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# Fragen zur Selbstkontrolle # |
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Für die Klausurvorbereitung. |
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## Verschiedene Fragen über Dim ## |
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1. Sei V ein Vektorraum und 0 ∈ V der Nullvektor. Was ist dim({0}) ? |
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2. Sei V ein Vektorraum und u1,u2,u3,u4 ∈ V. Was sind mögliche Werte von dim(lin{u1,u2,u3,u4}) ? |
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3. Gib die Dimensionsformel für Vektorräume an. |
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4. Seien W ein Vektorraum und U, V ⊆ W lineare Unterräume. |
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Angenommen, dim(W) = 10 und dim(U) = 6 und dim(V) = 8. |
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Was sind die möglichen Werte von dim(U ∩ V)? |
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5. Gib die Dimensionsformel für lineare Abbildungen an. |
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6. ρ : U ⟶ V sei eine injektive lineare Abbildung. Was können wir über dim(U) und dim(V) sagen? |
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7. Wie wird der Rang einer linearen Abbildung, ψ : U ⟶ V definiert? |
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## Verschiedene Fragen über Basis ## |
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1. Gib eine Basis für den Vektorraum alle Polynome ≤ 4. Grades über ℝ an. |
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2. Gib eine Basis für den Vektorraum alle 3 x 4 Matrizen an. Was ist die Dimension dieses Vektorraums? |
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3. Was ist die Dimension des Vektorraums aller m x n Matrizen? |
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4. Wie bestimmt man die Basis des Lösungsraums einer Matrix? |
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5. Wie bestimmt man die Basis des Spaltenraums einer Matrix? |
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## Verschiedene Fragen über axiomatische Relationstypen ## |
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1. Was sind die Axiome einer partiellen Ordnungsrelation? |
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2. Was muss zusätzlich gelten, damit eine partielle Ordnungsrelation eine lineare Ordnungsrelation (auch »total« genannt) ist? |
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3. Was sind die Axiome einer Äquivalenzrelation? |
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## Verschiedene Aspekte von Beweisen ## |
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In jedem der Aufgaben (ohne sie die Beweise komplett auszuführen), bestimme, |
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(1) **was _zu zeigen_ ist** und (2) **wie man einen Beweis strukturieren kann**. |
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### Aufgabe 1. ### |
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Sei ψ : U ⟶ U eine lineare Abbildung, wobei U ein Vektorraum über Körper K ist. |
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Sei λ ∈ K. |
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Ein Vektor, x, heißt _Eigenvektor_ mit _Eigenwert_ λ, wenn ψ(x) = λx. |
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Zeige, dass ρ genau dann einen Eigenvektor mit Eigenwert λ besitzt, wenn dim(Kern(ψ - λ)) > 0. |
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### Aufgabe 2. ### |
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Sei W ein Vektorraum über einem Körper, K. |
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Seien U, V lineare Unterräume von W. |
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Zeige, dass U ∩ V ein lineare Unterraum von W ist. |
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# Woche 13 (KW 6, 8.—14.2.) # |
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## Ablauf ## |
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- ( ) Organisatorische Fragen |
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- Warten noch Leute auf Bewertung für die Zulassung? |
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- [**zusatz.pdf**](../../docs/zusatz.pdf) |
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- ( ) Fragen für die Klausurvorbereitung |
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- ( ) Fragen zur Selbstkontrolle: [/notes/selbstkontrollenaufgaben.md](../../notes/selbstkontrollenaufgaben.md) |
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