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master > master: Agenda + Selbstkontrolleaufgaben

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      protocol/woche13/README.md

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notes/selbstkontrollenaufgaben.md

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# Fragen zur Selbstkontrolle #
Für die Klausurvorbereitung.
## Verschiedene Fragen über Dim ##
1. Sei V ein Vektorraum und 0 ∈ V der Nullvektor. Was ist dim({0}) ?
2. Sei V ein Vektorraum und u1,u2,u3,u4 ∈ V. Was sind mögliche Werte von dim(lin{u1,u2,u3,u4}) ?
3. Gib die Dimensionsformel für Vektorräume an.
4. Seien W ein Vektorraum und U, V ⊆ W lineare Unterräume.
Angenommen, dim(W) = 10 und dim(U) = 6 und dim(V) = 8.
Was sind die möglichen Werte von dim(U ∩ V)?
5. Gib die Dimensionsformel für lineare Abbildungen an.
6. ρ : U ⟶ V sei eine injektive lineare Abbildung. Was können wir über dim(U) und dim(V) sagen?
7. Wie wird der Rang einer linearen Abbildung, ψ : U ⟶ V definiert?
## Verschiedene Fragen über Basis ##
1. Gib eine Basis für den Vektorraum alle Polynome ≤ 4. Grades über ℝ an.
2. Gib eine Basis für den Vektorraum alle 3 x 4 Matrizen an. Was ist die Dimension dieses Vektorraums?
3. Was ist die Dimension des Vektorraums aller m x n Matrizen?
4. Wie bestimmt man die Basis des Lösungsraums einer Matrix?
5. Wie bestimmt man die Basis des Spaltenraums einer Matrix?
## Verschiedene Fragen über axiomatische Relationstypen ##
1. Was sind die Axiome einer partiellen Ordnungsrelation?
2. Was muss zusätzlich gelten, damit eine partielle Ordnungsrelation eine lineare Ordnungsrelation (auch »total« genannt) ist?
3. Was sind die Axiome einer Äquivalenzrelation?
## Verschiedene Aspekte von Beweisen ##
In jedem der Aufgaben (ohne sie die Beweise komplett auszuführen), bestimme,
(1) **was _zu zeigen_ ist** und (2) **wie man einen Beweis strukturieren kann**.
### Aufgabe 1. ###
Sei ψ : U ⟶ U eine lineare Abbildung, wobei U ein Vektorraum über Körper K ist.
Sei λ ∈ K.
Ein Vektor, x, heißt _Eigenvektor_ mit _Eigenwert_ λ, wenn ψ(x) = λx.
Zeige, dass ρ genau dann einen Eigenvektor mit Eigenwert λ besitzt, wenn dim(Kern(ψ - λ)) > 0.
### Aufgabe 2. ###
Sei W ein Vektorraum über einem Körper, K.
Seien U, V lineare Unterräume von W.
Zeige, dass U ∩ V ein lineare Unterraum von W ist.

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protocol/woche13/README.md

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# Woche 13 (KW 6, 8.—14.2.) #
## Ablauf ##
- ( ) Organisatorische Fragen
- Warten noch Leute auf Bewertung für die Zulassung?
- [**zusatz.pdf**](../../docs/zusatz.pdf)
- ( ) Fragen für die Klausurvorbereitung
- ( ) Fragen zur Selbstkontrolle: [/notes/selbstkontrollenaufgaben.md](../../notes/selbstkontrollenaufgaben.md)
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