + &\textoverset{Defn}{=} + &\begin{svector} 1\\ 0\\\end{svector} + &= &2\begin{svector} 2\\ 1\\\end{svector}-\begin{svector} 3\\ 2\\\end{svector} + &= &2v_{2}-v_{1}\\ + \mathbf{e}_{2} + &\textoverset{Defn}{=} + &\begin{svector} 0\\ 1\\\end{svector} + &= &2\begin{svector} 3\\ 2\\\end{svector}-3\begin{svector} 2\\ 1\\\end{svector} + &= &2v_{1}-3v_{2}\\ + \end{mathe} + + Also gilt wegen Linearität + + \begin{mathe}[mc]{rcccccccl} + \phi(\mathbf{e}_{1}) + &= &\phi(2v_{2}-v_{1}) + &= &2\phi(v_{2})-\phi(v_{1}) + &= &2w_{2}-w_{1} + &= &\begin{svector} -2\\ 11\\\end{svector}\\ + \phi(\mathbf{e}_{2}) + &= &\phi(2v_{1}-3v_{2}) + &= &2\phi(v_{1})-3\phi(v_{2}) + &= &2w_{1}-3w_{2} + &= &\begin{svector} 4\\ -17\\\end{svector}\\ + \end{mathe} + + Da diese Outputvektoren schon in Bezug auf die Standardbasis dargestellt sind, + erhalten wir + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + M_{\cal{K}}^{\cal{K}}(\phi) + &= &\boxed{\begin{matrix}{rr} + -2 &4\\ + 11 &-17\\ + \end{matrix}}.\\ + \end{mathe} + + \textbf{ANSATZ II}\\ + In diesem Ansatz bestimmen wir auf systematische Weise + notwendige Bedingungen dafür, dass eine Matrix, $M$, $\phi$ darstellt. + Per Konstruktion, und da die Vektoren $v_{1},v_{2},w_{1},w_{2}$ bzgl. $\cal{K}$ + dargestellt wurden, muss + + \begin{mathe}[mc]{rcccl} + Mv_{i} &= &\phi(v_{i}) &= &w_{i} + \end{mathe} + + für alle $i\in\{1,2\}$ gelten. + Mit anderen Worten muss $MA=B$ gelten, + wobei $A,B$ die o.\,s. definierten Matrizen sind. + Also ist eine notwendige Bedingung $M=BA^{-1}$. + Darum ist $BA^{-1}$ \textbf{zu berechnen}. + + Hierfür gibt es mehrere Rechenwege. + Wir arbeiten mit $\left(A^{T}\vert B^{T}\right)$ + und reduzieren, bis in der linken Hälfte die Identitätsmatrix, $\onematrix$, + steht. In der rechten Hälfte steht dann $(A^{T})^{-1}B^{T}$, + also $(BA^{-1})^{T}$. + Das Resultat transponiert liefert uns dann $BA^{-1}$, also $M$.\footnote{ + Wir müssen diesen Umweg gehen, weil das Gaußverfahren uns nur + nach linkst multiplizierte Inverse liefern kann und wir schließendlich + $BA^{-1}$ berechnen wollen, + was eine Rechtsmultiplikation durch das Inverse ist. + } + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \left(A^{T}\vert B^{T}\right) + = + \begin{matrix}{rr|rr} + 3 &2 &2 &-1\\ + 2 &1 &0 &5\\ + \end{matrix} + &\xrightarrow{ + Z_{2} \mapsfrom 3\cdot Z_{2}-2\cdot Z_{1} + } + & + \begin{matrix}{rr|rr} + 3 &2 &2 &-1\\ + 0 &-1 &-4 &17\\ + \end{matrix} + \\ + &\xrightarrow{ + Z_{1} \mapsfrom Z_{1} + 2\cdot Z_{2} + } + & + \begin{matrix}{rr|rr} + 3 &0 &-6 &33\\ + 0 &-1 &-4 &17\\ + \end{matrix} + \\ + &\xrightarrow{ + \substack{ + Z_{1} \mapsfrom 3^{-1}\cdot Z_{1} + Z_{1} \mapsfrom -1\cdot Z_{2} + } + } + & + \begin{matrix}{rr|rr} + 1 &0 &-2 &11\\ + 0 &1 &4 &-17\\ + \end{matrix} + \\ + \end{mathe} + + Darum gilt notwendigerweise + + \begin{mathe}[mc]{rcccl} + M &= &\begin{smatrix} + -2 &11\\ + 4 &-17\\ + \end{smatrix}^{T} + &= &\boxed{\begin{matrix}{rr} + -2 &4\\ + 11 &-17\\ + \end{matrix}},\\ + \end{mathe} + + damit $M$ $\phi$ darstellt. + Da es eine eindeutige Darstellungsmatrix für $\phi$ gibt, + gilt somit $M_{\cal{K}}^{\cal{K}}(\phi)=M$. +\end{enumerate} + +%% ******************************************************************************** +%% FILE: body/quizzes/quiz11.tex +%% ******************************************************************************** + +\setcounternach{chapter}{11} +\chapter[Woche 11]{Woche 11} + \label{quiz:11} + +(Siehe Git-Repo $\to$ \textbf{/notes/brerechnungen\_wk12.md}.) + %% ******************************************************************************** %% FILE: back/index.tex %% ********************************************************************************