diff --git a/docs/loesungen.pdf b/docs/loesungen.pdf index 5aad9a4..a894467 100644 Binary files a/docs/loesungen.pdf and b/docs/loesungen.pdf differ diff --git a/docs/loesungen.tex b/docs/loesungen.tex index 4c10abd..5388373 100644 --- a/docs/loesungen.tex +++ b/docs/loesungen.tex @@ -61,6 +61,8 @@ %% | %% — body/uebung/ueb8.tex; %% | +%% — body/uebung/ueb9.tex; +%% | %% — body/ska/ska4.tex; %% | %% — body/ska/ska5.tex; @@ -82,6 +84,8 @@ %% — body/quizzes/quiz7.tex; %% | %% — body/quizzes/quiz8.tex; +%% | +%% — body/quizzes/quiz9.tex; %% | %% — back/index.tex; %% | @@ -2708,10 +2712,11 @@ und daraus die Parameter abzulesen. \begin{mathe}[mc]{c} \begin{smatrix} -1&-2&4&0\\ -0&11&-15&1\\ -0&0&-7&1\\ -\end{smatrix}\\ + 1&-2&4&0\\ + 0&11&-15&1\\ + 0&0&-7&1\\ + \end{smatrix} + \\ \end{mathe} Wende die Zeilentransformation @@ -2720,10 +2725,11 @@ und daraus die Parameter abzulesen. \begin{mathe}[mc]{c} \begin{smatrix} -1&-2&4&0\\ -0&11&-8&0\\ -0&0&-7&1\\ -\end{smatrix}\\ + 1&-2&4&0\\ + 0&11&-8&0\\ + 0&0&-7&1\\ + \end{smatrix} + \\ \end{mathe} Aus der Zeilenstufenform erschließt sich, dass $t_{4}$ frei ist. @@ -5865,6 +5871,489 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. eine Basis für $W:=\kmplx^{2}$, wenn dies als $\reell$-Vektorraum betrachtet wird. Insbesondere gilt $\dim(W)=4$. +%% ******************************************************************************** +%% FILE: body/uebung/ueb9.tex +%% ******************************************************************************** + +\setcounternach{chapter}{9} +\chapter[Woche 9]{Woche 9} + \label{ueb:9} + +%% AUFGABE 9-1 +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{Aufgabe} +\section[Aufgabe 1]{} + \label{ueb:9:ex:1} +\let\sectionname\altsectionname + + Seien + + \begin{mathe}[mc]{cqcqcqcqc} + u_{1} := \begin{svector}1\\2\\-1\\1\\\end{svector}, + &u_{2} := \begin{svector}-1\\-2\\1\\2\\\end{svector}, + &v_{1} := \begin{svector}1\\2\\-1\\-2\\\end{svector}, + &v_{2} := \begin{svector}-1\\3\\0\\-2\\\end{svector}, + &v_{3} := \begin{svector}2\\-1\\-1\\1\\\end{svector}.\\ + \end{mathe} + + Vektoren in $\reell^{4}$ und setze + + \begin{mathe}[mc]{cqc} + U:=\vectorspacespan\{u_{1},u_{2}\} + &V:=\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v_{3}\}.\\ + \end{mathe} + + \begin{schattierteboxdunn} + \begin{claim} + \makelabel{claim:1:ueb:9:ex:1} + $U\subseteq V$. + \end{claim} + \end{schattierteboxdunn} + + \begin{einzug}[\rtab][\rtab] + \begin{proof} + Es reicht aus zu zeigen, dass $u_{1},u_{2}\in\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v_{3}\}$. + Zu diesem Zwecke reicht es aus + das homogene LGS $A\mathbf{x}=\zerovector$ + in Zeilenstufenform zu bringen, + wobei + + \begin{mathe}[mc]{rcccl} + A &= &\left( + v_{1}\:v_{2}\:v_{3}\:u_{1}\:u_{2} + \right) + &= &\begin{smatrix} +1&-1&2&1&-1\\ +2&3&-1&2&-2\\ +-1&0&-1&-1&1\\ +-2&-2&1&1&2\\ +\end{smatrix}\\ + \end{mathe} + + und \textbf{zu zeigen}, dass $x_{4},x_{5}$ darin freie Unbekannte sind. + + \begin{algorithm}[\rtab][\rtab] + Zeilenoperationen + ${Z_{2}\leftsquigarrow Z_{2} - 2\cdot Z_{1}}$; + ${Z_{3}\leftsquigarrow Z_{3} + Z_{1}}$ + und + ${Z_{4}\leftsquigarrow Z_{4} + 2\cdot Z_{1}}$ + anwenden: + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \begin{matrix}{ccccc} +1 &-1 &2 &1 &-1\\ +0 &5 &-5 &0 &0\\ +0 &-1 &1 &0 &0\\ +0 &-4 &5 &3 &0\\ +\end{matrix}.\\ + \end{mathe} + + Zeilenoperation + ${Z_{3}\leftsquigarrow Z_{3} + \frac{1}{5}\cdot Z_{2}}$ + und + ${Z_{4}\leftsquigarrow Z_{4} + \frac{4}{5}\cdot Z_{2}}$ + anwenden: + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \begin{matrix}{ccccc} +1 &-1 &2 &1 &-1\\ +0 &5 &-5 &0 &0\\ +0 &0 &0 &0 &0\\ +0 &0 &1 &3 &0\\ +\end{matrix}.\\ + \end{mathe} + + Zeilenoperation + ${Z_{3}\leftrightsquigarrow Z_{4}}$ + anwenden: + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \begin{matrix}{ccccc} +\boxed{1} &-1 &2 &1 &-1\\ +0 &\boxed{5} &-5 &0 &0\\ +0 &0 &\boxed{1} &3 &0\\ +0 &0 &0 &0 &0\\ +\end{matrix}.\\ + \end{mathe} + \end{algorithm} + + Darum sind $x_{4},x_{5}$ im homogenen LGS frei. + Folglich gelten $u_{1},u_{2}\in\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v_{3}\}=V$ + und damit gilt $U=\vectorspacespan\{u_{1},u_{2}\}\subseteq V$. + \end{proof} + \end{einzug} + + \begin{rem} + \makelabel{rem:1:ueb:9:ex:1} + Im Beweis von \Cref{claim:1:ueb:9:ex:1} wurde aus der Feststellung, + dass $x_{4},x_{5}$ im LGS $A\mathbf{x}=\zerovector$ frei sind, + schlussfolgert, + dass $u_{1},u_{2}\in\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v_{3}\}$. + Diese Schlussfolgerung lässt sich rechtfertigen: + + \begin{kompaktitem}[\rtab][\rtab] + \item Sei $u\in U=\vectorspacespan\{u_{1},u_{2}\}$. + Dann existieren $c_{1},c_{2}\in\reell$, + so dass \fbox{$u=c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}$}. + \item + Setze nun im homogenen LGS $x_{4}:=-c_{1}$ und $x_{5}:=-c_{2}$ + und bestimme $x_{1},x_{2},x_{3}\in\reell$, gemäß der Zeilenstufenform. + Dies liefert uns eine Lösung zu $A\mathbf{x}=\zerovector$. + Wegen der Konstruktion von $A$ heißt dies + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \eqtag[eq:1:ueb:9:ex:1] + x_{1}v_{1}+x_{2}v_{2}+x_{3}v_{3}+x_{4}u_{1}+x_{5}u_{2} &= &\zerovector\\ + \end{mathe} + \item + Folglich gilt + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + u &= &c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}\\ + &= &-x_{4}u_{1} + -x_{5}u_{2} + \quad\text{(per Konstruktion)}\\ + &\eqcrefoverset{eq:1:ueb:9:ex:1}{=} + &x_{1}v_{1}+x_{2}v_{2}+x_{3}v_{3} + \in \vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v_{3}\}=V.\\ + \end{mathe} + + Da $u\in U$ beliebig gewählt wurde, + gilt $U\subseteq V$. + \end{kompaktitem} + + Beachte hier, dass die Freiheit von $x_{4},x_{5}$ im LGS eine kritische Rolle spielt. + \end{rem} + + \begin{schattierteboxdunn} + \begin{claim} + \makelabel{claim:2:ueb:9:ex:1} + $\{v_{2}+U\}$ ist eine Basis für $V/U$. + Insbesondere gilt $\dim(V/U)=1$. + \end{claim} + \end{schattierteboxdunn} + + \begin{einzug}[\rtab][\rtab] + \begin{proof} + Unser Ziel ist es, zu bestimmen, + in wiefern sich das\footnote{evtl. nicht linear unabhängiges} System $\{u_{1},u_{2}\}$ + durch die Vektoren + $v_{1},v_{2},v_{3}$ + erweitern lässt, + und dabei die linear abhängigen Vektoren zu entfernen + und die linear unabhängigen zu behalten + (vgl. Ansatz im Beweis von \cite[Satz~5.5.3]{sinn2020}). + Zu diesem Zwecke untersuchen wir das homogene LGS, + $B\mathbf{x}=\zeromatrix$, + wobei + + \begin{mathe}[mc]{rcccl} + B &= &\left( + u_{1}\:u_{2}\:v_{1}\:v_{2}\:v_{3} + \right) + &= &\begin{smatrix} +1&-1&1&-1&2\\ +2&-2&2&3&-1\\ +-1&1&-1&0&-1\\ +1&2&-2&-2&1\\ +\end{smatrix}.\\ + \end{mathe} + + Es reicht aus hier \textbf{zu zeigen}, + dass $x_{3},x_{5}$ frei sind und $x_{4}$ nicht frei ist. + + \begin{algorithm}[\rtab][\rtab] + Zeilenoperationen + ${Z_{2}\leftsquigarrow Z_{2} - 2\cdot Z_{1}}$; + ${Z_{3}\leftsquigarrow Z_{3} + Z_{1}}$ + und + ${Z_{4}\leftsquigarrow Z_{4} - Z_{1}}$ + anwenden: + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \begin{matrix}{ccccc} +1 &-1 &1 &-1 &2\\ +0 &0 &0 &5 &-5\\ +0 &0 &0 &-1 &1\\ +0 &3 &-3 &-1 &-1\\ +\end{matrix}.\\ + \end{mathe} + + Zeilenoperation + ${Z_{2}\leftrightsquigarrow Z_{4}}$ + anwenden: + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \begin{matrix}{ccccc} +1 &-1 &1 &-1 &2\\ +0 &3 &-3 &-1 &-1\\ +0 &0 &0 &-1 &1\\ +0 &0 &0 &5 &-5\\ +\end{matrix}.\\ + \end{mathe} + + Zeilenoperation + ${Z_{4}\leftsquigarrow Z_{4} + 5\cdot Z_{3}}$ + anwenden: + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \begin{matrix}{ccccc} +\boxed{1} &-1 &1 &-1 &2\\ +0 &\boxed{3} &-3 &-1 &-1\\ +0 &0 &0 &\boxed{-1} &1\\ +0 &0 &0 &0 &0\\ +\end{matrix}.\\ + \end{mathe} + \end{algorithm} + + Darum sind $x_{3},x_{5}$ frei und $x_{1},x_{2},x_{4}$ nicht. + Also ist $\{v_{2}+U\}$ eine (einelementige) Basis für $V/U$. + \end{proof} + \end{einzug} + + \begin{rem*} + Wie in \Cref{rem:1:ueb:9:ex:1} erklärt wurde, + sind die Spalten/Vektoren entsprechend den freien Variablen, + also $v_{1},v_{3}$, + linear abhängig von den Spalten/Vektoren entsprechend den nicht-freien Variablen, + also $u_{1},u_{2},u_{3}$. + Folglich gelten + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + v_{1}+U,v_{2}+U &\in &\vectorspacespan\{v_{3}+U\}\\ + \end{mathe} + + Und da $x_{4}$ nicht frei ist, hängt $v_{3}$ von $u_{1},u_{2}$ nicht ab. + Also gilt $v_{3}+U\neq\zerovector_{V/U}$. + \end{rem*} + +%% AUFGABE 9-2 +\clearpage +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{Aufgabe} +\section[Aufgabe 2]{} + \label{ueb:9:ex:2} +\let\sectionname\altsectionname + + Seien + + \begin{mathe}[mc]{cqcqcqcqc} + \mathbf{v}_{1} := \begin{svector}1\\-2\\3\\1\\\end{svector}, + &\mathbf{v}_{2} := \begin{svector}2\\-5\\7\\0\\\end{svector}, + &\mathbf{v}_{3} := \begin{svector}-2\\6\\-9\\-3\\\end{svector}.\\ + \end{mathe} + + Vektoren in $\reell^{4}$ und sei $\phi:\reell^{3}\to\reell^{4}$ + die eindeutig definierte lineare Abbildung mit $\phi(\mathbf{e}_{i})=\mathbf{v}_{i}$ + für $i\in\{1,2,3\}$, + wobei $\{\mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{2},\mathbf{e}_{3}\}$ + die kanonische Basis für $\reell^{3}$ ist. + + \begin{enumerate}{\bfseries (a)} + %% AUFGABE 9-2(a) + \item + Wegen Linearität gilt für alle $x_{1},x_{2},x_{3}\in\reell$ + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \phi(x_{1},x_{2},x_{3}) + &= &\phi(x_{1}\mathbf{e}_{1}+x_{2}\mathbf{e}_{2}+x_{3}\mathbf{e}_{3})\\ + &= &x_{1}\phi(\mathbf{e}_{1})+x_{2}\phi(\mathbf{e}_{2})+x_{3}\phi(\mathbf{e}_{3})\\ + &= &x_{1}\mathbf{v}_{1}+x_{2}\mathbf{v}_{2}+x_{3}\mathbf{v}_{3}\\ + &= &A\mathbf{x}\\ + \end{mathe} + + wobei + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + A &:= &\begin{smatrix} +1&2&-2\\ +-2&-5&6\\ +3&7&-9\\ +1&0&-3\\ +\end{smatrix} + \end{mathe} + + Insbesondere gilt \fbox{$\phi=\phi_{A}$}. + Im nächsten Aufgabenteil nutzen wir diese Darstellung aus. + + %% AUFGABE 9-2(b) + \item + Um zu bestimmen, ob $\phi=\phi_{A}$ injektiv, surjektiv, bijektiv ist, + berechnen wir die Zeilenstufenform von $A$. + Es gilt + + \begin{algorithm}[\rtab][\rtab] + Zeilenoperationen + ${Z_{2}\leftsquigarrow Z_{2} + 2\cdot Z_{1}}$; + ${Z_{2}\leftsquigarrow Z_{2} - 3\cdot Z_{1}}$ + und + ${Z_{3}\leftsquigarrow Z_{3} - Z_{1}}$ + anwenden: + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \begin{matrix}{ccccc} +1 &2 &-2\\ +0 &-1 &2\\ +0 &1 &-3\\ +0 &-2 &-1\\ +\end{matrix}.\\ + \end{mathe} + + Zeilenoperation + ${Z_{3}\leftsquigarrow Z_{3} + Z_{2}}$ + und + ${Z_{4}\leftsquigarrow Z_{4} - 2\cdot Z_{2}}$ + anwenden: + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \begin{matrix}{ccccc} +1 &2 &-2\\ +0 &-1 &2\\ +0 &0 &-1\\ +0 &0 &-5\\ +\end{matrix}.\\ + \end{mathe} + + Zeilenoperation + ${Z_{4}\leftsquigarrow Z_{4} - 5\cdot Z_{3}}$ + anwenden: + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \begin{matrix}{ccccc} +\boxed{1} &2 &-2\\ +0 &\boxed{-1} &2\\ +0 &0 &\boxed{-1}\\ +0 &0 &0\\ +\end{matrix}.\\ + \end{mathe} + + $\Rightarrow$ $\rank(A)=\text{\upshape Zeilenrang}(A)=3$ + (siehe \cite[Satz~6.3.11]{sinn2020}). + \end{algorithm} + + Also gilt $\phi=\phi_{A}$, + wobei $A$ eine $m\times n$-Matrix ist, + wobei $m=4$, $n=3$, + und $\rank(A)=3$. + Laut \cite[Korollar~6.3.15]{sinn2020} erhalten wir also + + \begin{kompaktitem} + \item + $\phi$ \fbox{ist injektiv}, + weil $\rank(A)=3\geq 3=n$. + \item + $\phi$ ist \fbox{nicht surjektiv}, + weil $\rank(A)=3\ngeq 4=m$. + \item + $\phi$ ist \fbox{nicht bijektiv}, + weil $m\neq n$. + \end{kompaktitem} + \end{enumerate} + +%% AUFGABE 9-3 +\clearpage +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{Aufgabe} +\section[Aufgabe 3]{} + \label{ueb:9:ex:3} +\let\sectionname\altsectionname + + Seien $U,V,W$ Vektorräume über einem Körper $K$. + Seien ${\phi:U\to V}$ und ${\psi:V\to W}$ lineare Abbildungen. + + \begin{schattierteboxdunn} + \begin{claim*} + ${\psi\circ \phi:U\to W}$ + ist injektiv $\Leftrightarrow$ + $\phi$ injektiv und $\ker(\psi)\cap\range(\phi)=\{0\}$. + \end{claim*} + \end{schattierteboxdunn} + + \begin{proof} + \hinRichtung + Angenommen, $\psi\circ\phi$ sei injektiv. + \textbf{Zu zeigen:} (i)~$\phi$ injektiv und (ii)~$\ker(\psi)\cap\range(\phi)=\{0\}$.\\ + + \begin{enumerate}{\bfseries (i)}[\rtab][\rtab] + \item + Seien $x,x'\in U$ beliebig. Dann gilt + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \phi(x)=\phi(x') + &\Longrightarrow + &\psi(\phi(x))=\psi(\phi(x'))\\ + &\Longrightarrow + &(\psi\circ \phi)(x)=(\psi\circ \phi)(x')\\ + &\textoverset{$\psi\circ\phi$ inj.}{\Longrightarrow} + &x=x'.\\ + \end{mathe} + + Folglich ist $\phi$ injektiv. + \item + Sei $y\in V$ beliebig. Es gilt + + \begin{longmathe}[mc]{RCL} + y\in\ker(\psi)\cap\range(\phi) + &\Longleftrightarrow + &y\in\range(\phi)\,\text{und}\,y\in\ker(\psi)\\ + &\Longleftrightarrow + &(\exists{x\in U:~}y=\phi(x))\,\text{und}\,y\in\ker(\psi)\\ + &\Longleftrightarrow + &\exists{x\in U:~}(y=\phi(x)\,\text{und}\,y\in\ker(\psi))\\ + &\Longleftrightarrow + &\exists{x\in U:~}(y=\phi(x)\,\text{und}\,\psi(y)=0)\\ + &\Longleftrightarrow + &\exists{x\in U:~}(y=\phi(x)\,\text{und}\,\psi(\phi(x))=0)\\ + &\Longleftrightarrow + &\exists{x\in U:~}(y=\phi(x)\,\text{und}\,(\psi\circ\phi)(x)=0)\\ + &\Longleftrightarrow + &\exists{x\in U:~}(y=\phi(x)\,\text{und}\,x\in\ker(\psi\circ\phi))\\ + &\Longleftrightarrow + &\exists{x\in U:~}(y=\phi(x)\,\text{und}\,x\in\{0\})\\ + &&\text{(wegen Injektivität von $\psi\circ\phi$ + \cite[Lemma~6.1.4(1)]{sinn2020})}\\ + &\Longleftrightarrow + &\exists{x\in U:~}(y=\phi(x)\,\text{und}\,x=0)\\ + &\Longleftrightarrow + &y=\phi(0)=0 + \Longleftrightarrow + y\in\{0\}.\\ + \end{longmathe} + + Darum gilt $\ker(\psi)\cap\range(\phi)=\{0\}$. + \end{enumerate} + + \herRichtung + Angenommen, (i)~$\phi$ sei injektiv und (ii)~$\ker(\psi)\cap\range(\phi)=\{0\}$. + \textbf{Zu zeigen:} $\psi\circ\phi$ injektiv.\\ + Hierfür wenden wir \cite[Lemma~6.1.4(1)]{sinn2020} an. + Sei $x\in U$ beliebig. Es gilt + + \begin{longmathe}[mc]{RCL} + x\in\ker(\psi\circ\phi) + &\Longleftrightarrow + &\psi(\phi(x))=(\psi\circ\phi)(x)=0\\ + &\Longleftrightarrow + &\phi(x)\in\ker(\psi)\\ + &\Longleftrightarrow + &\phi(x)\in\ker(\psi)\cap\range(\phi) + \quad + \text{($\phi(x)$ ist immer in $\range(\phi)$)}\\ + &\textoverset{(ii)}{\Longleftrightarrow} + &\phi(x)\in\{0\}\\ + &\Longleftrightarrow + &\phi(x)=0\\ + &\Longleftrightarrow + &x\in\ker(\phi)\\ + &\Longleftrightarrow + &x\in\{0\} + \quad\text{(wegen (i) + \cite[Lemma~6.1.4(1)]{sinn2020})}\\\ + \end{longmathe} + + Darum gilt $\ker(\psi\circ\phi)=\{0\}$ + und laut \cite[Lemma~6.1.4(1)]{sinn2020} + ist dies zur Injektivität von $\psi\circ\phi$ äquivalent. + \end{proof} + \setcounternach{part}{2} \part{Selbstkontrollenaufgaben} @@ -7034,22 +7523,22 @@ Für jeden Fall berechnen wir $\ggT(a,b)$ mittels des Euklidischen Algorithmus $a$ &$b$ &Restberechnung (symbolisch) &Restberechnung (Werte)\\ \hline \endhead -$1529$ &$170$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$1529 = 170\cdot 8 + 169$\\ -&&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$170 = 169\cdot 1 + \boxed{\mathbf{1}}$\\ -&&$r_{1} = r_{2}\cdot q_{3} + r_{3}$ &$169 = 1\cdot 169 + 0$\\ -\hline -$13758$ &$21$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$13758 = 21\cdot 655 + \boxed{\mathbf{3}}$\\ -&&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$21 = 3\cdot 7 + 0$\\ -\hline -$210$ &$45$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$210 = 45\cdot 4 + 30$\\ -&&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$45 = 30\cdot 1 + \boxed{\mathbf{15}}$\\ -&&$r_{1} = r_{2}\cdot q_{3} + r_{3}$ &$30 = 15\cdot 2 + 0$\\ -\hline -$1209$ &$102$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$1209 = 102\cdot 11 + 87$\\ -&&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$102 = 87\cdot 1 + 15$\\ -&&$r_{1} = r_{2}\cdot q_{3} + r_{3}$ &$87 = 15\cdot 5 + 12$\\ -&&$r_{2} = r_{3}\cdot q_{4} + r_{4}$ &$15 = 12\cdot 1 + \boxed{\mathbf{3}}$\\ -&&$r_{3} = r_{4}\cdot q_{5} + r_{5}$ &$12 = 3\cdot 4 + 0$\\ + $1529$ &$170$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$1529 = 170\cdot 8 + 169$\\ + &&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$170 = 169\cdot 1 + \boxed{\mathbf{1}}$\\ + &&$r_{1} = r_{2}\cdot q_{3} + r_{3}$ &$169 = 1\cdot 169 + 0$\\ + \hline + $13758$ &$21$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$13758 = 21\cdot 655 + \boxed{\mathbf{3}}$\\ + &&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$21 = 3\cdot 7 + 0$\\ + \hline + $210$ &$45$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$210 = 45\cdot 4 + 30$\\ + &&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$45 = 30\cdot 1 + \boxed{\mathbf{15}}$\\ + &&$r_{1} = r_{2}\cdot q_{3} + r_{3}$ &$30 = 15\cdot 2 + 0$\\ + \hline + $1209$ &$102$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$1209 = 102\cdot 11 + 87$\\ + &&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$102 = 87\cdot 1 + 15$\\ + &&$r_{1} = r_{2}\cdot q_{3} + r_{3}$ &$87 = 15\cdot 5 + 12$\\ + &&$r_{2} = r_{3}\cdot q_{4} + r_{4}$ &$15 = 12\cdot 1 + \boxed{\mathbf{3}}$\\ + &&$r_{3} = r_{4}\cdot q_{5} + r_{5}$ &$12 = 3\cdot 4 + 0$\\ \hline \hline \end{longtable} @@ -7070,18 +7559,18 @@ Wir verwenden die Berechnungen aus der Tabelle in SKA \ref{ska:5:ex:6}. $a$ &$b$ &Rest (symbolisch) &Rest (Werte)\\ \hline \endhead -$1529$ &$170$ &$r_{1} = a - 8\cdot b$ &$169 = 1\cdot a + -8\cdot b$\\ -&&$r_{2} = b - 1\cdot r_{1}$ &$\boxed{1 = \mathbf{-1}\cdot a + \mathbf{9}\cdot b}$\\ -\hline -$13758$ &$21$ &$r_{1} = a - 655\cdot b$ &$\boxed{3 = \mathbf{1}\cdot a + \mathbf{-655}\cdot b}$\\ -\hline -$210$ &$45$ &$r_{1} = a - 4\cdot b$ &$30 = 1\cdot a + -4\cdot b$\\ -&&$r_{2} = b - 1\cdot r_{1}$ &$\boxed{15 = \mathbf{-1}\cdot a + \mathbf{5}\cdot b}$\\ -\hline -$1209$ &$102$ &$r_{1} = a - 11\cdot b$ &$87 = 1\cdot a + -11\cdot b$\\ -&&$r_{2} = b - 1\cdot r_{1}$ &$15 = -1\cdot a + 12\cdot b$\\ -&&$r_{3} = r_{1} - 5\cdot r_{2}$ &$12 = 6\cdot a + -71\cdot b$\\ -&&$r_{4} = r_{2} - 1\cdot r_{3}$ &$\boxed{3 = \mathbf{-7}\cdot a + \mathbf{83}\cdot b}$\\ + $1529$ &$170$ &$r_{1} = a - 8\cdot b$ &$169 = 1\cdot a + -8\cdot b$\\ + &&$r_{2} = b - 1\cdot r_{1}$ &$\boxed{1 = \mathbf{-1}\cdot a + \mathbf{9}\cdot b}$\\ + \hline + $13758$ &$21$ &$r_{1} = a - 655\cdot b$ &$\boxed{3 = \mathbf{1}\cdot a + \mathbf{-655}\cdot b}$\\ + \hline + $210$ &$45$ &$r_{1} = a - 4\cdot b$ &$30 = 1\cdot a + -4\cdot b$\\ + &&$r_{2} = b - 1\cdot r_{1}$ &$\boxed{15 = \mathbf{-1}\cdot a + \mathbf{5}\cdot b}$\\ + \hline + $1209$ &$102$ &$r_{1} = a - 11\cdot b$ &$87 = 1\cdot a + -11\cdot b$\\ + &&$r_{2} = b - 1\cdot r_{1}$ &$15 = -1\cdot a + 12\cdot b$\\ + &&$r_{3} = r_{1} - 5\cdot r_{2}$ &$12 = 6\cdot a + -71\cdot b$\\ + &&$r_{4} = r_{2} - 1\cdot r_{3}$ &$\boxed{3 = \mathbf{-7}\cdot a + \mathbf{83}\cdot b}$\\ \hline \hline \end{longtable} @@ -7748,10 +8237,10 @@ Für $x=[2]$ und $y=[3]$ gilt $x,y\neq [0]$ und aber $xy=[2\cdot 3]=[6]=[0]$. Restberechnung (symbolisch) &Restberechnung (Werte)\\ \hline \endhead -$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$103 = 21\cdot 4 + 19$\\ -$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$21 = 19\cdot 1 + 2$\\ -$r_{1} = r_{2}\cdot q_{3} + r_{3}$ &$19 = 2\cdot 9 + \boxed{\mathbf{1}}$\\ -$r_{2} = r_{3}\cdot q_{4} + r_{4}$ &$2 = 1\cdot 2 + 0$\\ + $a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$103 = 21\cdot 4 + 19$\\ + $b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$21 = 19\cdot 1 + 2$\\ + $r_{1} = r_{2}\cdot q_{3} + r_{3}$ &$19 = 2\cdot 9 + \boxed{\mathbf{1}}$\\ + $r_{2} = r_{3}\cdot q_{4} + r_{4}$ &$2 = 1\cdot 2 + 0$\\ \hline \hline \end{longtable} @@ -7765,9 +8254,9 @@ $r_{2} = r_{3}\cdot q_{4} + r_{4}$ &$2 = 1\cdot 2 + 0$\\ Rest (symbolisch) &Rest (Werte)\\ \hline \endhead -$r_{1} = a - 4\cdot b$ &$19 = 1\cdot a + -4\cdot b$\\ -$r_{2} = b - 1\cdot r_{1}$ &$2 = -1\cdot a + 5\cdot b$\\ -$r_{3} = r_{1} - 9\cdot r_{2}$ &$\boxed{1 = \mathbf{10}\cdot a + \mathbf{-49}\cdot b}$\\ + $r_{1} = a - 4\cdot b$ &$19 = 1\cdot a + -4\cdot b$\\ + $r_{2} = b - 1\cdot r_{1}$ &$2 = -1\cdot a + 5\cdot b$\\ + $r_{3} = r_{1} - 9\cdot r_{2}$ &$\boxed{1 = \mathbf{10}\cdot a + \mathbf{-49}\cdot b}$\\ \hline \hline \end{longtable} @@ -8532,6 +9021,116 @@ für alle Teilmengen, $U\subseteq V$, und von für alle linearen Unterräume, $U\subseteq V$. \end{rem*} +%% ******************************************************************************** +%% FILE: body/quizzes/quiz9.tex +%% ******************************************************************************** + +\setcounternach{chapter}{9} +\chapter[Woche 9]{Woche 9} + \label{quiz:9} + +\begin{claim*} + Seien $U,V,W$ Vektorräume über einem Körper, $K$. + Seien + ${\phi:U\to V}$ + und + ${\psi:V\to W}$ + linear. + Falls + + \begin{kompaktenum}{\bfseries (i)}[\rtab][\rtab] + \item\label{it:1:quiz:9} + $\psi$ surjektiv ist; und + \item\label{it:2:quiz:9} + $\ker(\psi)+\range(\phi)=V$, + \end{kompaktenum} + + dann ist ${\psi\circ\phi:U\to W}$ surjektiv. +\end{claim*} + + \begin{einzug}[\rtab][\rtab] + \begin{proof} + Es reicht aus, für alle $z\in W$ + \textbf{zu zeigen}, dass ein $x\in U$ existiert mit + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \eqtag[eq:0:quiz:9]{$\ast$} + (\psi\circ\phi)(x) &= &z.\\ + \end{mathe} + + Sei also $z\in W$ beliebig. + + \begin{einzug}[\rtab] + Wegen \eqcref{it:1:quiz:9} existiert ein $y\in V$, + so dass + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \eqtag[eq:1:quiz:9] + \phi(y) &= &z.\\ + \end{mathe} + + Da $y\in V$ und laut \eqcref{it:2:quiz:9} $V=\ker(\psi)+\range(\phi)$, + es existieren $y_{0}\in\ker(\psi)$ und $y_{1}\in\range(\phi)$, + so dass + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \eqtag[eq:2:quiz:9] + y &= &y_{0}+y_{1}.\\ + \end{mathe} + + Da $y_{1}\in\range(\phi)$, existiert nun ein \fbox{$x\in U$}, + so dass $\phi(x)=y_{1}$. Wir berechnen nun + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + (\psi\circ\phi)(x) + &= &\psi(\phi(x))\\ + &= &\psi(y_{1})\\ + &\eqcrefoverset{eq:2:quiz:9}{=} + &\psi(y-y_{0})\\ + &= &\psi(y)-\psi(y_{0})\\ + &= &\psi(y)-0, + \quad\text{da $y_{0}\in\ker(\psi)$}\\ + &\eqcrefoverset{eq:1:quiz:9}{=} + &z.\\ + \end{mathe} + + Damit haben wir \eqcref{eq:0:quiz:9} gezeigt. + \end{einzug} + + Also ist $\psi\circ\phi$ surjektiv. + \end{proof} + \end{einzug} + +\begin{rem*} + Wir können in der Tat zeigen, die umgekehrte Richtung auch gilt: + Angenommen, $\psi\circ\phi$ sei surjektiv. + Dann gilt + $W\supseteq\psi(V)\supseteq\psi(\phi(U))=(\psi\circ\phi)(U)=W$, + und somit $\psi(V)=W$, + sodass \eqcref{it:1:quiz:9} gilt. + Und für alle $y\in V$, wegen Surjektivität von $\psi\circ\phi$, + existiert ein $x\in U$, so dass $\psi(y)=(\psi\circ\phi)(x)$. + Daraus folgt + + \begin{mathe}[mc]{rcccl} + \psi(y-\phi(x)) + &= &\psi(y)-\psi(\phi(x)) + &= &0,\\ + \end{mathe} + + sodass \fbox{$y-\phi(x)\in\ker(\psi)$} gilt. + Darum + + \begin{mathe}[mc]{rcccl} + y &= &\underbrace{y-\phi(x)}_{\in\ker(\psi)} + +\underbrace{\phi(x)}_{\in\range(\phi)} + &\in &\ker(\psi)+\range(\phi).\\ + \end{mathe} + + Also gilt die $\supseteq$-Inklusion in \eqcref{it:2:quiz:9}. + Und offensichtlich gilt die $\subseteq$-Inklusion in \eqcref{it:1:quiz:9}. +\end{rem*} + %% ******************************************************************************** %% FILE: back/index.tex %% ********************************************************************************