From 9ad9d20fda05e1ca72e73e23ecdb5cbee511c575 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: raj_mathe Date: Thu, 17 Dec 2020 11:19:05 +0100 Subject: [PATCH] master > master: minor --- notes/berechnungen_wk8.md | 18 +++++++++++++++--- 1 file changed, 15 insertions(+), 3 deletions(-) diff --git a/notes/berechnungen_wk8.md b/notes/berechnungen_wk8.md index 5813e78..25ce14b 100644 --- a/notes/berechnungen_wk8.md +++ b/notes/berechnungen_wk8.md @@ -129,8 +129,10 @@ Man braucht die Aufstellung der Basiselemente und das Gaußverfahren eigentlich U₁ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ + 3·x₂ = 4·x₃ + x₄} = {a₁}^⊥, wobei a₁ = (1,3,-4,-1)ᵀ + = (Lin{a₁})^⊥, U₂ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ = 5·x₂ + 2·x₃ + x₄} - = {a₂}^⊥, wobei a₂ = (1,-5,-2,-1)ᵀ + = {a₂}^⊥, wobei a₂ = (1,-5,-2,-1)ᵀv + = (Lin{a₂})^⊥, und damit gilt @@ -138,9 +140,9 @@ und damit gilt [hierfür braucht man ein Lemma (1)] = (U₁^⊥ ∩ U₂^⊥)^⊥ [hierfür braucht man ein Lemma (2)] - = (({a₁}^⊥)^⊥ ∩ ({a₂}^⊥)^⊥)^⊥ + = (((Lin{a₁})^⊥)^⊥ ∩ ((Lin{a₂})^⊥)^⊥)^⊥ = (Lin{a₁} ∩ Lin{a₂})^⊥ - [hier wird etwa Lemma 1 wieder verwendet] + [hier wird Lemma 1 wieder verwendet] = ({0})^⊥, da {a₁, a₂} offensichtlich lin unabh. sind, und damit gibt es kein gemeinsames Element @@ -148,3 +150,13 @@ und damit gilt = V, da alles in V zu 0 senkrecht steht. Dafür aber brauchen wir einiges über Skalarprodukte zu wissen. +Man braucht folgende Definition und wie angedeutet zwei Lemmata: + +**Definition.** Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt. +Für jede Teilmenge, A ⊆ V, setze man A^⊥ := {x ∈ V | ∀y∈A: ⟨x, y⟩=0}. + +**Lemma 1.** Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum mit Skalarpodukt. +Dann (U^⊥)^⊥ = U für alle Untervektorräume, U ⊆ V. + +**Lemma 2.** Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum mit Skalarpodukt. +Dann (U₁ + U₂)^⊥ = U₁^⊥ ∩ U₂^⊥ für alle Untervektorräume, U₁, U₂ ⊆ V.