raj_mathe/linalg2020
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master > master: Bemerkgung in Quiz9 überarbeitet

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@ -2715,8 +2715,7 @@ und daraus die Parameter abzulesen.
1&-2&4&0\\ 1&-2&4&0\\
0&11&-15&1\\ 0&11&-15&1\\
0&0&-7&1\\ 0&0&-7&1\\
\end{smatrix} \end{smatrix}\\
\\
\end{mathe} \end{mathe}
Wende die Zeilentransformation Wende die Zeilentransformation
@ -2728,8 +2727,7 @@ und daraus die Parameter abzulesen.
1&-2&4&0\\ 1&-2&4&0\\
0&11&-8&0\\ 0&11&-8&0\\
0&0&-7&1\\ 0&0&-7&1\\
\end{smatrix} \end{smatrix}\\
\\
\end{mathe} \end{mathe}
Aus der Zeilenstufenform erschließt sich, dass $t_{4}$ frei ist. Aus der Zeilenstufenform erschließt sich, dass $t_{4}$ frei ist.
@ -9054,7 +9052,7 @@ für alle linearen Unterräume, $U\subseteq V$.
\textbf{zu zeigen}, dass ein $x\in U$ existiert mit \textbf{zu zeigen}, dass ein $x\in U$ existiert mit
\begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{mathe}[mc]{rcl}
\eqtag[eq:0:quiz:9]{$\ast$} \eqtag[eq:0:quiz:9]
(\psi\circ\phi)(x) &= &z.\\ (\psi\circ\phi)(x) &= &z.\\
\end{mathe} \end{mathe}
@ -9102,15 +9100,18 @@ für alle linearen Unterräume, $U\subseteq V$.
\end{einzug} \end{einzug}
\begin{rem*} \begin{rem*}
Wir können in der Tat zeigen, die umgekehrte Richtung auch gilt: Wir können in der Tat zeigen, dass die umgekehrte Richtung auch gilt:
Angenommen, $\psi\circ\phi$ sei surjektiv. Angenommen, $\psi\circ\phi$ sei surjektiv.
Dann gilt Dann gilt
$W\supseteq\psi(V)\supseteq\psi(\phi(U))=(\psi\circ\phi)(U)=W$, $W\supseteq\psi(V)\supseteq\psi(\phi(U))=(\psi\circ\phi)(U)=W$,
und somit $\psi(V)=W$, und somit $\psi(V)=W$,
sodass \eqcref{it:1:quiz:9} gilt. sodass \eqcref{it:1:quiz:9} gilt.
Und für alle $y\in V$, wegen Surjektivität von $\psi\circ\phi$, Für \eqcref{it:2:quiz:9} brauchen wir nur die $\supseteq$-Inklusion zu zeigen,
existiert ein $x\in U$, so dass $\psi(y)=(\psi\circ\phi)(x)$. da die $\subseteq$-Inklusion offensichtlich wahr ist.
Daraus folgt Sei also $y\in V$ beliebig.
Wegen Surjektivität von $\psi\circ\phi$ existiert nun ein $x\in U$,
so dass $\psi(y)=(\psi\circ\phi)(x)$.
Beobachte man, dass
\begin{mathe}[mc]{rcccl} \begin{mathe}[mc]{rcccl}
\psi(y-\phi(x)) \psi(y-\phi(x))
@ -9127,8 +9128,10 @@ für alle linearen Unterräume, $U\subseteq V$.
&\in &\ker(\psi)+\range(\phi).\\ &\in &\ker(\psi)+\range(\phi).\\
\end{mathe} \end{mathe}
Also gilt die $\supseteq$-Inklusion in \eqcref{it:2:quiz:9}. Damit haben wir bewiesen, dass $V\subseteq \ker(\psi)+\range(\phi)$
Und offensichtlich gilt die $\subseteq$-Inklusion in \eqcref{it:1:quiz:9}. (d.\,h. die $\supseteq$-Inklusion in \eqcref{it:2:quiz:9}).\\
Darum gilt:
$\psi\circ\phi$ surjektiv $\Rightarrow$ \eqcref{it:1:quiz:9}+\eqcref{it:2:quiz:9} gelten.
\end{rem*} \end{rem*}
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