master > master: Lösung ÜB4
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c9cf9f2e1a
commit
a15f1e32c6
Binary file not shown.
@ -51,6 +51,8 @@
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%% — body/uebung/ueb3.tex;
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%% — body/uebung/ueb3.tex;
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%% — body/uebung/ueb4.tex;
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%% — body/ska/ska4.tex;
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%% — body/ska/ska4.tex;
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%% — body/quizzes/quiz1.tex;
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%% — body/quizzes/quiz1.tex;
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@ -184,6 +186,8 @@
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\usepackage{ifthen}
|
\usepackage{ifthen}
|
||||||
\usepackage{ifnextok}
|
\usepackage{ifnextok}
|
||||||
\usepackage{longtable}
|
\usepackage{longtable}
|
||||||
|
\usepackage{multicol}
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||||||
|
\usepackage{multirow}
|
||||||
\usepackage{nameref}
|
\usepackage{nameref}
|
||||||
\usepackage{nowtoaux}
|
\usepackage{nowtoaux}
|
||||||
\usepackage{paralist}
|
\usepackage{paralist}
|
||||||
@ -1346,6 +1350,7 @@
|
|||||||
\def\id{\text{\textup id}}
|
\def\id{\text{\textup id}}
|
||||||
\def\modfn{\mathop{\text{\textup mod}}}
|
\def\modfn{\mathop{\text{\textup mod}}}
|
||||||
\def\divides{\mathbin{\mid}}
|
\def\divides{\mathbin{\mid}}
|
||||||
|
\def\ndivides{\mathbin{\nmid}}
|
||||||
\def\ggT{\mathop{\text{\upshape ggT}}}
|
\def\ggT{\mathop{\text{\upshape ggT}}}
|
||||||
\makeatother
|
\makeatother
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||||||
|
|
||||||
@ -2974,7 +2979,7 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
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|||||||
\end{proof}
|
\end{proof}
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||||||
%% AUFGABE 3-3b
|
%% AUFGABE 3-3b
|
||||||
\item
|
\item
|
||||||
Seien $n\in\ntrlpos$ und $X=\reell^{n}\times(\reell^{n}\ohne\{\zerovector\}$.
|
Seien $n\in\ntrlpos$ und $X=\reell^{n}\times(\reell^{n}\ohne\{\zerovector\})$.
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||||||
Sei $Y$ die Menge aller Geraden im $\reell^{n}$.
|
Sei $Y$ die Menge aller Geraden im $\reell^{n}$.
|
||||||
Sei ${f:X\to Y}$ durch $f(v,w)=\{v+t\cdot w\mid t\in\reell\}$ definiert.
|
Sei ${f:X\to Y}$ durch $f(v,w)=\{v+t\cdot w\mid t\in\reell\}$ definiert.
|
||||||
|
|
||||||
@ -3062,6 +3067,494 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
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|||||||
\end{proof}
|
\end{proof}
|
||||||
\end{enumerate}
|
\end{enumerate}
|
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||||||
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%% ********************************************************************************
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%% FILE: body/uebung/ueb4.tex
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%% ********************************************************************************
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\setcounternach{chapter}{4}
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|
\chapter[Woche 4]{Woche 4}
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|
\label{ueb:4}
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|
\textbf{ACHTUNG.}
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|
Diese Lösungen dienen \emph{nicht} als Musterlösungen sondern eher als Referenz.
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|
Hier wird eingehender gearbeitet, als generell verlangt wird.
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|
Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche vergleichen kann.
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%% AUFGABE 4-1
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|
\let\altsectionname\sectionname
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||||||
|
\def\sectionname{Aufgabe}
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|
\section[Aufgabe 1]{}
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|
\label{ueb:4:ex:1}
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||||||
|
\let\sectionname\altsectionname
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|
|
||||||
|
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
|
||||||
|
%% AUFGABE 4-1a
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
Betrachte die Menge $X:=\intgr\times\ntrlpos$
|
||||||
|
und die binäre Relation, $\sim\subseteq X\times X$,
|
||||||
|
die durch
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||||||
|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||||
|
(a,b)\sim (a',b') &\Longleftrightarrow &ab'=a'b
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
|
||||||
|
für $(a,b),(a',b')\in X$ definiert wird.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{claim*}
|
||||||
|
$(X,\sim)$ ist eine Äquivalenzrelation.
|
||||||
|
\end{claim*}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{proof}
|
||||||
|
Wir gehen die Axiome durch:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
|
||||||
|
\item[\uwave{{\itshape Reflexivität:}}]
|
||||||
|
Sei $(a,b)\in X$ beliebig.
|
||||||
|
\textbf{Zu zeigen:} $(a,b)\sim(a,b)$.\\
|
||||||
|
Offensichtlich gilt $ab=ab$.\\
|
||||||
|
Per Konstruktion gilt also $(a,b)\sim(a,b)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item[\uwave{{\itshape Symmetrie:}}]
|
||||||
|
Seien $(a,b),(a',b')\in X$ beliebig.
|
||||||
|
\textbf{Zu zeigen:} ${(a,b)\sim(a',b')\Rightarrow(a',b')\sim(a,b)}$.\\
|
||||||
|
Es gilt
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{rclql}
|
||||||
|
(a,b)\sim (a',b')
|
||||||
|
&\Longleftrightarrow
|
||||||
|
&ab'=a'b
|
||||||
|
&\text{(per Konstruktion)}\\
|
||||||
|
&\Longrightarrow
|
||||||
|
&a'b=ab'\\
|
||||||
|
&\Longleftrightarrow
|
||||||
|
&(a',b')\sim(a,b)
|
||||||
|
&\text{(per Konstruktion).}\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
|
||||||
|
\item[\uwave{{\itshape Transitivität:}}]
|
||||||
|
Seien $(a,b),(a',b'),(a'',b'')\in X$ beliebig.\\
|
||||||
|
\textbf{Zu zeigen:}
|
||||||
|
$(a,b)\sim(a',b')$
|
||||||
|
und
|
||||||
|
$(a',b')\sim(a'',b'')$
|
||||||
|
$\Rightarrow$
|
||||||
|
$(a,b)\sim(a'',b'')$.\\
|
||||||
|
Es gilt
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||||
|
\begin{array}[b]{0l0}
|
||||||
|
(a,b)\sim (a',b')\\
|
||||||
|
\,\text{und}\,(a',b')\sim(a'',b'')\\
|
||||||
|
\end{array}
|
||||||
|
&\Longleftrightarrow
|
||||||
|
&ab'=a'b\,\text{und}\,a'b''=a''b'\\
|
||||||
|
&&\quad\text{(per Konstruktion)}\\
|
||||||
|
&\Longrightarrow
|
||||||
|
&(ab'')b'=(ab')b''=(a'b)b''=(a'b'')b=(a''b')b=(a''b)b'\\
|
||||||
|
&\Longrightarrow
|
||||||
|
&ab''=a''b,\\
|
||||||
|
&&\quad\text{da $b'\neq 0$}\\
|
||||||
|
&\Longleftrightarrow
|
||||||
|
&(a,b)\sim(a'',b'')\\
|
||||||
|
&&\quad\text{(per Konstruktion).}\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
\end{kompaktenum}
|
||||||
|
|
||||||
|
Darum erfüllt $(X,\sim)$ die Axiome einer Äquivalenzrelation.
|
||||||
|
\end{proof}
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||||||
|
|
||||||
|
\textbf{Bemerkung.}
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|
Man kann zeigen, dass ${f:X/\lsim\to\rtnl}$
|
||||||
|
definiert durch $f([(a,b)])=a/b$
|
||||||
|
wohldefiniert und bijektiv ist.
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||||||
|
In der Tat realisieren manche Werke die rationalen Zahlen, $\rtnl$,
|
||||||
|
als genau diesen Quotientenraum,
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||||||
|
d.\,h. man kann die Äquivalenzklassen hier als rationale Zahlen deuten.
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||||||
|
|
||||||
|
%% AUFGABE 4-1b
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
Betrachte die Menge $X:=\intgr\times\intgr$
|
||||||
|
und die binäre Relation, $\leq\subseteq X\times X$,
|
||||||
|
die durch
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||||
|
(a,b)\leq(a',b') &\Longleftrightarrow &a\leq a'\,\text{und}\,b\leq b'\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
|
||||||
|
für $(a,b),(a',b')\in X$ definiert wird.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{claim*}
|
||||||
|
$(X,\leq)$ ist ist eine Halbordnung aber \fbox{nicht total}.
|
||||||
|
\end{claim*}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{proof}
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||||||
|
Wir gehen die Axiome durch:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
|
||||||
|
\item[\uwave{{\itshape Reflexivität:}}]
|
||||||
|
Sei $(a,b)\in X$ beliebig.
|
||||||
|
\textbf{Zu zeigen:} $(a,b)\leq(a,b)$.\\
|
||||||
|
Offensichtlich gilt $a\leq a$ und $b\leq b$.\\
|
||||||
|
Per Konstruktion gilt also $(a,b)\leq(a,b)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item[\uwave{{\itshape Antisymmetrie:}}]
|
||||||
|
Seien $(a,b),(a',b')\in X$ beliebig.\\
|
||||||
|
\textbf{Zu zeigen:}
|
||||||
|
$(a,b)\leq(a',b')$
|
||||||
|
und
|
||||||
|
$(a',b')\leq(a,b)$
|
||||||
|
$\Rightarrow$
|
||||||
|
$(a,b)=(a',b')$.\\
|
||||||
|
Es gilt
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||||
|
\begin{array}[b]{0l0}
|
||||||
|
(a,b)\leq (a',b')\\
|
||||||
|
\,\text{und}\,(a',b')\leq(a,b)\\
|
||||||
|
\end{array}
|
||||||
|
&\Longleftrightarrow
|
||||||
|
&a\leq a'\,\text{und}\,b\leq b'
|
||||||
|
\text{und}\,
|
||||||
|
a'\leq a\,\text{und}\,b'\leq b\\
|
||||||
|
&&\text{(per Konstruktion)}\\
|
||||||
|
&\Longrightarrow
|
||||||
|
&a=a\,\text{und}\,b=b',\\
|
||||||
|
&&\text{da $(\intgr,\leq)$ antisymmetrisch ist}\\
|
||||||
|
&\Longleftrightarrow
|
||||||
|
&(a,b)=(a',b').\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
|
||||||
|
\item[\uwave{{\itshape Transitivität:}}]
|
||||||
|
Seien $(a,b),(a',b'),(a'',b'')\in X$ beliebig.\\
|
||||||
|
\textbf{Zu zeigen:}
|
||||||
|
$(a,b)\leq(a',b')$
|
||||||
|
und
|
||||||
|
$(a',b')\leq(a'',b'')$
|
||||||
|
$\Rightarrow$
|
||||||
|
$(a,b)\leq(a'',b'')$.\\
|
||||||
|
Es gilt
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||||
|
\begin{array}[b]{0l0}
|
||||||
|
(a,b)\leq (a',b')\\
|
||||||
|
\,\text{und}\,(a',b')\leq(a'',b'')\\
|
||||||
|
\end{array}
|
||||||
|
&\Longleftrightarrow
|
||||||
|
&a\leq a'\,\text{und}\,b\leq b'
|
||||||
|
\text{und}\,
|
||||||
|
a'\leq a''\,\text{und}\,b'\leq b''\\
|
||||||
|
&&\text{(per Konstruktion)}\\
|
||||||
|
&\Longrightarrow
|
||||||
|
&a\leq a''\,\text{und}\,b\leq b'',\\
|
||||||
|
&&\text{da $(\intgr,\leq)$ transitiv ist}\\
|
||||||
|
&\Longleftrightarrow
|
||||||
|
&(a,b)\leq(a'',b'')\\
|
||||||
|
&&\text{(per Konstruktion).}\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
\end{kompaktenum}
|
||||||
|
|
||||||
|
Darum erfüllt $(X,\leq)$ die Axiome einer Halbordnung.\\
|
||||||
|
Zum Schluss, beachte, dass $(0,1)$ und $(1,0)$ bzgl. $\leq$ unvergleichbar sind.
|
||||||
|
Darum ist $(X,\leq)$ nicht total.
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|
\end{proof}
|
||||||
|
\end{enumerate}
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||||||
|
|
||||||
|
%% AUFGABE 4-2
|
||||||
|
\clearpage
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||||||
|
\let\altsectionname\sectionname
|
||||||
|
\def\sectionname{Aufgabe}
|
||||||
|
\section[Aufgabe 2]{}
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|
\label{ueb:4:ex:2}
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||||||
|
\let\sectionname\altsectionname
|
||||||
|
|
||||||
|
Fixiere $n\in\ntrlpos$. Wir definieren die binäre Relation ${\sim\subseteq\intgr\times\intgr}$
|
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|
mittels
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|
\begin{mathe}[mc]{rcl}
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||||||
|
a \sim b &:\Longleftrightarrow &\modfn(a,n)=\modfn(b,n)\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
|
||||||
|
für $a,b\in\intgr$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
|
||||||
|
%% AUFGABE 4-2a
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||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{claim*}
|
||||||
|
$(\intgr,\sim)$ ist eine Äquivalenzrelation.
|
||||||
|
\end{claim*}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{proof}
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|
Wir gehen die Axiome durch:
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|
|
||||||
|
\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
|
||||||
|
\item[\uwave{{\itshape Reflexivität:}}]
|
||||||
|
Sei $a\in \intgr$ beliebig.
|
||||||
|
\textbf{Zu zeigen:} $a\sim a$.\\
|
||||||
|
Offensichtlich gilt $\modfn(a,n)=\modfn(a,n)$.\\
|
||||||
|
Per Konstruktion gilt also $(a,b)\sim(a,b)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item[\uwave{{\itshape Symmetrie:}}]
|
||||||
|
Seien $a, a'\in \intgr$ beliebig.
|
||||||
|
\textbf{Zu zeigen:} ${a\sim a'\Rightarrow a'\sim a}$.\\
|
||||||
|
Es gilt
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{rclql}
|
||||||
|
a\sim a'
|
||||||
|
&\Longleftrightarrow
|
||||||
|
&\modfn(a,n)=\modfn(a',n)
|
||||||
|
&\text{(per Konstruktion)}\\
|
||||||
|
&\Longrightarrow
|
||||||
|
&\modfn(a',n)=\modfn(a,n)\\
|
||||||
|
&\Longleftrightarrow
|
||||||
|
& a'\sim a
|
||||||
|
&\text{(per Konstruktion).}\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
|
||||||
|
\item[\uwave{{\itshape Transitivität:}}]
|
||||||
|
Seien $ a, a', a''\in \intgr$ beliebig.
|
||||||
|
\textbf{Zu zeigen:}
|
||||||
|
$a\sim a'$
|
||||||
|
und
|
||||||
|
$a'\sim a''$
|
||||||
|
$\Rightarrow$
|
||||||
|
$a\sim a''$.\\
|
||||||
|
Es gilt
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{rclql}
|
||||||
|
a\sim a'\,\text{und}\, a'\sim a''
|
||||||
|
&\Longleftrightarrow
|
||||||
|
&\modfn(a,n)=\modfn(a',n)
|
||||||
|
\,\text{und}\,
|
||||||
|
\modfn(a',n)=\modfn(a'',n)\\
|
||||||
|
&&\text{(per Konstruktion)}\\
|
||||||
|
&\Longrightarrow
|
||||||
|
&\modfn(a,n)=\modfn(a'',n)\\
|
||||||
|
&\Longleftrightarrow
|
||||||
|
&a\sim a''
|
||||||
|
\quad\text{(per Konstruktion).}\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
\end{kompaktenum}
|
||||||
|
|
||||||
|
Darum erfüllt $(\intgr,\sim)$ die Axiome einer Äquivalenzrelation.
|
||||||
|
\end{proof}
|
||||||
|
|
||||||
|
\textbf{Bemerkung.} Es gibt einen einfacheren Ansatz.
|
||||||
|
Zunächst beweist man das allgemeine Lemma:
|
||||||
|
Für jede Äquivalenzrelation $(Y,\approx)$ und jede Relation $(X,R)$,
|
||||||
|
falls eine Funktion ${f:X\to Y}$ existiert,
|
||||||
|
so dass ${\forall{x,x'\in X:~}(x,x')\in R\Leftrightarrow f(x)\approx f(x')}$,
|
||||||
|
so gilt dass $(X,R)$ eine Äquivalenzrelation ist.
|
||||||
|
Und jetzt wendet man dies auf unseren Kontext an:
|
||||||
|
Wir die Äquivalenzrelation $(\{0,1,2\ldots,n-1\},=)$
|
||||||
|
und die Relation $(\intgr,\sim)$
|
||||||
|
und eine Abbildung ${f:a\in\intgr\mapsto\modfn(a,n)}$,
|
||||||
|
für die
|
||||||
|
${\forall{a,a'\in\intgr:~}(a,a')\in\sim\Leftrightarrow f(a)\approx f(a')}$
|
||||||
|
\emph{per Konstruktion} gilt.
|
||||||
|
Darum ist $(\intgr,\sim)$ eine Äquivalenzrelation.
|
||||||
|
|
||||||
|
%% AUFGABE 4-2b
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{claim*}
|
||||||
|
Es gibt $n$ Äquivalenzklassen.
|
||||||
|
\end{claim*}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{proof}
|
||||||
|
Betrachte die Abbildung
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||||||
|
\rho &: &\intgr/\lsim &\to &\{0,1,\ldots,n-1\}\\
|
||||||
|
&: &[a] &\mapsto &\modfn(a,n)\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
|
||||||
|
Es reicht aus \textbf{zu zeigen}, dass $\rho$ eine wohldefinierte Bijektion ist.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
|
||||||
|
\item[\uwave{{\itshape Wohldefiniertheit:}}]
|
||||||
|
Sei $C\in\intgr/\sim$ beliebig.
|
||||||
|
Seien $a,a'\in\intgr$ mit $[a]=C$ und $[a']=C$.\\
|
||||||
|
\textbf{Zu zeigen:} $\modfn(a,n)=\modfn(a',n)$.\\
|
||||||
|
Aus $[a]=C=[a']$
|
||||||
|
folgt $a\sim a'$
|
||||||
|
und damit per Konstruktion
|
||||||
|
$\modfn(a,n)=\modfn(a',n)$.
|
||||||
|
Darum ordnet $\rho$ einen eindeutig Wert $[a]$ zu.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item[\uwave{{\itshape Injektivität:}}]
|
||||||
|
Seien $C,C'\in\intgr/\lsim$ beliebig.
|
||||||
|
\textbf{Zu zeigen:} ${\rho(C)=\rho(C')\Rightarrow C=C'}$.\\
|
||||||
|
Wähle zunächst $a,a'\in\intgr$, so dass $C=[a]$ und $C=[a']$.
|
||||||
|
Dann gilt
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||||
|
\rho(C)=\rho(C')
|
||||||
|
&\Longrightarrow
|
||||||
|
&\modfn(a,n)=\modfn(a',n)\\
|
||||||
|
&\Longrightarrow
|
||||||
|
&a\sim a'\\
|
||||||
|
&\Longrightarrow
|
||||||
|
&C=[a]=[a']=C'.\\
|
||||||
|
\end{mathe}
|
||||||
|
|
||||||
|
\item[\uwave{{\itshape Surjektivität:}}]
|
||||||
|
Sei $k\in\{0,1,\ldots,n-1\}$ beliebig.
|
||||||
|
\textbf{Zu zeigen:} $k\in\rho(\intgr/\lsim)$.\\
|
||||||
|
Setze $C=[k]\in\intgr/\lsim$.
|
||||||
|
Dann $\rho(C)=\modfn(k,n)=k$.\footnote{
|
||||||
|
Seien $q\in\intgr$ und $r\in\{0,1,\ldots,n-1\}$ mit $qn+r=k$.
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Da $k,r\in\{0,1,\ldots,n-1\}$,
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gilt $qn=k-r\in\intgr\cap(-n,n)$.
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Also muss $q=0$ gelten.
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Also $r=k$.
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Also $\modfn(k,n)=r=k$.
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}
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Also gilt $k\in\rho(\intgr/\lsim)$.
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\end{kompaktenum}
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Darum ist $\rho$ eine Bijektion.
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Also gilt $|\intgr/\lsim|=|\{0,1,\ldots,n-1\}|=n$.
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\end{proof}
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%% AUFGABE 4-2c
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\item
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Laut der Berechnung in Aufgabe 2(b) gilt
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${\intgr/\lsim=\{[0],[1],\ldots,[n-1]\}}$.
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Für jedes ${k\in\{0,1,\ldots,n-1\}}$
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lässt sich die Äquivalenzklasse $[k]$
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wie folgt als Teilmenge beschreiben
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\begin{mathe}[bc]{rcl}
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[k] &= &\{a\in\intgr \mid a\sim k\}
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\,\text{per Definition}\\
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&= &\{a\in\intgr \mid \modfn(a,n)=\modfn(k,n)\}\\
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&= &\{a\in\intgr \mid \modfn(a,n)=k\}\\
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&= &\{a\in\intgr \mid \exists{q\in\intgr:~}a=qn+r\}\\
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&= &\{qn+r \mid q\in\intgr\}\\
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&= &\intgr\cdot n + r.\\
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\end{mathe}
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Also lassen sich die Äquivalenzklassen durch die Teilmengen
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${\{\intgr\cdot n+r\mid r\in\{0,1,\ldots,n-1\}\}}$
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darstellen.
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\end{enumerate}
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%% AUFGABE 4-3
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\let\altsectionname\sectionname
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\def\sectionname{Aufgabe}
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\section[Aufgabe 3]{}
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\label{ueb:4:ex:3}
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\let\sectionname\altsectionname
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\begin{claim*}
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\makelabel{claim:main:ueb:4:ex:3}
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Für $n\in\ntrlpos$ bezeichne mit $\Phi(n)$ die Aussage,
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dass für alle Mengen $X$, $Y$ mit $|X|=|Y|=n$
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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\eqtag[eq:1:\beweislabel]
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|\{f\mid f\,\text{eine Bijektion zw. $X$ und $Y$}\}| &= &n!.\\
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\end{mathe}
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Dann gilt $\forall{n\in\ntrlpos:~}\Phi(n)$.
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\end{claim*}
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\begin{proof}[Ansatz I][Ansatz I]
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Sei $n\in\ntrlpos$ und seien $X$, $Y$ $n$-elementige Mengen.
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Sei $(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})$ eine Auflistung der Elemente in $X$.
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Um eine Injektion zw. $X$ und $Y$ zu definieren,
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wählt man zuerst ein Element $y_{1}\in Y$ für $x_{1}$ (dafür gibt es $n$ Möglichkeiten),
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dann ein Element $y_{2}\in Y$ for $x_{2}$ (dafür bleiben $n-1$ Möglichkeiten übrig),
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usw.
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Darum gibt es insgesamt $n\cdot (n-1)\cdot\cdots 1=n!$
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Injektionen zwischen $X$ und $Y$.
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Da $X$ und $Y$ endlich und gleichmächtig sind,
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ist jede Injektion zwischen diesen Mengen automatisch surjektiv und damit bijektiv.
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Darum gibt es $n!$ Bijektionen zwischen $X$ und $Y$.
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\end{proof}
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\begin{proof}[Ansatz II][Ansatz II]
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Wir beweisen die Behauptung per Induktion über $n$.
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\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
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\item[\uwave{{\bfseries Induktionsanfang:}}]
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Sei $n=1$. Für $1$-elementigen Mengen $X$, $Y$,
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gibt es offensichtlich exakt eine Funktion zwischen $X$ und $Y$,
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und dies ist eine Bijektion.
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Darum gilt \eqcref{eq:1:\beweislabel}.
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\item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}]
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Sei $n>1$.
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Angenommen, $\Phi(n-1)$ gilt.
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\item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}]
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Seien $X$, $Y$ beliebige $n$-elementige Mengen.
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\textbf{Zu zeigen:} \eqcref{eq:1:\beweislabel} gilt.\\
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Fixiere $x_{0}\in X$.
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Beobachte, dass für alle $y_{0}\in Y$
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die Mengen
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$X':=X\ohne\{x_{0}\}$
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und
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$Y':=Y\ohne\{y_{0}\}$
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beide $n-1$-elementig sind.
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Betrachte nun die Abbildung
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\begin{mathe}[mc]{rcccl}
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F &: &\{g\mid g\,\text{Bij. zw. $X\ohne\{x_{0}\}$ und $Y\ohne\{x_{0}\}$}\}
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&\to
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&\{f\mid f\,\text{Bij. zw. $X$ und $Y$},\,f(x_{0})=y_{0}\}\\
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&: &g &\mapsto &g\cup\{(x_{0},y_{0})\}.\\
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\end{mathe}
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Das heißt, jede Bijektion ${g:X\ohne\{x_{0}\}\to Y\ohne\{y_{0}\}}$
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wird durch $F$ zu einer Funktion von $X$ nach $Y$ fortgesetzt,
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indem das zusätzliche Element, $x_{0}$, auf $y_{0}$ abgebildet wird.
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Es ist einfach zu sehen, dass $F$ wohldefiniert ist,
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d.\,h. für jede Bijektion ${g:X\ohne\{x_{0}\}\to Y\ohne\{y_{0}\}}$,
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|
es gilt, dass $F(g)$ eine wohldefinierte Funktion zwischen $X$ und $Y$ ist
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und weiterhin ist dies eine Bijektion.
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Außerdem ist es klar, dass die Abbildung
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\begin{mathe}[mc]{rcccl}
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|
G &: &\{f\mid f\,\text{Bij. zw. $X$ und $Y$},\,f(x_{0})=y_{0}\}
|
||||||
|
&\to
|
||||||
|
&\{g\mid g\,\text{Bij. zw. $X\ohne\{x_{0}\}$ und $Y\ohne\{x_{0}\}$}\}\\
|
||||||
|
&: &f &\mapsto &f\restr{X\ohne\{x_{0}\}\times Y\ohne\{x_{0}\}}\\
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|
\end{mathe}
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die Abbildung $F$ nach rechts und links invertiert.
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|
Also ist $G$ eine Bijektion.
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Daraus folgt per Definition von Kardinalität
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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|
\eqtag[eq:2:\beweislabel]
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|\{f\mid f\,\text{Bij. zw. $X$ und $Y$},\,f(x_{0})=y_{0}\}|
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|
&= &|\{g\mid g\,\text{Bij. zw. $X\ohne\{x_{0}\}$ und $Y\ohne\{x_{0}\}$}\}|\\
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||||||
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&= &(n-1)!\,\text{laut IV}.\\
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\end{mathe}
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Anderseits ist
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${(\{f\mid f\,\text{Bij. zw. $X$ und $Y$},\,f(x_{0})=y_{0}\})_{y_{0}\in Y}}$
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|
eine Partition von
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${\{f\mid f\,\text{Bij. zw. $X$ und $Y$}\}}$.
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Darum gilt
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\begin{mathe}[mc]{rcl}
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|\{f\mid f\,\text{Bij. zw. $X$ und $Y$}\}|
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&= &|\bigcup_{y_{0}\in Y}\{f\mid f\,\text{Bij. zw. $X$ und $Y$},\,f(x_{0})=y_{0}\}|\\
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||||||
|
&= &\sum_{y_{0}\in Y}|\{f\mid f\,\text{Bij. zw. $X$ und $Y$},\,f(x_{0})=y_{0}\}|\\
|
||||||
|
&&\text{wegen paarweise Disjunktheit}\\
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&\eqcrefoverset{eq:2:\beweislabel}{=}
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||||||
|
&\sum_{y_{0}\in Y}(n-1)!
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= |Y|\cdot (n-1)!
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= n\cdot (n-1)!
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= n!.\\
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\end{mathe}
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Also gilt \eqcref{eq:1:\beweislabel}.
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\end{kompaktenum}
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Darum gilt $\Phi(n)$ per Induktion für alle $n\in\ntrl$.
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\end{proof}
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\setcounternach{part}{2}
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\setcounternach{part}{2}
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\part{Selbstkontrollenaufgaben}
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\part{Selbstkontrollenaufgaben}
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