From 9d97562c2edbb358a4cdc972120df40af78da2ed Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: raj_mathe Date: Wed, 24 Mar 2021 14:58:23 +0100 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?master=20>=20master:=20A6=20=C3=A4hnliche=20Auf?= =?UTF-8?q?gabe?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- notes/vorbereitungKL2_2.md | 60 +++++++++++++++++++++++++++++++++----- 1 file changed, 52 insertions(+), 8 deletions(-) diff --git a/notes/vorbereitungKL2_2.md b/notes/vorbereitungKL2_2.md index 646731c..4e964d9 100644 --- a/notes/vorbereitungKL2_2.md +++ b/notes/vorbereitungKL2_2.md @@ -1,16 +1,16 @@ -v1=... w1=... -v2=... w2=... wie in Aufgabe -v3 = (1 0 0) - [oder sagen: „es gibt“ ein v3, so dass {v1,v2,v3} eine Basis von R^3 ist] -wähle w3 in R^3 beliebig - ---> ex. lin Abb φ : R^3 ---> R^3 (siehe Satz 6.1.13) + v1=... w1=... + v2=... w2=... wie in Aufgabe + v3 = (1 0 0) + [oder sagen: „es gibt“ ein v3, so dass {v1,v2,v3} eine Basis von R^3 ist] + wähle w3 in R^3 beliebig + ---> ex. lin Abb φ : R^3 ---> R^3 (siehe Satz 6.1.13) 5b) ii) wir wissen, dass {w1, w2} lin unabh. - ---> also ex. w3 ∈ R^3 s. d. {w1, w2, w3} eine Basis von R^3 ist. - ---> lin Abb φ wie vorher erzeugen. + ---> also ex. w3 ∈ R^3 s. d. {w1, w2, w3} eine Basis von R^3 ist. + ---> lin Abb φ wie vorher erzeugen. Zz: φ ist injektiv. (Dann folgt: φ bijektiv (weil VR beide 3-dimensional sind), also φ ein Isomorphismus) Sei x ∈ Kern(φ). Dann x = c1·v1 + c2·v2 + c3·v3 @@ -103,3 +103,47 @@ d) Darum gilt x ∈ l. S. QED. + + +Es seien U, V und W Vektorräume über einem Körper K. Seien φ: U → V und ψ : V → W lineare Abbildungen. + + Beh. ψ ◦ φ injektiv <==> (φ injektiv ist + Kern(ψ) ∩ Bild(φ) = {0}). + + Beweis. + (⟹) Angenommen, ψ ◦ φ injektiv. + Zu zeigen: + i) φ injektiv + ii) Kern(ψ) ∩ Bild(φ) = {0}. + + Zu i): Zu zeigen: Kern(φ) = {0}. + Sei also x ∈ U mit φ(x) = 0. + Dann (ψ ◦ φ)(x) = ψ(φ(x)) = ψ(0) = 0. + Also x ∈ Kern(ψ ◦ φ) und per ANNAHME Kern(ψ ◦ φ) = {0} (weil injektiv). + Also x = 0. + Darum haben wir gezeigt, dass Kern(φ) ⊆ {0}. + Also Kern(φ) = {0} (weil 0 immer im Kern ist). + + Zu ii): Zu zeigen Kern(ψ) ∩ Bild(φ) ⊆ {0} ( ⊇ gilt immer, weil 0 immer im Kern und Bild ). + Sei also x ∈ Kern(ψ) ∩ Bild(φ). + Zu zeigen: x = 0. + Also x ∈ Kern(ψ) und x ∈ Bild(φ). + Also ψ(x) = 0 und x = φ(y) für ein y ∈ U. + Also ψ(φ(y)) = 0. + Also y ∈ Kern(ψ ◦ φ) und per ANNAHME Kern(ψ ◦ φ) = {0} (weil injektiv). + Also y = 0. + Also x = φ(y) = φ(0) = 0. + + (⟸) Angenommen, + i) φ injektiv + ii) Kern(ψ) ∩ Bild(φ) = {0} + Zu zeigen: ψ ◦ φ injektiv. + + Es reicht also aus zu zeigen, dass + Kern(ψ ◦ φ) = {0}. + Sei also x ∈ U mit (ψ ◦ φ)(x) = 0. + Zu zeigen: x = 0. + ... + ... [Annahme i + ii iwo gebrauchen] + ... + Also x = 0. + QED