From ce3776e67ccf6e6b6fa40b8c2164f6b84a2f0981 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: raj_mathe Date: Wed, 3 Feb 2021 14:54:46 +0100 Subject: [PATCH] master > master: Protokoll Woche 12 --- notes/berechnungen_wk12.md | 242 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++ protocol/woche12/README.md | 20 ++- 2 files changed, 257 insertions(+), 5 deletions(-) diff --git a/notes/berechnungen_wk12.md b/notes/berechnungen_wk12.md index d8258db..d843db9 100644 --- a/notes/berechnungen_wk12.md +++ b/notes/berechnungen_wk12.md @@ -1 +1,243 @@ # Woche 12 # + +A = [1, 2, -2, -1; 2, 0, -1, 1; 4, 3, 3, 1; 1, -2, 2, 3]; + +## Quiz 11 ## + +A eine m x m Matrix, m = 4: + + A = 1 2 -2 -1 + 2 0 -1 1 + 4 3 3 1 + 1 -2 2 3 + +in IF₅. + +Zur Bestimmung der Invertierbarkeit: Gaußverfahren auf (A | I): + + 1 2 -2 -1 | 1 0 0 0 + 2 0 -1 1 | 0 1 0 0 + 4 3 3 1 | 0 0 1 0 + 1 -2 2 3 | 0 0 0 1 + +Zeile 2 <- Zeile 2 - 2·Zeile 1 +Zeile 3 <- Zeile 3 - 4·Zeile 1 +Zeile 4 <- Zeile 4 - Zeile 1 + + + 1 2 -2 -1 | 1 0 0 0 + 0 -4 3 3 | -2 1 0 0 + 0 -5 11 5 | -4 0 1 0 + 0 -4 4 4 | -1 0 0 1 + +—> modulo 5 + + 1 2 3 4 | 1 0 0 0 + 0 1 3 3 | 3 1 0 0 + 0 0 1 0 | 1 0 1 0 + 0 1 4 4 | 4 0 0 1 + +Zeile 4 <- Zeile 4 - Zeile 2 + + 1 2 3 4 | 1 0 0 0 + 0 1 3 3 | 3 1 0 0 + 0 0 1 0 | 1 0 1 0 + 0 0 1 1 | 1 4 0 1 + +(hier habe ich sofort mod 5 berechnet) + +Zeile 4 <- Zeile 4 - Zeile 3 + + 1 2 3 4 | 1 0 0 0 + 0 1 3 3 | 3 1 0 0 + 0 0 1 0 | 1 0 1 0 + 0 0 0 1 | 0 4 4 1 + +==> Rang(A) = 4 = m +==> A invertierbar + +Zeile 1 <- Zeile 1 - 2·Zeile 2 + + 1 0 -3 -2 |-5 -2 0 0 + 0 1 3 3 | 3 1 0 0 + 0 0 1 0 | 1 0 1 0 + 0 0 0 1 | 0 4 4 1 + +Zeile 1 <- Zeile 1 + 3·Zeile 3 +Zeile 2 <- Zeile 2 - 3·Zeile 3 + + 1 0 0 -2 |-2 -2 3 0 + 0 1 0 3 | 0 1 -3 0 + 0 0 1 0 | 1 0 1 0 + 0 0 0 1 | 0 4 4 1 + +Zeile 1 <- Zeile 1 + 2·Zeile 4 +Zeile 2 <- Zeile 2 - 3·Zeile 4 + + 1 0 0 0 | 3 1 1 2 + 0 1 0 0 | 0 4 0 2 + 0 0 1 0 | 1 0 1 0 + 0 0 0 1 | 0 4 4 1 + +===> A^-1 steht in der rechten Hälfte + + A^-1 = 3 1 1 2 + 0 4 0 2 + 1 0 1 0 + 0 4 4 1 + +## Lineare Ausdehnung ## + +**Aufgabe 1.** + +Seien + + w1 = (1, 1, 0)ᵀ + w2 = (1, -1, 2)ᵀ + w3 = (0, 3, -1)ᵀ + + v1 = ( 2, 1)ᵀ + v2 = (-1, 1)ᵀ + v3 = ( 1, 0)ᵀ + +Gibt es eine lineare Abbildung, φ : IR^3 —> IR^2, +so dass + + φ(w1) = v1 + φ(w2) = v2 + φ(w3) = v3 + +gilt? Ist dies injektiv/surjektiv/bijektiv? + +**Antwort.** +{w1, w2, w3} eine Basis + ~~~> Gaußverfahren auf (w1 w2 w3) und Rang berechnen (soll gleich 3 sein)! +==> ja! (Satz 6.1.13 aus VL) + +- Nicht injektiv, weil Rang(φ) <= 2, aber 2 ≥ 3 gilt nicht. +- Surjektiv: + Zz: Rang(φ) ≥ 2. + φ = φ_A + A = Darstellungsmatrix + .... +- Bijektiv: nein, weil nicht injektiv. + +**Aufgabe 2.** + +Seien + + w1 = (1, 1, 0)ᵀ + w2 = (1, -1, 2)ᵀ + + v1 = ( 2, 1)ᵀ + v2 = (-1, 1)ᵀ + +Gibt es eine lineare Abbildung, φ : IR^3 —> IR^2, +so dass + + φ(w1) = v1 + φ(w2) = v2 + +gilt, und so dass φ injektiv ist? surjektiv? bijektiv? + +**Antwort.** + +- {w1, w2} sind linear unabhängig (wiederum mit Gaußverfahren und Rang zeigen). +- {w1, w2} können zu einer Basis von IR^3 ergänzt werden: {w1, w2, w3} +- Setze v3 ∈ IR^2 beliebig + - Satz der linearen Ausdehnung (6.1.13) wieder anwenden: + - _es gibt eine_ lineare Abb, φ, die + + φ(w1) = v1 + φ(w2) = v2 + φ(w3) = v3 + + erfüllt. + - Bild(φ) = lin{v1,v2,v3} ⊇ lin{v1, v2} = IR^2, + weil {v1, v2} eine Basis von IR^2. + Also Bild(φ) = IR^2. + - Darum ist φ surjektiv. +- Es gibt keine injektive (und damit keine bijektive) lin. Abb. φ von IR^3 nach IR^2, +weil Rang(φ) <= 2, und 2 ≥ 3 gilt nicht. + +**Aufgabe 3a.** + +Seien + + w1 = (1, 1, 0)ᵀ + w2 = (1, -1, 1)ᵀ + w3 = (2, 0, 1)ᵀ + + v1 = ( 2, 1, 0)ᵀ + v2 = (-2, 1, 0)ᵀ + v3 = (1, 2, 0)ᵀ + +Gibt es eine lineare Abbildung, φ : IR^3 —> IR^3, +so dass + + φ(w1) = v1 + φ(w2) = v2 + φ(w3) = v3 + +gilt, und so dass φ injektiv ist? surjektiv? bijektiv? nicht injektiv? + +**Antwort.** + +Beachte, {w1, w2, w3} ist nicht linear unabh. +Es gilt +- {w1, w2} linear unabh +- w3 ∈ lin{w1, w2}, und zwar w3 = w1 + w2 +- Aber v3 = v1 + v2. + +Darum ist die Frage äquivalent zu derselben Frage, nur +mit nur den ersten 2 Bedingungen, weil die 3. immer mit erfüllt sein wird, +weil falls φ : IR^3 —> IR^3 linear und Bed. 1+2 erfüllt, +so gilt Bedingung 3, weil + + φ(w3) = φ(w1 + w2) = φ(w1) + φ(w2) = v1 + v2 = v3. + +Ansatz: + +- füge w3' hinzu, damit {w1,w2,w3'} eine Basis von IR^3 ist. +- v3' jetzt so wählen, dass φ surjektiv/injektiv ist. + + +**Aufgabe 3b.** + +Seien + + w1 = (1, 1, 0)ᵀ + w2 = (1, -1, 1)ᵀ + w3 = (2, 0, 1)ᵀ + + v1 = ( 2, 1, 0)ᵀ + v2 = (-1, 1, 0)ᵀ + v3 = (1, 4, 0)ᵀ + +Gibt es eine lineare Abbildung, φ : IR^3 —> IR^3, +so dass + + φ(w1) = v1 + φ(w2) = v2 + φ(w3) = v3 + +gilt, und so dass φ injektiv ist? surjektiv? bijektiv? + +**Antwort.** + +Beachte, {w1, w2, w3} ist nicht linear unabh. +Es gilt +- {w1, w2} linear unabh +- w3 ∈ lin{w1, w2}, und zwar w3 = w1 + w2 +- Aber v3 ≠ v1 + v2. + +Darum kann es niemals eine lineare Abb geben, die alle 3 Bedingungen erfüllt, +weil falls φ : IR^3 —> IR^3 linear ist und Bed. 1+2+3 erfüllt, +so gilt + + φ(w3) = φ(w1 + w2) = φ(w1) + φ(w2) = v1 + v2 ≠ v3. + +D. h. Bedingung 3 wäre verletzt. + + +**TODO** Die o. s. Varianten (die letzteren) ausrechnen und hochladen. diff --git a/protocol/woche12/README.md b/protocol/woche12/README.md index 32cffcb..d34ed8c 100644 --- a/protocol/woche12/README.md +++ b/protocol/woche12/README.md @@ -2,11 +2,21 @@ ## Ablauf ## -- ( ) Organisatorische Fragen - - Übungsblätter / Punkte / Zulassungsbeschränkungen +- (√) Organisatorische Fragen + - (√) Übungsblätter / Punkte / Zulassungsbeschränkungen - 50% von 11 Blättern (= 82,5) - Warten noch Leute auf deren Noten? - - Klausurvorbereitung + - (√) Klausurvorbereitung - Moodle -- ( ) Fragen/Feedback zu ÜB11 -- ( ) Fragen zum Stoff oder Aufgaben +- (√) Fragen/Feedback zu ÜB11 + - Allgemein: Argumentiere immer mit klaren logischen Zusammenhängen + „zwischen den Zeilen“ in einem Argument. D. h. ⟹, ⟺, usw. anwenden + (und immer begründen, wenn nicht trivial). + - 11·1(b) Beachte die Änderung in der Reihenfolge! + - warum Rang(A)=n ⟺ Rang(A) ≥ n in Aufgabe 11·2(a): + - weil Rang(A) = Spaltenrang ≤ n stets gilt! + - warum Rang(A)=m ⟺ Rang(A) ≥ m in Aufgabe 11·2(b): + - weil Rang(A) = Zeilenrang ≤ m stets gilt! +- (√) Fragen zum Stoff oder Aufgaben + - Berechnung von Inversen / Gaußalgorithmus im Falle von endlichen Körpern (z. B. modulo 5) + - lineare Ausdehnung