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# Fragen zur Selbstkontrolle #
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Für die Klausurvorbereitung.
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## Verschiedene Fragen über Dim ##
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1. Sei V ein Vektorraum und 0 ∈ V der Nullvektor. Was ist dim({0}) ?
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2. Sei V ein Vektorraum und u1,u2,u3,u4 ∈ V. Was sind mögliche Werte von dim(lin{u1,u2,u3,u4}) ?
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3. Gib die Dimensionsformel für Vektorräume an.
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4. Seien W ein Vektorraum und U, V ⊆ W lineare Unterräume.
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Angenommen, dim(W) = 10 und dim(U) = 6 und dim(V) = 8.
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Was sind die möglichen Werte von dim(U ∩ V)?
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5. Gib die Dimensionsformel für lineare Abbildungen an.
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6. ρ : U ⟶ V sei eine injektive lineare Abbildung. Was können wir über dim(U) und dim(V) sagen?
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7. Wie wird der Rang einer linearen Abbildung, ψ : U ⟶ V definiert?
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## Verschiedene Fragen über Basis ##
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1. Gib eine Basis für den Vektorraum alle Polynome ≤ 4. Grades über ℝ an.
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2. Gib eine Basis für den Vektorraum alle 3 x 4 Matrizen an. Was ist die Dimension dieses Vektorraums?
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3. Was ist die Dimension des Vektorraums aller m x n Matrizen?
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4. Wie bestimmt man die Basis des Lösungsraums einer Matrix?
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5. Wie bestimmt man die Basis des Spaltenraums einer Matrix?
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## Verschiedene Fragen über axiomatische Relationstypen ##
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1. Was sind die Axiome einer partiellen Ordnungsrelation?
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2. Was muss zusätzlich gelten, damit eine partielle Ordnungsrelation eine lineare Ordnungsrelation (auch »total« genannt) ist?
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3. Was sind die Axiome einer Äquivalenzrelation?
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## Verschiedene Aspekte von Beweisen ##
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In jedem der Aufgaben (ohne sie die Beweise komplett auszuführen), bestimme,
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(1) **was _zu zeigen_ ist** und (2) **wie man einen Beweis strukturieren kann**.
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### Aufgabe 1. ###
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Sei ψ : U ⟶ U eine lineare Abbildung, wobei U ein Vektorraum über Körper K ist.
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Sei λ ∈ K.
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Ein Vektor, x, heißt _Eigenvektor_ mit _Eigenwert_ λ, wenn ψ(x) = λx.
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Zeige, dass ρ genau dann einen Eigenvektor mit Eigenwert λ besitzt, wenn dim(Kern(ψ - λ)) > 0.
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### Aufgabe 2. ###
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Sei W ein Vektorraum über einem Körper, K.
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Seien U, V lineare Unterräume von W.
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Zeige, dass U ∩ V ein lineare Unterraum von W ist.
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