diff --git a/notes/berechnungen_wk10.md b/notes/berechnungen_wk10.md index 48b2800..13bbacd 100644 --- a/notes/berechnungen_wk10.md +++ b/notes/berechnungen_wk10.md @@ -1,151 +1,295 @@ -(Für die Berechnungen haben wir Octave benutzt.) -## Aufgabe ähnlich wie ÜB9-1 ## +# Woche 10 # +## §1. Linear oder nicht? ## -U = lin{u1, u2} -V = lin{v1, v2, v3} +In folgenden Aufgaben wird eine Funktion φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert. +Bestimme in jedem Falle, ob φ linear ist. -### U ⊆ V ? ### -#### Beispiel 1 #### +a) - u1 = (1 1 0 0)ᵀ - u2 = (-1 1 0 0)ᵀ + φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4·x₁·x₃ ) + ( 10·x₂ ) - v1 = (4 0 0 0)ᵀ - v2 = (1 4 0 0)ᵀ - v3 = (1 0 1 0)ᵀ +Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(2, 0, 2) = 2·φ(1, 0, 1) gelten. +Aber: - Anmerkung: lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3} <===> u1, u2 ∈ lin{v1, v2, v3} + φ(2, 0, 2) = (16, 0)ᵀ + 2·φ(1, 0, 1) = 2·(4, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠ φ(2, 0, 2) - Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2) - ---> auf Zeilenstufenform reduzieren - ---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind. - ---> ja - ---> lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3} +Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird. -#### Beispiel 2 #### +b) - u1 = (1 1 0 1)ᵀ - u2 = (-1 1 0 0)ᵀ + φ(x₁, x₂, x₃) = ( x₃² ) + ( 0 ) - v1 = (4 0 0 0)ᵀ - v2 = (1 4 0 0)ᵀ - v3 = (1 0 1 0)ᵀ +Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0, 0, 8) = 8·φ(0, 0, 1) gelten. +Aber: - Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2) - ---> auf Zeilenstufenform reduzieren - ---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind. - ---> nein - ---> also lin{u1, u2} ⊈ lin{v1, v2, v3} + φ(0, 0, 8) = (64, 0)ᵀ + 8·φ(0, 0, 1) = 8·(1, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠ φ(0, 0, 8) -### Basis von V/U ### +Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird. - --> Beispiel 1. +c) - u1 = (1 1 0 0)ᵀ - u2 = (-1 1 0 0)ᵀ + φ(x₁, x₂, x₃) = ( x₃ ) + ( 0 ) - v1 = (4 0 0 0)ᵀ - v2 = (1 0 1 0)ᵀ - v3 = (1 4 0 0)ᵀ +--> linear - Schreibweise für Äquivalenzklassen: - [v] = v + U - --> die Elemente in V/U +d) - Setze A := (u1 u2 v1 v2 v3) - ---> auf Zeilenstufenform reduzieren - ---> bestimmen, welche Variablen frei / unfrei sind - ---> bestimme die Basis durch die Spalten, die den unfreien Variablen entsprechen - ---> - x3, x5 sind frei - x1, x2, x4 nicht frei - ---> v2 + U (entspricht x4) bildet eine Basis + φ(x₁, x₂, x₃) = ( 0 ) + ( 0 ) +--> linear -## SKA 9-5 ## +e) - Basis für U: - u1 = (1 1 0)ᵀ - u2 = (0 1 1)ᵀ - Basis für V = ℝ^3: - v1 = (1 0 0)ᵀ - v2 = (0 1 0)ᵀ - v3 = (0 0 1)ᵀ + φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4 ) + ( 0 ) - A = (u1, u2, v1, v2, v3) - ---> Zeilenstufenform: x1, x2, x3 nicht frei; x4, x5 frei - ---> V / U = lin {v1 + U} = lin { e1 + U } - und dim(V/U) = 1 +Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2] +Aber φ ist hier niemals der Nullvektor! +Also ist φ nicht linear. - Beachte: v2 = u1 - v1 ===> v2 + U = -(v1 + U) - v3 = (u2-u1) + v1 ===> v3 + U = v1 + U +f) + + φ(x₁, x₂, x₃) = ( 10·x₃ ) + ( -x₂ + x₁ ) + +linear! + +g) + + φ(x₁, x₂, x₃) = ( 1 - 10·x₃ ) + ( -x₂ + x₁ ) + +Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2] +Aber φ(0) = (1, 0)ᵀ. +Also ist φ nicht linear. + +h) + + φ(x₁, x₂, x₃) = ( exp(-(7·x₂ + 8·x₁)) ) + ( 0 ) + +Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2] +Aber φ(0) = (exp(0), 0)ᵀ = (1, 0)ᵀ. +Also ist φ nicht linear. + +## §2. Aufgaben ähnlich zu ÜB 10-2 ## + +Seien A = (u₁, u₂, u₃) und B = (v₁, v₂), +wobei + + u₁ = (3, 0, 1)ᵀ + u₂ = (0, -1, 0)ᵀ + u₃ = (4, 0, 0)ᵀ + + v₁ = (4, 5)ᵀ + v₂ = (0, 1)ᵀ + +Beachte: + +- A bildet eine Basis für ℝ³ +- B bildet eine Basis für ℝ² + +Sei nun φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert durch + + φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4·x₁ - x₃ ) + ( 10·x₂ + x₁ ) + +### Zur Linearität ### +Seien + + (x₁,x₂,x₃), (x₁',x₂',x₃') ∈ ℝ³ + c, c' ∈ ℝ + +**Zu zeigen:** + φ(c(x₁, x₂, x₃) +c'(x₁',x₂',x₃')) = c·φ(x₁, x₂, x₃) +c'·φ(x₁', x₂', x₃') + +Es gilt + + l. S. = φ(c(x₁, x₂, x₃) +c'(x₁',x₂',x₃')) + = φ(c(x₁·e1 + x₂·e2 + x₃·e3) +c'(x₁'·e1 + x₂'·e2 + x₃'·e3)) + = φ((c·x₁ + c'·x₁)·e1 + (c·x₂ + c'·x₂)·e2 + (c·x₃ + c'·x₃)·e3) + = φ(c·x₁ + c'·x₁', c·x₂ + c'·x₂', c·x₃ + c'·x₃') + + = ( 4·(c·x₁ + c'·x₁') - (c·x₃ + c'·x₃') ) + ( 10·(c·x₂ + c'·x₂') + (c·x₁ + c'·x₁') ) + + = ( c·(4·x₁ - x₃) + c'·(4·x₁' - x₃') ) + ( c·(10·x₂ + x₁) + c'·(10·x₂' + x₁') ) + + = c·( 4·x₁ - x₃ ) + c'·( 4·x₁' - x₃' ) + ( 10·x₂ + x₁ ) ( 10·x₂' + x₁' ) + + = r. S. + +Darum ist φ linear. + +### Darstellung ### +Zunächst beobachten wir: + + φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4 0 -1 ) ( x₁ ) + ( 1 10 0 ) ( x₂ ) + ( x₃ ) + = C·x + = φ_C(x) siehe [Skript, Bsp 6.2.2], + +wobei C die Matrix + + C = ( 4 0 -1 ) + ( 1 10 0 ) + +ist. + +**Bemerkung.** Den vorherigen Teil konnten wir hiermit viel einfacher machen: +Da φ_C linear ist (siehe [Skript, Bsp 6.2.2]), ist φ = φ_C linear. + +_Zurück zur Berechnung der Darstellung..._ + +Die zu berechnende Matrix M := M_A^B(φ), ist diejenige, die erfüllt: + +- ist x der Form x = ∑ α_j·u_j = (α_j) <--- als Vektor über Basis A +- und ist M·(α_j) = (β_i) für einen Vektor (β_i) ∈ ℝ² +- dann gilt φ(x) = y, wobei y = ∑ β_i·v_i + +Zusammengefasst ist M genau die Matrix, für die gilt: + + B·M·α = φ(A·α) + +für alle α ∈ ℝ³. Da φ = φ_C, ist die äquivalent zu + + B·M·α = C·A·α + +Kurzgesagt: M_A^B(φ) = B^-1 · C · A. +Um dies zu bestimmen, wenden wir das Gaußverfahren +auf folgendes augmentiertes System an + + ( B | C·A ) + +und reduzieren die linke Hälfte auf die Identitätsmatrix. +Die resultierende Matrix in der rechten Hälfte wir dann M sein. +Es gilt + + C·A = ( 4 0 -1 ) (3 0 4) + ( 1 10 0 ) (0 -1 0) + (1 0 0) + = ( 11 0 16 ) + ( 3 -10 4 ) + +Also ist das augmentiere System + + ( B | C·A ) + + = ( 4 0 | 11 0 16 ) + ( 5 1 | 3 -10 4 ) + Zeile2 <- 4*Zeile2 - 5*Zeile1 + + ~> ( 4 0 | 11 0 16 ) + ( 0 4 | -43 -40 -64 ) + Zeile1 <- Zeile1 : 4 + Zeile2 <- Zeile2 : 4 + + ~> ( 1 0 | 11/4 0 4 ) + ( 0 1 | -43/4 -10 -16 ) + +Darum gilt + + M_A^B(φ) = ( 11/4 0 4 ) + ( -43/4 -10 -16 ) -## UB9-2 (Bsp) ## +## §3. Lineare Fortsetzung von partiell definierten Funktionen ## - Seien +Seien u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis für ℝ⁵. +Seien v₁, v₂, v₃ Vektoren in ℝ³. +Definiert werden - v1 = (1 0 0 4 1)ᵀ - v2 = (0 1 0 8 0)ᵀ - v3 = (-3 0 0 0 1)ᵀ + φ(u₁) = v₁, φ(u₂) = v₂, φ(u₄) = v₃ - φ : ℝ^3 ---> ℝ^5 - sei linear mit - φ(e_i) = v_i für alle i +**Aufgabe:** Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³, die die o. s. Gleichungen erfüllen? - 1. Sei x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ^3 - φ(x1,x2,x3) - = φ(x) - = φ(x1·e1 + x2·e2 + x3·e3) - = φ(x1·e1) + φ(x2·e2) + φ(x3·e3) - = x1·φ(e1) + x2·φ(e2) + x3·φ(e3) - = x1·v1 + x2·v2 + x3·v3 - = Ax - wobei A = (v1 v2 v3) - = 1 0 -3 - 0 1 0 - 0 0 0 - 4 8 0 - 1 0 1 - Also ist φ = φ_A (siehe Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020]). - Wℝ berechnen den Rang von A, um die Injektivität/Surjektivität/Bijektivität - von φ zu klassifizieren: - ---> A in Zeilenstufenform: - 1 0 -3 - 0 1 0 - 0 0 0 - 0 0 12 - 0 0 4 - Rang(A) = 3 - ---> A ist eine mxn Matrix mit m=5, n=3 - Rang(A) = 3 ≥ 3 = n ===> φ = φ_A ist injektiv - Rang(A) = 3 < 5 = m ===> φ = φ_A ist nicht surjektiv - m ≠ n ===> φ = φ_A ist nicht bijektiv +**Antwort:** Ja. +**Beweis:** +Da eine (u₁, u₂, u₃, u₄, u₅) Basis für ℝ⁵ ist, +können wir [Skript, Satz 6.1.13] anwenden. +Setze + φ(u₃) := 0 (Nullvektor) + φ(u₅) := 0 (Nullvektor) -## UB9-3 (wie man ansetzen kann...) ## +Mit der partiellen Definition von φ auf der Basis (u₁, u₂, u₃, u₄, u₅), +existiert laut [Skript, Satz 6.1.13] eine **lineare Ausdehnung** +(auch _Fortsetzung_ od. _Erweiterung_ in der Literatur genannt) +φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³, so dass -**Zz:** ψ◦ϕ injektiv <===> ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0} + φ(u₁) = v₁, φ(u₂) = v₂, φ(u₄) = v₃, φ(u₃) = 0, φ(u₅) = 0. +**QED** -(==>) Angenommen, ψ◦ϕ injektiv. -**Zz:** ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}. +**Bemerkung 1.** +Konkret, da u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis ist, +existiert für jedes x ∈ ℝ⁵ eindeutige Werte +c₁, c₂, c₃, c₄, c₅ im Körper ℝ, +so dass -... + x = ∑ c_i · ui -(<==) Angenommen, ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}. -**Zz:** ψ◦ϕ injektiv +gilt, und man setzt -Laut Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020] reicht es aus zu zeigen, dass Kern(ψ◦ϕ) = {0}. + φ(x) := ∑ c_i · φ(u_i). -Sei x ∈ U beliebig. +Mit dieser Definition ist es einfach, die Axiome durchzugehen, +und zu beweisen, dass dies eine lineare Abbildung definiert. -**Zz:** x ∈ Kern(ψ◦ϕ) <===> x = 0 +**Bemerkung 2.** +Beachte, dass die _Wahl_ von den φ(u₃), φ(u₅) im o. s. Beispiel beliebig sein kann. Es ist nur entscheidend, dass in der partiellen +Definition wir es mit linear unabhängigen Elementen zu tun haben. +Falls es zu Abhängigkeiten zwischen den Inputvektoren kommt, +müssen wir wie gewohnt auf eine maximale linear unabhängige Teilmenge +reduzieren, und zeigen, dass für die restlichen Inputs, +die Definition kompatibel ist. - x ∈ Kern(ψ◦ϕ) - <===> (ψ◦ϕ)(x) = 0 - .. - .. <--- ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0} ausnutzen ! - .. - <===> x = 0 +Als Beispiel nehmen wir + + u₁ = (1, 0, 1, 0, 0)ᵀ + u₂ = (1, 2, 1, 0, 0)ᵀ + u₃ = (0, 1, 0, 0, 0)ᵀ + +und φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³ partiell definiert auf {u₁, u₂, u₃}. +Aus (u₁, u₂, u₃) können wir sehen (etwa durch den Gaußalgorithmus), +dass (u₁, u₂) ein maximales linear unabhängiges Teilsystem ist +und + + u₃ = -½u₁ + ½u₂. + +Darum können φ(u₁), φ(u₂) beliebig gewählt werden, +umd es muss + + φ(u₃) = -½φ(u₁) + ½φ(u₂) + +gelten (entsprechend dem o. s. Verhältnis). + +Wenn wir zum Beispiel + + φ(u₁) = ( 4, 2)ᵀ + φ(u₂) = (-2, 8)ᵀ + φ(u₃) = (-3, 3)ᵀ + +wählen ist, dies erfüllt. +Man kann das l. u. Teilsystem (u₁, u₂) +durch 3 weitere Vektoren zu einer Basis ergänzen +und φ zu einer linearen Abb ausdehnen. + +Wenn wir aber + + φ(u₁) = ( 8, 1)ᵀ + φ(u₂) = (-4, 8)ᵀ + φ(u₃) = ( 0, 1)ᵀ + +wählen ist, ist φ(u₃) = -½φ(u₁) + ½φ(u₂) nicht erfüllt. +Darum lässt sich hier φ **nicht** zu einer linearen Abbildung erweitern. diff --git a/notes/berechnungen_wk11.md b/notes/berechnungen_wk11.md index c5fe19b..2078d8b 100644 --- a/notes/berechnungen_wk11.md +++ b/notes/berechnungen_wk11.md @@ -1,294 +1,191 @@ -## §1. Linear oder nicht? ## +# Woche 10 # +## SKA 11 ## -In folgenden Aufgaben wird eine Funktion φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert. -Bestimme in jedem Falle, ob φ linear ist. +### Aufgabe 12 ### -a) +Gegeben sei - φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4·x₁·x₃ ) - ( 10·x₂ ) + A = -1 1 + 2 0 + 3 1 -Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(2, 0, 2) = 2·φ(1, 0, 1) gelten. -Aber: +A ist in ℝ^{3 x 2} +**Zu finden:** Matrizen P, Q, so dass P·A·Q im Format wie in Satz 6.3.10 +Offensichtlich müssen - φ(2, 0, 2) = (16, 0)ᵀ - 2·φ(1, 0, 1) = 2·(4, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠ φ(2, 0, 2) + P ∈ ℝ^{3 x 3} + Q ∈ ℝ^{2 x 2} -Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird. +gelten. Da bei X·Y müssen #col(X), #row(Y) übereinstimmen, weil +wenn man die Matrixmultiplikation ausführt, dann multipliziert man + - Zeilen aus X + mit + - Spalten aus Y. +Im Gaußverfahren -b) + A —> E1·A —> E2·E1·A —> E3·E2·E1·A ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·A - φ(x₁, x₂, x₃) = ( x₃² ) - ( 0 ) +—> Wir wollen (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1) als einzige Matrix erfassen, also als P. -Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0, 0, 8) = 8·φ(0, 0, 1) gelten. -Aber: +Wir führen A in ein augmentiertes System mit der 3x3 Identitätsmatrix auf - φ(0, 0, 8) = (64, 0)ᵀ - 8·φ(0, 0, 1) = 8·(1, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠ φ(0, 0, 8) + -1 1 | 1 0 0 + 2 0 | 0 1 0 + 3 1 | 0 0 1 -Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird. +und führen das Gaußverfahren darauf auf. Dann geschieht (effektiv) parallel -c) + linke Hälfte: A —> E1·A —> E2·E1·A —> E3·E2·E1·A ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·A + rechte Hälfte: I —> E1·I —> E2·E1·I —> E3·E2·E1·I ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·I + = (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1) + = P - φ(x₁, x₂, x₃) = ( x₃ ) - ( 0 ) +Gaußverfahren: ---> linear + -1 1 | 1 0 0 + 2 0 | 0 1 0 + 3 1 | 0 0 1 -d) + Zeilen 1 und 2 tauschen: - φ(x₁, x₂, x₃) = ( 0 ) - ( 0 ) + 2 0 | 0 1 0 + -1 1 | 1 0 0 + 3 1 | 0 0 1 ---> linear + Zeile_2 <— 2·Zeile_2 + Zeile_1 + Zeile_3 <— 2·Zeile_3 - 3·Zeile_1 -e) + 2 0 | 0 1 0 + 0 2 | 2 1 0 + 0 2 | 0 -3 2 - φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4 ) - ( 0 ) + Zeile_3 <— Zeile_3 - Zeile_2 -Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2] -Aber φ ist hier niemals der Nullvektor! -Also ist φ nicht linear. + 2 0 | 0 1 0 + 0 2 | 2 1 0 + 0 0 | -2 -4 2 -f) + Zeile_1 <— Zeile_1 / 2 + Zeile_2 <— Zeile_2 / 2 - φ(x₁, x₂, x₃) = ( 10·x₃ ) - ( -x₂ + x₁ ) + 1 0 | 0 1/2 0 + 0 1 | 1 1/2 0 + 0 0 | -2 -4 2 -linear! +Also gilt mit -g) + P = 0 1 0 + 2 1 0 + -2 -4 2 - φ(x₁, x₂, x₃) = ( 1 - 10·x₃ ) - ( -x₂ + x₁ ) +Dass P·A = Form aus Satz 6.3.10. +Setze Q := 2 x 2 Identitätsmatrix +Dann -Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2] -Aber φ(0) = (1, 0)ᵀ. -Also ist φ nicht linear. + P·A·Q = P·A = Matrix im Format aus Satz 6.3.10 -h) +### Anderes nicht so glückliches Beispiel ### - φ(x₁, x₂, x₃) = ( exp(-(7·x₂ + 8·x₁)) ) - ( 0 ) +Angenommen wir hätten A als 3 x 5 Matrix und nach Ausführung des o. s. Verfahrens -Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2] -Aber φ(0) = (exp(0), 0)ᵀ = (1, 0)ᵀ. -Also ist φ nicht linear. + 0 1 0 0 0 | 0 1/2 0 + 0 0 0 1 0 | 1 1/2 0 + 0 0 0 0 0 | -2 -4 2 -## §2. Aufgaben ähnlich zu ÜB 10-2 ## +erzielt. Dann würden wir P wie oben setzen. +Aber wir müssen noch Q bestimmen. +Das können wir einfach durch Permutationen erreichen: -Seien A = (u₁, u₂, u₃) und B = (v₁, v₂), -wobei + 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 + 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 + Q = 0 0 1 0 0 · 0 0 1 0 0 + 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 + 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 - u₁ = (3, 0, 1)ᵀ - u₂ = (0, -1, 0)ᵀ - u₃ = (4, 0, 0)ᵀ +Oder mit Gaußverfahren, transponieren wir und augmentieren wir mit der 5x5 Identitätsmatrix: - v₁ = (4, 5)ᵀ - v₂ = (0, 1)ᵀ + 0 0 0 | 1 0 0 0 0 + 1 0 0 | 0 1 0 0 0 + 0 0 0 | 0 0 1 0 0 + 0 1 0 | 0 0 0 1 0 + 0 0 0 | 0 0 0 0 1 + + Zeile1 und Zeile2 vertauschen: + + 1 0 0 | 0 1 0 0 0 + 0 0 0 | 1 0 0 0 0 + 0 0 0 | 0 0 1 0 0 + 0 1 0 | 0 0 0 1 0 + 0 0 0 | 0 0 0 0 1 + + Zeile2 und Zeile4 vertauschen: + + 1 0 0 | 0 1 0 0 0 + 0 1 0 | 0 0 0 1 0 + 0 0 0 | 0 0 1 0 0 + 0 0 0 | 1 0 0 0 0 + 0 0 0 | 0 0 0 0 1 + +Rechte Hälfte __transponiert__: + + 0 0 0 1 0 + 1 0 0 0 0 + Q = 0 0 1 0 0 + 0 1 0 0 0 + 0 0 0 0 1 + +## Lineare Ausdehnung mit Komplikationen... ## + +Betrachte + + u1 = (1, 1, 0, 4)ᵀ + u2 = (1, 0, 0, 4)ᵀ + u3 = (0, 1, 0, 0)ᵀ + u4 = (1, -1, 0, 4)ᵀ + +und φ : ℝ^4 —> ℝ^2 partiell definiert + + φ(u1) = (8, 1)ᵀ + φ(u2) = (4, 5)ᵀ + φ(u3) = (4, -4)ᵀ + φ(u4) = (0, 9)ᵀ Beachte: + {u1, u2} lin. unabh. + u3, u4 ∈ Lin{u1, u2}: + u3 = u1 - u2 + u4 = u2 - u3 = u2 - (u1 - u2) = 2·u2 – u1 -- A bildet eine Basis für ℝ³ -- B bildet eine Basis für ℝ² +Darum müssen -Sei nun φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert durch + φ(u3) = φ(u1) - φ(u2) + φ(u4) = 2·φ(u2) – φ(u1) - φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4·x₁ - x₃ ) - ( 10·x₂ + x₁ ) +gelten. -### Zur Linearität ### -Seien +Wenn nicht erfüllt ==> ex. keine lineare Ausdehnung. +Wenn erfüllt ==> ex. eine lineare Ausdehnung: - (x₁,x₂,x₃), (x₁',x₂',x₃') ∈ ℝ³ - c, c' ∈ ℝ - -**Zu zeigen:** - φ(c(x₁, x₂, x₃) +c'(x₁',x₂',x₃')) = c·φ(x₁, x₂, x₃) +c'·φ(x₁', x₂', x₃') - -Es gilt - - l. S. = φ(c(x₁, x₂, x₃) +c'(x₁',x₂',x₃')) - = φ(c(x₁·e1 + x₂·e2 + x₃·e3) +c'(x₁'·e1 + x₂'·e2 + x₃'·e3)) - = φ((c·x₁ + c'·x₁)·e1 + (c·x₂ + c'·x₂)·e2 + (c·x₃ + c'·x₃)·e3) - = φ(c·x₁ + c'·x₁', c·x₂ + c'·x₂', c·x₃ + c'·x₃') - - = ( 4·(c·x₁ + c'·x₁') - (c·x₃ + c'·x₃') ) - ( 10·(c·x₂ + c'·x₂') + (c·x₁ + c'·x₁') ) - - = ( c·(4·x₁ - x₃) + c'·(4·x₁' - x₃') ) - ( c·(10·x₂ + x₁) + c'·(10·x₂' + x₁') ) - - = c·( 4·x₁ - x₃ ) + c'·( 4·x₁' - x₃' ) - ( 10·x₂ + x₁ ) ( 10·x₂' + x₁' ) - - = r. S. - -Darum ist φ linear. - -### Darstellung ### -Zunächst beobachten wir: - - φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4 0 -1 ) ( x₁ ) - ( 1 10 0 ) ( x₂ ) - ( x₃ ) - = C·x - = φ_C(x) siehe [Skript, Bsp 6.2.2], - -wobei C die Matrix - - C = ( 4 0 -1 ) - ( 1 10 0 ) - -ist. - -**Bemerkung.** Den vorherigen Teil konnten wir hiermit viel einfacher machen: -Da φ_C linear ist (siehe [Skript, Bsp 6.2.2]), ist φ = φ_C linear. - -_Zurück zur Berechnung der Darstellung..._ - -Die zu berechnende Matrix M := M_A^B(φ), ist diejenige, die erfüllt: - -- ist x der Form x = ∑ α_j·u_j = (α_j) <--- als Vektor über Basis A -- und ist M·(α_j) = (β_i) für einen Vektor (β_i) ∈ ℝ² -- dann gilt φ(x) = y, wobei y = ∑ β_i·v_i - -Zusammengefasst ist M genau die Matrix, für die gilt: - - B·M·α = φ(A·α) - -für alle α ∈ ℝ³. Da φ = φ_C, ist die äquivalent zu - - B·M·α = C·A·α - -Kurzgesagt: M_A^B(φ) = B^-1 · C · A. -Um dies zu bestimmen, wenden wir das Gaußverfahren -auf folgendes augmentiertes System an - - ( B | C·A ) - -und reduzieren die linke Hälfte auf die Identitätsmatrix. -Die resultierende Matrix in der rechten Hälfte wir dann M sein. -Es gilt - - C·A = ( 4 0 -1 ) (3 0 4) - ( 1 10 0 ) (0 -1 0) - (1 0 0) - = ( 11 0 16 ) - ( 3 -10 4 ) - -Also ist das augmentiere System - - ( B | C·A ) - - = ( 4 0 | 11 0 16 ) - ( 5 1 | 3 -10 4 ) - Zeile2 <- 4*Zeile2 - 5*Zeile1 - - ~> ( 4 0 | 11 0 16 ) - ( 0 4 | -43 -40 -64 ) - Zeile1 <- Zeile1 : 4 - Zeile2 <- Zeile2 : 4 - - ~> ( 1 0 | 11/4 0 4 ) - ( 0 1 | -43/4 -10 -16 ) - -Darum gilt - - M_A^B(φ) = ( 11/4 0 4 ) - ( -43/4 -10 -16 ) - - - -## §3. Lineare Fortsetzung von partiell definierten Funktionen ## - -Seien u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis für ℝ⁵. -Seien v₁, v₂, v₃ Vektoren in ℝ³. -Definiert werden - - φ(u₁) = v₁, φ(u₂) = v₂, φ(u₄) = v₃ - -**Aufgabe:** Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³, die die o. s. Gleichungen erfüllen? - -**Antwort:** Ja. - -**Beweis:** -Da eine (u₁, u₂, u₃, u₄, u₅) Basis für ℝ⁵ ist, -können wir [Skript, Satz 6.1.13] anwenden. Setze - φ(u₃) := 0 (Nullvektor) - φ(u₅) := 0 (Nullvektor) + u1' = u1 + u2' = u2 + ---> {u1', u2'} lin. unabh. + ---> {u1', u2'} lässt sich zu einer Basis + {u1', u2', u3', u4'} von ℝ^4 -Mit der partiellen Definition von φ auf der Basis (u₁, u₂, u₃, u₄, u₅), -existiert laut [Skript, Satz 6.1.13] eine **lineare Ausdehnung** -(auch _Fortsetzung_ od. _Erweiterung_ in der Literatur genannt) -φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³, so dass +Wähle v3, v4 ∈ ℝ^2 beliebig und setze - φ(u₁) = v₁, φ(u₂) = v₂, φ(u₄) = v₃, φ(u₃) = 0, φ(u₅) = 0. -**QED** + φ(u1') := (8, 1)ᵀ + φ(u2') := (4, 5)ᵀ + φ(u3') := v3 + φ(u4') := v4 -**Bemerkung 1.** -Konkret, da u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis ist, -existiert für jedes x ∈ ℝ⁵ eindeutige Werte -c₁, c₂, c₃, c₄, c₅ im Körper ℝ, -so dass +Dann laut Satz 6.1.13. ex. eine (eindeutige) lineare Abb. + φ : ℝ^4 —> ℝ^2 +mit - x = ∑ c_i · ui - -gilt, und man setzt - - φ(x) := ∑ c_i · φ(u_i). - -Mit dieser Definition ist es einfach, die Axiome durchzugehen, -und zu beweisen, dass dies eine lineare Abbildung definiert. - -**Bemerkung 2.** -Beachte, dass die _Wahl_ von den φ(u₃), φ(u₅) im o. s. Beispiel beliebig sein kann. Es ist nur entscheidend, dass in der partiellen -Definition wir es mit linear unabhängigen Elementen zu tun haben. -Falls es zu Abhängigkeiten zwischen den Inputvektoren kommt, -müssen wir wie gewohnt auf eine maximale linear unabhängige Teilmenge -reduzieren, und zeigen, dass für die restlichen Inputs, -die Definition kompatibel ist. - -Als Beispiel nehmen wir - - u₁ = (1, 0, 1, 0, 0)ᵀ - u₂ = (1, 2, 1, 0, 0)ᵀ - u₃ = (0, 1, 0, 0, 0)ᵀ - -und φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³ partiell definiert auf {u₁, u₂, u₃}. -Aus (u₁, u₂, u₃) können wir sehen (etwa durch den Gaußalgorithmus), -dass (u₁, u₂) ein maximales linear unabhängiges Teilsystem ist -und - - u₃ = -½u₁ + ½u₂. - -Darum können φ(u₁), φ(u₂) beliebig gewählt werden, -umd es muss - - φ(u₃) = -½φ(u₁) + ½φ(u₂) - -gelten (entsprechend dem o. s. Verhältnis). - -Wenn wir zum Beispiel - - φ(u₁) = ( 4, 2)ᵀ - φ(u₂) = (-2, 8)ᵀ - φ(u₃) = (-3, 3)ᵀ - -wählen ist, dies erfüllt. -Man kann das l. u. Teilsystem (u₁, u₂) -durch 3 weitere Vektoren zu einer Basis ergänzen -und φ zu einer linearen Abb ausdehnen. - -Wenn wir aber - - φ(u₁) = ( 8, 1)ᵀ - φ(u₂) = (-4, 8)ᵀ - φ(u₃) = ( 0, 1)ᵀ - -wählen ist, ist φ(u₃) = -½φ(u₁) + ½φ(u₂) nicht erfüllt. -Darum lässt sich hier φ **nicht** zu einer linearen Abbildung erweitern. + φ(u1') = (8, 1)ᵀ + φ(u2') = (4, 5)ᵀ + φ(u3') = v3 + φ(u4') = v4 diff --git a/notes/berechnungen_wk12.md b/notes/berechnungen_wk12.md index 4a294fb..d8258db 100644 --- a/notes/berechnungen_wk12.md +++ b/notes/berechnungen_wk12.md @@ -1,191 +1 @@ -## SKA 1 ## - -### Aufgabe 12 ### - -Gegeben sei - - A = -1 1 - 2 0 - 3 1 - -A ist in ℝ^{3 x 2} -**Zu finden:** Matrizen P, Q, so dass P·A·Q im Format wie in Satz 6.3.10 -Offensichtlich müssen - - P ∈ ℝ^{3 x 3} - Q ∈ ℝ^{2 x 2} - -gelten. Da bei X·Y müssen #col(X), #row(Y) übereinstimmen, weil -wenn man die Matrixmultiplikation ausführt, dann multipliziert man - - Zeilen aus X - mit - - Spalten aus Y. -Im Gaußverfahren - - A —> E1·A —> E2·E1·A —> E3·E2·E1·A ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·A - -—> Wir wollen (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1) als einzige Matrix erfassen, also als P. - -Wir führen A in ein augmentiertes System mit der 3x3 Identitätsmatrix auf - - -1 1 | 1 0 0 - 2 0 | 0 1 0 - 3 1 | 0 0 1 - -und führen das Gaußverfahren darauf auf. Dann geschieht (effektiv) parallel - - linke Hälfte: A —> E1·A —> E2·E1·A —> E3·E2·E1·A ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·A - rechte Hälfte: I —> E1·I —> E2·E1·I —> E3·E2·E1·I ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·I - = (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1) - = P - -Gaußverfahren: - - -1 1 | 1 0 0 - 2 0 | 0 1 0 - 3 1 | 0 0 1 - - Zeilen 1 und 2 tauschen: - - 2 0 | 0 1 0 - -1 1 | 1 0 0 - 3 1 | 0 0 1 - - Zeile_2 <— 2·Zeil_2 + Zeile_1 - Zeile_3 <— 2·Zeil_3 - 3·Zeile_1 - - 2 0 | 0 1 0 - 0 2 | 2 1 0 - 0 2 | 0 -3 2 - - Zeile_3 <— Zeil_3 - Zeile_2 - - 2 0 | 0 1 0 - 0 2 | 2 1 0 - 0 0 | -2 -4 2 - - Zeile_1 <— Zeile_1 / 2 - Zeile_2 <— Zeile_2 / 2 - - 1 0 | 0 1/2 0 - 0 1 | 1 1/2 0 - 0 0 | -2 -4 2 - -Also gilt mit - - P = 0 1 0 - 2 1 0 - -2 -4 2 - -Dass P·A = Form aus Satz 6.3.10. -Setze Q := 2 x 2 Identitätsmatrix -Dann - - P·A·Q = P·A = Matrix im Format aus Satz 6.3.10 - -### Anderes nicht so glückliches Beispiel ### - -Angenommen wir hätten A als 3 x 5 Matrix und nach Ausführung des o. s. Verfahrens - - 0 1 0 0 0 | 0 1/2 0 - 0 0 0 1 0 | 1 1/2 0 - 0 0 0 0 0 | -2 -4 2 - -erzielt. Dann würden wir P wie oben setzen. -Aber wir müssen noch Q bestimmen. -Das können wir einfach durch Permutationen erreichen: - - Q = 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 - 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 - 0 0 1 0 0 · 0 0 1 0 0 - 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 - 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 - -Oder mit Gaußverfahren, transponieren wir und augmentieren wir mit der 5x5 Identitätsmatrix: - - 0 0 0 | 1 0 0 0 0 - 1 0 0 | 0 1 0 0 0 - 0 0 0 | 0 0 1 0 0 - 0 1 0 | 0 0 0 1 0 - 0 0 0 | 0 0 0 0 1 - - Zeile1 und Zeile2 vertauschen: - - 1 0 0 | 0 1 0 0 0 - 0 0 0 | 1 0 0 0 0 - 0 0 0 | 0 0 1 0 0 - 0 1 0 | 0 0 0 1 0 - 0 0 0 | 0 0 0 0 1 - - Zeile2 und Zeile4 vertauschen: - - 1 0 0 | 0 1 0 0 0 - 0 1 0 | 0 0 0 1 0 - 0 0 0 | 0 0 1 0 0 - 0 0 0 | 1 0 0 0 0 - 0 0 0 | 0 0 0 0 1 - - Rechte Hälfte transponiert: - - Q = 0 0 0 1 0 - 1 0 0 0 0 - 0 0 1 0 0 - 0 1 0 0 0 - 0 0 0 0 1 - - -## Lineare Ausdehnung mit Komplikationen... ## - -Betrachte - - u1 = (1, 1, 0, 4)ᵀ - u2 = (1, 0, 0, 4)ᵀ - u3 = (0, 1, 0, 0)ᵀ - u4 = (1, -1, 0, 4)ᵀ - -und φ : ℝ^4 —> ℝ^2 partiell definiert - - φ(u1) = (8, 1)ᵀ - φ(u2) = (4, 5)ᵀ - φ(u3) = (4, -4)ᵀ - φ(u4) = (0, 9)ᵀ - -Beachte: - {u1, u2} lin. unabh. - u3, u4 ∈ Lin{u1, u2}: - u3 = u1 - u2 - u4 = u2 - u3 = u2 - (u1 - u2) = 2·u2 – u1 - -Darum müssen - - φ(u3) = φ(u1) - φ(u2) - φ(u4) = 2·φ(u2) – φ(u1) - -gelten. - -Wenn nicht erfüllt ==> ex. keine lineare Ausdehnung. -Wenn erfüllt ==> ex. eine lineare Ausdehnung: - -Setze - - u1' = u1 - u2' = u2 - ---> {u1', u2'} lin. unabh. - ---> {u1', u2'} lässt sich zu einer Basis - {u1', u2', u3', u4'} von ℝ^4 - -Wähle v3, v4 ∈ ℝ^2 beliebig und setze - - φ(u1') := (8, 1)ᵀ - φ(u2') := (4, 5)ᵀ - φ(u3') := v3 - φ(u4') := v4 - -Dann laut Satz 6.1.13. ex. eine (eindeutige) lineare Abb. - φ : ℝ^4 —> ℝ^2 -mit - - φ(u1') = (8, 1)ᵀ - φ(u2') = (4, 5)ᵀ - φ(u3') = v3 - φ(u4') = v4 +# Woche 12 # diff --git a/notes/berechnungen_wk13.md b/notes/berechnungen_wk13.md new file mode 100644 index 0000000..a914c44 --- /dev/null +++ b/notes/berechnungen_wk13.md @@ -0,0 +1 @@ +# Woche 13 # diff --git a/notes/berechnungen_wk9.md b/notes/berechnungen_wk9.md index e69de29..b98d5f5 100644 --- a/notes/berechnungen_wk9.md +++ b/notes/berechnungen_wk9.md @@ -0,0 +1,153 @@ +# Woche 9 # + +(Für die Berechnungen haben wir Octave benutzt.) +## Aufgabe ähnlich wie ÜB9-1 ## + +U = lin{u1, u2} +V = lin{v1, v2, v3} + +### U ⊆ V ? ### +#### Beispiel 1 #### + + u1 = (1 1 0 0)ᵀ + u2 = (-1 1 0 0)ᵀ + + v1 = (4 0 0 0)ᵀ + v2 = (1 4 0 0)ᵀ + v3 = (1 0 1 0)ᵀ + + Anmerkung: lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3} <===> u1, u2 ∈ lin{v1, v2, v3} + + Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2) + ---> auf Zeilenstufenform reduzieren + ---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind. + ---> ja + ---> lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3} + +#### Beispiel 2 #### + + u1 = (1 1 0 1)ᵀ + u2 = (-1 1 0 0)ᵀ + + v1 = (4 0 0 0)ᵀ + v2 = (1 4 0 0)ᵀ + v3 = (1 0 1 0)ᵀ + + Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2) + ---> auf Zeilenstufenform reduzieren + ---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind. + ---> nein + ---> also lin{u1, u2} ⊈ lin{v1, v2, v3} + +### Basis von V/U ### + + --> Beispiel 1. + + u1 = (1 1 0 0)ᵀ + u2 = (-1 1 0 0)ᵀ + + v1 = (4 0 0 0)ᵀ + v2 = (1 0 1 0)ᵀ + v3 = (1 4 0 0)ᵀ + + Schreibweise für Äquivalenzklassen: + [v] = v + U + --> die Elemente in V/U + + Setze A := (u1 u2 v1 v2 v3) + ---> auf Zeilenstufenform reduzieren + ---> bestimmen, welche Variablen frei / unfrei sind + ---> bestimme die Basis durch die Spalten, die den unfreien Variablen entsprechen + ---> + x3, x5 sind frei + x1, x2, x4 nicht frei + ---> v2 + U (entspricht x4) bildet eine Basis + + +## SKA 9-5 ## + + Basis für U: + u1 = (1 1 0)ᵀ + u2 = (0 1 1)ᵀ + Basis für V = ℝ^3: + v1 = (1 0 0)ᵀ + v2 = (0 1 0)ᵀ + v3 = (0 0 1)ᵀ + + A = (u1, u2, v1, v2, v3) + ---> Zeilenstufenform: x1, x2, x3 nicht frei; x4, x5 frei + ---> V / U = lin {v1 + U} = lin { e1 + U } + und dim(V/U) = 1 + + Beachte: v2 = u1 - v1 ===> v2 + U = -(v1 + U) + v3 = (u2-u1) + v1 ===> v3 + U = v1 + U + + + +## UB9-2 (Bsp) ## + + Seien + + v1 = (1 0 0 4 1)ᵀ + v2 = (0 1 0 8 0)ᵀ + v3 = (-3 0 0 0 1)ᵀ + + φ : ℝ^3 ---> ℝ^5 + sei linear mit + φ(e_i) = v_i für alle i + + 1. Sei x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ^3 + φ(x1,x2,x3) + = φ(x) + = φ(x1·e1 + x2·e2 + x3·e3) + = φ(x1·e1) + φ(x2·e2) + φ(x3·e3) + = x1·φ(e1) + x2·φ(e2) + x3·φ(e3) + = x1·v1 + x2·v2 + x3·v3 + = Ax + wobei A = (v1 v2 v3) + = 1 0 -3 + 0 1 0 + 0 0 0 + 4 8 0 + 1 0 1 + Also ist φ = φ_A (siehe Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020]). + Wℝ berechnen den Rang von A, um die Injektivität/Surjektivität/Bijektivität + von φ zu klassifizieren: + ---> A in Zeilenstufenform: + 1 0 -3 + 0 1 0 + 0 0 0 + 0 0 12 + 0 0 4 + Rang(A) = 3 + ---> A ist eine mxn Matrix mit m=5, n=3 + Rang(A) = 3 ≥ 3 = n ===> φ = φ_A ist injektiv + Rang(A) = 3 < 5 = m ===> φ = φ_A ist nicht surjektiv + m ≠ n ===> φ = φ_A ist nicht bijektiv + + + +## UB9-3 (wie man ansetzen kann...) ## + +**Zz:** ψ◦ϕ injektiv <===> ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0} + +(==>) Angenommen, ψ◦ϕ injektiv. +**Zz:** ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}. + +... + +(<==) Angenommen, ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}. +**Zz:** ψ◦ϕ injektiv + +Laut Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020] reicht es aus zu zeigen, dass Kern(ψ◦ϕ) = {0}. + +Sei x ∈ U beliebig. + +**Zz:** x ∈ Kern(ψ◦ϕ) <===> x = 0 + + x ∈ Kern(ψ◦ϕ) + <===> (ψ◦ϕ)(x) = 0 + .. + .. <--- ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0} ausnutzen ! + .. + <===> x = 0