From acd5d882b8882b93cb1369f9aa0f16cc801b4d73 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: raj_mathe Date: Sat, 13 Feb 2021 15:16:36 +0100 Subject: [PATCH] master > master: Umstrukturierung --- README.md | 278 +++++++++++++++++++++++++++--------------------------- 1 file changed, 140 insertions(+), 138 deletions(-) diff --git a/README.md b/README.md index a2394a2..1b4ed78 100644 --- a/README.md +++ b/README.md @@ -14,7 +14,145 @@ Dieses Repo enthält 3. Notizen/Kritzelei für mathematische Argumente, Berechnungen, usw.: siehe [/notes](./notes). 4. Protokolle von den Übungsgruppen: siehe [/protocol](./protocol). -## Mathematisches Denken ## +Im Rest dieses Dokuments werden _Einzelheiten zum Kurs_, das Thema _mathematisches Denken_, und Software-Tipps diskutiert. + +## §1. Einzelheiten zum Kurs ## + +Die URL zum Kurs findet man hier: . + +### Wöchentliches Protokoll ### + +Jede Woche wird ein Protokoll in Markdown-Dateien im Ordner [/protocol](./protocol) festgehalten. +Beachte, dass wir uns in Wochen 12 + 13 der Wiederholung vor der Klausur widmeten. + +### Übungsgruppen ### + +Die Übungsgruppen sind Pflichtveranstaltungen. + +Jede Woche besteht der Ablauf grob aus folgenden Teilen: + +- allgemeine Ankündigungen +- Präsentation von SKA von jeder Gruppe (sofern anstehend) +- Besprechung von ÜB aus vorheriger Woche (sofern korrigiert) +- Besprechung vom Stoff aus VL +- Quiz 10min +- Breakout-Rooms für SKA + +Je nach Zeit und Nachfrage fallen manche Dinge aus, damit wir uns den wichtigeren Teilen widmen können. + +### Leistungen ### + +Klausurzulassung, wenn + +- ~~?/? Quizzes~~ ⟶ keine Voraussetzung mehr. Die Quizzes sind freiwillig! +- ≥ 50% der Punkte von 11 Übungsblättern (82,5 Punkte). +- **ACHTUNG:** Es gibt zwar ~~ggf. ein 12. ÜB und~~ mehr Punkte auf einigen Blättern, aber der Schwellwert bleibt bei 82,5 Pkt, so der Professor. + +### Klausur ### + +Allgemeine Infos: + +- am **12.02.2021** zw. **12:00–14:00**. +- Geplante Schreibdauer: **90 min** (30min Pufferzeit eingebaut, damit man Dateien herunter und hochladen kann). +- 6 Aufgaben + +Im folgenden Abschnitt werden empfohlenes Material zur Vorbereitung stichpunktartig aufgelist. + +**ANMERKUNG 1:** Siehe bitte zuerst das **Hinweise** Blatt auf dem Kurs-Moodle im Beitrag von Professor Sinn über die Klausurvorbereitung. +Das enthält Hinweise über relevanten Inhalt sowie nützliche Aufgaben zur Wiederholung. + +**ANMERKUNG 2:** Dies ist als Hinweis zu verstehen. +Generell für eine Klausur muss man den ganzen in der VL behandelten Stoff gemeistert haben. +Diese sind als minimalistische Listen von Aspekten gedacht, +die auf jeden Fall für die Klausur wichtig sind. +Sie sind nicht unbedingt vollständig. + +#### Themen / VL-Materialien #### + +- Kapitel 1: Müsst ihr allgemein kennen. + - Konkrete Dinge wie Strecken, Ebenen, usw. kommen eher in Geometrie und hier nicht vor. + - Eliminationsverfahren und Lösbarkeit von LGS: + - Lösung des homogenen Systems Ax = 0 + - Lösung des inhomogenen Systems Ax = b + - Die Äquivalenzen in §6.4 fassen einiges hier viel kürzer zusammen. +- Kapitel 2: Müsst ihr generell können. Insbesondere Umgang mit + - Axiomen von (partiellen/totalen) Ordnungsrelationen + - Axiomen von Äquivalenzrelationen + - Für Funktionen, ƒ : X ⟶ Y + - der Graph von ƒ + - Umkehrabbild ƒ¯¹ (wenn ƒ bijektiv ist). + - ƒ¯¹(B) für B ⊆ Y, d. h. Urbildmengen von B unter ƒ + (!! und dass dies NICHT dasselbe wie das Inverse ƒ¯¹ : Y ⟶ X ist !!) + - ƒ(A) für A ⊆ X, d. h. Bild von A unter ƒ + - Konzepte von Injektivität/Surjektivität/Bijektivität + (!! und dass sich diese NICHT gegenseitig ausschließen!!) + - Komposition von Funktionen +- Kapitel 3: Müsst ihr generell können. Insbesondere Umgang mit + - ℤ/_n_ für konkrete Werte von _n_, + - Berechnung von Addition, Multiplikation, und Inversen modulo _n_ (for konkrete Werte). +- Kapitel 4: + - Grundkonzepte wie Inverses in Gruppentheorie. + - Grundkonzepte von Körpern und Ringen. + - Umgang mit LGS über Vektorräume über einem Körper K (konkreter Umgang mit 𝔽ₚ für _p_ prim): + - genau wie bei ℝ-wertigen Matrizen nur mit Addition/Multiplikation/Inversen in 𝔽ₚ (d. h. ℤ/_p_). + - man muss insbesondere Division durch 0 mod p vermeiden und es hilft, + die Werte immer als Werte aus {0, 1, 2, ..., p–1} darzustellen. + Z. B. in 𝔽₅ sollte man eine Matrix + + A = ( 12 -1 4 1 ) + ( 0 80 -17 28 ) + + eher darstellen als + + A = ( 2 4 4 1 ) + ( 0 0 3 3 ), + + damit man vor allem den Rang und die Zeilenstufen richtig erkennt. +- Kapitel 5: Hier müsst ihr generell alles meistern. + - dass man aus Vektorräumen andere Vektorräume konstruieren kann (z. B. durch Produkte) + - Unterräume + - Lin(A) für A ⊆ V, V ein Vektorraum + - Basis: + - lineare Unabhängigkeit, Erzeugendensysteme, Basis. + - Überprüfung von linearer Unabhängigkeit + - Berechnung von Basen: + - anhand einer Menge von Vektorren: + - Reduktion einer Menge von Vektoren auf eine (maximale) linear unabhängige Teilmenge + - Erweiterung von Vektoren auf eine Basis + - Basis des Spaltenraums, Bild(A), für eine Matrix, A: + - A ⟶ Zeilenstufenform ⟶ merke Spaltenpositionen j1, j2, ... wo Stufen sind + - Die Spalten j1, j2, ... von der Originalmatrix, A, bilden eine Basis von Bild(A) + - Konkrete Fälle: + - „kanonische Basis“ von ℝⁿ für beliebige konkrete Werte von _n_. + - „exotische“ Beispiele von Vektorräume wie der Raum der Polynomen, ℝ\[x\], und deren „kanonische“ Basen. + - Dimension, Dimensionsformel. + - Rang: + - Zeilenrang := #Stufen von A in Zeilenstufenform + - Spaltenrang := dim(Bild(A)) + - **Lemma:** Zeilenrang = Spaltenrang + - **Definition:** Rang := Zeilenrang = Spaltenrang; +- Kapitel 6 | 6.1–6.4: + - lin. Abb + - Kern, Bild + - Injektivität, Surjektivität, Bijektivität („Isomorphismus“) + - Zusammenhang zw. Dimension von U, V und Eigenschaften von einer linearen Abbildung φ : U ⟶ V. + - !! Lineare Ausdehnung !! + - insbes. 6.1.13, nur bekommt ihr eine Situation, + wo ihr eine Definition auf einer Basis + einem zusätzlichen linear abhängigen Element bekommt + - Das Konzept von Darstellungsmatrizen (aber nicht die Berechnung von Basiswechseln) + - Invertierbare Matrizen (musst algebraisch/symbolisch damit umgehen können, aber ihr müsst keine Inversen explizit ausrechnen). Ihr müsst aber Konzepte anwenden wie (AB)¯¹ = B¯¹A¯¹, + und dass der Raum der invertierbaren Matrizen unter Multiplikation stabil sind. +- Kapitel 6 | 6.5+: nicht behandelt. +- Kapitel 7: nicht behandelt + +#### Was _anscheindend_ nicht in der Klausur vorkommt #### + +- _Räume_ von linearen Operatoren, also die Vektorräume der Form L(V, W). (Aber ihr müsst natürlich mit linearen Operatoren umgehen können!) +- Basiswechseln +- Koordinatenwecheln +- Inverse von Matrizen explizit berechnen. + +## §2. Mathematisches Denken ## Mathematik ist eine präzise aber abstrakte Kunst. Pflegen muss man den Umgang mit zwei Aspekten: @@ -74,7 +212,7 @@ Gründlich die Definitionen und Resultate durchgehen. - Austausch von konkreten Fragen in eurer Chat-Gruppe oder in online Foren wie stackexchange, math.hashcode, usw.. - In der Übungsgruppe. Bei wichtigen Fragen, die wir gemeinsam bearbeiten, werde ich versuchen, diese in dem Repository festzuhalten. -## Software für Text/Notizen ## +## §3. Software für Text/Notizen ## Unter Mathematikern, Wissenschaftlern, (womöglich auch Ingenieuren), und Informatikern sind folgende Optionen sehr beliebt: @@ -235,139 +373,3 @@ Die **Julia**-Programmiersprache soll auch sehr gut sein und kann auf . - -### Wöchentliches Protokoll ### - -Jede Woche wird ein Protokoll in Markdown-Dateien im Ordner [/protocol][./protocol/] festgehalten. -Beachte, dass wir uns in Wochen 12 + 13 der Wiederholung vor der Klausur widmeten. - -### Übungsgruppen ### - -Die Übungsgruppen sind Pflichtveranstaltungen. - -Jede Woche besteht der Ablauf grob aus folgenden Teilen: - -- allgemeine Ankündigungen -- Präsentation von SKA von jeder Gruppe (sofern anstehend) -- Besprechung von ÜB aus vorheriger Woche (sofern korrigiert) -- Besprechung vom Stoff aus VL -- Quiz 10min -- Breakout-Rooms für SKA - -Je nach Zeit und Nachfrage fallen manche Dinge aus, damit wir uns den wichtigeren Teilen widmen können. - -### Leistungen ### - -Klausurzulassung, wenn - -- ~~?/? Quizzes~~ ⟶ keine Voraussetzung mehr. Die Quizzes sind freiwillig! -- ≥ 50% der Punkte von 11 Übungsblättern (82,5 Punkte). -- **ACHTUNG:** Es gibt zwar ~~ggf. ein 12. ÜB und~~ mehr Punkte auf einigen Blättern, aber der Schwellwert bleibt bei 82,5 Pkt, so der Professor. - -### Klausur ### - -Allgemeine Infos: - -- am **12.02.2021** zw. **12:00–14:00**. -- Geplante Schreibdauer: **90 min** (30min Pufferzeit eingebaut, damit man Dateien herunter und hochladen kann). -- 6 Aufgaben - -Im folgenden Abschnitt werden empfohlenes Material zur Vorbereitung stichpunktartig aufgelist. - -**ANMERKUNG 1:** Siehe bitte zuerst das **Hinweise** Blatt auf dem Kurs-Moodle im Beitrag von Professor Sinn über die Klausurvorbereitung. -Das enthält Hinweise über relevanten Inhalt sowie nützliche Aufgaben zur Wiederholung. - -**ANMERKUNG 2:** Dies ist als Hinweis zu verstehen. -Generell für eine Klausur muss man den ganzen in der VL behandelten Stoff gemeistert haben. -Diese sind als minimalistische Listen von Aspekten gedacht, -die auf jeden Fall für die Klausur wichtig sind. -Sie sind nicht unbedingt vollständig. - -#### Themen / VL-Materialien #### - -- Kapitel 1: Müsst ihr allgemein kennen. - - Konkrete Dinge wie Strecken, Ebenen, usw. kommen eher in Geometrie und hier nicht vor. - - Eliminationsverfahren und Lösbarkeit von LGS: - - Lösung des homogenen Systems Ax = 0 - - Lösung des inhomogenen Systems Ax = b - - Die Äquivalenzen in §6.4 fassen einiges hier viel kürzer zusammen. -- Kapitel 2: Müsst ihr generell können. Insbesondere Umgang mit - - Axiomen von (partiellen/totalen) Ordnungsrelationen - - Axiomen von Äquivalenzrelationen - - Für Funktionen, ƒ : X ⟶ Y - - der Graph von ƒ - - Umkehrabbild ƒ¯¹ (wenn ƒ bijektiv ist). - - ƒ¯¹(B) für B ⊆ Y, d. h. Urbildmengen von B unter ƒ - (!! und dass dies NICHT dasselbe wie das Inverse ƒ¯¹ : Y ⟶ X ist !!) - - ƒ(A) für A ⊆ X, d. h. Bild von A unter ƒ - - Konzepte von Injektivität/Surjektivität/Bijektivität - (!! und dass sich diese NICHT gegenseitig ausschließen!!) - - Komposition von Funktionen -- Kapitel 3: Müsst ihr generell können. Insbesondere Umgang mit - - ℤ/_n_ für konkrete Werte von _n_, - - Berechnung von Addition, Multiplikation, und Inversen modulo _n_ (for konkrete Werte). -- Kapitel 4: - - Grundkonzepte wie Inverses in Gruppentheorie. - - Grundkonzepte von Körpern und Ringen. - - Umgang mit LGS über Vektorräume über einem Körper K (konkreter Umgang mit 𝔽ₚ für _p_ prim): - - genau wie bei ℝ-wertigen Matrizen nur mit Addition/Multiplikation/Inversen in 𝔽ₚ (d. h. ℤ/_p_). - - man muss insbesondere Division durch 0 mod p vermeiden und es hilft, - die Werte immer als Werte aus {0, 1, 2, ..., p–1} darzustellen. - Z. B. in 𝔽₅ sollte man eine Matrix - - A = ( 12 -1 4 1 ) - ( 0 80 -17 28 ) - - eher darstellen als - - A = ( 2 4 4 1 ) - ( 0 0 3 3 ), - - damit man vor allem den Rang und die Zeilenstufen richtig erkennt. -- Kapitel 5: Hier müsst ihr generell alles meistern. - - dass man aus Vektorräumen andere Vektorräume konstruieren kann (z. B. durch Produkte) - - Unterräume - - Lin(A) für A ⊆ V, V ein Vektorraum - - Basis: - - lineare Unabhängigkeit, Erzeugendensysteme, Basis. - - Überprüfung von linearer Unabhängigkeit - - Berechnung von Basen: - - anhand einer Menge von Vektorren: - - Reduktion einer Menge von Vektoren auf eine (maximale) linear unabhängige Teilmenge - - Erweiterung von Vektoren auf eine Basis - - Basis des Spaltenraums, Bild(A), für eine Matrix, A: - - A ⟶ Zeilenstufenform ⟶ merke Spaltenpositionen j1, j2, ... wo Stufen sind - - Die Spalten j1, j2, ... von der Originalmatrix, A, bilden eine Basis von Bild(A) - - Konkrete Fälle: - - „kanonische Basis“ von ℝⁿ für beliebige konkrete Werte von _n_. - - „exotische“ Beispiele von Vektorräume wie der Raum der Polynomen, ℝ\[x\], und deren „kanonische“ Basen. - - Dimension, Dimensionsformel. - - Rang: - - Zeilenrang := #Stufen von A in Zeilenstufenform - - Spaltenrang := dim(Bild(A)) - - **Lemma:** Zeilenrang = Spaltenrang - - **Definition:** Rang := Zeilenrang = Spaltenrang; -- Kapitel 6 | 6.1–6.4: - - lin. Abb - - Kern, Bild - - Injektivität, Surjektivität, Bijektivität („Isomorphismus“) - - Zusammenhang zw. Dimension von U, V und Eigenschaften von einer linearen Abbildung φ : U ⟶ V. - - !! Lineare Ausdehnung !! - - insbes. 6.1.13, nur bekommt ihr eine Situation, - wo ihr eine Definition auf einer Basis + einem zusätzlichen linear abhängigen Element bekommt - - Das Konzept von Darstellungsmatrizen (aber nicht die Berechnung von Basiswechseln) - - Invertierbare Matrizen (musst algebraisch/symbolisch damit umgehen können, aber ihr müsst keine Inversen explizit ausrechnen). Ihr müsst aber Konzepte anwenden wie (AB)¯¹ = B¯¹A¯¹, - und dass der Raum der invertierbaren Matrizen unter Multiplikation stabil sind. -- Kapitel 6 | 6.5+: nicht behandelt. -- Kapitel 7: nicht behandelt - -#### Was _anscheindend_ nicht in der Klausur vorkommt #### - -- _Räume_ von linearen Operatoren, also die Vektorräume der Form L(V, W). (Aber ihr müsst natürlich mit linearen Operatoren umgehen können!) -- Basiswechseln -- Koordinatenwecheln -- Inverse von Matrizen explizit berechnen.