From c86093198370d5a6f91aabeb7175e02b142daf34 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: raj_mathe Date: Wed, 13 Jan 2021 09:32:45 +0100 Subject: [PATCH] master > master: README aktualisiert --- README.md | 86 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-------- 1 file changed, 74 insertions(+), 12 deletions(-) diff --git a/README.md b/README.md index 127c376..93dafb9 100644 --- a/README.md +++ b/README.md @@ -28,27 +28,33 @@ Es gibt ein Zwischenspiel zwischen beiden dieser Aspekte. Stichwörte: **Konzepte** (en: _notion_), **Vorstellung**, **Visualisierung**, **Intuition**, ... -Mit _Anschauung_ meine ich nicht bloß _Visualisierung_, sondern vielmehr das intuitive Begreifen von Mathematik. -Mit Intuition nun meine ich aber _nicht_ »common sense«, -sondern eine Fähigkeit, die man antrainieren muss, um abstrakte Sachverhalte -zu visualisieren, internalisieren, und um sich mit den mathematischen »Gegenständen« vertraut zu machen. +Mit _Anschauung_ meinen wir nicht bloß _Visualisierung_, +sondern vielmehr das intuitive Begreifen von mathematischen Konzepten. +Mit Intuition nun ist _nicht_ »common sense« gemeint, +sondern eine Fähigkeit, die man antrainieren muss, +um abstrakte Sachverhalte zu visualisieren und internalisieren, +und um sich mit den mathematischen »Gegenständen« vertraut zu machen. ### Formalismen ### Stichwörte: **Symbole**, **Notation**, **Axiome**, **Rahmen**, **Aussagen**, **Beweise**, **Argumentation**, ... -Der Begriff _Formalismen_ geht eigentlich auf die Grundlagen der Mathematik ab der Mitte des 19. Jh zurück. -Ab dieser Zeit fingen Mathematiker an, nicht mehr lose zu berechnen, sondern Erkenntnisse in _formalen Systemen_ aufzuschreiben. -Im Grunde (und im Falle von Church, Turing, Kleene, usw. buchstäblich) legten sie die Bausteine für das moderne Konzept von Berechenbarkeit, Algorithmen, und Rechnern. -Es stellt sich heraus (siehe insbesondere das Löwenheim-Skolem-Tarski Paradoxon), dass mathematische Aussagen komplett unabhängig von Anschauungen ausgelegt und bewiesen werden können. -Mit anderen Worten, man kann einen seelenlosen Rechner mit mathematischen Aufgaben beauftragen, -und dieser ohne jegliche Vorstellungskraft wäre in der Lage _richtige_ Berechnungen durchzuführen und Schlüsse zu ziehen. +Kurz gesagt, die _formalen_ Aspekte bestehen aus technischen Symbolen, +mithilfe derer wir Aussagen schreiben, und der Struktur von Argumenten. -Kurz gesagt, die _formalen_ Aspekte bestehen aus technischen Symbolen, mithilfe derer wir Aussagen schreiben, und der Struktur von Argumenten. +Der Begriff _Formalismus_ geht eigentlich auf die Grundlagen der Mathematik ab der Mitte des 19. Jh zurück. +Ab dieser Zeit fingen Mathematiker an, nicht mehr lose zu berechnen, sondern Erkenntnisse in _formalen Systemen_ aufzuschreiben. +Im Grunde (und im Falle von Church, Turing, Kleene, usw.) legten sie die Bausteine für das moderne Konzept von Berechenbarkeit, Algorithmen, und Rechnern. +Es stellt sich heraus (siehe insbesondere das Löwenheim-Skolem-Tarski Paradoxon), +dass mathematische Aussagen komplett unabhängig von Anschauungen ausgelegt und bewiesen werden können. +Mit anderen Worten, man kann einen »seelenlosen« Rechner mit mathematischen Aufgaben beauftragen, +und dieser wäre ohne jegliche Vorstellungskraft in der Lage, +_richtige_ Berechnungen durchzuführen und Schlüsse zu ziehen. ### Die Rolle von beiden Aspekten ### -Einerseits sind formale Mitteln notwendig, um Aussagen _klar und eindeutig_ zu formulieren, +Einerseits sind formale Mitteln notwendig, +um Aussagen _klar und eindeutig_ zu formulieren, und notwendig und hinreichend, um diese zu beweisen. Andererseits benötigen wir als _denkende Menschen_ aber auch Anschauungen, @@ -100,6 +106,62 @@ Man kann GeoGebra [hier](https://www.geogebra.org/download?lang=de) herunterlade Es scheint, dass man nicht mehr Dateien lokal speichern kann (?!). Anscheinend wollen die „klugen“ Betreiber dieser App einen rein online Gebrauch erzwingen 🤦. +### Octave / MatLab ### + +**MatLab** (Matrix Laboratory) ist eine in dem Ingenieurwesen bekannte Programmiersprache +zum einfachen Umgang mit Matrizen und allgemein diskreten Methoden. +GNU **Octave** ist lediglich die gratis Variante davon und kann [hier](https://www.gnu.org/software/octave) gefunden werden. +Ich kann dies auf jeden Fall empfehlen, um intuitiv und schnell mit Matrixberechnungen (v. a. mit komplexen Einträgen) umzugehen. +Hier ein paar Beispiele in der Sprache: + +Eingabe von Matrizen und Vektoren: + +``` +octave:1> A = [1 4; -7.1 3 + i; 0 8]; +octave:2> disp(A); + 1 4 + -7.1 3 + 1i + 0 8 +octave:3> A = [1 4; -7.1 3 + i; 0 8].'; +octave:4> disp(A); + 1 -7.1 0 + 4 3 + 1i 8 +octave:5> x = [1 40 3].'; +octave:6> disp(x); + 1 + 40 + 3 +``` + +Zeilenoperationen: + +``` +octave:5> disp(A(2,:)); + 4 3 + 1i 8 +octave:6> A(2,:) = A(2,:) - 4*A(1,:); +octave:7> disp(A); + 1 -7.1 0 + 0 31.4 + 1i 8 +``` + +Matrixmultiplikation: + +``` +octave:1> A = [1 4 8; 3 6 -9]; x = [1 1 1].'; +octave:2> b = A*x; +octave:3> disp(b); + 13 + 0 +octave:4> x_ = A \ b; % äquivalent zu „finde (irgend)eine Lösung zu Ax=b“ +octave:5> disp(x_); + 0.41474 + 1.22992 + 0.95820 +octave:6> disp(A*x_); % wird bis auf machine-Fehler gleich b sein + 1.3000e+01 + 1.5543e-15 +``` + ### R ### Für **R** braucht man