master > master: Verschiebung der Berechnungen

notes/berechnungen_wk10.md

@@ -1,151 +1,295 @@
-(Für die Berechnungen haben wir Octave benutzt.)
+# Woche 10 #
-## Aufgabe ähnlich wie ÜB9-1 ##
+## §1. Linear oder nicht? ##
 
-U = lin{u1, u2}
+In folgenden Aufgaben wird eine Funktion φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert.
-V = lin{v1, v2, v3}
+Bestimme in jedem Falle, ob φ linear ist.
 
-### U ⊆ V ? ###
+a)
-#### Beispiel 1 ####
 
-    u1 = (1 1 0 0)ᵀ
+    φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4·x₁·x₃ )
-    u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
+                    ( 10·x₂   )
 
-    v1 = (4 0 0 0)ᵀ
+Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(2, 0, 2) = 2·φ(1, 0, 1) gelten.
-    v2 = (1 4 0 0)ᵀ
+Aber:
-    v3 = (1 0 1 0)ᵀ
 
-    Anmerkung: lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3} <===> u1, u2 ∈ lin{v1, v2, v3}
+    φ(2, 0, 2)   = (16, 0)ᵀ
+    2·φ(1, 0, 1) = 2·(4, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠  φ(2, 0, 2)
 
-    Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2)
+Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird.
-    ---> auf Zeilenstufenform reduzieren
-    ---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind.
-    ---> ja
-    ---> lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3}
 
-#### Beispiel 2 ####
+b)
 
-    u1 = (1 1 0 1)ᵀ
+    φ(x₁, x₂, x₃) = ( x₃² )
-    u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
+                    (  0  )
 
-    v1 = (4 0 0 0)ᵀ
+Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0, 0, 8) = 8·φ(0, 0, 1) gelten.
-    v2 = (1 4 0 0)ᵀ
+Aber:
-    v3 = (1 0 1 0)ᵀ
 
-    Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2)
+    φ(0, 0, 8)   = (64, 0)ᵀ
-    ---> auf Zeilenstufenform reduzieren
+    8·φ(0, 0, 1) = 8·(1, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠ φ(0, 0, 8)
-    ---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind.
-    ---> nein
-    ---> also lin{u1, u2} ⊈ lin{v1, v2, v3}
 
-### Basis von V/U ###
+Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird.
 
-    --> Beispiel 1.
+c)
 
-    u1 = (1 1 0 0)ᵀ
+    φ(x₁, x₂, x₃) = ( x₃ )
-    u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
+                    (  0 )
 
-    v1 = (4 0 0 0)ᵀ
+--> linear
-    v2 = (1 0 1 0)ᵀ
-    v3 = (1 4 0 0)ᵀ
 
-    Schreibweise für Äquivalenzklassen:
+d)
-        [v] = v + U
-    --> die Elemente in V/U
 
-    Setze A := (u1 u2 v1 v2 v3)
+    φ(x₁, x₂, x₃) = ( 0 )
-    ---> auf Zeilenstufenform reduzieren
+                    ( 0 )
-    ---> bestimmen, welche Variablen frei / unfrei sind
-        ---> bestimme die Basis durch die Spalten, die den unfreien Variablen entsprechen
-    --->
-        x3, x5 sind frei
-        x1, x2, x4 nicht frei
-    ---> v2 + U (entspricht x4) bildet eine Basis
 
+--> linear
 
-## SKA 9-5 ##
+e)
 
-    Basis für U:
+    φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4  )
-    u1 = (1 1 0)ᵀ
+                    ( 0  )
-    u2 = (0 1 1)ᵀ
-    Basis für V = ℝ^3:
-    v1 = (1 0 0)ᵀ
-    v2 = (0 1 0)ᵀ
-    v3 = (0 0 1)ᵀ
 
-    A = (u1, u2, v1, v2, v3)
+Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
-    ---> Zeilenstufenform: x1, x2, x3 nicht frei; x4, x5 frei
+Aber φ ist hier niemals der Nullvektor!
-    ---> V / U = lin {v1 + U} = lin { e1 + U }
+Also ist φ nicht linear.
-        und dim(V/U) = 1
 
-        Beachte: v2 = u1 - v1      ===> v2 + U = -(v1 + U)
+f)
-                v3 = (u2-u1) + v1 ===> v3 + U = v1 + U
+
+    φ(x₁, x₂, x₃) = ( 10·x₃     )
+                    (  -x₂ + x₁ )
+
+linear!
+
+g)
+
+    φ(x₁, x₂, x₃) = ( 1 - 10·x₃ )
+                    (  -x₂ + x₁ )
+
+Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
+Aber φ(0) = (1, 0)ᵀ.
+Also ist φ nicht linear.
+
+h)
+
+    φ(x₁, x₂, x₃) = ( exp(-(7·x₂ + 8·x₁)) )
+                    ( 0                   )
+
+Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
+Aber φ(0) = (exp(0), 0)ᵀ = (1, 0)ᵀ.
+Also ist φ nicht linear.
+
+## §2. Aufgaben ähnlich zu ÜB 10-2 ##
+
+Seien A = (u₁, u₂, u₃) und B = (v₁, v₂),
+wobei
+
+    u₁ = (3,  0, 1)ᵀ
+    u₂ = (0, -1, 0)ᵀ
+    u₃ = (4,  0, 0)ᵀ
+
+    v₁ = (4, 5)ᵀ
+    v₂ = (0, 1)ᵀ
+
+Beachte:
+
+- A bildet eine Basis für ℝ³
+- B bildet eine Basis für ℝ²
+
+Sei nun φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert durch
+
+    φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4·x₁ - x₃  )
+                    ( 10·x₂ + x₁ )
+
+### Zur Linearität ###
+Seien
+
+    (x₁,x₂,x₃), (x₁',x₂',x₃') ∈ ℝ³
+    c, c' ∈ ℝ
+
+**Zu zeigen:**
+    φ(c(x₁, x₂, x₃) +c'(x₁',x₂',x₃')) = c·φ(x₁, x₂, x₃) +c'·φ(x₁', x₂', x₃')
+
+Es gilt
+
+    l. S. = φ(c(x₁, x₂, x₃) +c'(x₁',x₂',x₃'))
+          = φ(c(x₁·e1 + x₂·e2 + x₃·e3) +c'(x₁'·e1 + x₂'·e2 + x₃'·e3))
+          = φ((c·x₁ + c'·x₁)·e1 + (c·x₂ + c'·x₂)·e2 + (c·x₃ + c'·x₃)·e3)
+          = φ(c·x₁ + c'·x₁', c·x₂ + c'·x₂', c·x₃ + c'·x₃')
+
+          = ( 4·(c·x₁ + c'·x₁') - (c·x₃ + c'·x₃')  )
+            ( 10·(c·x₂ + c'·x₂') + (c·x₁ + c'·x₁') )
+
+          = ( c·(4·x₁ - x₃)  + c'·(4·x₁' - x₃')  )
+            ( c·(10·x₂ + x₁) + c'·(10·x₂' + x₁') )
+
+          = c·( 4·x₁ - x₃  ) + c'·( 4·x₁' - x₃' )
+              ( 10·x₂ + x₁ )      ( 10·x₂' + x₁' )
+
+          = r. S.
+
+Darum ist φ linear.
+
+### Darstellung ###
+Zunächst beobachten wir:
+
+    φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4   0   -1 ) ( x₁ )
+                    ( 1   10   0 ) ( x₂ )
+                                   ( x₃ )
+                  = C·x
+                  = φ_C(x)   siehe [Skript, Bsp 6.2.2],
+
+wobei C die Matrix
+
+    C = ( 4   0   -1 )
+        ( 1   10   0 )
+
+ist.
+
+**Bemerkung.** Den vorherigen Teil konnten wir hiermit viel einfacher machen:
+Da φ_C linear ist (siehe [Skript, Bsp 6.2.2]), ist φ = φ_C linear.
+
+_Zurück zur Berechnung der Darstellung..._
+
+Die zu berechnende Matrix M := M_A^B(φ), ist diejenige, die erfüllt:
+
+- ist x der Form x = ∑ α_j·u_j = (α_j) <--- als Vektor über Basis A
+- und ist M·(α_j) = (β_i) für einen Vektor (β_i) ∈ ℝ²
+- dann gilt φ(x) = y, wobei y = ∑ β_i·v_i
+
+Zusammengefasst ist M genau die Matrix, für die gilt:
+
+    B·M·α = φ(A·α)
+
+für alle α ∈ ℝ³. Da φ = φ_C, ist die äquivalent zu
+
+    B·M·α = C·A·α
+
+Kurzgesagt: M_A^B(φ) = B^-1 · C · A.
+Um dies zu bestimmen, wenden wir das Gaußverfahren
+auf folgendes augmentiertes System an
+
+    ( B | C·A )
+
+und reduzieren die linke Hälfte auf die Identitätsmatrix.
+Die resultierende Matrix in der rechten Hälfte wir dann M sein.
+Es gilt
+
+    C·A = ( 4   0   -1 ) (3   0   4)
+          ( 1   10   0 ) (0  -1   0)
+                         (1   0   0)
+        = ( 11    0   16 )
+          (  3  -10    4 )
+
+Also ist das augmentiere System
+
+    ( B | C·A )
+
+     = ( 4    0  |  11    0   16 )
+       ( 5    1  |   3  -10    4 )
+       Zeile2 <- 4*Zeile2 - 5*Zeile1
+
+    ~> ( 4    0  |   11    0   16 )
+       ( 0    4  |  -43  -40  -64 )
+       Zeile1 <- Zeile1 : 4
+       Zeile2 <- Zeile2 : 4
+
+    ~> ( 1    0  |   11/4    0    4 )
+       ( 0    1  |  -43/4  -10  -16 )
+
+Darum gilt
+
+    M_A^B(φ) = (  11/4    0    4 )
+               ( -43/4  -10  -16 )
 
 
 
-## UB9-2 (Bsp) ##
+## §3. Lineare Fortsetzung von partiell definierten Funktionen ##
 
-    Seien
+Seien u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis für ℝ⁵.
+Seien v₁, v₂, v₃ Vektoren in ℝ³.
+Definiert werden
 
-    v1 = (1 0 0 4 1)ᵀ
+    φ(u₁) = v₁, φ(u₂) = v₂, φ(u₄) = v₃
-    v2 = (0 1 0 8 0)ᵀ
-    v3 = (-3 0 0 0 1)ᵀ
 
-    φ : ℝ^3 ---> ℝ^5
+**Aufgabe:** Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³, die die o. s. Gleichungen erfüllen?
-    sei linear mit
-        φ(e_i) = v_i für alle i
 
-    1. Sei x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ^3
+**Antwort:** Ja.
-        φ(x1,x2,x3)
-        = φ(x)
-        = φ(x1·e1 + x2·e2 + x3·e3)
-        = φ(x1·e1) + φ(x2·e2) + φ(x3·e3)
-        = x1·φ(e1) + x2·φ(e2) + x3·φ(e3)
-        = x1·v1 + x2·v2 + x3·v3
-        = Ax
-    wobei A = (v1 v2 v3)
-        =   1   0  -3
-            0   1   0
-            0   0   0
-            4   8   0
-            1   0   1
-    Also ist φ = φ_A (siehe Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020]).
-    Wℝ berechnen den Rang von A, um die Injektivität/Surjektivität/Bijektivität
-    von φ zu klassifizieren:
-    ---> A in Zeilenstufenform:
-            1    0   -3
-            0    1    0
-            0    0    0
-            0    0   12
-            0    0    4
-        Rang(A) = 3
-    ---> A ist eine mxn Matrix mit m=5, n=3
-            Rang(A) = 3 ≥ 3 = n ===> φ = φ_A ist injektiv
-            Rang(A) = 3 < 5 = m ===> φ = φ_A ist nicht surjektiv
-            m ≠ n ===> φ = φ_A ist nicht bijektiv
 
+**Beweis:**
+Da eine (u₁, u₂, u₃, u₄, u₅) Basis für ℝ⁵ ist,
+können wir [Skript, Satz 6.1.13] anwenden.
+Setze
 
+        φ(u₃) := 0 (Nullvektor)
+        φ(u₅) := 0 (Nullvektor)
 
-## UB9-3 (wie man ansetzen kann...) ##
+Mit der partiellen Definition von φ auf der Basis (u₁, u₂, u₃, u₄, u₅),
+existiert laut [Skript, Satz 6.1.13] eine **lineare Ausdehnung**
+(auch _Fortsetzung_ od. _Erweiterung_ in der Literatur genannt)
+φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³, so dass
 
-**Zz:** ψ◦ϕ injektiv <===> ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}
+    φ(u₁) = v₁, φ(u₂) = v₂, φ(u₄) = v₃, φ(u₃) = 0, φ(u₅) = 0.
+**QED**
 
-(==>) Angenommen, ψ◦ϕ injektiv.
+**Bemerkung 1.**
-**Zz:** ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}.
+Konkret, da u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis ist,
+existiert für jedes x ∈ ℝ⁵ eindeutige Werte
+c₁, c₂, c₃, c₄, c₅ im Körper ℝ,
+so dass
 
-...
+    x = ∑ c_i · ui
 
-(<==) Angenommen, ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}.
+gilt, und man setzt
-**Zz:** ψ◦ϕ injektiv
 
-Laut Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020] reicht es aus zu zeigen, dass Kern(ψ◦ϕ) = {0}.
+    φ(x) := ∑ c_i · φ(u_i).
 
-Sei x ∈ U beliebig.
+Mit dieser Definition ist es einfach, die Axiome durchzugehen,
+und zu beweisen, dass dies eine lineare Abbildung definiert.
 
-**Zz:** x ∈ Kern(ψ◦ϕ) <===> x = 0
+**Bemerkung 2.**
+Beachte, dass die _Wahl_ von den φ(u₃), φ(u₅) im o. s. Beispiel beliebig sein kann. Es ist nur entscheidend, dass in der partiellen
+Definition wir es mit linear unabhängigen Elementen zu tun haben.
+Falls es zu Abhängigkeiten zwischen den Inputvektoren kommt,
+müssen wir wie gewohnt auf eine maximale linear unabhängige Teilmenge
+reduzieren, und zeigen, dass für die restlichen Inputs,
+die Definition kompatibel ist.
 
-        x ∈ Kern(ψ◦ϕ)
+Als Beispiel nehmen wir
-        <===> (ψ◦ϕ)(x) = 0
+
-        ..
+    u₁ = (1, 0, 1, 0, 0)ᵀ
-        .. <--- ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0} ausnutzen !
+    u₂ = (1, 2, 1, 0, 0)ᵀ
-        ..
+    u₃ = (0, 1, 0, 0, 0)ᵀ
-        <===> x = 0
+
+und φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³ partiell definiert auf {u₁, u₂, u₃}.
+Aus (u₁, u₂, u₃) können wir sehen (etwa durch den Gaußalgorithmus),
+dass (u₁, u₂) ein maximales linear unabhängiges Teilsystem ist
+und
+
+    u₃ = -½u₁ + ½u₂.
+
+Darum können φ(u₁), φ(u₂) beliebig gewählt werden,
+umd es muss
+
+    φ(u₃) = -½φ(u₁) + ½φ(u₂)
+
+gelten (entsprechend dem o. s. Verhältnis).
+
+Wenn wir zum Beispiel
+
+    φ(u₁) = ( 4, 2)ᵀ
+    φ(u₂) = (-2, 8)ᵀ
+    φ(u₃) = (-3, 3)ᵀ
+
+wählen ist, dies erfüllt.
+Man kann das l. u. Teilsystem (u₁, u₂)
+durch 3 weitere Vektoren zu einer Basis ergänzen
+und φ zu einer linearen Abb ausdehnen.
+
+Wenn wir aber
+
+    φ(u₁) = ( 8, 1)ᵀ
+    φ(u₂) = (-4, 8)ᵀ
+    φ(u₃) = ( 0, 1)ᵀ
+
+wählen ist, ist φ(u₃) = -½φ(u₁) + ½φ(u₂) nicht erfüllt.
+Darum lässt sich hier φ **nicht** zu einer linearen Abbildung erweitern.

notes/berechnungen_wk11.md

@@ -1,294 +1,191 @@
-## §1. Linear oder nicht? ##
+# Woche 10 #
+## SKA 11 ##
 
-In folgenden Aufgaben wird eine Funktion φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert.
+### Aufgabe 12 ###
-Bestimme in jedem Falle, ob φ linear ist.
 
-a)
+Gegeben sei
 
-    φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4·x₁·x₃ )
+    A = -1   1
-                    ( 10·x₂   )
+         2   0
+         3   1
 
-Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(2, 0, 2) = 2·φ(1, 0, 1) gelten.
+A ist in ℝ^{3 x 2}
-Aber:
+**Zu finden:** Matrizen P, Q, so dass P·A·Q im Format wie in Satz 6.3.10
+Offensichtlich müssen
 
-    φ(2, 0, 2)   = (16, 0)ᵀ
+    P ∈ ℝ^{3 x 3}
-    2·φ(1, 0, 1) = 2·(4, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠  φ(2, 0, 2)
+    Q ∈ ℝ^{2 x 2}
 
-Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird.
+gelten. Da bei X·Y müssen #col(X), #row(Y) übereinstimmen, weil
+wenn man die Matrixmultiplikation ausführt, dann multipliziert man
+    - Zeilen aus X
+    mit
+    - Spalten aus Y.
+Im Gaußverfahren
 
-b)
+    A —> E1·A —> E2·E1·A —> E3·E2·E1·A ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·A
 
-    φ(x₁, x₂, x₃) = ( x₃² )
+—> Wir wollen (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1) als einzige Matrix erfassen, also als P.
-                    (  0  )
 
-Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0, 0, 8) = 8·φ(0, 0, 1) gelten.
+Wir führen A in ein augmentiertes System mit der 3x3 Identitätsmatrix auf
-Aber:
 
-    φ(0, 0, 8)   = (64, 0)ᵀ
+    -1  1 | 1 0 0
-    8·φ(0, 0, 1) = 8·(1, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠ φ(0, 0, 8)
+     2  0 | 0 1 0
+     3  1 | 0 0 1
 
-Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird.
+und führen das Gaußverfahren darauf auf. Dann geschieht (effektiv) parallel
 
-c)
+    linke  Hälfte: A —> E1·A —> E2·E1·A —> E3·E2·E1·A ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·A
+    rechte Hälfte: I —> E1·I —> E2·E1·I —> E3·E2·E1·I ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·I
+                                                            = (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)
+                                                            = P
 
-    φ(x₁, x₂, x₃) = ( x₃ )
+Gaußverfahren:
-                    (  0 )
 
---> linear
+    -1  1 | 1 0 0
+     2  0 | 0 1 0
+     3  1 | 0 0 1
 
-d)
+    Zeilen 1 und 2 tauschen:
 
-    φ(x₁, x₂, x₃) = ( 0 )
+     2  0 | 0 1 0
-                    ( 0 )
+    -1  1 | 1 0 0
+     3  1 | 0 0 1
 
---> linear
+    Zeile_2 <— 2·Zeile_2 + Zeile_1
+    Zeile_3 <— 2·Zeile_3 - 3·Zeile_1
 
-e)
+    2   0  | 0   1   0
+    0   2  | 2   1   0
+    0   2  | 0  -3   2
 
-    φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4  )
+    Zeile_3 <— Zeile_3 - Zeile_2
-                    ( 0  )
 
-Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
+    2   0  |  0   1   0
-Aber φ ist hier niemals der Nullvektor!
+    0   2  |  2   1   0
-Also ist φ nicht linear.
+    0   0  | -2  -4   2
 
-f)
+    Zeile_1 <— Zeile_1 / 2
+    Zeile_2 <— Zeile_2 / 2
 
-    φ(x₁, x₂, x₃) = ( 10·x₃     )
+    1   0  |  0   1/2   0
-                    (  -x₂ + x₁ )
+    0   1  |  1   1/2   0
+    0   0  | -2    -4   2
 
-linear!
+Also gilt mit
 
-g)
+    P = 0   1   0
+        2   1   0
+       -2  -4   2
 
-    φ(x₁, x₂, x₃) = ( 1 - 10·x₃ )
+Dass P·A = Form aus Satz 6.3.10.
-                    (  -x₂ + x₁ )
+Setze Q := 2 x 2 Identitätsmatrix
+Dann
 
-Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
+    P·A·Q = P·A = Matrix im Format aus Satz 6.3.10
-Aber φ(0) = (1, 0)ᵀ.
-Also ist φ nicht linear.
 
-h)
+### Anderes nicht so glückliches Beispiel ###
 
-    φ(x₁, x₂, x₃) = ( exp(-(7·x₂ + 8·x₁)) )
+Angenommen wir hätten A als 3 x 5 Matrix und nach Ausführung des o. s. Verfahrens
-                    ( 0                   )
 
-Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
+    0 1 0 0 0 |  0   1/2   0
-Aber φ(0) = (exp(0), 0)ᵀ = (1, 0)ᵀ.
+    0 0 0 1 0 |  1   1/2   0
-Also ist φ nicht linear.
+    0 0 0 0 0 | -2    -4   2
 
-## §2. Aufgaben ähnlich zu ÜB 10-2 ##
+erzielt. Dann würden wir P wie oben setzen.
+Aber wir müssen noch Q bestimmen.
+Das können wir einfach durch Permutationen erreichen:
 
-Seien A = (u₁, u₂, u₃) und B = (v₁, v₂),
+        0 1 0 0 0   1 0 0 0 0
-wobei
+        1 0 0 0 0   0 0 0 1 0
+    Q = 0 0 1 0 0 · 0 0 1 0 0
+        0 0 0 1 0   0 1 0 0 0
+        0 0 0 0 1   0 0 0 0 1
 
-    u₁ = (3,  0, 1)ᵀ
+Oder mit Gaußverfahren, transponieren wir und augmentieren wir mit der 5x5 Identitätsmatrix:
-    u₂ = (0, -1, 0)ᵀ
-    u₃ = (4,  0, 0)ᵀ
 
-    v₁ = (4, 5)ᵀ
+    0   0   0 | 1   0   0   0   0
-    v₂ = (0, 1)ᵀ
+    1   0   0 | 0   1   0   0   0
+    0   0   0 | 0   0   1   0   0
+    0   1   0 | 0   0   0   1   0
+    0   0   0 | 0   0   0   0   1
+
+    Zeile1 und Zeile2 vertauschen:
+
+    1   0   0 | 0   1   0   0   0
+    0   0   0 | 1   0   0   0   0
+    0   0   0 | 0   0   1   0   0
+    0   1   0 | 0   0   0   1   0
+    0   0   0 | 0   0   0   0   1
+
+    Zeile2 und Zeile4 vertauschen:
+
+    1   0   0 | 0   1   0   0   0
+    0   1   0 | 0   0   0   1   0
+    0   0   0 | 0   0   1   0   0
+    0   0   0 | 1   0   0   0   0
+    0   0   0 | 0   0   0   0   1
+
+Rechte Hälfte __transponiert__:
+
+        0   0   0   1   0
+        1   0   0   0   0
+    Q = 0   0   1   0   0
+        0   1   0   0   0
+        0   0   0   0   1
+
+## Lineare Ausdehnung mit Komplikationen... ##
+
+Betrachte
+
+    u1 = (1, 1, 0, 4)ᵀ
+    u2 = (1, 0, 0, 4)ᵀ
+    u3 = (0, 1, 0, 0)ᵀ
+    u4 = (1, -1, 0, 4)ᵀ
+
+und φ : ℝ^4 —> ℝ^2 partiell definiert
+
+    φ(u1) = (8, 1)ᵀ
+    φ(u2) = (4, 5)ᵀ
+    φ(u3) = (4, -4)ᵀ
+    φ(u4) = (0, 9)ᵀ
 
 Beachte:
+    {u1, u2} lin. unabh.
+    u3, u4 ∈ Lin{u1, u2}:
+        u3 = u1 - u2
+        u4 = u2 - u3 = u2 - (u1 - u2) = 2·u2 – u1
 
-- A bildet eine Basis für ℝ³
+Darum müssen
-- B bildet eine Basis für ℝ²
 
-Sei nun φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert durch
+    φ(u3) = φ(u1) - φ(u2)
+    φ(u4) = 2·φ(u2) – φ(u1)
 
-    φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4·x₁ - x₃  )
+gelten.
-                    ( 10·x₂ + x₁ )
 
-### Zur Linearität ###
+Wenn nicht erfüllt ==> ex. keine lineare Ausdehnung.
-Seien
+Wenn erfüllt       ==> ex. eine lineare Ausdehnung:
 
-    (x₁,x₂,x₃), (x₁',x₂',x₃') ∈ ℝ³
-    c, c' ∈ ℝ
-
-**Zu zeigen:**
-    φ(c(x₁, x₂, x₃) +c'(x₁',x₂',x₃')) = c·φ(x₁, x₂, x₃) +c'·φ(x₁', x₂', x₃')
-
-Es gilt
-
-    l. S. = φ(c(x₁, x₂, x₃) +c'(x₁',x₂',x₃'))
-          = φ(c(x₁·e1 + x₂·e2 + x₃·e3) +c'(x₁'·e1 + x₂'·e2 + x₃'·e3))
-          = φ((c·x₁ + c'·x₁)·e1 + (c·x₂ + c'·x₂)·e2 + (c·x₃ + c'·x₃)·e3)
-          = φ(c·x₁ + c'·x₁', c·x₂ + c'·x₂', c·x₃ + c'·x₃')
-
-          = ( 4·(c·x₁ + c'·x₁') - (c·x₃ + c'·x₃')  )
-            ( 10·(c·x₂ + c'·x₂') + (c·x₁ + c'·x₁') )
-
-          = ( c·(4·x₁ - x₃)  + c'·(4·x₁' - x₃')  )
-            ( c·(10·x₂ + x₁) + c'·(10·x₂' + x₁') )
-
-          = c·( 4·x₁ - x₃  ) + c'·( 4·x₁' - x₃' )
-              ( 10·x₂ + x₁ )      ( 10·x₂' + x₁' )
-
-          = r. S.
-
-Darum ist φ linear.
-
-### Darstellung ###
-Zunächst beobachten wir:
-
-    φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4   0   -1 ) ( x₁ )
-                    ( 1   10   0 ) ( x₂ )
-                                   ( x₃ )
-                  = C·x
-                  = φ_C(x)   siehe [Skript, Bsp 6.2.2],
-
-wobei C die Matrix
-
-    C = ( 4   0   -1 )
-        ( 1   10   0 )
-
-ist.
-
-**Bemerkung.** Den vorherigen Teil konnten wir hiermit viel einfacher machen:
-Da φ_C linear ist (siehe [Skript, Bsp 6.2.2]), ist φ = φ_C linear.
-
-_Zurück zur Berechnung der Darstellung..._
-
-Die zu berechnende Matrix M := M_A^B(φ), ist diejenige, die erfüllt:
-
-- ist x der Form x = ∑ α_j·u_j = (α_j) <--- als Vektor über Basis A
-- und ist M·(α_j) = (β_i) für einen Vektor (β_i) ∈ ℝ²
-- dann gilt φ(x) = y, wobei y = ∑ β_i·v_i
-
-Zusammengefasst ist M genau die Matrix, für die gilt:
-
-    B·M·α = φ(A·α)
-
-für alle α ∈ ℝ³. Da φ = φ_C, ist die äquivalent zu
-
-    B·M·α = C·A·α
-
-Kurzgesagt: M_A^B(φ) = B^-1 · C · A.
-Um dies zu bestimmen, wenden wir das Gaußverfahren
-auf folgendes augmentiertes System an
-
-    ( B | C·A )
-
-und reduzieren die linke Hälfte auf die Identitätsmatrix.
-Die resultierende Matrix in der rechten Hälfte wir dann M sein.
-Es gilt
-
-    C·A = ( 4   0   -1 ) (3   0   4)
-          ( 1   10   0 ) (0  -1   0)
-                         (1   0   0)
-        = ( 11    0   16 )
-          (  3  -10    4 )
-
-Also ist das augmentiere System
-
-    ( B | C·A )
-
-     = ( 4    0  |  11    0   16 )
-       ( 5    1  |   3  -10    4 )
-       Zeile2 <- 4*Zeile2 - 5*Zeile1
-
-    ~> ( 4    0  |   11    0   16 )
-       ( 0    4  |  -43  -40  -64 )
-       Zeile1 <- Zeile1 : 4
-       Zeile2 <- Zeile2 : 4
-
-    ~> ( 1    0  |   11/4    0    4 )
-       ( 0    1  |  -43/4  -10  -16 )
-
-Darum gilt
-
-    M_A^B(φ) = (  11/4    0    4 )
-               ( -43/4  -10  -16 )
-
-
-
-## §3. Lineare Fortsetzung von partiell definierten Funktionen ##
-
-Seien u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis für ℝ⁵.
-Seien v₁, v₂, v₃ Vektoren in ℝ³.
-Definiert werden
-
-    φ(u₁) = v₁, φ(u₂) = v₂, φ(u₄) = v₃
-
-**Aufgabe:** Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³, die die o. s. Gleichungen erfüllen?
-
-**Antwort:** Ja.
-
-**Beweis:**
-Da eine (u₁, u₂, u₃, u₄, u₅) Basis für ℝ⁵ ist,
-können wir [Skript, Satz 6.1.13] anwenden.
 Setze
 
-        φ(u₃) := 0 (Nullvektor)
+    u1' = u1
-        φ(u₅) := 0 (Nullvektor)
+    u2' = u2
+    ---> {u1', u2'} lin. unabh.
+    ---> {u1', u2'} lässt sich zu einer Basis
+         {u1', u2', u3', u4'} von ℝ^4
 
-Mit der partiellen Definition von φ auf der Basis (u₁, u₂, u₃, u₄, u₅),
+Wähle v3, v4 ∈ ℝ^2 beliebig und setze
-existiert laut [Skript, Satz 6.1.13] eine **lineare Ausdehnung**
-(auch _Fortsetzung_ od. _Erweiterung_ in der Literatur genannt)
-φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³, so dass
 
-    φ(u₁) = v₁, φ(u₂) = v₂, φ(u₄) = v₃, φ(u₃) = 0, φ(u₅) = 0.
+    φ(u1') := (8, 1)ᵀ
-**QED**
+    φ(u2') := (4, 5)ᵀ
+    φ(u3') := v3
+    φ(u4') := v4
 
-**Bemerkung 1.**
+Dann laut Satz 6.1.13. ex. eine (eindeutige) lineare Abb.
-Konkret, da u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis ist,
+    φ : ℝ^4 —> ℝ^2
-existiert für jedes x ∈ ℝ⁵ eindeutige Werte
+mit
-c₁, c₂, c₃, c₄, c₅ im Körper ℝ,
-so dass
 
-    x = ∑ c_i · ui
+    φ(u1') = (8, 1)ᵀ
-
+    φ(u2') = (4, 5)ᵀ
-gilt, und man setzt
+    φ(u3') = v3
-
+    φ(u4') = v4
-    φ(x) := ∑ c_i · φ(u_i).
-
-Mit dieser Definition ist es einfach, die Axiome durchzugehen,
-und zu beweisen, dass dies eine lineare Abbildung definiert.
-
-**Bemerkung 2.**
-Beachte, dass die _Wahl_ von den φ(u₃), φ(u₅) im o. s. Beispiel beliebig sein kann. Es ist nur entscheidend, dass in der partiellen
-Definition wir es mit linear unabhängigen Elementen zu tun haben.
-Falls es zu Abhängigkeiten zwischen den Inputvektoren kommt,
-müssen wir wie gewohnt auf eine maximale linear unabhängige Teilmenge
-reduzieren, und zeigen, dass für die restlichen Inputs,
-die Definition kompatibel ist.
-
-Als Beispiel nehmen wir
-
-    u₁ = (1, 0, 1, 0, 0)ᵀ
-    u₂ = (1, 2, 1, 0, 0)ᵀ
-    u₃ = (0, 1, 0, 0, 0)ᵀ
-
-und φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³ partiell definiert auf {u₁, u₂, u₃}.
-Aus (u₁, u₂, u₃) können wir sehen (etwa durch den Gaußalgorithmus),
-dass (u₁, u₂) ein maximales linear unabhängiges Teilsystem ist
-und
-
-    u₃ = -½u₁ + ½u₂.
-
-Darum können φ(u₁), φ(u₂) beliebig gewählt werden,
-umd es muss
-
-    φ(u₃) = -½φ(u₁) + ½φ(u₂)
-
-gelten (entsprechend dem o. s. Verhältnis).
-
-Wenn wir zum Beispiel
-
-    φ(u₁) = ( 4, 2)ᵀ
-    φ(u₂) = (-2, 8)ᵀ
-    φ(u₃) = (-3, 3)ᵀ
-
-wählen ist, dies erfüllt.
-Man kann das l. u. Teilsystem (u₁, u₂)
-durch 3 weitere Vektoren zu einer Basis ergänzen
-und φ zu einer linearen Abb ausdehnen.
-
-Wenn wir aber
-
-    φ(u₁) = ( 8, 1)ᵀ
-    φ(u₂) = (-4, 8)ᵀ
-    φ(u₃) = ( 0, 1)ᵀ
-
-wählen ist, ist φ(u₃) = -½φ(u₁) + ½φ(u₂) nicht erfüllt.
-Darum lässt sich hier φ **nicht** zu einer linearen Abbildung erweitern.

notes/berechnungen_wk12.md

@@ -1,191 +1 @@
-## SKA 1 ##
+# Woche 12 #
-
-### Aufgabe 12 ###
-
-Gegeben sei
-
-    A = -1   1
-         2   0
-         3   1
-
-A ist in ℝ^{3 x 2}
-**Zu finden:** Matrizen P, Q, so dass P·A·Q im Format wie in Satz 6.3.10
-Offensichtlich müssen
-
-    P ∈ ℝ^{3 x 3}
-    Q ∈ ℝ^{2 x 2}
-
-gelten. Da bei X·Y müssen #col(X), #row(Y) übereinstimmen, weil
-wenn man die Matrixmultiplikation ausführt, dann multipliziert man
-    - Zeilen aus X
-    mit
-    - Spalten aus Y.
-Im Gaußverfahren
-
-    A —> E1·A —> E2·E1·A —> E3·E2·E1·A ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·A
-
-—> Wir wollen (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1) als einzige Matrix erfassen, also als P.
-
-Wir führen A in ein augmentiertes System mit der 3x3 Identitätsmatrix auf
-
-    -1  1 | 1 0 0
-     2  0 | 0 1 0
-     3  1 | 0 0 1
-
-und führen das Gaußverfahren darauf auf. Dann geschieht (effektiv) parallel
-
-    linke  Hälfte: A —> E1·A —> E2·E1·A —> E3·E2·E1·A ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·A
-    rechte Hälfte: I —> E1·I —> E2·E1·I —> E3·E2·E1·I ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·I
-                                                            = (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)
-                                                            = P
-
-Gaußverfahren:
-
-    -1  1 | 1 0 0
-     2  0 | 0 1 0
-     3  1 | 0 0 1
-
-    Zeilen 1 und 2 tauschen:
-
-     2  0 | 0 1 0
-    -1  1 | 1 0 0
-     3  1 | 0 0 1
-
-    Zeile_2 <— 2·Zeil_2 + Zeile_1
-    Zeile_3 <— 2·Zeil_3 - 3·Zeile_1
-
-    2   0  | 0   1   0
-    0   2  | 2   1   0
-    0   2  | 0  -3   2
-
-    Zeile_3 <— Zeil_3 - Zeile_2
-
-    2   0  |  0   1   0
-    0   2  |  2   1   0
-    0   0  | -2  -4   2
-
-    Zeile_1 <— Zeile_1 / 2
-    Zeile_2 <— Zeile_2 / 2
-
-    1   0  |  0   1/2   0
-    0   1  |  1   1/2   0
-    0   0  | -2    -4   2
-
-Also gilt mit
-
-    P = 0   1   0
-        2   1   0
-       -2  -4   2
-
-Dass P·A = Form aus Satz 6.3.10.
-Setze Q := 2 x 2 Identitätsmatrix
-Dann
-
-    P·A·Q = P·A = Matrix im Format aus Satz 6.3.10
-
-### Anderes nicht so glückliches Beispiel ###
-
-Angenommen wir hätten A als 3 x 5 Matrix und nach Ausführung des o. s. Verfahrens
-
-    0 1 0 0 0 |  0   1/2   0
-    0 0 0 1 0 |  1   1/2   0
-    0 0 0 0 0 | -2    -4   2
-
-erzielt. Dann würden wir P wie oben setzen.
-Aber wir müssen noch Q bestimmen.
-Das können wir einfach durch Permutationen erreichen:
-
-    Q = 0 1 0 0 0   1 0 0 0 0
-        1 0 0 0 0   0 0 0 1 0
-        0 0 1 0 0 · 0 0 1 0 0
-        0 0 0 1 0   0 1 0 0 0
-        0 0 0 0 1   0 0 0 0 1
-
-Oder mit Gaußverfahren, transponieren wir und augmentieren wir mit der 5x5 Identitätsmatrix:
-
-    0   0   0 | 1   0   0   0   0
-    1   0   0 | 0   1   0   0   0
-    0   0   0 | 0   0   1   0   0
-    0   1   0 | 0   0   0   1   0
-    0   0   0 | 0   0   0   0   1
-
-    Zeile1 und Zeile2 vertauschen:
-
-    1   0   0 | 0   1   0   0   0
-    0   0   0 | 1   0   0   0   0
-    0   0   0 | 0   0   1   0   0
-    0   1   0 | 0   0   0   1   0
-    0   0   0 | 0   0   0   0   1
-
-    Zeile2 und Zeile4 vertauschen:
-
-    1   0   0 | 0   1   0   0   0
-    0   1   0 | 0   0   0   1   0
-    0   0   0 | 0   0   1   0   0
-    0   0   0 | 1   0   0   0   0
-    0   0   0 | 0   0   0   0   1
-
-    Rechte Hälfte transponiert:
-
-    Q = 0   0   0   1   0
-        1   0   0   0   0
-        0   0   1   0   0
-        0   1   0   0   0
-        0   0   0   0   1
-
-
-## Lineare Ausdehnung mit Komplikationen... ##
-
-Betrachte
-
-    u1 = (1, 1, 0, 4)ᵀ
-    u2 = (1, 0, 0, 4)ᵀ
-    u3 = (0, 1, 0, 0)ᵀ
-    u4 = (1, -1, 0, 4)ᵀ
-
-und φ : ℝ^4 —> ℝ^2 partiell definiert
-
-    φ(u1) = (8, 1)ᵀ
-    φ(u2) = (4, 5)ᵀ
-    φ(u3) = (4, -4)ᵀ
-    φ(u4) = (0, 9)ᵀ
-
-Beachte:
-    {u1, u2} lin. unabh.
-    u3, u4 ∈ Lin{u1, u2}:
-        u3 = u1 - u2
-        u4 = u2 - u3 = u2 - (u1 - u2) = 2·u2 – u1
-
-Darum müssen
-
-    φ(u3) = φ(u1) - φ(u2)
-    φ(u4) = 2·φ(u2) – φ(u1)
-
-gelten.
-
-Wenn nicht erfüllt ==> ex. keine lineare Ausdehnung.
-Wenn erfüllt       ==> ex. eine lineare Ausdehnung:
-
-Setze
-
-    u1' = u1
-    u2' = u2
-    ---> {u1', u2'} lin. unabh.
-    ---> {u1', u2'} lässt sich zu einer Basis
-         {u1', u2', u3', u4'} von ℝ^4
-
-Wähle v3, v4 ∈ ℝ^2 beliebig und setze
-
-    φ(u1') := (8, 1)ᵀ
-    φ(u2') := (4, 5)ᵀ
-    φ(u3') := v3
-    φ(u4') := v4
-
-Dann laut Satz 6.1.13. ex. eine (eindeutige) lineare Abb.
-    φ : ℝ^4 —> ℝ^2
-mit
-
-    φ(u1') = (8, 1)ᵀ
-    φ(u2') = (4, 5)ᵀ
-    φ(u3') = v3
-    φ(u4') = v4

notes/berechnungen_wk13.md

@@ -0,0 +1 @@
+# Woche 13 #

notes/berechnungen_wk9.md

@@ -0,0 +1,153 @@
+# Woche 9 #
+
+(Für die Berechnungen haben wir Octave benutzt.)
+## Aufgabe ähnlich wie ÜB9-1 ##
+
+U = lin{u1, u2}
+V = lin{v1, v2, v3}
+
+### U ⊆ V ? ###
+#### Beispiel 1 ####
+
+    u1 = (1 1 0 0)ᵀ
+    u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
+
+    v1 = (4 0 0 0)ᵀ
+    v2 = (1 4 0 0)ᵀ
+    v3 = (1 0 1 0)ᵀ
+
+    Anmerkung: lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3} <===> u1, u2 ∈ lin{v1, v2, v3}
+
+    Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2)
+    ---> auf Zeilenstufenform reduzieren
+    ---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind.
+    ---> ja
+    ---> lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3}
+
+#### Beispiel 2 ####
+
+    u1 = (1 1 0 1)ᵀ
+    u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
+
+    v1 = (4 0 0 0)ᵀ
+    v2 = (1 4 0 0)ᵀ
+    v3 = (1 0 1 0)ᵀ
+
+    Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2)
+    ---> auf Zeilenstufenform reduzieren
+    ---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind.
+    ---> nein
+    ---> also lin{u1, u2} ⊈ lin{v1, v2, v3}
+
+### Basis von V/U ###
+
+    --> Beispiel 1.
+
+    u1 = (1 1 0 0)ᵀ
+    u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
+
+    v1 = (4 0 0 0)ᵀ
+    v2 = (1 0 1 0)ᵀ
+    v3 = (1 4 0 0)ᵀ
+
+    Schreibweise für Äquivalenzklassen:
+        [v] = v + U
+    --> die Elemente in V/U
+
+    Setze A := (u1 u2 v1 v2 v3)
+    ---> auf Zeilenstufenform reduzieren
+    ---> bestimmen, welche Variablen frei / unfrei sind
+        ---> bestimme die Basis durch die Spalten, die den unfreien Variablen entsprechen
+    --->
+        x3, x5 sind frei
+        x1, x2, x4 nicht frei
+    ---> v2 + U (entspricht x4) bildet eine Basis
+
+
+## SKA 9-5 ##
+
+    Basis für U:
+    u1 = (1 1 0)ᵀ
+    u2 = (0 1 1)ᵀ
+    Basis für V = ℝ^3:
+    v1 = (1 0 0)ᵀ
+    v2 = (0 1 0)ᵀ
+    v3 = (0 0 1)ᵀ
+
+    A = (u1, u2, v1, v2, v3)
+    ---> Zeilenstufenform: x1, x2, x3 nicht frei; x4, x5 frei
+    ---> V / U = lin {v1 + U} = lin { e1 + U }
+        und dim(V/U) = 1
+
+        Beachte: v2 = u1 - v1      ===> v2 + U = -(v1 + U)
+                v3 = (u2-u1) + v1 ===> v3 + U = v1 + U
+
+
+
+## UB9-2 (Bsp) ##
+
+    Seien
+
+    v1 = (1 0 0 4 1)ᵀ
+    v2 = (0 1 0 8 0)ᵀ
+    v3 = (-3 0 0 0 1)ᵀ
+
+    φ : ℝ^3 ---> ℝ^5
+    sei linear mit
+        φ(e_i) = v_i für alle i
+
+    1. Sei x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ^3
+        φ(x1,x2,x3)
+        = φ(x)
+        = φ(x1·e1 + x2·e2 + x3·e3)
+        = φ(x1·e1) + φ(x2·e2) + φ(x3·e3)
+        = x1·φ(e1) + x2·φ(e2) + x3·φ(e3)
+        = x1·v1 + x2·v2 + x3·v3
+        = Ax
+    wobei A = (v1 v2 v3)
+        =   1   0  -3
+            0   1   0
+            0   0   0
+            4   8   0
+            1   0   1
+    Also ist φ = φ_A (siehe Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020]).
+    Wℝ berechnen den Rang von A, um die Injektivität/Surjektivität/Bijektivität
+    von φ zu klassifizieren:
+    ---> A in Zeilenstufenform:
+            1    0   -3
+            0    1    0
+            0    0    0
+            0    0   12
+            0    0    4
+        Rang(A) = 3
+    ---> A ist eine mxn Matrix mit m=5, n=3
+            Rang(A) = 3 ≥ 3 = n ===> φ = φ_A ist injektiv
+            Rang(A) = 3 < 5 = m ===> φ = φ_A ist nicht surjektiv
+            m ≠ n ===> φ = φ_A ist nicht bijektiv
+
+
+
+## UB9-3 (wie man ansetzen kann...) ##
+
+**Zz:** ψ◦ϕ injektiv <===> ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}
+
+(==>) Angenommen, ψ◦ϕ injektiv.
+**Zz:** ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}.
+
+...
+
+(<==) Angenommen, ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}.
+**Zz:** ψ◦ϕ injektiv
+
+Laut Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020] reicht es aus zu zeigen, dass Kern(ψ◦ϕ) = {0}.
+
+Sei x ∈ U beliebig.
+
+**Zz:** x ∈ Kern(ψ◦ϕ) <===> x = 0
+
+        x ∈ Kern(ψ◦ϕ)
+        <===> (ψ◦ϕ)(x) = 0
+        ..
+        .. <--- ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0} ausnutzen !
+        ..
+        <===> x = 0