master > master: Bemerkgung in Quiz9 überarbeitet

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@@ -2715,8 +2715,7 @@ und daraus die Parameter abzulesen.
         1&-2&4&0\\
         0&11&-15&1\\
         0&0&-7&1\\
-        \end{smatrix}
-        \\
+        \end{smatrix}\\
     \end{mathe}
 
     Wende die Zeilentransformation
@@ -2728,8 +2727,7 @@ und daraus die Parameter abzulesen.
         1&-2&4&0\\
         0&11&-8&0\\
         0&0&-7&1\\
-        \end{smatrix}
-        \\
+        \end{smatrix}\\
     \end{mathe}
 
     Aus der Zeilenstufenform erschließt sich, dass $t_{4}$ frei ist.
@@ -9054,7 +9052,7 @@ für alle linearen Unterräume, $U\subseteq V$.
         \textbf{zu zeigen}, dass ein $x\in U$ existiert mit
 
         \begin{mathe}[mc]{rcl}
-            \eqtag[eq:0:quiz:9]{$\ast$}
+            \eqtag[eq:0:quiz:9]
             (\psi\circ\phi)(x) &= &z.\\
         \end{mathe}
 
@@ -9102,15 +9100,18 @@ für alle linearen Unterräume, $U\subseteq V$.
     \end{einzug}
 
 \begin{rem*}
-    Wir können in der Tat zeigen, die umgekehrte Richtung auch gilt:
+    Wir können in der Tat zeigen, dass die umgekehrte Richtung auch gilt:
     Angenommen, $\psi\circ\phi$ sei surjektiv.
     Dann gilt
         $W\supseteq\psi(V)\supseteq\psi(\phi(U))=(\psi\circ\phi)(U)=W$,
     und somit $\psi(V)=W$,
     sodass \eqcref{it:1:quiz:9} gilt.
-    Und für alle $y\in V$, wegen Surjektivität von $\psi\circ\phi$,
-    existiert ein $x\in U$, so dass $\psi(y)=(\psi\circ\phi)(x)$.
-    Daraus folgt
+    Für \eqcref{it:2:quiz:9} brauchen wir nur die $\supseteq$-Inklusion zu zeigen,
+    da die $\subseteq$-Inklusion offensichtlich wahr ist.
+    Sei also $y\in V$ beliebig.
+    Wegen Surjektivität von $\psi\circ\phi$ existiert nun ein $x\in U$,
+    so dass $\psi(y)=(\psi\circ\phi)(x)$.
+    Beobachte man, dass
 
         \begin{mathe}[mc]{rcccl}
             \psi(y-\phi(x))
@@ -9127,8 +9128,10 @@ für alle linearen Unterräume, $U\subseteq V$.
             &\in &\ker(\psi)+\range(\phi).\\
         \end{mathe}
 
-    Also gilt die $\supseteq$-Inklusion in \eqcref{it:2:quiz:9}.
-    Und offensichtlich gilt die $\subseteq$-Inklusion in \eqcref{it:1:quiz:9}.
+    Damit haben wir bewiesen, dass $V\subseteq \ker(\psi)+\range(\phi)$
+    (d.\,h. die $\supseteq$-Inklusion in \eqcref{it:2:quiz:9}).\\
+    Darum gilt:
+        $\psi\circ\phi$ surjektiv $\Rightarrow$ \eqcref{it:1:quiz:9}+\eqcref{it:2:quiz:9} gelten.
 \end{rem*}
 
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