From cc3799d54aa3d9983b8b3ad01329a828403370f8 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: raj_mathe <raj.dahya@math.uni-leipzig.de>
Date: Wed, 3 Feb 2021 03:07:51 +0100
Subject: [PATCH] master > master: Verschiebung der Berechnungen
---
notes/berechnungen_wk10.md | 368 +++++++++++++++++++++++-----------
notes/berechnungen_wk11.md | 393 ++++++++++++++-----------------------
notes/berechnungen_wk12.md | 192 +-----------------
notes/berechnungen_wk13.md | 1 +
notes/berechnungen_wk9.md | 153 +++++++++++++++
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index 48b2800..13bbacd 100644
--- a/notes/berechnungen_wk10.md
+++ b/notes/berechnungen_wk10.md
@@ -1,151 +1,295 @@
-(Für die Berechnungen haben wir Octave benutzt.)
-## Aufgabe ähnlich wie ÜB9-1 ##
+# Woche 10 #
+## §1. Linear oder nicht? ##
-U = lin{u1, u2}
-V = lin{v1, v2, v3}
+In folgenden Aufgaben wird eine Funktion φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert.
+Bestimme in jedem Falle, ob φ linear ist.
-### U ⊆ V ? ###
-#### Beispiel 1 ####
+a)
- u1 = (1 1 0 0)ᵀ
- u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
+ φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4·x₁·x₃ )
+ ( 10·x₂ )
- v1 = (4 0 0 0)ᵀ
- v2 = (1 4 0 0)ᵀ
- v3 = (1 0 1 0)ᵀ
+Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(2, 0, 2) = 2·φ(1, 0, 1) gelten.
+Aber:
- Anmerkung: lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3} <===> u1, u2 ∈ lin{v1, v2, v3}
+ φ(2, 0, 2) = (16, 0)ᵀ
+ 2·φ(1, 0, 1) = 2·(4, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠ φ(2, 0, 2)
- Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2)
- ---> auf Zeilenstufenform reduzieren
- ---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind.
- ---> ja
- ---> lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3}
+Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird.
-#### Beispiel 2 ####
+b)
- u1 = (1 1 0 1)ᵀ
- u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
+ φ(x₁, x₂, x₃) = ( x₃² )
+ ( 0 )
- v1 = (4 0 0 0)ᵀ
- v2 = (1 4 0 0)ᵀ
- v3 = (1 0 1 0)ᵀ
+Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0, 0, 8) = 8·φ(0, 0, 1) gelten.
+Aber:
- Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2)
- ---> auf Zeilenstufenform reduzieren
- ---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind.
- ---> nein
- ---> also lin{u1, u2} ⊈ lin{v1, v2, v3}
+ φ(0, 0, 8) = (64, 0)ᵀ
+ 8·φ(0, 0, 1) = 8·(1, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠ φ(0, 0, 8)
-### Basis von V/U ###
+Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird.
- --> Beispiel 1.
+c)
- u1 = (1 1 0 0)ᵀ
- u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
+ φ(x₁, x₂, x₃) = ( x₃ )
+ ( 0 )
- v1 = (4 0 0 0)ᵀ
- v2 = (1 0 1 0)ᵀ
- v3 = (1 4 0 0)ᵀ
+--> linear
- Schreibweise für Äquivalenzklassen:
- [v] = v + U
- --> die Elemente in V/U
+d)
- Setze A := (u1 u2 v1 v2 v3)
- ---> auf Zeilenstufenform reduzieren
- ---> bestimmen, welche Variablen frei / unfrei sind
- ---> bestimme die Basis durch die Spalten, die den unfreien Variablen entsprechen
- --->
- x3, x5 sind frei
- x1, x2, x4 nicht frei
- ---> v2 + U (entspricht x4) bildet eine Basis
+ φ(x₁, x₂, x₃) = ( 0 )
+ ( 0 )
+--> linear
-## SKA 9-5 ##
+e)
- Basis für U:
- u1 = (1 1 0)ᵀ
- u2 = (0 1 1)ᵀ
- Basis für V = ℝ^3:
- v1 = (1 0 0)ᵀ
- v2 = (0 1 0)ᵀ
- v3 = (0 0 1)ᵀ
+ φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4 )
+ ( 0 )
- A = (u1, u2, v1, v2, v3)
- ---> Zeilenstufenform: x1, x2, x3 nicht frei; x4, x5 frei
- ---> V / U = lin {v1 + U} = lin { e1 + U }
- und dim(V/U) = 1
+Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
+Aber φ ist hier niemals der Nullvektor!
+Also ist φ nicht linear.
- Beachte: v2 = u1 - v1 ===> v2 + U = -(v1 + U)
- v3 = (u2-u1) + v1 ===> v3 + U = v1 + U
+f)
+
+ φ(x₁, x₂, x₃) = ( 10·x₃ )
+ ( -x₂ + x₁ )
+
+linear!
+
+g)
+
+ φ(x₁, x₂, x₃) = ( 1 - 10·x₃ )
+ ( -x₂ + x₁ )
+
+Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
+Aber φ(0) = (1, 0)ᵀ.
+Also ist φ nicht linear.
+
+h)
+
+ φ(x₁, x₂, x₃) = ( exp(-(7·x₂ + 8·x₁)) )
+ ( 0 )
+
+Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
+Aber φ(0) = (exp(0), 0)ᵀ = (1, 0)ᵀ.
+Also ist φ nicht linear.
+
+## §2. Aufgaben ähnlich zu ÜB 10-2 ##
+
+Seien A = (u₁, u₂, u₃) und B = (v₁, v₂),
+wobei
+
+ u₁ = (3, 0, 1)ᵀ
+ u₂ = (0, -1, 0)ᵀ
+ u₃ = (4, 0, 0)ᵀ
+
+ v₁ = (4, 5)ᵀ
+ v₂ = (0, 1)ᵀ
+
+Beachte:
+
+- A bildet eine Basis für ℝ³
+- B bildet eine Basis für ℝ²
+
+Sei nun φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert durch
+
+ φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4·x₁ - x₃ )
+ ( 10·x₂ + x₁ )
+
+### Zur Linearität ###
+Seien
+
+ (x₁,x₂,x₃), (x₁',x₂',x₃') ∈ ℝ³
+ c, c' ∈ ℝ
+
+**Zu zeigen:**
+ φ(c(x₁, x₂, x₃) +c'(x₁',x₂',x₃')) = c·φ(x₁, x₂, x₃) +c'·φ(x₁', x₂', x₃')
+
+Es gilt
+
+ l. S. = φ(c(x₁, x₂, x₃) +c'(x₁',x₂',x₃'))
+ = φ(c(x₁·e1 + x₂·e2 + x₃·e3) +c'(x₁'·e1 + x₂'·e2 + x₃'·e3))
+ = φ((c·x₁ + c'·x₁)·e1 + (c·x₂ + c'·x₂)·e2 + (c·x₃ + c'·x₃)·e3)
+ = φ(c·x₁ + c'·x₁', c·x₂ + c'·x₂', c·x₃ + c'·x₃')
+
+ = ( 4·(c·x₁ + c'·x₁') - (c·x₃ + c'·x₃') )
+ ( 10·(c·x₂ + c'·x₂') + (c·x₁ + c'·x₁') )
+
+ = ( c·(4·x₁ - x₃) + c'·(4·x₁' - x₃') )
+ ( c·(10·x₂ + x₁) + c'·(10·x₂' + x₁') )
+
+ = c·( 4·x₁ - x₃ ) + c'·( 4·x₁' - x₃' )
+ ( 10·x₂ + x₁ ) ( 10·x₂' + x₁' )
+
+ = r. S.
+
+Darum ist φ linear.
+
+### Darstellung ###
+Zunächst beobachten wir:
+
+ φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4 0 -1 ) ( x₁ )
+ ( 1 10 0 ) ( x₂ )
+ ( x₃ )
+ = C·x
+ = φ_C(x) siehe [Skript, Bsp 6.2.2],
+
+wobei C die Matrix
+
+ C = ( 4 0 -1 )
+ ( 1 10 0 )
+
+ist.
+
+**Bemerkung.** Den vorherigen Teil konnten wir hiermit viel einfacher machen:
+Da φ_C linear ist (siehe [Skript, Bsp 6.2.2]), ist φ = φ_C linear.
+
+_Zurück zur Berechnung der Darstellung..._
+
+Die zu berechnende Matrix M := M_A^B(φ), ist diejenige, die erfüllt:
+
+- ist x der Form x = ∑ α_j·u_j = (α_j) <--- als Vektor über Basis A
+- und ist M·(α_j) = (β_i) für einen Vektor (β_i) ∈ ℝ²
+- dann gilt φ(x) = y, wobei y = ∑ β_i·v_i
+
+Zusammengefasst ist M genau die Matrix, für die gilt:
+
+ B·M·α = φ(A·α)
+
+für alle α ∈ ℝ³. Da φ = φ_C, ist die äquivalent zu
+
+ B·M·α = C·A·α
+
+Kurzgesagt: M_A^B(φ) = B^-1 · C · A.
+Um dies zu bestimmen, wenden wir das Gaußverfahren
+auf folgendes augmentiertes System an
+
+ ( B | C·A )
+
+und reduzieren die linke Hälfte auf die Identitätsmatrix.
+Die resultierende Matrix in der rechten Hälfte wir dann M sein.
+Es gilt
+
+ C·A = ( 4 0 -1 ) (3 0 4)
+ ( 1 10 0 ) (0 -1 0)
+ (1 0 0)
+ = ( 11 0 16 )
+ ( 3 -10 4 )
+
+Also ist das augmentiere System
+
+ ( B | C·A )
+
+ = ( 4 0 | 11 0 16 )
+ ( 5 1 | 3 -10 4 )
+ Zeile2 <- 4*Zeile2 - 5*Zeile1
+
+ ~> ( 4 0 | 11 0 16 )
+ ( 0 4 | -43 -40 -64 )
+ Zeile1 <- Zeile1 : 4
+ Zeile2 <- Zeile2 : 4
+
+ ~> ( 1 0 | 11/4 0 4 )
+ ( 0 1 | -43/4 -10 -16 )
+
+Darum gilt
+
+ M_A^B(φ) = ( 11/4 0 4 )
+ ( -43/4 -10 -16 )
-## UB9-2 (Bsp) ##
+## §3. Lineare Fortsetzung von partiell definierten Funktionen ##
- Seien
+Seien u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis für ℝ⁵.
+Seien v₁, v₂, v₃ Vektoren in ℝ³.
+Definiert werden
- v1 = (1 0 0 4 1)ᵀ
- v2 = (0 1 0 8 0)ᵀ
- v3 = (-3 0 0 0 1)ᵀ
+ φ(u₁) = v₁, φ(u₂) = v₂, φ(u₄) = v₃
- φ : ℝ^3 ---> ℝ^5
- sei linear mit
- φ(e_i) = v_i für alle i
+**Aufgabe:** Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³, die die o. s. Gleichungen erfüllen?
- 1. Sei x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ^3
- φ(x1,x2,x3)
- = φ(x)
- = φ(x1·e1 + x2·e2 + x3·e3)
- = φ(x1·e1) + φ(x2·e2) + φ(x3·e3)
- = x1·φ(e1) + x2·φ(e2) + x3·φ(e3)
- = x1·v1 + x2·v2 + x3·v3
- = Ax
- wobei A = (v1 v2 v3)
- = 1 0 -3
- 0 1 0
- 0 0 0
- 4 8 0
- 1 0 1
- Also ist φ = φ_A (siehe Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020]).
- Wℝ berechnen den Rang von A, um die Injektivität/Surjektivität/Bijektivität
- von φ zu klassifizieren:
- ---> A in Zeilenstufenform:
- 1 0 -3
- 0 1 0
- 0 0 0
- 0 0 12
- 0 0 4
- Rang(A) = 3
- ---> A ist eine mxn Matrix mit m=5, n=3
- Rang(A) = 3 ≥ 3 = n ===> φ = φ_A ist injektiv
- Rang(A) = 3 < 5 = m ===> φ = φ_A ist nicht surjektiv
- m ≠ n ===> φ = φ_A ist nicht bijektiv
+**Antwort:** Ja.
+**Beweis:**
+Da eine (u₁, u₂, u₃, u₄, u₅) Basis für ℝ⁵ ist,
+können wir [Skript, Satz 6.1.13] anwenden.
+Setze
+ φ(u₃) := 0 (Nullvektor)
+ φ(u₅) := 0 (Nullvektor)
-## UB9-3 (wie man ansetzen kann...) ##
+Mit der partiellen Definition von φ auf der Basis (u₁, u₂, u₃, u₄, u₅),
+existiert laut [Skript, Satz 6.1.13] eine **lineare Ausdehnung**
+(auch _Fortsetzung_ od. _Erweiterung_ in der Literatur genannt)
+φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³, so dass
-**Zz:** ψ◦ϕ injektiv <===> ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}
+ φ(u₁) = v₁, φ(u₂) = v₂, φ(u₄) = v₃, φ(u₃) = 0, φ(u₅) = 0.
+**QED**
-(==>) Angenommen, ψ◦ϕ injektiv.
-**Zz:** ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}.
+**Bemerkung 1.**
+Konkret, da u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis ist,
+existiert für jedes x ∈ ℝ⁵ eindeutige Werte
+c₁, c₂, c₃, c₄, c₅ im Körper ℝ,
+so dass
-...
+ x = ∑ c_i · ui
-(<==) Angenommen, ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}.
-**Zz:** ψ◦ϕ injektiv
+gilt, und man setzt
-Laut Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020] reicht es aus zu zeigen, dass Kern(ψ◦ϕ) = {0}.
+ φ(x) := ∑ c_i · φ(u_i).
-Sei x ∈ U beliebig.
+Mit dieser Definition ist es einfach, die Axiome durchzugehen,
+und zu beweisen, dass dies eine lineare Abbildung definiert.
-**Zz:** x ∈ Kern(ψ◦ϕ) <===> x = 0
+**Bemerkung 2.**
+Beachte, dass die _Wahl_ von den φ(u₃), φ(u₅) im o. s. Beispiel beliebig sein kann. Es ist nur entscheidend, dass in der partiellen
+Definition wir es mit linear unabhängigen Elementen zu tun haben.
+Falls es zu Abhängigkeiten zwischen den Inputvektoren kommt,
+müssen wir wie gewohnt auf eine maximale linear unabhängige Teilmenge
+reduzieren, und zeigen, dass für die restlichen Inputs,
+die Definition kompatibel ist.
- x ∈ Kern(ψ◦ϕ)
- <===> (ψ◦ϕ)(x) = 0
- ..
- .. <--- ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0} ausnutzen !
- ..
- <===> x = 0
+Als Beispiel nehmen wir
+
+ u₁ = (1, 0, 1, 0, 0)ᵀ
+ u₂ = (1, 2, 1, 0, 0)ᵀ
+ u₃ = (0, 1, 0, 0, 0)ᵀ
+
+und φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³ partiell definiert auf {u₁, u₂, u₃}.
+Aus (u₁, u₂, u₃) können wir sehen (etwa durch den Gaußalgorithmus),
+dass (u₁, u₂) ein maximales linear unabhängiges Teilsystem ist
+und
+
+ u₃ = -½u₁ + ½u₂.
+
+Darum können φ(u₁), φ(u₂) beliebig gewählt werden,
+umd es muss
+
+ φ(u₃) = -½φ(u₁) + ½φ(u₂)
+
+gelten (entsprechend dem o. s. Verhältnis).
+
+Wenn wir zum Beispiel
+
+ φ(u₁) = ( 4, 2)ᵀ
+ φ(u₂) = (-2, 8)ᵀ
+ φ(u₃) = (-3, 3)ᵀ
+
+wählen ist, dies erfüllt.
+Man kann das l. u. Teilsystem (u₁, u₂)
+durch 3 weitere Vektoren zu einer Basis ergänzen
+und φ zu einer linearen Abb ausdehnen.
+
+Wenn wir aber
+
+ φ(u₁) = ( 8, 1)ᵀ
+ φ(u₂) = (-4, 8)ᵀ
+ φ(u₃) = ( 0, 1)ᵀ
+
+wählen ist, ist φ(u₃) = -½φ(u₁) + ½φ(u₂) nicht erfüllt.
+Darum lässt sich hier φ **nicht** zu einer linearen Abbildung erweitern.
diff --git a/notes/berechnungen_wk11.md b/notes/berechnungen_wk11.md
index c5fe19b..2078d8b 100644
--- a/notes/berechnungen_wk11.md
+++ b/notes/berechnungen_wk11.md
@@ -1,294 +1,191 @@
-## §1. Linear oder nicht? ##
+# Woche 10 #
+## SKA 11 ##
-In folgenden Aufgaben wird eine Funktion φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert.
-Bestimme in jedem Falle, ob φ linear ist.
+### Aufgabe 12 ###
-a)
+Gegeben sei
- φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4·x₁·x₃ )
- ( 10·x₂ )
+ A = -1 1
+ 2 0
+ 3 1
-Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(2, 0, 2) = 2·φ(1, 0, 1) gelten.
-Aber:
+A ist in ℝ^{3 x 2}
+**Zu finden:** Matrizen P, Q, so dass P·A·Q im Format wie in Satz 6.3.10
+Offensichtlich müssen
- φ(2, 0, 2) = (16, 0)ᵀ
- 2·φ(1, 0, 1) = 2·(4, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠ φ(2, 0, 2)
+ P ∈ ℝ^{3 x 3}
+ Q ∈ ℝ^{2 x 2}
-Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird.
+gelten. Da bei X·Y müssen #col(X), #row(Y) übereinstimmen, weil
+wenn man die Matrixmultiplikation ausführt, dann multipliziert man
+ - Zeilen aus X
+ mit
+ - Spalten aus Y.
+Im Gaußverfahren
-b)
+ A —> E1·A —> E2·E1·A —> E3·E2·E1·A ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·A
- φ(x₁, x₂, x₃) = ( x₃² )
- ( 0 )
+—> Wir wollen (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1) als einzige Matrix erfassen, also als P.
-Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0, 0, 8) = 8·φ(0, 0, 1) gelten.
-Aber:
+Wir führen A in ein augmentiertes System mit der 3x3 Identitätsmatrix auf
- φ(0, 0, 8) = (64, 0)ᵀ
- 8·φ(0, 0, 1) = 8·(1, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠ φ(0, 0, 8)
+ -1 1 | 1 0 0
+ 2 0 | 0 1 0
+ 3 1 | 0 0 1
-Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird.
+und führen das Gaußverfahren darauf auf. Dann geschieht (effektiv) parallel
-c)
+ linke Hälfte: A —> E1·A —> E2·E1·A —> E3·E2·E1·A ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·A
+ rechte Hälfte: I —> E1·I —> E2·E1·I —> E3·E2·E1·I ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·I
+ = (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)
+ = P
- φ(x₁, x₂, x₃) = ( x₃ )
- ( 0 )
+Gaußverfahren:
---> linear
+ -1 1 | 1 0 0
+ 2 0 | 0 1 0
+ 3 1 | 0 0 1
-d)
+ Zeilen 1 und 2 tauschen:
- φ(x₁, x₂, x₃) = ( 0 )
- ( 0 )
+ 2 0 | 0 1 0
+ -1 1 | 1 0 0
+ 3 1 | 0 0 1
---> linear
+ Zeile_2 <— 2·Zeile_2 + Zeile_1
+ Zeile_3 <— 2·Zeile_3 - 3·Zeile_1
-e)
+ 2 0 | 0 1 0
+ 0 2 | 2 1 0
+ 0 2 | 0 -3 2
- φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4 )
- ( 0 )
+ Zeile_3 <— Zeile_3 - Zeile_2
-Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
-Aber φ ist hier niemals der Nullvektor!
-Also ist φ nicht linear.
+ 2 0 | 0 1 0
+ 0 2 | 2 1 0
+ 0 0 | -2 -4 2
-f)
+ Zeile_1 <— Zeile_1 / 2
+ Zeile_2 <— Zeile_2 / 2
- φ(x₁, x₂, x₃) = ( 10·x₃ )
- ( -x₂ + x₁ )
+ 1 0 | 0 1/2 0
+ 0 1 | 1 1/2 0
+ 0 0 | -2 -4 2
-linear!
+Also gilt mit
-g)
+ P = 0 1 0
+ 2 1 0
+ -2 -4 2
- φ(x₁, x₂, x₃) = ( 1 - 10·x₃ )
- ( -x₂ + x₁ )
+Dass P·A = Form aus Satz 6.3.10.
+Setze Q := 2 x 2 Identitätsmatrix
+Dann
-Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
-Aber φ(0) = (1, 0)ᵀ.
-Also ist φ nicht linear.
+ P·A·Q = P·A = Matrix im Format aus Satz 6.3.10
-h)
+### Anderes nicht so glückliches Beispiel ###
- φ(x₁, x₂, x₃) = ( exp(-(7·x₂ + 8·x₁)) )
- ( 0 )
+Angenommen wir hätten A als 3 x 5 Matrix und nach Ausführung des o. s. Verfahrens
-Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2]
-Aber φ(0) = (exp(0), 0)ᵀ = (1, 0)ᵀ.
-Also ist φ nicht linear.
+ 0 1 0 0 0 | 0 1/2 0
+ 0 0 0 1 0 | 1 1/2 0
+ 0 0 0 0 0 | -2 -4 2
-## §2. Aufgaben ähnlich zu ÜB 10-2 ##
+erzielt. Dann würden wir P wie oben setzen.
+Aber wir müssen noch Q bestimmen.
+Das können wir einfach durch Permutationen erreichen:
-Seien A = (u₁, u₂, u₃) und B = (v₁, v₂),
-wobei
+ 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
+ 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
+ Q = 0 0 1 0 0 · 0 0 1 0 0
+ 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
+ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
- u₁ = (3, 0, 1)ᵀ
- u₂ = (0, -1, 0)ᵀ
- u₃ = (4, 0, 0)ᵀ
+Oder mit Gaußverfahren, transponieren wir und augmentieren wir mit der 5x5 Identitätsmatrix:
- v₁ = (4, 5)ᵀ
- v₂ = (0, 1)ᵀ
+ 0 0 0 | 1 0 0 0 0
+ 1 0 0 | 0 1 0 0 0
+ 0 0 0 | 0 0 1 0 0
+ 0 1 0 | 0 0 0 1 0
+ 0 0 0 | 0 0 0 0 1
+
+ Zeile1 und Zeile2 vertauschen:
+
+ 1 0 0 | 0 1 0 0 0
+ 0 0 0 | 1 0 0 0 0
+ 0 0 0 | 0 0 1 0 0
+ 0 1 0 | 0 0 0 1 0
+ 0 0 0 | 0 0 0 0 1
+
+ Zeile2 und Zeile4 vertauschen:
+
+ 1 0 0 | 0 1 0 0 0
+ 0 1 0 | 0 0 0 1 0
+ 0 0 0 | 0 0 1 0 0
+ 0 0 0 | 1 0 0 0 0
+ 0 0 0 | 0 0 0 0 1
+
+Rechte Hälfte __transponiert__:
+
+ 0 0 0 1 0
+ 1 0 0 0 0
+ Q = 0 0 1 0 0
+ 0 1 0 0 0
+ 0 0 0 0 1
+
+## Lineare Ausdehnung mit Komplikationen... ##
+
+Betrachte
+
+ u1 = (1, 1, 0, 4)ᵀ
+ u2 = (1, 0, 0, 4)ᵀ
+ u3 = (0, 1, 0, 0)ᵀ
+ u4 = (1, -1, 0, 4)ᵀ
+
+und φ : ℝ^4 —> ℝ^2 partiell definiert
+
+ φ(u1) = (8, 1)ᵀ
+ φ(u2) = (4, 5)ᵀ
+ φ(u3) = (4, -4)ᵀ
+ φ(u4) = (0, 9)ᵀ
Beachte:
+ {u1, u2} lin. unabh.
+ u3, u4 ∈ Lin{u1, u2}:
+ u3 = u1 - u2
+ u4 = u2 - u3 = u2 - (u1 - u2) = 2·u2 – u1
-- A bildet eine Basis für ℝ³
-- B bildet eine Basis für ℝ²
+Darum müssen
-Sei nun φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert durch
+ φ(u3) = φ(u1) - φ(u2)
+ φ(u4) = 2·φ(u2) – φ(u1)
- φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4·x₁ - x₃ )
- ( 10·x₂ + x₁ )
+gelten.
-### Zur Linearität ###
-Seien
+Wenn nicht erfüllt ==> ex. keine lineare Ausdehnung.
+Wenn erfüllt ==> ex. eine lineare Ausdehnung:
- (x₁,x₂,x₃), (x₁',x₂',x₃') ∈ ℝ³
- c, c' ∈ ℝ
-
-**Zu zeigen:**
- φ(c(x₁, x₂, x₃) +c'(x₁',x₂',x₃')) = c·φ(x₁, x₂, x₃) +c'·φ(x₁', x₂', x₃')
-
-Es gilt
-
- l. S. = φ(c(x₁, x₂, x₃) +c'(x₁',x₂',x₃'))
- = φ(c(x₁·e1 + x₂·e2 + x₃·e3) +c'(x₁'·e1 + x₂'·e2 + x₃'·e3))
- = φ((c·x₁ + c'·x₁)·e1 + (c·x₂ + c'·x₂)·e2 + (c·x₃ + c'·x₃)·e3)
- = φ(c·x₁ + c'·x₁', c·x₂ + c'·x₂', c·x₃ + c'·x₃')
-
- = ( 4·(c·x₁ + c'·x₁') - (c·x₃ + c'·x₃') )
- ( 10·(c·x₂ + c'·x₂') + (c·x₁ + c'·x₁') )
-
- = ( c·(4·x₁ - x₃) + c'·(4·x₁' - x₃') )
- ( c·(10·x₂ + x₁) + c'·(10·x₂' + x₁') )
-
- = c·( 4·x₁ - x₃ ) + c'·( 4·x₁' - x₃' )
- ( 10·x₂ + x₁ ) ( 10·x₂' + x₁' )
-
- = r. S.
-
-Darum ist φ linear.
-
-### Darstellung ###
-Zunächst beobachten wir:
-
- φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4 0 -1 ) ( x₁ )
- ( 1 10 0 ) ( x₂ )
- ( x₃ )
- = C·x
- = φ_C(x) siehe [Skript, Bsp 6.2.2],
-
-wobei C die Matrix
-
- C = ( 4 0 -1 )
- ( 1 10 0 )
-
-ist.
-
-**Bemerkung.** Den vorherigen Teil konnten wir hiermit viel einfacher machen:
-Da φ_C linear ist (siehe [Skript, Bsp 6.2.2]), ist φ = φ_C linear.
-
-_Zurück zur Berechnung der Darstellung..._
-
-Die zu berechnende Matrix M := M_A^B(φ), ist diejenige, die erfüllt:
-
-- ist x der Form x = ∑ α_j·u_j = (α_j) <--- als Vektor über Basis A
-- und ist M·(α_j) = (β_i) für einen Vektor (β_i) ∈ ℝ²
-- dann gilt φ(x) = y, wobei y = ∑ β_i·v_i
-
-Zusammengefasst ist M genau die Matrix, für die gilt:
-
- B·M·α = φ(A·α)
-
-für alle α ∈ ℝ³. Da φ = φ_C, ist die äquivalent zu
-
- B·M·α = C·A·α
-
-Kurzgesagt: M_A^B(φ) = B^-1 · C · A.
-Um dies zu bestimmen, wenden wir das Gaußverfahren
-auf folgendes augmentiertes System an
-
- ( B | C·A )
-
-und reduzieren die linke Hälfte auf die Identitätsmatrix.
-Die resultierende Matrix in der rechten Hälfte wir dann M sein.
-Es gilt
-
- C·A = ( 4 0 -1 ) (3 0 4)
- ( 1 10 0 ) (0 -1 0)
- (1 0 0)
- = ( 11 0 16 )
- ( 3 -10 4 )
-
-Also ist das augmentiere System
-
- ( B | C·A )
-
- = ( 4 0 | 11 0 16 )
- ( 5 1 | 3 -10 4 )
- Zeile2 <- 4*Zeile2 - 5*Zeile1
-
- ~> ( 4 0 | 11 0 16 )
- ( 0 4 | -43 -40 -64 )
- Zeile1 <- Zeile1 : 4
- Zeile2 <- Zeile2 : 4
-
- ~> ( 1 0 | 11/4 0 4 )
- ( 0 1 | -43/4 -10 -16 )
-
-Darum gilt
-
- M_A^B(φ) = ( 11/4 0 4 )
- ( -43/4 -10 -16 )
-
-
-
-## §3. Lineare Fortsetzung von partiell definierten Funktionen ##
-
-Seien u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis für ℝ⁵.
-Seien v₁, v₂, v₃ Vektoren in ℝ³.
-Definiert werden
-
- φ(u₁) = v₁, φ(u₂) = v₂, φ(u₄) = v₃
-
-**Aufgabe:** Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³, die die o. s. Gleichungen erfüllen?
-
-**Antwort:** Ja.
-
-**Beweis:**
-Da eine (u₁, u₂, u₃, u₄, u₅) Basis für ℝ⁵ ist,
-können wir [Skript, Satz 6.1.13] anwenden.
Setze
- φ(u₃) := 0 (Nullvektor)
- φ(u₅) := 0 (Nullvektor)
+ u1' = u1
+ u2' = u2
+ ---> {u1', u2'} lin. unabh.
+ ---> {u1', u2'} lässt sich zu einer Basis
+ {u1', u2', u3', u4'} von ℝ^4
-Mit der partiellen Definition von φ auf der Basis (u₁, u₂, u₃, u₄, u₅),
-existiert laut [Skript, Satz 6.1.13] eine **lineare Ausdehnung**
-(auch _Fortsetzung_ od. _Erweiterung_ in der Literatur genannt)
-φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³, so dass
+Wähle v3, v4 ∈ ℝ^2 beliebig und setze
- φ(u₁) = v₁, φ(u₂) = v₂, φ(u₄) = v₃, φ(u₃) = 0, φ(u₅) = 0.
-**QED**
+ φ(u1') := (8, 1)ᵀ
+ φ(u2') := (4, 5)ᵀ
+ φ(u3') := v3
+ φ(u4') := v4
-**Bemerkung 1.**
-Konkret, da u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis ist,
-existiert für jedes x ∈ ℝ⁵ eindeutige Werte
-c₁, c₂, c₃, c₄, c₅ im Körper ℝ,
-so dass
+Dann laut Satz 6.1.13. ex. eine (eindeutige) lineare Abb.
+ φ : ℝ^4 —> ℝ^2
+mit
- x = ∑ c_i · ui
-
-gilt, und man setzt
-
- φ(x) := ∑ c_i · φ(u_i).
-
-Mit dieser Definition ist es einfach, die Axiome durchzugehen,
-und zu beweisen, dass dies eine lineare Abbildung definiert.
-
-**Bemerkung 2.**
-Beachte, dass die _Wahl_ von den φ(u₃), φ(u₅) im o. s. Beispiel beliebig sein kann. Es ist nur entscheidend, dass in der partiellen
-Definition wir es mit linear unabhängigen Elementen zu tun haben.
-Falls es zu Abhängigkeiten zwischen den Inputvektoren kommt,
-müssen wir wie gewohnt auf eine maximale linear unabhängige Teilmenge
-reduzieren, und zeigen, dass für die restlichen Inputs,
-die Definition kompatibel ist.
-
-Als Beispiel nehmen wir
-
- u₁ = (1, 0, 1, 0, 0)ᵀ
- u₂ = (1, 2, 1, 0, 0)ᵀ
- u₃ = (0, 1, 0, 0, 0)ᵀ
-
-und φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³ partiell definiert auf {u₁, u₂, u₃}.
-Aus (u₁, u₂, u₃) können wir sehen (etwa durch den Gaußalgorithmus),
-dass (u₁, u₂) ein maximales linear unabhängiges Teilsystem ist
-und
-
- u₃ = -½u₁ + ½u₂.
-
-Darum können φ(u₁), φ(u₂) beliebig gewählt werden,
-umd es muss
-
- φ(u₃) = -½φ(u₁) + ½φ(u₂)
-
-gelten (entsprechend dem o. s. Verhältnis).
-
-Wenn wir zum Beispiel
-
- φ(u₁) = ( 4, 2)ᵀ
- φ(u₂) = (-2, 8)ᵀ
- φ(u₃) = (-3, 3)ᵀ
-
-wählen ist, dies erfüllt.
-Man kann das l. u. Teilsystem (u₁, u₂)
-durch 3 weitere Vektoren zu einer Basis ergänzen
-und φ zu einer linearen Abb ausdehnen.
-
-Wenn wir aber
-
- φ(u₁) = ( 8, 1)ᵀ
- φ(u₂) = (-4, 8)ᵀ
- φ(u₃) = ( 0, 1)ᵀ
-
-wählen ist, ist φ(u₃) = -½φ(u₁) + ½φ(u₂) nicht erfüllt.
-Darum lässt sich hier φ **nicht** zu einer linearen Abbildung erweitern.
+ φ(u1') = (8, 1)ᵀ
+ φ(u2') = (4, 5)ᵀ
+ φ(u3') = v3
+ φ(u4') = v4
diff --git a/notes/berechnungen_wk12.md b/notes/berechnungen_wk12.md
index 4a294fb..d8258db 100644
--- a/notes/berechnungen_wk12.md
+++ b/notes/berechnungen_wk12.md
@@ -1,191 +1 @@
-## SKA 1 ##
-
-### Aufgabe 12 ###
-
-Gegeben sei
-
- A = -1 1
- 2 0
- 3 1
-
-A ist in ℝ^{3 x 2}
-**Zu finden:** Matrizen P, Q, so dass P·A·Q im Format wie in Satz 6.3.10
-Offensichtlich müssen
-
- P ∈ ℝ^{3 x 3}
- Q ∈ ℝ^{2 x 2}
-
-gelten. Da bei X·Y müssen #col(X), #row(Y) übereinstimmen, weil
-wenn man die Matrixmultiplikation ausführt, dann multipliziert man
- - Zeilen aus X
- mit
- - Spalten aus Y.
-Im Gaußverfahren
-
- A —> E1·A —> E2·E1·A —> E3·E2·E1·A ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·A
-
-—> Wir wollen (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1) als einzige Matrix erfassen, also als P.
-
-Wir führen A in ein augmentiertes System mit der 3x3 Identitätsmatrix auf
-
- -1 1 | 1 0 0
- 2 0 | 0 1 0
- 3 1 | 0 0 1
-
-und führen das Gaußverfahren darauf auf. Dann geschieht (effektiv) parallel
-
- linke Hälfte: A —> E1·A —> E2·E1·A —> E3·E2·E1·A ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·A
- rechte Hälfte: I —> E1·I —> E2·E1·I —> E3·E2·E1·I ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·I
- = (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)
- = P
-
-Gaußverfahren:
-
- -1 1 | 1 0 0
- 2 0 | 0 1 0
- 3 1 | 0 0 1
-
- Zeilen 1 und 2 tauschen:
-
- 2 0 | 0 1 0
- -1 1 | 1 0 0
- 3 1 | 0 0 1
-
- Zeile_2 <— 2·Zeil_2 + Zeile_1
- Zeile_3 <— 2·Zeil_3 - 3·Zeile_1
-
- 2 0 | 0 1 0
- 0 2 | 2 1 0
- 0 2 | 0 -3 2
-
- Zeile_3 <— Zeil_3 - Zeile_2
-
- 2 0 | 0 1 0
- 0 2 | 2 1 0
- 0 0 | -2 -4 2
-
- Zeile_1 <— Zeile_1 / 2
- Zeile_2 <— Zeile_2 / 2
-
- 1 0 | 0 1/2 0
- 0 1 | 1 1/2 0
- 0 0 | -2 -4 2
-
-Also gilt mit
-
- P = 0 1 0
- 2 1 0
- -2 -4 2
-
-Dass P·A = Form aus Satz 6.3.10.
-Setze Q := 2 x 2 Identitätsmatrix
-Dann
-
- P·A·Q = P·A = Matrix im Format aus Satz 6.3.10
-
-### Anderes nicht so glückliches Beispiel ###
-
-Angenommen wir hätten A als 3 x 5 Matrix und nach Ausführung des o. s. Verfahrens
-
- 0 1 0 0 0 | 0 1/2 0
- 0 0 0 1 0 | 1 1/2 0
- 0 0 0 0 0 | -2 -4 2
-
-erzielt. Dann würden wir P wie oben setzen.
-Aber wir müssen noch Q bestimmen.
-Das können wir einfach durch Permutationen erreichen:
-
- Q = 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
- 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
- 0 0 1 0 0 · 0 0 1 0 0
- 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
- 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
-
-Oder mit Gaußverfahren, transponieren wir und augmentieren wir mit der 5x5 Identitätsmatrix:
-
- 0 0 0 | 1 0 0 0 0
- 1 0 0 | 0 1 0 0 0
- 0 0 0 | 0 0 1 0 0
- 0 1 0 | 0 0 0 1 0
- 0 0 0 | 0 0 0 0 1
-
- Zeile1 und Zeile2 vertauschen:
-
- 1 0 0 | 0 1 0 0 0
- 0 0 0 | 1 0 0 0 0
- 0 0 0 | 0 0 1 0 0
- 0 1 0 | 0 0 0 1 0
- 0 0 0 | 0 0 0 0 1
-
- Zeile2 und Zeile4 vertauschen:
-
- 1 0 0 | 0 1 0 0 0
- 0 1 0 | 0 0 0 1 0
- 0 0 0 | 0 0 1 0 0
- 0 0 0 | 1 0 0 0 0
- 0 0 0 | 0 0 0 0 1
-
- Rechte Hälfte transponiert:
-
- Q = 0 0 0 1 0
- 1 0 0 0 0
- 0 0 1 0 0
- 0 1 0 0 0
- 0 0 0 0 1
-
-
-## Lineare Ausdehnung mit Komplikationen... ##
-
-Betrachte
-
- u1 = (1, 1, 0, 4)ᵀ
- u2 = (1, 0, 0, 4)ᵀ
- u3 = (0, 1, 0, 0)ᵀ
- u4 = (1, -1, 0, 4)ᵀ
-
-und φ : ℝ^4 —> ℝ^2 partiell definiert
-
- φ(u1) = (8, 1)ᵀ
- φ(u2) = (4, 5)ᵀ
- φ(u3) = (4, -4)ᵀ
- φ(u4) = (0, 9)ᵀ
-
-Beachte:
- {u1, u2} lin. unabh.
- u3, u4 ∈ Lin{u1, u2}:
- u3 = u1 - u2
- u4 = u2 - u3 = u2 - (u1 - u2) = 2·u2 – u1
-
-Darum müssen
-
- φ(u3) = φ(u1) - φ(u2)
- φ(u4) = 2·φ(u2) – φ(u1)
-
-gelten.
-
-Wenn nicht erfüllt ==> ex. keine lineare Ausdehnung.
-Wenn erfüllt ==> ex. eine lineare Ausdehnung:
-
-Setze
-
- u1' = u1
- u2' = u2
- ---> {u1', u2'} lin. unabh.
- ---> {u1', u2'} lässt sich zu einer Basis
- {u1', u2', u3', u4'} von ℝ^4
-
-Wähle v3, v4 ∈ ℝ^2 beliebig und setze
-
- φ(u1') := (8, 1)ᵀ
- φ(u2') := (4, 5)ᵀ
- φ(u3') := v3
- φ(u4') := v4
-
-Dann laut Satz 6.1.13. ex. eine (eindeutige) lineare Abb.
- φ : ℝ^4 —> ℝ^2
-mit
-
- φ(u1') = (8, 1)ᵀ
- φ(u2') = (4, 5)ᵀ
- φ(u3') = v3
- φ(u4') = v4
+# Woche 12 #
diff --git a/notes/berechnungen_wk13.md b/notes/berechnungen_wk13.md
new file mode 100644
index 0000000..a914c44
--- /dev/null
+++ b/notes/berechnungen_wk13.md
@@ -0,0 +1 @@
+# Woche 13 #
diff --git a/notes/berechnungen_wk9.md b/notes/berechnungen_wk9.md
index e69de29..b98d5f5 100644
--- a/notes/berechnungen_wk9.md
+++ b/notes/berechnungen_wk9.md
@@ -0,0 +1,153 @@
+# Woche 9 #
+
+(Für die Berechnungen haben wir Octave benutzt.)
+## Aufgabe ähnlich wie ÜB9-1 ##
+
+U = lin{u1, u2}
+V = lin{v1, v2, v3}
+
+### U ⊆ V ? ###
+#### Beispiel 1 ####
+
+ u1 = (1 1 0 0)ᵀ
+ u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
+
+ v1 = (4 0 0 0)ᵀ
+ v2 = (1 4 0 0)ᵀ
+ v3 = (1 0 1 0)ᵀ
+
+ Anmerkung: lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3} <===> u1, u2 ∈ lin{v1, v2, v3}
+
+ Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2)
+ ---> auf Zeilenstufenform reduzieren
+ ---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind.
+ ---> ja
+ ---> lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3}
+
+#### Beispiel 2 ####
+
+ u1 = (1 1 0 1)ᵀ
+ u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
+
+ v1 = (4 0 0 0)ᵀ
+ v2 = (1 4 0 0)ᵀ
+ v3 = (1 0 1 0)ᵀ
+
+ Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2)
+ ---> auf Zeilenstufenform reduzieren
+ ---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind.
+ ---> nein
+ ---> also lin{u1, u2} ⊈ lin{v1, v2, v3}
+
+### Basis von V/U ###
+
+ --> Beispiel 1.
+
+ u1 = (1 1 0 0)ᵀ
+ u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
+
+ v1 = (4 0 0 0)ᵀ
+ v2 = (1 0 1 0)ᵀ
+ v3 = (1 4 0 0)ᵀ
+
+ Schreibweise für Äquivalenzklassen:
+ [v] = v + U
+ --> die Elemente in V/U
+
+ Setze A := (u1 u2 v1 v2 v3)
+ ---> auf Zeilenstufenform reduzieren
+ ---> bestimmen, welche Variablen frei / unfrei sind
+ ---> bestimme die Basis durch die Spalten, die den unfreien Variablen entsprechen
+ --->
+ x3, x5 sind frei
+ x1, x2, x4 nicht frei
+ ---> v2 + U (entspricht x4) bildet eine Basis
+
+
+## SKA 9-5 ##
+
+ Basis für U:
+ u1 = (1 1 0)ᵀ
+ u2 = (0 1 1)ᵀ
+ Basis für V = ℝ^3:
+ v1 = (1 0 0)ᵀ
+ v2 = (0 1 0)ᵀ
+ v3 = (0 0 1)ᵀ
+
+ A = (u1, u2, v1, v2, v3)
+ ---> Zeilenstufenform: x1, x2, x3 nicht frei; x4, x5 frei
+ ---> V / U = lin {v1 + U} = lin { e1 + U }
+ und dim(V/U) = 1
+
+ Beachte: v2 = u1 - v1 ===> v2 + U = -(v1 + U)
+ v3 = (u2-u1) + v1 ===> v3 + U = v1 + U
+
+
+
+## UB9-2 (Bsp) ##
+
+ Seien
+
+ v1 = (1 0 0 4 1)ᵀ
+ v2 = (0 1 0 8 0)ᵀ
+ v3 = (-3 0 0 0 1)ᵀ
+
+ φ : ℝ^3 ---> ℝ^5
+ sei linear mit
+ φ(e_i) = v_i für alle i
+
+ 1. Sei x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ^3
+ φ(x1,x2,x3)
+ = φ(x)
+ = φ(x1·e1 + x2·e2 + x3·e3)
+ = φ(x1·e1) + φ(x2·e2) + φ(x3·e3)
+ = x1·φ(e1) + x2·φ(e2) + x3·φ(e3)
+ = x1·v1 + x2·v2 + x3·v3
+ = Ax
+ wobei A = (v1 v2 v3)
+ = 1 0 -3
+ 0 1 0
+ 0 0 0
+ 4 8 0
+ 1 0 1
+ Also ist φ = φ_A (siehe Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020]).
+ Wℝ berechnen den Rang von A, um die Injektivität/Surjektivität/Bijektivität
+ von φ zu klassifizieren:
+ ---> A in Zeilenstufenform:
+ 1 0 -3
+ 0 1 0
+ 0 0 0
+ 0 0 12
+ 0 0 4
+ Rang(A) = 3
+ ---> A ist eine mxn Matrix mit m=5, n=3
+ Rang(A) = 3 ≥ 3 = n ===> φ = φ_A ist injektiv
+ Rang(A) = 3 < 5 = m ===> φ = φ_A ist nicht surjektiv
+ m ≠ n ===> φ = φ_A ist nicht bijektiv
+
+
+
+## UB9-3 (wie man ansetzen kann...) ##
+
+**Zz:** ψ◦ϕ injektiv <===> ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}
+
+(==>) Angenommen, ψ◦ϕ injektiv.
+**Zz:** ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}.
+
+...
+
+(<==) Angenommen, ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}.
+**Zz:** ψ◦ϕ injektiv
+
+Laut Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020] reicht es aus zu zeigen, dass Kern(ψ◦ϕ) = {0}.
+
+Sei x ∈ U beliebig.
+
+**Zz:** x ∈ Kern(ψ◦ϕ) <===> x = 0
+
+ x ∈ Kern(ψ◦ϕ)
+ <===> (ψ◦ϕ)(x) = 0
+ ..
+ .. <--- ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0} ausnutzen !
+ ..
+ <===> x = 0