commit d25ea71c96d647ff30891806a7436961445160cc Author: raj_mathe Date: Fri Nov 20 19:54:18 2020 +0100 master > master: Repo diff --git a/README.md b/README.md new file mode 100644 index 0000000..28ea34a --- /dev/null +++ b/README.md @@ -0,0 +1,144 @@ +# Repository für Lineare Algebra / Übungsgruppe # + +In diesem Repository werden Ressourcen hochgeladen, +zum Beispiel Skripte oder Dokumente für mathematische Argumente. +Gründe hierfür: + +- um den Umstand zu vermeiden, per Email, Moodle, BBB, usw. Dateien zu schicken. +- technische Kritzelei irgendwo festzuhalten. + +Dieses Repo enthält + +1. Code/Codeschnippsel: siehe [/code](./code). +2. Dokument inklusive meiner Lösungen zu den Übungsblättern (die nach dem Abgabetermin hochgeladen werden): siehe [/docs](./docs) und [/docs/loesungen.pdf](./docs/loesungen.pdf). +3. Notizen/Kritzelei für mathematische Argumente, Berechnungen, usw.: siehe [/notes](./notes). +4. Protokolle von den Übungsgruppen: siehe [/uebung](./uebung). + +## Mathematisches Denken ## + +Mathematik ist eine präzise aber abstrakte Kunst. +Pflegen muss man zwei den Umgang mit zwei Aspekten: + +- Anschauung, +- Formalismen. + +Es gibt ein Zwischenspiel zwischen beiden dieser Aspekte. + +### Anschauung ### + +Stichwörte: **Konzepte** (en: _notion_), **Vorstellung**, **Visualisierung**, **Intuition**, ... + +Mit _Anschauung_ meine ich nicht bloß _Visualisierung_, sondern vielmehr das intuitive Begreifen von Mathematik. +Mit Intuition nun meine ich aber _nicht_ »common sense«, +sondern eine Fähigkeit, die man antrainieren muss, um abstrakte Sachverhalte +zu visualisieren, internalisieren, und um sich mit den mathematischen »Gegenständen« vertraut zu machen. + +### Formalismen ### + +Stichwörte: **Symbole**, **Notation**, **Axiome**, **Rahmen**, **Aussagen**, **Beweise**, **Argumentation**, ... + +Der Begriff _Formalismen_ geht eigentlich auf die Grundlagen der Mathematik ab der Mitte des 19. Jh zurück. +Ab dieser Zeit fingen Mathematiker an, nicht mehr lose zu berechnen, sondern Erkenntnisse in _formalen Systemen_ aufzuschreiben. +Im Grunde (und im Falle von Church, Turing, Kleene, usw. buchstäblich) legten sie die Bausteine für das moderne Konzept von Berechenbarkeit, Algorithmen, und Rechnern. +Es stellt sich heraus (siehe insbesondere das Löwenheim-Skolem-Tarski Paradoxon), dass mathematische Aussagen komplett unabhängig von Anschauungen ausgelegt und bewiesen werden können. +Mit anderen Worten, man kann einen seelenlosen Rechner mit mathematischen Aufgaben beauftragen, +und dieser ohne jegliche Vorstellungskraft wäre in der Lage _richtige_ Berechnungen durchzuführen und Schlüsse zu ziehen. + +Kurz gesagt, die _formalen_ Aspekte bestehen aus technischen Symbolen, mithilfe derer wir Aussagen schreiben, und der Struktur von Argumenten. + +### Die Rolle von beiden Aspekten ### + +Einerseits sind formale Mitteln notwendig, um Aussagen _klar und eindeutig_ zu formulieren, +und notwendig und hinreichend, um diese zu beweisen. +Andererseits benötigen wir als _denkende Menschen_ aber auch Anschauungen, + +1. um formale Aussagen _deuten_ zu können und deren Informationsgehalt zu _begreifen_, +2. damit einem Ideen und Ansätze einfallen, um Behauptungen zu beweisen. + +Wir brauchen also die formale Seite, um **präzis** zu kommunizieren und richtig zu argumentieren, +und die anschauliche Seite, um uns überhaupt orientieren zu können. + +### Wie trainiere ich das? ### + +Es gibt einige Möglichkeiten für verschiedene Lerntypen: + +- Selbstlernen: sich alleine mit dem Skript auseinandersetzen. Am besten ein paar Stunden in einem ruhigen Ort wie einem Café, der Bibliothek, zu Hause. +Gründlich die Definitionen und Resultate durchgehen. +- Durch Gruppenarbeit. +- Austausch von konkreten Fragen in eurer Chat-Gruppe oder in online Foren wie stackexchange, math.hashcode, usw.. +- In der Übungsgruppe. Bei wichtigen Fragen, die wir gemeinsam bearbeiten, werde ich versuchen, diese in dem Repository festzuhalten. + +## Software für Text/Notizen ## + +Unter Mathematikern, Wissenschaftlern, (womöglich auch Ingenieuren), und Informatikern sind folgende Optionen sehr beliebt: + +- LaTeX +- Markdown, sowie die verschiedenen Kombinationen mit anderer Software: + - Pandocs (kombiniert so ziemlich alles!) + - Rmd (R Markdown) + - pynb/JyPyter (Python notebooks) + +Am Rechner schreibe ich alles meistens in Markdown oder LaTeX-Dateien. +Wenn ich wirklich schnell schreiben will, und mir die Formattierung egal ist, +benutze ich sogar Notepad / TextEditor / rtf. +Freunde benutzen Apps, in denen man zeichnen kann. Das ist auch sehr nützlich. + +## Software für Berechnungen und Anschauungen ## + +Es gibt einige Hilfsmittel, derer man sich bedienen kann, um entweder Konzepte zu visualisieren oder zu berechnen. +**Diese Möglichkeiten sind keineswegs verpflichtend!** + +### Geogebra ### + +Diese App ist ein lustiges aber sehr nützliches Programm, um schnell im 2-d Raum ($\mathbb{R}^{2}$) oder 3-d Raum ($\mathbb{R}^{3}$) geometrische Objekte und Konzepte zu realisieren. +Man kann GeoGebra [hier](https://www.geogebra.org/download?lang=de) herunterladen. + +**Vorteile:** man braucht hier _null_ Programmierkenntnisse. Mit der App kann man ohne Weiteres direkt loslegen. + +**Nachteile:** Man sollte es aber nicht zu weit betreiben, denn diese App wird schnell überfordert. +Es scheint, dass man nicht mehr Dateien lokal speichern kann (?!). +Anscheinend wollen die „klugen“ Betreiber dieser App einen rein online Gebrauch erzwingen 🤦. + +### R ### + +Für **R** braucht man + +- Den **R** Compiler (siehe z. B. [hier](https://cran.rstudio.com)) +- (optional) einen Editor wie **RStudio** (siehe [hier](https://rstudio.com/products/rstudio/download/#download)). + +Man kann auch ohne Installation R-Skripte ausführen: einfach nach »R compiler online« googeln (oder z. B. -> `<>Start coding` —> Sprache auswählen). + +**Vorteile:** man braucht hier nur _sehr minimale_ Programmierkenntnisse. +Diese Sprache wurde für Naturwissenschaftler und Statistiker entwickelt, und Menschen rund um den Globus entwickeln immer neue Packages für alles Mögliche in dieser Sprache. +Es gibt eine große Community und damit kann man für alle Probleme Hilfe finden. +Visualisierung mag zwar umständlicher als mit Geogebra sein, aber ist nicht so schwer. + +**Nachteile:** +Man sollte im Laufe seines Studiums **R** nicht _ausschließlich_ bedienen, +denn diese Sprache fördert einen richtig schlechten Programmierstil. +Für die Logiker und Informatiker unter euch, wird es bspw. nerven, dass in **R**-Arrays (sog. lists/vectors) Indexes mit `1` anfangen. +Für Programmierer, wird stören, dass **R** keine saubere Implementierung von Klassen, (lokalen) Imports, usw. anbietet +(diese Dinge existieren, aber sind sehr umständlich). + +### Python ### + +_„Pfft! Python ist nichts anderes als glorifiziertes Bash!“_ — ein ehem. Arbeitskollege + +Von diesem Zitat abgesehen ich persönlich liebe diese Sprache. +Man kann den Python-Compiler [hier](https://www.python.org/downloads/) herunterladen. +(ACHTUNG! Version 3.9.0 scheint mit C-libraries Probleme zu haben. Ich persönlich hatte Schwierigkeiten gewisse mathe-Module dafür zu installieren. Ich würde deshalb erstmals v3.8.xx empfehlen.) + +Man kann auch ohne Installation python Skripte ausführen: einfach nach »python compiler online« googeln (oder z. B. -> `<>Start coding` —> Sprache auswählen). + +**Vorteile:** Da man kein Memory-Allocation o. Ä., oder Typisierung pflegen muss, kann man mit grundlegenden Programmierkenntnissen sehr leicht in Python einsteigen. +Es gibt eine immense Community für Python und man kann sehr schnell online durch Foren u. Ä. Hilfe holen. +Die Python-Dokumentation ist sehr ausführlich und alles ist gut versioniert. +Möglicherweise werden einige von euch etwas im Bereich Data Science machen. +Dafür ist python (aktuell) mit das gängigste Tool. +Generell (nicht nur wegen DS) lohnt es sich, Python (samt Modulen wie **numpy**/**numpy.linalg**, **pandas**, usw.) zu können. + +**Nachteile:** Python ist nicht sonderlich schnell, aber bzgl. Geschwindigkeit definitiv besser als Geogebra. +Für Programmierer gibts an Python viel Grund zu meckern (z. B. keine echten privat/public/protected access modifiers, unsauberer Umgang mit Typing.). + +Für Visualisierungen von Vektoren wäre Python nicht die beste Option. +Für unseren Kurs würde ich dies nur für die Ausführung von Algorithmen Empfehlen. diff --git a/code/R/main.r b/code/R/main.r new file mode 100644 index 0000000..e69de29 diff --git a/code/python/__init__.py b/code/python/__init__.py new file mode 100644 index 0000000..e69de29 diff --git a/code/python/main.py b/code/python/main.py new file mode 100644 index 0000000..e69de29 diff --git a/docs/loesungen.pdf b/docs/loesungen.pdf new file mode 100644 index 0000000..e5faa1d Binary files /dev/null and b/docs/loesungen.pdf differ diff --git a/docs/loesungen.tex b/docs/loesungen.tex new file mode 100644 index 0000000..fc65d95 --- /dev/null +++ b/docs/loesungen.tex @@ -0,0 +1,3411 @@ +%% ******************************************************************************** +%% AUTHOR: Raj Dahya +%% CREATED: November 2020 +%% EDITED: — +%% TYPE: Notizen +%% TITLE: Lösungen zu diversen Aufgaben im Kurs +%% DOI: — +%% DEPARTMENT: Fakultät for Mathematik und Informatik +%% INSTITUTE: Universität Leipzig +%% ******************************************************************************** + +%% ******************************************************************************** +%% DOCUMENT STRUCTURE: +%% ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ +%% +%% — root.tex; +%% | +%% — parameters.tex; +%% | +%% — src/index.tex; +%% | +%% — ########; +%% | +%% — src/setup-type.tex; +%% | +%% — src/setup-packages.tex; +%% | +%% — src/setup-parameters.tex; +%% | +%% — src/setup-macros.tex; +%% | +%% — src/setup-environments.tex; +%% | +%% — src/setup-layout.tex; +%% | +%% — src/setup-localmacros.tex; +%% | +%% — front/index.tex; +%% | +%% — front/title.tex; +%% | +%% — front/foreword.tex; +%% | +%% — front/contents.tex; +%% | +%% — body/index.tex; +%% | +%% — body/uebung/ueb1.tex; +%% | +%% — body/uebung/ueb2.tex; +%% | +%% — body/uebung/ueb3.tex; +%% | +%% — 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+\def\incrftnotectr#1{% + \addtocounter{#1}{1}% + \ifnum\value{#1}>\rafootnotectr\relax + \setcounter{#1}{0}% + \fi% +} +\def\footnoteref[#1]{\protected@xdef\@thefnmark{\ref{#1}}\@footnotemark} +\let\altfootnotetext\footnotetext + \def\footnotetext[#1]#2{\incrftnotectr{footnote}\altfootnotetext[\value{footnote}]{\label{#1}#2}} +\let\altfootnotemark\footnotemark + %% Undesirable solution, as the text is not hyperlinked. + \def\footnotemark[#1]{\text{\textsuperscript{\getrefnumber{#1}}}} + +\DefineFNsymbols*{custom}{abcdefghijklmnopqrstuvwxyz} +\setfnsymbol{custom} +\def\footnotelayout{\documentfont\scriptsize} +\def\thefootnote{\fnsymbol{footnote}} + +\def\kopfzeileleer{ + \lhead[]{} + \chead[]{} + \rhead[]{} + \lfoot[]{} + \cfoot[]{} + \rfoot[]{} +} +\def\kopfzeiledefault{ + \lhead[]{} + \lhead[]{} + \chead[]{} + \rhead[]{} + \lfoot[]{} + \cfoot{\footnotesize\thepage} + \rfoot[]{} +} + +\DeclareRobustCommand\crfamily{\fontfamily{pcr}\selectfont} +\def\headingfont{\fontfamily{cmss}\selectfont} +\def\documentfancyfont{% + \gdef\headingfont{\crfamily}% + \fontfamily{ccr}\fontseries{m}\selectfont% +} +\def\documentfont{% + \gdef\headingfont{\fontfamily{cmss}\selectfont}% + \fontfamily{cmss}\fontseries{m}\selectfont% + \renewcommand{\sfdefault}{phv}% + \renewcommand{\ttdefault}{pcr}% + \renewcommand{\rmdefault}{cmr}% <— funktionieren nicht mit {ptm} + \renewcommand{\bfdefault}{bx}% + \renewcommand{\itdefault}{it}% + \renewcommand{\sldefault}{sl}% + \renewcommand{\scdefault}{sc}% + \renewcommand{\updefault}{n}% +} + +\allowdisplaybreaks +\let\altcleardoublepage\cleardoublepage +\let\cleardoublepage\clearpage + +\def\startdocumentlayoutoptions{ + \selectlanguage{ngerman} + \setlength{\parskip}{0.5\baselineskip} + \setlength{\parindent}{0pt} + \kopfzeiledefault + \documentfont + \normalsize +} + +\def\highlightTerm#1{\emph{#1}} + +%% ******************************************************************************** +%% FILE: src/setup-localmacros.tex +%% ******************************************************************************** + +%% **************************************************************** +%% MATHE: +%% **************************************************************** + +\def\reell{\mathbb{R}} +\def\kmplx{\mathbb{C}} +\def\Torus{\mathbb{T}} +\def\rtnl{\mathbb{Q}} +\def\intgr{\mathbb{Z}} + +\def\ntrl{\mathbb{N}} +\def\ntrlpos{\mathbb{N}} +\def\ntrlzero{\mathbb{N}_{0}} +\def\reellNonNeg{\reell_{+}} + +\def\leer{\emptyset} +\def\restr#1{\vert_{#1}} +\def\ohne{\setminus} +\def\Pot{\mathop{\mathcal{P}}} + +\def\brkt#1{\langle{}#1{}\rangle} +\def\lsim{\mathop{\sim}} +\def\lneg{\mathop{\neg}} +\def\land{\mathop{\wedge}} +\def\lor{\mathop{\vee}} + +\def\eps{\varepsilon} +\let\altphi\phi +\let\altvarphi\varphi + \def\phi{\altvarphi} + \def\varphi{\altphi} + +\def\span{\mathop{\text{\upshape Lin}}} +\def\dim{\mathop{\text{\upshape dim}}} +\def\onematrix{\text{\upshape\bfseries I}} +\def\zeromatrix{\text{\upshape\bfseries 0}} +\def\zerovector{\text{\upshape\bfseries 0}} + +\def\graph{\mathop{\text{\textup Gph}}} +\def\id{\text{\textup id}} +\def\modfn{\mathop{\text{\textup mod}}} +\makeatother + +\begin{document} + \startdocumentlayoutoptions + + %% FRONTMATTER: + \thispagestyle{plain} + +%% ******************************************************************************** +%% FILE: front/index.tex +%% ******************************************************************************** + +%% ******************************************************************************** +%% FILE: front/title.tex +%% ******************************************************************************** + +\begin{titlepage} + \null + + \vraum + + \noindent\rule{\linewidth}{2pt} + + {\hraum\LARGE Lineare Algebra I\hraum}\\ + {\hraum\LARGE $\oast$\,\rule[0.175\baselineskip]{0.65\linewidth}{1pt}\,$\oast$ \hraum}\\ + {\hraum\Large Lösungen zu diversen Aufgaben im Kurs\hraum} + + \noindent\rule{\linewidth}{2pt} + + \vraum + + \noindent + \hraum{\footnotesize Raj Dahya}\hraum\\ + \hraum{\small \itshape Fakultät für Mathematik und Informatik/Institut für Philosophie}\hraum\\ + \hraum{\small \itshape Universität Leipzig.}\hraum\\ + \hraum{\small Wintersemester 2020/2021 }\hraum +\end{titlepage} + +%% ******************************************************************************** +%% FILE: front/foreword.tex +%% ******************************************************************************** + +\chapter*{Vorwort} + +Dieses Dokument enthält Lösungsansätze zu den Übungsserien, Selbstkontrollenaufgaben, und Quizzes. +Diese werden natürlich \emph{nach} Abgabefristen hochgeladen +und dienen \emph{nicht} als Musterlösungen! +Der Zweck dieser Lösungen ist es vielmehr, Ansätze zu präsentieren, +mit denen man seine \emph{eigenen} Versuche vergleichen kann. + +%% ******************************************************************************** +%% FILE: front/contents.tex +%% ******************************************************************************** + +\kopfzeiledefault +\footnotesize +\setcounter{tocdepth}{1} +\def\contentsname{Inhaltsverzeichnis} + + \tableofcontents + + %% HAUPTTEXT: + +%% ******************************************************************************** +%% FILE: body/index.tex +%% ******************************************************************************** + +\setcounternach{part}{1} +\part{Übungsserien} + + \def\chaptername{Übungsserie} + +%% ******************************************************************************** +%% FILE: body/uebung/ueb1.tex +%% ******************************************************************************** + +\setcounternach{chapter}{1} +\chapter[Woche 1]{Woche 1} + \label{ueb:1} + +\textbf{ACHTUNG.} +Diese Lösungen dienen \emph{nicht} als Musterlösungen sondern eher als Referenz. +Hier wird eingehender gearbeitet, als generell verlangt wird. +Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche vergleichen kann. + +%% AUFGABE 1-1 +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{Aufgabe} +\section[Aufgabe 1]{} + \label{ueb:1:ex:1} +\let\sectionname\altsectionname + +Zu bestimmen ist die Lösungsmenge + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + L_{\alpha,\beta} &:= &\{ + \mathbf{x}\in\reell^{n} + \mid A_{\alpha}\mathbf{x}=\mathbf{b}_{\beta} + \}\\ + \end{mathe} + +für $\alpha,\beta\in\reell$, +wobei $m=3$ und $n=4$, und +$A_{\alpha}\in\reell^{m\times n}$ und $\mathbf{b}_{\beta}\in\reell^{m}$ +durch + + \begin{mathe}[mc]{rclqrcl} + A_{\alpha} &:= &\begin{matrix}{cccc} +1 &7 &2 &-1\\ +1 &8 &6 &-3\\ +2 &14 &\alpha &-2\\ +\end{matrix} + &\mathbf{b}_{\beta} &:= &\begin{vector}4\\0\\\beta\\\end{vector} + \end{mathe} + +gegeben sind. +Um die Lösungsmenge zu bestimmen führen wir das Gaußverfahren aus: + +\begin{algorithm}[\rtab][\rtab] + Ursprüngliches LGS $(A_{\alpha}|b_{\beta})$: + + \begin{mathe}[mc]{c} + \begin{matrix}{cccc|c} +1 &7 &2 &-1 &4\\ +1 &8 &6 &-3 &0\\ +2 &14 &\alpha &-2 &\beta\\ +\end{matrix}\\ + \end{mathe} + + Wende die Zeilentransformationen + + {\footnotesize + \begin{mathe}[mc]{rcl} + Z_{2} &\leftsquigarrow &Z_{2}-Z_{1}\\ + Z_{3} &\leftsquigarrow &Z_{3}-2\cdot Z_{1}\\ + \end{mathe}} + + an: + + \begin{mathe}[mc]{c} + \begin{matrix}{cccc|c} +\boxed{1} &7 &2 &-1 &4\\ +0 &\boxed{1} &4 &-2 &-4\\ +0 &0 &\boxed{\alpha - 4} &0 &\beta - 8\\ +\end{matrix}\\ + \end{mathe} + +\end{algorithm} + +Die eingezeichneten Einträge markieren die ersten Einträge der Stufen. +Es gibt also $2$ oder $3$ Stufen, je nachdem, ob ${\alpha - 4=0}$. +Dies führt zu einem Fallunterschied: + +\begin{enumerate}{\bfseries {Fall} 1.} + %% FALL 1 + \item $\alpha-4=0$. Das heißt, $\alpha=4$. + In diesem Falle hat das augmentierte System genau $2$ Stufen + und sieht wie folgt aus: + + \begin{mathe}[mc]{c} + \begin{matrix}{cccc|c} +\boxed{1} &7 &2 &-1 &4\\ +0 &\boxed{1} &4 &-2 &-4\\ +0 &0 &0 &0 &\beta - 8\\ +\end{matrix}\\ + \end{mathe} + + Dies führt zu zwei weiteren Fällen, denn die $3$. Gleichung ist jetzt genau dann lösbar, + wenn $\beta-8=0$. + + \begin{enumerate}{\bfseries {Fall 1}a.} + %% FALL 1a + \item $\beta-8\neq 0$. Das heißt, $\beta\neq 8$. + Dann ist die $3$. Gleichung und damit das LGS nicht lösbar. + Darum erhalten wir $\boxed{L_{\alpha,\beta}=\leer}$. + + %% FALL 1b + \item $\beta-8=0$. Das heißt, $\beta=8$. + Dann ist die $3$. Gleichung trivialerweise erfüllt. + Das augmentierte System sieht wird zum + + \begin{mathe}[mc]{c} + \begin{matrix}{cccc|c} +\boxed{1} &7 &2 &-1 &4\\ +0 &\boxed{1} &4 &-2 &-4\\ +0 &0 &0 &0 &0\\ +\end{matrix}\\ + \end{mathe} + + und kann jetzt aufgelöst werden. + Wir arbeiten von unten nach oben: + + \begin{algorithm}[2\rtab][\rtab] + Aus der ganzen Zeilenstufenform erschließt sich + + \begin{mathe}[mc]{c} + x_{3},\, x_{4}\,\text{sind frei}\\ + \end{mathe} + + Aus der Stufenform von Gleichungen $2$ und $1$ erschließt sich + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + x_{2} &= &-4 - 4x_{3} + 2x_{4}\\ + x_{1} &= &4 - 7x_{2} - 2x_{3} + x_{4}\\ + &= &4 - 7(-4 - 4x_{3} + 2x_{4}) - 2x_{3} + x_{4}\\ + &= &32 + 26x_{3} + -13x_{4}\\ + \end{mathe} + + Zusammengefasst erhalten wir die allgemeine Form der Lösung: + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \mathbf{x} &= &\begin{svector}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\\\end{svector}\\ + &= &\begin{svector}32 + 26x_{3} + -13x_{4}\\-4 - 4x_{3} + 2x_{4}\\x_{3}\\x_{4}\\\end{svector}\\ + &= &\begin{svector}32 + 26x_{3} + -13x_{4}\\-4 - 4x_{3} + 2x_{4}\\0 + 1x_{3} + 0x_{4}\\0 + 0x_{3} + 1x_{4}\\\end{svector}\\ + &= &\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector} + + \begin{svector}26x_{3}\\-4x_{3}\\1x_{3}\\0x_{3}\\\end{svector} + + \begin{svector}-13x_{4}\\2x_{4}\\1x_{4}\\1x_{4}\\\end{svector}\\ + &= &\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector} + + x_{3}\cdot\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector} + + x_{4}\cdot\begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector}\\ + \end{mathe} + + mit $x_{3}$, $x_{4}$ frei wählbar. + \end{algorithm} + + Also erhalten wird in diesem Falle + $\boxed{ + L_{\alpha,\beta}=\left\{ + \begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector} + + t_{1}\cdot\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector} + + t_{2}\cdot\begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector} + \mid t_{1}, t_{2}\in\reell + \right\} + }$, + oder etwas kompakter formuliert, + ${L_{\alpha,\beta}=\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector} + \span\left\{\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector}, \begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector}\right\}}$. + \end{enumerate} + + %% FALL 2 + \item $\alpha-4\neq 0$. Das heißt, $\alpha\neq 4$. + In diesem Falle hat das augmentierte System genau $3$ Stufen und diesmal ist nur $x_{4}$ frei. + Man beachte, dass dies im Grunde genau wie Fall 1b ist, nur dass wir zusätzlich Gleichung 3 beachten und $x_{3}$ bestimmen müssen. + + \begin{algorithm}[2\rtab][\rtab] + Aus der Stufenform von Gleichungen $3$ ergibt sich + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + x_{3} &= &\frac{\beta-8}{\alpha-4}\\ + \end{mathe} + + Der Rest der Lösung des Gleichungssystems verhält sich genau wie im Fall 3b, + das heißt + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \mathbf{x} &= &\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector} + + x_{3}\cdot\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector} + + x_{4}\cdot\begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector}\\ + &= &\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector} + + \frac{\beta-8}{\alpha-4}\cdot\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector} + + x_{4}\cdot\begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector},\\ + \end{mathe} + + wobei $x_{4}$ frei wählbar ist. + \end{algorithm} + + Also erhalten wird in diesem Falle + $\boxed{ + L_{\alpha,\beta}=\left\{ + \begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector} + + \frac{\beta-8}{\alpha-4}\cdot\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector} + + t\cdot\begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector} + \mid t\in\reell + \right\} + }$, + oder etwas kompakter formuliert, + ${L_{\alpha,\beta}=\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector} + \frac{\beta-8}{\alpha-4}\cdot\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector} + \span\left\{\begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector}\right\}}$. +\end{enumerate} + +Wir fassen die Lösung für alle Fälle zusammen: + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + L_{\alpha,\beta} &= &\begin{cases}[m]{lcl} + \leer &: &\alpha=4,\,\beta\neq 8\\ + \mathbf{u} + \span\{\mathbf{v},\mathbf{w}\} &: &\alpha=4,\,\beta=8\\ + \mathbf{u} + \frac{\alpha-4}{\beta-8}\mathbf{v} + \span\{\mathbf{w}\} &: &\alpha\neq 4\\ + \end{cases} + \end{mathe} + +für alle $\alpha,\beta\in\reell$, +wobei + $\mathbf{u} = \begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector}$, + $\mathbf{v} = \begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector}$, + $\mathbf{w} = \begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector}$. + +%% AUFGABE 1-2 +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{Aufgabe} +\section[Aufgabe 2]{} + \label{ueb:1:ex:2} +\let\sectionname\altsectionname + +\begin{schattierteboxdunn} +\begin{satz} + \makelabel{satz:main:ueb:1:ex:2} + Angewandt auf die erweiterte Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems + verändern + die elementaren Zeilenumformungen vom Typ (I), (II) und (III) + die Menge der Lösungen nicht. +\end{satz} +\end{schattierteboxdunn} + +Wir beweisen \Cref{satz:main:ueb:1:ex:2} mithilfe der folgenden Teilergebnisse. + +\begin{lemm} + \makelabel{lemm:1:ueb:1:ex:2} + Seien $m,n\in\ntrlpos$ und $A\in\reell^{m\times n}$ und $\mathbf{b}\in\reell^{m}$. + Für $i,j\in\{1,2,\ldots,m\}$ mit $i\neq j$ bezeichne mit + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + (A|\mathbf{b}) &\overset{I;i,j}{\rightsquigarrow} &(A'|\mathbf{b}')\\ + \end{mathe} + + die Anwendung von Zeilentransformation (I) auf $(A|\mathbf{b})$, + wobei Zeile${}_{i}$ und Zeile${}_{j}$ umgetauscht werden, + was in $(A'|\mathbf{b}')$ resultiert. + Dann für alle ${\mathbf{x}\in\reell^{n}}$, + falls $\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A|\mathbf{b})$ ist, + dann ist $\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A'|\mathbf{b}')$. +\end{lemm} + + \begin{einzug}[\rtab][\rtab] + \begin{proof} + Betrachte den Fall $ij$ lässt sich analog zeigen. + Falls $i=j$ bleibt das System unverändert, sodass die Behauptung trivialerweise gilt. + \end{proof} + \end{einzug} + +\begin{lemm} + \makelabel{lemm:2:ueb:1:ex:2} + Seien $m,n\in\ntrlpos$ und $A\in\reell^{m\times n}$ und $\mathbf{b}\in\reell^{m}$. + Für ${i\in\{1,2,\ldots,m\}}$ und ${\alpha\in\reell\ohne\{0\}}$ bezeichne mit + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + (A|\mathbf{b}) &\overset{II;i,\alpha}{\rightsquigarrow} &(A'|\mathbf{b}')\\ + \end{mathe} + + die Anwendung von Zeilentransformation (II) auf $(A|\mathbf{b})$, + wobei Zeile${}_{i}$ durch $\alpha\cdot$Zeile${}_{i}$ ersetzt wird, + was in $(A'|\mathbf{b}')$ resultiert. + Dann für alle ${\mathbf{x}\in\reell^{n}}$, + falls $\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A|\mathbf{b})$ ist, + dann ist $\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A'|\mathbf{b}')$. +\end{lemm} + + \begin{einzug}[\rtab][\rtab] + \begin{proof} + Es gilt + + \begin{longtable}[mc]{RL} + &\text{$\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A|\mathbf{b})$}\\ + \Longrightarrow + &{\scriptsize + \left\{ + \begin{array}[m]{crccccclcl} + &(a_{1,1}x_{1} &+ &a_{1,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{1,n}x_{n} &= &b_{1})\\ + \text{und} &(a_{2,1}x_{1} &+ &a_{2,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{2,n}x_{n} &= &b_{2})\\ + \cdots\\ + \text{und} &(a_{i,1}x_{1} &+ &a_{i,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{i,n}x_{n} &= &b_{i})\\ + \cdots\\ + \text{und} &(a_{m,1}x_{1} &+ &a_{m,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{m,n}x_{n} &= &b_{m}) + \end{array} + \right.}\\ + \\ + \Longrightarrow + &{\scriptsize + \left\{ + \begin{array}[m]{crccccclcl} + &(a_{1,1}x_{1} &+ &a_{1,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{1,n}x_{n} &= &b_{1})\\ + \text{und} &(a_{2,1}x_{1} &+ &a_{2,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{2,n}x_{n} &= &b_{2})\\ + \cdots\\ + \text{und} &(\alpha\cdot (a_{i,1}x_{1} &+ &a_{i,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{i,n}x_{n}) &= &\alpha\cdot b_{i})\\ + \cdots\\ + \text{und} &(a_{m,1}x_{1} &+ &a_{m,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{m,n}x_{n} &= &b_{m}) + \end{array} + \right.}\\ + \\ + \Longrightarrow + &{\scriptsize + \left\{ + \begin{array}[m]{crccccclcl} + &(a_{1,1}x_{1} &+ &a_{1,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{1,n}x_{n} &= &b_{1})\\ + \text{und} &(a_{2,1}x_{1} &+ &a_{2,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{2,n}x_{n} &= &b_{2})\\ + \cdots\\ + \text{und} &(\alpha\cdot a_{i,1}x_{1} &+ &\alpha\cdot a_{i,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &\alpha\cdot a_{i,n}x_{n} &= &\alpha\cdot b_{i})\\ + \cdots\\ + \text{und} &(a_{m,1}x_{1} &+ &a_{m,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{m,n}x_{n} &= &b_{m}) + \end{array} + \right.}\\ + \\ + &\text{$\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A'|\mathbf{b})'$, da $(A|\mathbf{b})\overset{II;i,\alpha}{\rightsquigarrow}(A'|\mathbf{b}')$.} + \end{longtable} + + Also gilt die Behauptung. + \end{proof} + \end{einzug} + +\begin{lemm} + \makelabel{lemm:3:ueb:1:ex:2} + Seien $m,n\in\ntrlpos$ und $A\in\reell^{m\times n}$ und $\mathbf{b}\in\reell^{m}$. + Für ${i,j\in\{1,2,\ldots,m\}}$ mit $i\neq j$ und $\alpha\in\reell$ bezeichne mit + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + (A|\mathbf{b}) &\overset{III;i,j,\alpha}{\rightsquigarrow} &(A'|\mathbf{b}')\\ + \end{mathe} + + die Anwendung von Zeilentransformation (III) auf $(A|\mathbf{b})$, + wobei Zeile${}_{i}$ durch die Addition von Zeile${}_{i}$ mit $\alpha\cdot$Zeile${}_{j}$ ersetzt wird, + was in $(A'|\mathbf{b}')$ resultiert. + Dann für alle ${\mathbf{x}\in\reell^{n}}$, + falls $\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A|\mathbf{b})$ ist, + dann ist $\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A'|\mathbf{b}')$. +\end{lemm} + + \begin{einzug}[\rtab][\rtab] + \begin{proof} + Es gilt + + \begin{longtable}[mc]{RL} + &\text{$\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A|\mathbf{b})$}\\ + \Longrightarrow + &{\scriptsize + \left\{ + \begin{array}[m]{crccccclcl} + &(a_{1,1}x_{1} &+ &a_{1,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{1,n}x_{n} &= &b_{1})\\ + \text{und} &(a_{2,1}x_{1} &+ &a_{2,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{2,n}x_{n} &= &b_{2})\\ + \cdots\\ + \text{und} &(a_{i,1}x_{1} &+ &a_{i,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{i,n}x_{n} &= &b_{i})\\ + \cdots\\ + \text{und} &(a_{m,1}x_{1} &+ &a_{m,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{m,n}x_{n} &= &b_{m}) + \end{array} + \right.}\\ + \\ + \Longrightarrow + &{\scriptsize + \left\{ + \begin{array}[m]{crccccclcl} + &(a_{1,1}x_{1} &+ &a_{1,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{1,n}x_{n} &= &b_{1})\\ + \text{und} &(a_{2,1}x_{1} &+ &a_{2,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{2,n}x_{n} &= &b_{2})\\ + \cdots\\ + \text{und} &(a_{i,1}x_{1} &+ &a_{i,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{i,n}x_{n} + \alpha\cdot b_{j} &= &b_{i} + \alpha\cdot b_{j})\\ + \cdots\\ + \text{und} &(a_{m,1}x_{1} &+ &a_{m,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{m,n}x_{n} &= &b_{m}) + \end{array} + \right.}\\ + \\ + \Longrightarrow + &{\scriptsize + \left\{ + \begin{array}[m]{crccccclcl} + &(a_{1,1}x_{1} &+ &a_{1,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{1,n}x_{n} &= &b_{1})\\ + \text{und} &(a_{2,1}x_{1} &+ &a_{2,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{2,n}x_{n} &= &b_{2})\\ + \cdots\\ + \text{und} &(a_{i,1}x_{1} &+ &a_{i,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{i,n}x_{n}\\ + &+\alpha\cdot a_{j,1}x_{1} &+ &\alpha\cdot a_{j,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &\alpha\cdot a_{j,n}x_{n} &= &b_{i} + \alpha\cdot b_{j})\\ + \cdots\\ + \text{und} &(a_{m,1}x_{1} &+ &a_{m,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{m,n}x_{n} &= &b_{m}) + \end{array} + \right.}\\ + \\ + &\text{da laut der $j$-ten Gleichung gilt ${b_{j}=\sum_{k=1}^{m}a_{j,k}x_{k}}$}\\ + \\ + \Longrightarrow + &{\scriptsize + \left\{ + \begin{array}[m]{crccccclcl} + &(a_{1,1}x_{1} &+ &a_{1,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{1,n}x_{n} &= &b_{1})\\ + \text{und} &(a_{2,1}x_{1} &+ &a_{2,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{2,n}x_{n} &= &b_{2})\\ + \cdots\\ + \text{und} &(a'_{i,1}x_{1} &+ &a'_{i,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a'_{i,n}x_{n} &= &b'_{i})\\ + \cdots\\ + \text{und} &(a_{m,1}x_{1} &+ &a_{m,2}x_{2} &+ &\cdots &+ &a_{m,n}x_{n} &= &b_{m}), + \end{array} + \right.}\\ + \\ + &\text{wobei $a'_{i,k}=a_{i,k}+\alpha\cdot a_{j,k}$ für alle $k$ und $b'_{i}=b_{i}+\alpha\cdot b_{j}$}\\ + \\ + \Longrightarrow + &\text{$\mathbf{x}$ eine Lösung für $(A'|\mathbf{b})'$, da $(A|\mathbf{b})\overset{III;i,j,\alpha}{\rightsquigarrow}(A'|\mathbf{b}')$.} + \end{longtable} + + Also gilt die Behauptung. + \end{proof} + \end{einzug} + +Endlich können wir \Cref{satz:main:ueb:1:ex:2} beweisen: + +\begin{proof}[von \Cref{satz:main:ueb:1:ex:2}] + Seien $m,n\in\ntrlpos$ und $A\in\reell^{m\times n}$ und $\mathbf{b}\in\reell^{m}$. + Seien $A'\in\reell^{m\times n}$ und $\mathbf{b}'\in\reell^{m}$, + so dass $(A|\mathbf{b})$ durch eine Transformation der Art (I), (II) oder (III) + aus $(A|\mathbf{b})$ entsteht. + Das heißt, entweder + + \begin{mathe}[mc]{lrcl} + \eqtag[eq:0:\beweislabel] + &(A|\mathbf{b}) &\overset{I;i,j}{\rightsquigarrow} &(A'|\mathbf{b}')\\ + \text{oder} &(A|\mathbf{b}) &\overset{I;i,\alpha}{\rightsquigarrow} &(A'|\mathbf{b}')\\ + \text{oder} &(A|\mathbf{b}) &\overset{III;i,j,\alpha}{\rightsquigarrow} &(A'|\mathbf{b}')\\ + \end{mathe} + + gilt, für ein $i,j\in\{1,2,\ldots,m\}$ mit $i\neq j$ und $\alpha\in\reell\ohne\{0\}$.\\ + \textbf{Zu zeigen:} + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \eqtag[eq:1:\beweislabel] + \{\mathbf{x}\in\reell^{n}\mid\mathbf{x}\text{ eine Lösung für }(A|\mathbf{b})\} + &= &\{\mathbf{x}\in\reell^{n}\mid\mathbf{x}\text{ eine Lösung für }(A|\mathbf{b})\}.\\ + \end{mathe} + + Wir zeigen dies in zwei Teile: + + \uline{\bfseries ($\subseteq$.)}\\ + Sei $\mathbf{x}\in\reell^{n}$ ein beliebiges Element aus der linken Menge, + d.\,h. $\mathbf{x}$ ist eine Lösung zu $(A|\mathbf{b})$. + Laut \Cref{lemm:1:ueb:1:ex:2} + \Cref{lemm:2:ueb:1:ex:2} + \Cref{lemm:3:ueb:1:ex:2} + und wegen \eqcref{eq:0:\beweislabel} + erhalten wir, dass $\mathbf{x}$ eine Lösung zu $(A'|\mathbf{b}')$ ist, + d.\,h. $\mathbf{x}$ liegt in der rechten Menge. + Also ist die linke Menge in der rechten enthalten. + + \uline{\bfseries ($\supseteq$.)}\\ + Man beachte zuerst, dass sich die Transformation in \eqcref{eq:0:\beweislabel} umkehren lässt---\text{und zwar durch Elementartransformationen}. + Es ist einfach zu sehen, dass entweder + + \begin{mathe}[mc]{lrcl} + &(A'|\mathbf{b}') &\overset{I;i,j}{\rightsquigarrow} &(A|\mathbf{b})\\ + \text{oder} &(A'|\mathbf{b}') &\overset{I;i,\alpha^{-1}}{\rightsquigarrow} &(A|\mathbf{b})\\ + \text{oder} &(A'|\mathbf{b}') &\overset{III;i,j,-\alpha}{\rightsquigarrow} &(A|\mathbf{b}).\\ + \end{mathe} + + Die Situation ist also analog zum $\subseteq$-Teil. + Darum gilt die $\supseteq$-Inklusion in \eqcref{eq:1:\beweislabel}. +\end{proof} + +\clearpage +%% AUFGABE 1-3 +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{Aufgabe} +\section[Aufgabe 3]{} + \label{ueb:1:ex:3} +\let\sectionname\altsectionname + +Für diese Aufgabe wird das Konzept der \emph{linearen Unabhängigkeit} aus Kapitel 5 angewandt. + +\begin{defn} + Seien $m,n\in\ntrlpos$ mit $m>n$ + und seien $A\in\reell^{m\times n}$, $\mathbf{b}\in\reell^{m}$, + und $I\subseteq\{1,2,\ldots,m\}$. + Bezeichne mit $(A|\mathbf{b})_{I}$ die erweiterte Koeffizientenmatrix $(A|\mathbf{b})$, + die auf die Zeilen mit Indexes aus $I$ (in bspw. aufsteigender Reihenfolge) reduziert ist. +\end{defn} + +\begin{e.g.} + Für $(A|\mathbf{b})$ gleich + + {\scriptsize + \begin{mathe}[mc]{c} + \begin{matrix}{ccc|c} +-5 &0 &0 &-7\\ +4 &-6 &-10 &6\\ +-2 &-6 &-6 &9\\ +-7 &4 &-1 &-5\\ +4 &-5 &2 &-9\\ +-5 &8 &-7 &-5\\ +\end{matrix} + \end{mathe}} + + und $I=\{2,5,6\}$ ist $(A|\mathbf{b})_{I}$ gleich + + {\scriptsize + \begin{mathe}[bc]{c} + \begin{matrix}{ccc|c} +4 &-6 &-10 &6\\ +4 &-5 &2 &-9\\ +-5 &8 &-7 &-5\\ +\end{matrix}. + \end{mathe}} + + \nvraum{1} + +\end{e.g.} + +Mit diesem Mittel können wir nun die Hauptaussage in der Aufgabe formulieren: + +\begin{schattierteboxdunn} +\begin{satz} + \makelabel{satz:main:ueb:1:ex:3} + Seien $m,n\in\ntrlpos$ mit $m>n$ + und seien $A\in\reell^{m\times n}$ und $\mathbf{b}\in\reell^{m}$. + Falls $(A|\mathbf{b})$ unlösbar ist, + dann existiert $I\subseteq\{1,2,\ldots,m\}$ mit $|I|=n+1$, + so dass $(A|\mathbf{b})_{I}$ unlösbar ist. +\end{satz} +\end{schattierteboxdunn} + + \begin{einzug}[\rtab][\rtab] + \begin{proof}[*][\Cref{\beweislabel}] + Es stehen nun die \emph{Zeilen} der Matrix $A$ im Fokus. + Wir verwandeln diese in Vektoren, d.\,h. setze + + \begin{mathe}[mc]{c} + \mathbf{z}^{(i)}\in\reell^{n}\,\text{die $i$-te Zeile von $A$ als Vektor geschrieben} + \end{mathe} + + für $i\in\{1,2,\ldots,m\}$. + Da ${\mathbf{z}^{(1)},\mathbf{z}^{(2)},\ldots,\mathbf{z}^{(m)}\in\reell^{n}}$, + können wir eine \emph{maximale Menge} ${I_{0}\subseteq\{1,2,\ldots,m\}}$ finden, + so dass $(\mathbf{z}^{(i)})_{i\in I_{0}}$ linear unabhängige Vektoren sind. + Aus der Maximalität folgt, dass für jedes ${k\in\{1,2,\ldots,m\}\ohne I_{0}}$ + $(\mathbf{z}^{(i)})_{i\in I_{0}\cup\{k\}}$ \emph{linear abhängig} sind. + Wegen der Dimension von $\reell^{n}$ gilt ${|I|\leq\min\{m,n\}=n}$. + Aus der linearer Unabhängigkeit von den $(\mathbf{z}^{(i)})_{i\in I_{0}}$ folgt, + dass es (eindeutige) Koeffizienten $c_{k,i}\in\reell$ für $i\in I_{0}$ gibt, + so dass + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \eqtag[eq:1:\beweislabel] + \mathbf{z}^{(k)} &= &\sum_{i\in I_{0}:~}c_{k,i}\mathbf{z}^{(i)}\\ + \end{mathe} + + gilt. + + Um nun die Hauptaussage zu zeigen, nehmen wir an, dass $(A|\mathbf{b})$ unlösbar ist. + \textbf{Zu zeigen:} Es gibt eine Teilmenge ${I\subseteq\{1,2,\ldots,m\}}$ mit ${|I|=n+1}$, + so dass $(A|\mathbf{b})_{I}$ unlösbar ist. + \fbox{Angenommen, dies sei nicht der Fall.} + Aus dieser Annahme leiten wir folgende Behauptungen ab: + + \begin{kompaktitem}[\rtab][\rtab] + \behauptungbeleg{1} + Die Verhältnisse zwischen den Zeilenvektoren in \eqcref{eq:1:\beweislabel} gelten auch für die Einträge aus $\mathbf{b}$. + Das heißt + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \eqtag[eq:2:\beweislabel] + b_{k} &= &\sum_{i\in I_{0}:~}c_{k,i}b_{i}\\ + \end{mathe} + + für alle ${k\in\{1,2,\ldots,m+1\}\ohne I_{0}}$.\\ + \voritemise + \belegbehauptung + Sei $k\in\{1,2,\ldots,m+1\}\ohne I_{0}$ beliebig. + Da $|I_{0}|\leq nn$ sieht nun die Zeilenstufenform, also $(A^{(N)}|\mathbf{b}^{(N)})$, folgendermaßen aus: + + {\scriptsize + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \begin{matrix}{cccccccc|c} +\underbrace{0\,0\,\ldots\,0}_{\ell_{1}} &\gamma_{1} &\cdots\cdots &\ast &\cdots\cdots &\cdots\cdots &\ast &\cdots\cdots &b^{(N)}_{1}\\ +0\,0\,\ldots\,0 &0 &\underbrace{0\,0\,\ldots\,0}_{\ell_{2}} &\gamma_{2} &\cdots\cdots &\cdots\cdots &\ast &\cdots\cdots &b^{(N)}_{2}\\ +\vdots & & & & & & &\vdots\\ +0\,0\,\ldots\,0 &0 &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &\underbrace{0\,0\,\ldots\,0}_{\ell_{r}} &\gamma_{r} &\cdots\cdots &b^{(N)}_{r}\\ +0\,0\,\ldots\,0 &0 &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &b^{(N)}_{r+1}\\ +\vdots & & & & & & &\vdots\\ +0\,0\,\ldots\,0 &0 &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &b^{(N)}_{m}\\ +\end{matrix} + \end{mathe}} + + wobei $r\in\ntrlzero$ die Anzahl der Stufen ist, + ${\ell_{1},\ell_{2},\ldots,\ell_{r}\in\ntrlzero}$, + und $\gamma_{1},\gamma_{2},\ldots,\gamma_{r}\in\reell\ohne\{0\}$ die Hauptkoeffizienten der Stufen sind. + Es muss nun $0\leq r\leq \min\{m,n\}=n$ gelten. + + Jetzt kann man leicht dafür argumentiere, dass (1) die Zeilenstufenform, $(A^{(N)}|\mathbf{b}^{(N)})$, die Implikation erfüllt. + Dann aufgrund der Umkehrbarkeit der Elementartransformationen, reicht es aus zu zeigen, dass (2): + wenn ${(A',\mathbf{b}')\rightsquigarrow(A'',\mathbf{b}'')}$ und wenn $(A',\mathbf{b}')$ die Implikation erfüllt, + dann erfüllt $(A'',\mathbf{b}'')$ die Implikation. + Dies ist nur etwas mühseliger und die Argumentation von (2) führt letzten Endes zu ähnlichen Ideen, die im Beweis oben vorkommen. +\end{rem} + +%% ******************************************************************************** +%% FILE: body/uebung/ueb2.tex +%% ******************************************************************************** + +\setcounternach{chapter}{2} +\chapter[Woche 2]{Woche 2} + \label{ueb:2} + +\textbf{ACHTUNG.} +Diese Lösungen dienen \emph{nicht} als Musterlösungen sondern eher als Referenz. +Hier wird eingehender gearbeitet, als generell verlangt wird. +Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche vergleichen kann. + +%% AUFGABE 2-1 +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{Aufgabe} +\section[Aufgabe 1]{} + \label{ueb:2:ex:1} +\let\sectionname\altsectionname + +\begin{schattierteboxdunn} +\begin{satz}[vgl. {\cite[Korollar 1.3.3]{sinn2020}}] + \makelabel{satz:main:ueb:2:ex:1} + Sei $V$ ein Vektorraum über $\reell$ wie $\reell^{n}$ für ein $n\in\ntrlpos$. + Seien $\mathbf{v},\mathbf{w}\in V$ mit $\mathbf{v}\neq \mathbf{w}$ und $\mathbf{w}\neq\zerovector$ + und sei + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + L &:= &\{s\mathbf{v} + (1-s)\mathbf{w}\mid s\in\reell\}\\ + \end{mathe} + + die Verbindungsgerade zw. $\mathbf{v}$ und $\mathbf{w}$. + Dann gilt $\zerovector\in L$ $\Leftrightarrow$ $\exists{c\in\reell:~}\mathbf{v}=c\mathbf{w}$. +\end{satz} +\end{schattierteboxdunn} + +\begin{proof} + Der Beweis wird in zwei Teilen gezeigt. + + \hinRichtung Angenommen, $\zerovector\in L$. + \textbf{Zu zeigen:} $\exists{c\in\reell:~}\mathbf{v}=c\mathbf{w}$.\\ + Per Definition von $L$ existiert ein $s\in\reell$, so dass sich $\zerovector$ + als $\zerovector=s\mathbf{v} + (1-s)\mathbf{w}$ + darstellen lässt. + Daraus lässt sich ableiten: + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \zerovector=s\mathbf{v} + (1-s)\mathbf{w} + &\Longleftrightarrow + &s\mathbf{v} = (s-1)\mathbf{w}\\ + &\Longleftrightarrow + &\underbrace{% + (s=0\,\text{und}\,\mathbf{w}=s(\mathbf{w}-\mathbf{v})=\zerovector) + }_{% + \text{unmöglich, da $\mathbf{w}\neq\zerovector$ per Voraussetzung} + } + \,\text{oder}\,(s\neq 0\,\text{und}\,\mathbf{v} = ((s-1)/s)\mathbf{w})\\ + &\Longleftrightarrow + &s\neq 0\,\text{und}\,\mathbf{v} = ((s-1)/s)\mathbf{w}\\ + &\Longrightarrow + &\exists{c\in\reell:~}\mathbf{v} = c\mathbf{w}.\\ + \end{mathe} + + \herRichtung Angenommen, $\mathbf{v} = c\mathbf{w}$ für ein $c\in\reell$. + \textbf{Zu zeigen:} $\zerovector\in L$.\\ + Per Voraussetzung gilt nun $\mathbf{v}\neq\mathbf{w}$, sodass $c=1$ direkt ausgeschlossen ist.\\ + Setze nun \fbox{$s:=\frac{1}{1-c}\in\reell$}, was wohldefiniert ist, da $c\neq 1$.\\ + Man berechnet nun + + \begin{mathe}[mc]{rcccccccl} + \overbrace{s\mathbf{v}+(1-s)\mathbf{w}}^{\in L,\,\text{per Definition}} + &= &\frac{1}{1-c}c\mathbf{w}+(1-\frac{1}{1-c})\mathbf{w} + &= &(\underbrace{\frac{c}{1-c}+1-\frac{1}{1-c}}_{=\frac{c-1}{1-c}+1=0})\mathbf{w} + &= &0\mathbf{w} + &= &\zerovector.\\ + \end{mathe} + + Darum gilt $\zerovector\in L$. +\end{proof} + +%% AUFGABE 2-2 +\clearpage +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{Aufgabe} +\section[Aufgabe 2]{} + \label{ueb:2:ex:2} +\let\sectionname\altsectionname + +\begin{enumerate}{\bfseries (a)} + %% AUFGABE 2-2a + \item + \begin{schattierteboxdunn} + \begin{satz} + \makelabel{satz:main:ueb:2:ex:2a} + Seien $\mathbf{v},\mathbf{v}^{\prime},\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}\in\reell^{2}$ + mit $\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}\neq\zerovector$. + Seien + $L:=\{\mathbf{v}+t\mathbf{w}\mid t\in\reell\}$ + und + $L^{\prime}:=\{\mathbf{v}^{\prime}+s\mathbf{w}^{\prime}\mid s\in\reell\}$. + Angenommen, $L\neq L^{\prime}$. + Dann sind folgende Aussagen äquivalent: + + \begin{kompaktenum}{(i)} + \item\punktlabel{1} + $L\cap L^{\prime}=\leer$; + \item\punktlabel{2} + $\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}$ sind kolinear, + d.\,h. + $\exists{c\in\reell:~}\mathbf{w}=c\mathbf{w}^{\prime}$. + \end{kompaktenum} + + \nvraum{1} + \end{satz} + \end{schattierteboxdunn} + + \begin{proof} + Der Beweis wird in zwei Teilen gezeigt. + + \hinRichtung{1}{2} Angenommen, $L\cap L^{\prime}=\leer$. + \textbf{Zu zeigen:} $\exists{c\in\reell:~}\mathbf{w}=c\mathbf{w}^{\prime}$.\\ + \fbox{Angenommen, dies sei nicht der Fall.}\\ + Da $\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}\neq\zerovector$ bedeutet dies, + dass $\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}$ \emph{linear unabhängig} sind. ($\to$ Warum??)\\ + Also gilt für den Untervektorraum + $U:=\span\{\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}\}$, + dass $\dim(U)=2$.\\ + Da $U\subseteq\reell^{2}$ Vektorräume sind und $\dim(U)=2=\dim(\reell^{2})$, + folgt hieraus, dass $U=\reell^{2}$. ($\to$ Warum??)\\ + Betrachte bspw. den Vektor + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \eqtag[eq:1-2:1:\beweislabel] + \mathbf{\xi} &:= &\mathbf{v}^{\prime}-\mathbf{v}\in\reell^{2}.\\ + \end{mathe} + + Dann $\mathbf{\xi}\in U=\span\{\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}\}$. + Folglich existieren Skalare $\alpha,\beta\in\reell$, + so dass $\alpha\mathbf{w}+\beta\mathbf{w}^{\prime}=\mathbf{\xi}$ + gilt.\\ + Setze nun \fbox{$t:=\alpha$} und \fbox{$s:=-\beta$}. + Dann gilt + + \begin{mathe}[mc]{rclcl} + \overbrace{% + \mathbf{v}+t\mathbf{w} + }^{\in L} + &= &(\mathbf{v}+t\mathbf{w})-(\mathbf{v}^{\prime}+s\mathbf{w}^{\prime}) + +\mathbf{v}^{\prime}+s\mathbf{w}^{\prime}\\ + &= &(\mathbf{v}-\mathbf{v}^{\prime})+(t\mathbf{w}-s\mathbf{w}^{\prime}) + +\mathbf{v}^{\prime}+s\mathbf{w}^{\prime}\\ + &= &(\mathbf{v}-\mathbf{v}^{\prime})+(\alpha\mathbf{w}+\beta\mathbf{w}^{\prime}) + +\mathbf{v}^{\prime}+s\mathbf{w}^{\prime}\\ + &\eqcrefoverset{eq:1-2:1:\beweislabel}{=} + &-\mathbf{\xi}+\mathbf{\xi} + +\mathbf{v}^{\prime}+s\mathbf{w}^{\prime} + &= &\underbrace{% + \mathbf{v}^{\prime}+s\mathbf{w}^{\prime}% + }_{\in L^{\prime}}.\\ + \end{mathe} + + Darum gilt $L\cap L^{\prime}\neq\leer$, + was ein Widerspruch ist.\\ + Darum stimmt die o.\,s. Annahme nicht. + Also sind $\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}$ kolinear. + + \hinRichtung{2}{1} Angenommen, $\mathbf{w}=c\mathbf{w}^{\prime}$ für ein $c\in\reell$. + \textbf{Zu zeigen:} $L\cap L^{\prime}=\leer$.\\ + \fbox{Angenommen, dies sei nicht der Fall.} + Dann existiert ein Vektor, $\mathbf{u}\in L\cap L^{\prime}$.\\ + Per Konstruktion existieren dann $s_{0},t_{0}\in\reell$, + so dass + + \begin{mathe}[mc]{rcccl} + \mathbf{v}+t_{0}\mathbf{w} &= &\mathbf{u} &= &\mathbf{v}^{\prime}+s_{0}\mathbf{w}^{\prime}.\\ + \end{mathe} + + Aus der Voraussetzung für diese Richtung folgt + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \eqtag[eq:2-1:1:\beweislabel] + \mathbf{v}^{\prime} &= &\mathbf{v}+(t_{0}-s_{0}c)\mathbf{w}\\ + \end{mathe} + + Beachte, dass \fbox{$c\neq 0$}, denn sonst würde $\mathbf{w}=c\mathbf{w}^{\prime}=\zerovector$ gelten, + was ein Widerspruch ist. Wir berechnen + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \eqtag[eq:2-1:2:\beweislabel] + L^{\prime} &= &\{\mathbf{v}^{\prime}+s\mathbf{w}^{\prime}\mid s\in\reell\}\\ + &\eqcrefoverset{eq:2-1:1:\beweislabel}{=} + &\{\mathbf{v}+(t_{0}-s_{0}c)\mathbf{w}+sc\mathbf{w}\mid s\in\reell\}\\ + &= &\{\mathbf{v}+(t_{0}+(s-s_{0})c)\mathbf{w}\mid s\in\reell\}\\ + &= &\{\mathbf{v}+t\mathbf{w}\mid t\in R\},\\ + \end{mathe} + + wobei $R=\{t_{0}+(s-s_{0})c\mid s\in\reell\}=f(\reell)$. + Also $R=f(\reell)$, wobei ${f:\reell\to\reell}$ eine durch ${f(s)=t_{0}+(s-s_{0})c}$ definierte Funktion ist. + Da $c\neq 0$, ist es einfach zu sehen, dass $f$ surjektiv ist (in der Tat bijektiv). + Darum gilt $R=f(\reell)=\reell$.\\ + Aus \eqcref{eq:2-1:2:\beweislabel} folgt also + ${L^{\prime}=\{\mathbf{v}+t\mathbf{w}\mid t\in\reell\}=L}$, + was ein Widerspruch ist.\\ + Darum stimmt die o.\,s. Annahme nicht. + Also gilt $L\cap L^{\prime}=\leer$. + \end{proof} + %% AUFGABE 2-2b + \item + Wir zeigen nun ein minimales Beispiel dafür, dass \Cref{satz:main:ueb:2:ex:2a} + im allgemeinen für andere Vektorräume nicht gilt. + Betrachte den Vektorraum $\reell^{3}$. + Betrachte die folgenden Vektoren in $\reell^{3}$: + + \begin{mathe}[mc]{rclqrclqrclqrcl} + \mathbf{v} &= &\begin{svector}0\\0\\0\\\end{svector}, + &\mathbf{v}^{\prime} &= &\begin{svector}1\\0\\0\\\end{svector}, + &\mathbf{w} &= &\begin{svector}0\\1\\0\\\end{svector}, + &\mathbf{w}^{\prime} &= &\begin{svector}0\\1\\1\\\end{svector}.\\ + \end{mathe} + + Bis auf 2-Dimensionalität erfüllen diese die Voraussetzungen in \Cref{satz:main:ueb:2:ex:2a}. + Einerseits wurden $\mathbf{w}$, $\mathbf{w}^{\prime}$ so gewählt, dass sie \emph{nicht} kolinear sind. + Dennoch schneiden sich die beiden Geraden, $L$, $L^{\prime}$, nicht, + da + ${L\subseteq \{\mathbf{x}\in\reell^{3}\mid x_{1}=0\}=:E}$ + und + ${L^{\prime}\subseteq \{\mathbf{x}\in\reell^{3}\mid x_{1}=1\}=:E^{\prime}}$ + und offensichtlich $E\cap E'=\leer$. +\end{enumerate} + +%% AUFGABE 2-3 +\clearpage +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{Aufgabe} +\section[Aufgabe 3]{} + \label{ueb:2:ex:3} +\let\sectionname\altsectionname + +\begin{enumerate}{\bfseries (a)} + %% AUFGABE 2-3a + \item + Für jedes $\gamma\in\reell$ sei die Gerade $L_{\gamma}\subseteq\reell^{2}$ gegeben durch + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + L_{\gamma} &= &\{(x,y)\in\reell^{2}\mid 2x+y=\gamma\cdot(x-3y-7)\}.\\ + \end{mathe} + + \begin{schattierteboxdunn} + \begin{satz} + \makelabel{satz:main:ueb:2:ex:3a} + Es gibt exakt einen Punkt in dem Schnitt aus den Geraden, $L_{\gamma}$, $\gamma\in\reell$. + Es gilt nämlich ${\displaystyle\bigcap_{\gamma\in\reell}L_{\gamma}=\{\mathbf{\xi}\}}$, + wobei $\mathbf{\xi}=(1,-2)$. + \end{satz} + \end{schattierteboxdunn} + + \begin{proof} + Wir teilen diesen Beweis in zwei Teilen auf: + + \BeweisRichtung[$\supseteq$] + Es reicht aus, für alle $\gamma\in\reell$ \textbf{zu zeigen}, dass $\mathbf{\xi}\in L_{\gamma}$.\\ + Fixiere also ein beliebiges $\gamma\in\reell$. Dann + + \begin{mathe}[mc]{rclclcll} + 2\xi_{1}+\xi_{2} + &= &2\cdot 1+(-2) + &= &0, + &&&\text{und}\\ + \gamma\cdot(\xi_{1}-3\xi_{2}-7) + &= &\gamma\cdot(1-3(-2)-7) + &= &\gamma\cdot 0 + &= &0.\\ + \end{mathe} + + Also ${2\xi_{1}+\xi_{2}=\gamma\cdot(\xi_{1}-3\xi_{2}-7)}$. + Folglich gilt $\mathbf{\xi}\in L_{\gamma}$ per Konstruktion. + + \BeweisRichtung[$\subseteq$] + Sei ${\mathbf{\eta}:=(x,y)\in\bigcap_{\gamma\in\reell}L_{\gamma}}$ beliebig. + \textbf{Zu zeigen:} $\mathbf{\eta}=\mathbf{\xi}$.\\ + Zu diesem Zwecke seien $\gamma_{1},\gamma_{2}\in\reell$ irgendwelche Werte mit $\gamma_{1}\neq\gamma_{2}$. + Per Wahl gilt $\mathbf{\eta}\in L_{\gamma_{1}}\cap L_{\gamma_{2}}$. + Also + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + 2x+y &= &\gamma_{1}\cdot(x-3x-7),\,\text{und}\\ + 2x+y &= &\gamma_{2}\cdot(x-3x-7).\\ + \end{mathe} + + Wir können ganz naiv arbeiten und die Gleichungen subtrahieren. + Dies liefert + $(\gamma_{1}-\gamma_{2})\cdot(x-3x-7)=0$, + woraus sich ergibt, dass + $x-3y-7=0$ + gelten muss, da $\gamma_{1}\neq\gamma_{2}$. + Eingesetzt in die erste Gleichung oben liefert + $2x+y=\gamma\cdot 0=0$. + Darum muss $\begin{svector}x\\y\\\end{svector}$ + das LGS $(A|\mathbf{b})$ lösen, wobei + + \begin{mathe}[mc]{rclqrcl} + A &= &\begin{smatrix} +1&-3\\ +2&1\\ +\end{smatrix}, + &\mathbf{b} &= &\begin{svector}7\\0\\\end{svector} + \end{mathe} + + \begin{algorithm}[\rtab][\rtab] + Gaußverfahren angewandt auf $(A|\mathbf{b})$: + + \begin{mathe}[mc]{c} + \begin{matrix}{cc|c} +1 &-3 &7\\ +2 &1 &0\\ +\end{matrix}\\ + \end{mathe} + + Wende die Zeilentransformation + ${Z_{2}\leftsquigarrow Z_{2}-2\cdot Z_{1}}$ + an: + + \begin{mathe}[mc]{c} + \begin{matrix}{cc|c} +1 &-3 &7\\ +0 &7 &-14\\ +\end{matrix}\\ + \end{mathe} + + Aus der Stufenform erschließt sich + + \begin{mathe}[bc]{rclcl} + y &= &\frac{-14}{7} &= &-2\\ + x &= &7 + 3\cdot y &= &1.\\ + \end{mathe} + \end{algorithm} + + Also + ${\mathbf{\eta}=(x, y)=(1, -2)=\mathbf{\xi}}$ + für alle $\mathbf{\eta}\in\bigcap_{\gamma\in\reell}L_{\gamma}$. + Das heißt $\bigcap_{\gamma\in\reell}L_{\gamma}\subseteq\{\mathbf{\xi}\}$. + \end{proof} + + \clearpage + %% AUFGABE 2-3b + \item + + \begin{enumerate}{\bfseries (i)} + %% AUFGABE 2-3b-i + \item + Sei $\gamma\in\reell$. Dann gilt + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + (-3,2)\in L_{\gamma} + &\Longleftrightarrow + &2(-3)+(2)=\gamma\cdot((-3)-3(2)-7)\\ + &\Longleftrightarrow + &\gamma=\frac{-4}{-16}=\frac{1}{4}.\\ + \end{mathe} + + Also ist \fbox{$\gamma=\frac{1}{4}$} der eindeutige Parameter, + für den $(-3,2)\in L_{\gamma}$ gilt. + + %% AUFGABE 2-3b-ii + \item + Sei $\gamma\in\reell$. Man beobachte, dass + + \begin{longmathe}[mc]{RCL} + L_{\gamma} + &= &\{(x,y)\in\reell^{2}\mid (2-\gamma)x+(1+3\gamma)y=-7\gamma\}\\ + &= &\begin{cases}[m]{lcl} + \{(x,y)\in\reell^{2}\mid 0x + (1+3\cdot 2)y=-7\cdot 2\} + &: &\gamma=2\\ + \{(x,y)\in\reell^{2}\mid (2-\frac{-1}{3})x + 0y=-7\cdot\frac{-1}{3}\} + &: &\gamma=-\frac{1}{3}\\ + \{(x,y)\in\reell^{2}\mid (2-\gamma)x+(1+3\gamma)y=-7\gamma\} + &: &\text{sonst} + \end{cases}\\ + &= &\begin{cases}[m]{lcl} + \{(x,y)\in\reell^{2}\mid y=-2\} + &: &\gamma=2\\ + \{(x,y)\in\reell^{2}\mid x=1\} + &: &\gamma=-\frac{1}{3}\\ + \{(x,y)\in\reell^{2}\mid y=\frac{\gamma-2}{1+3\gamma}x - \frac{7\gamma}{1+3\gamma}\} + &: &\text{sonst} + \end{cases}.\\ + \end{longmathe} + + Daraus folgt, dass $L_{\gamma}$ + + \begin{kompaktitem} + \item + parallel zur $x$-Achse für $\gamma=2$ ist, + \item + parallel zur $y$-Achse für $\gamma=-\frac{1}{3}$ ist, + \item + und ansonsten weder zur $x$- noch $y$-Achse parallel ist, + da in diesem Falle $L_{\gamma}$ die Gerade »${y=ax+b}$« ist, wobei $a\neq 0$. + \end{kompaktitem} + + Also ist der gesuchte Parameterwert eindeutig \fbox{$\gamma=-\frac{1}{3}$}. + + %% AUFGABE 2-3b-iii + \item + Die Gerade »$x-2y=-1$« lässt sich äquivalent + als »$y=\frac{1}{2}x+1$ + darstellen. + Darum wird ein Wert $\gamma\in\reell$ gesucht, + so dass die Gerade $L_{\gamma}$ weder zur $x$- noch $y$-Achse parallel ist, + und die die $y$-$x$-Steigung $\frac{1}{2}$ hat. + Nach der o.\,s. Berechnung in (ii) kommt dies nur für den 3. Fall in Frage. + Darum gilt + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + L_{\gamma}\,\text{parallel zur Gerade »$x-2y=-1$«} + &\Longleftrightarrow + &\gamma\notin\{2,-\frac{1}{3}\} + \,\text{und}\, + \frac{\gamma-2}{1+3\gamma}=\frac{1}{2}\\ + &\Longleftrightarrow + &\gamma\notin\{2,-\frac{1}{3}\} + \,\text{und}\, + (\gamma-2)=\frac{1}{2}(1+3\gamma)\\ + &\Longleftrightarrow + &\gamma\notin\{2,-\frac{1}{3}\} + \,\text{und}\, + \gamma=-5\\ + &\Longleftrightarrow + &\gamma=-5.\\ + \end{mathe} + + Also ist der gesuchte Parameterwert eindeutig \fbox{$\gamma=-5$}. + \end{enumerate} +\end{enumerate} + +%% ******************************************************************************** +%% FILE: body/uebung/ueb3.tex +%% ******************************************************************************** + +\setcounternach{chapter}{3} +\chapter[Woche 3]{Woche 3} + \label{ueb:2} + +\textbf{ACHTUNG.} +Diese Lösungen dienen \emph{nicht} als Musterlösungen sondern eher als Referenz. +Hier wird eingehender gearbeitet, als generell verlangt wird. +Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche vergleichen kann. + +%% AUFGABE 3-1 +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{Aufgabe} +\section[Aufgabe 1]{} + \label{ueb:3:ex:1} +\let\sectionname\altsectionname + +Wir arbeiten im Vektorraum $\reell^{3}$ und betrachten die Vektoren + + \begin{mathe}[mc]{rclqrclqrclqrcl} + \mathbf{v}_{1} &= &\begin{svector}1\\3\\1\\\end{svector} + &\mathbf{v}_{2} &= &\begin{svector}-2\\5\\-2\\\end{svector} + &\mathbf{w}_{1} &= &\begin{svector}4\\-3\\-3\\\end{svector} + &\mathbf{w}_{2} &= &\begin{svector}0\\1\\1\\\end{svector}\\ + \end{mathe} + +\textbf{Zu berechnen:} + $U:=\span\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\} + \cap\span\{\mathbf{w}_{1},\mathbf{w}_{2}\}$ +als Untervektorraum von $\reell^{3}$.\\ +Zu diesem Zwecke betrachte einen beliebigen Vektor, $\mathbf{\xi}\in\reell^{3}$. +Es gilt + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \eqtag[eq:0:ueb:3:ex:1] + \mathbf{\xi}\in U + &\Longleftrightarrow + &\exists{t_{1},t_{2},t_{3},t_{4}\in\reell:~} + \mathbf{\xi}=t_{1}\mathbf{v}_{1}+t_{2}\mathbf{v}_{2} + \,\text{und}\, + \mathbf{\xi}=t_{3}\mathbf{w}_{1}+t_{4}\mathbf{w}_{2}\\ + &\Longleftrightarrow + &\exists{\mathbf{t}\in\reell^{4}:~} + \mathbf{\xi}=t_{1}\mathbf{v}_{1}+t_{2}\mathbf{v}_{2} + \,\text{und}\, + t_{1}\mathbf{v}_{1}+t_{2}\mathbf{v}_{2} + =t_{3}\mathbf{w}_{1}+t_{4}\mathbf{w}_{2}\\ + &\Longleftrightarrow + &\exists{\mathbf{t}\in\reell^{4}:~} + \mathbf{\xi}=t_{1}\mathbf{v}_{1}+t_{2}\mathbf{v}_{2} + \,\text{und}\, + t_{1}\mathbf{v}_{1}+t_{2}\mathbf{v}_{2} + -t_{3}\mathbf{w}_{1}-t_{4}\mathbf{w}_{2} + =\zerovector\\ + &\Longleftrightarrow + &\exists{\mathbf{t}\in\reell^{4}:~} + \mathbf{\xi}=t_{1}\mathbf{v}_{1}+t_{2}\mathbf{v}_{2} + \,\text{und}\, + t_{1}\mathbf{v}_{1}+t_{2}\mathbf{v}_{2} + +t_{3}\mathbf{w}_{1}+t_{4}\mathbf{w}_{2} + =\zerovector\\ + &\Longleftrightarrow + &\exists{\mathbf{t}\in\reell^{4}:~} + \mathbf{\xi}=t_{1}\mathbf{v}_{1}+t_{2}\mathbf{v}_{2} + \,\text{und}\, + A\mathbf{t}=\zerovector,\\ + \end{mathe} + +wobei + + \begin{mathe}[mc]{rcccl} + A &:= &\left( + \mathbf{v}_{1}~ + \mathbf{v}_{2}~ + \mathbf{w}_{1}~ + \mathbf{w}_{2} + \right) + &= &\begin{smatrix} +1&-2&4&0\\ +3&5&-3&1\\ +1&-2&-3&1\\ +\end{smatrix}\\ + \end{mathe} + +Darum ist es notwendig und hinreichend, +die \emph{homogenen Lösungen} für $A$ zu finden, +und daraus die Parameter abzulesen. + +\begin{algorithm}[\rtab][\rtab] + Homogenes Problem für $A$:\\ + Zeilentransformationen + ${Z_{2}\leftsquigarrow Z_{2}-3\cdot Z_{1}}$, + ${Z_{3}\leftsquigarrow Z_{3}-Z_{1}}$ + anwenden: + + \begin{mathe}[mc]{c} + \begin{smatrix} +1&-2&4&0\\ +0&11&-15&1\\ +0&0&-7&1\\ +\end{smatrix}\\ + \end{mathe} + + Wende die Zeilentransformation + ${Z_{2}\leftsquigarrow Z_{2}-Z_{3}}$ + an: + + \begin{mathe}[mc]{c} + \begin{smatrix} +1&-2&4&0\\ +0&11&-8&0\\ +0&0&-7&1\\ +\end{smatrix}\\ + \end{mathe} + + Aus der Zeilenstufenform erschließt sich, dass $t_{4}$ frei ist. + Also $t_{4}=\alpha$ für ein frei wählbares $\alpha\in\reell$. + Aus der Stufenform von Gleichungen $3,2,1$ erschließt sich + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + t_{3} &= &\frac{1}{7}t_{4} = \frac{1}{7}\alpha\\ + t_{2} &= &\frac{8}{11}t_{3} = \frac{8}{77}\alpha\\ + t_{1} &= &2t_{2} - 4t_{3} + = \frac{16}{77}\alpha - \frac{4}{7}\alpha + = -\frac{28}{77}\alpha\\ + \end{mathe} + + Man kann o.\,E. $\alpha$ durch $\beta:=-77\alpha$ ersetzen. + Also ist die homogene Lösung gegeben durch + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \mathbf{t} &= &\beta\begin{svector}28\\-8\\-11\\-77\\\end{svector}, + \quad\text{mit $\beta\in\reell$ frei wählbar}. + \end{mathe} +\end{algorithm} + +Wir können nun \eqcref{eq:0:ueb:3:ex:1} fortsetzen und erhalten + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \eqtag[eq:1:ueb:3:ex:1] + \mathbf{\xi}\in U + &\Longleftrightarrow + &\exists{\mathbf{t}\in\reell^{4}:~} + \mathbf{\xi}=t_{1}\mathbf{v}_{1}+t_{2}\mathbf{v}_{2} + \,\text{und}\, + A\mathbf{t}=\zerovector\\ + &\Longleftrightarrow + &\exists{\mathbf{t}\in\reell^{4}:~} + \mathbf{\xi}=t_{1}\mathbf{v}_{1}+t_{2}\mathbf{v}_{2} + \,\text{und}\, + \exists{\beta\in\reell:~} + \mathbf{t}=\beta\begin{svector}28\\-8\\-11\\-77\\\end{svector}\\ + &\Longleftrightarrow + &\exists{\beta\in\reell:~} + \mathbf{\xi}=\beta\cdot( + \underbrace{ + 28\mathbf{v}_{1}+-8\mathbf{v}_{2} + }_{=:\mathbf{u}} + )\\ + &\Longleftrightarrow &\mathbf{\xi}\in\span\{\mathbf{u}\}\\ + \end{mathe} + +für alle $\mathbf{\xi}\in\reell^{3}$.\\ +Es gilt + + \begin{mathe}[mc]{rcccccl} + \mathbf{u} + &= &28\begin{svector}1\\3\\1\\\end{svector} + -8\begin{svector}-2\\5\\-2\\\end{svector} + &= &\begin{svector}44\\44\\44\\\end{svector} + &= &44\begin{svector}1\\1\\1\\\end{svector}.\\ + \end{mathe} + +Aus \eqcref{eq:1:ueb:3:ex:1} ergibt sich der zu berechnende Untervektorraum +als + + \begin{mathe}[mc]{rcccccccl} + \span\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\} + \cap\span\{\mathbf{w}_{1},\mathbf{w}_{2}\} + &= &U + &= &\span\{\mathbf{u}\} + &= &\span\{44\begin{svector}1\\1\\1\\\end{svector}\} + &= &\span\{\begin{svector}1\\1\\1\\\end{svector}\}.\\ + \end{mathe} + +%% AUFGABE 3-2 +\clearpage +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{Aufgabe} +\section[Aufgabe 2]{} + \label{ueb:3:ex:2} +\let\sectionname\altsectionname + +Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion. + +\begin{enumerate}{\bfseries (a)} + %% AUFGABE 3-2a + \item + \begin{claim*} + Die Aussage $\forall{A,B\subseteq X:~}f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$ + ist \fbox{\uline{nicht} allgemein gültig}. + \end{claim*} + + \begin{proof} + Betrachte das Beispiel $X=\{0,1\}$, $Y=\{2\}$, und ${f:X\to Y}$ mit $f(x)=2$ für alle $x\in X$. + Für $A=\{0\}$ und $B=\{1\}$ + gilt $f(A\cap B)=f(\leer)=\leer$, + während $f(A)\cap f(B)=\{2\}\cap\{2\}=\{2\}$. + Also $f(A\cap B)\neq f(A)\cap f(B)$. + Darum ist dies ein Gegenbeispiel zur Aussage. + \end{proof} + + \text{Bemerkung.} Die Aussage ist eigentlich genau dann wahr, wenn $f$ injektiv ist. + + %% AUFGABE 3-2b + \item + \begin{claim*} + Die Aussage $\forall{A,B\subseteq X:~}f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$ + ist \fbox{allgemein gültig}. + \end{claim*} + + Für manche (doppelte) Implikationen hier, nämlich für den Umgang mit Existenzquantoren, + braucht man Grundkenntnisse in Prädikatenlogik 1. Stufe. + Hierfüg gibt es zahlreiche Einführungswerke in die mathematische Logik, + bspw. \cite{ebbinghaus2018}. + + \begin{proof} + Seien $A,B\subseteq X$ beliebige Teilmengen. + Es reicht aus \textbf{zu zeigen}, + dass $y\in f(A\cup B)\Leftrightarrow y\in f(A)\cup f(B)$ + für alle $y\in Y$ gilt.\\ + Sei also $y\in Y$ beliebig. Es gilt + + \begin{longmathe}[mc]{RCL} + y\in f(A\cup B) + &\Longleftrightarrow + &\exists{x\in A\cup B:~}y=f(x)\\ + &\Longleftrightarrow + &\exists{x\in X:~}x\in A\cup B\,\text{und}\,y=f(x)\\ + &\Longleftrightarrow + &\exists{x\in X:~} + (x\in A\,\text{oder}\,x\in B) + \,\text{und}\,y=f(x)\\ + &\Longleftrightarrow + &\exists{x\in X:~} + \big( + (x\in A\,\text{und}\,y=f(x)) + \,\text{oder}\, + (x\in B\,\text{und}\,y=f(x)) + \big)\\ + &\Longleftrightarrow + &\exists{x\in X:~}(x\in A\,\text{und}\,y=f(x)) + \,\text{oder}\, + \exists{x\in X:~}(x\in B\,\text{und}\,y=f(x))\\ + &\Longleftrightarrow + &\exists{x\in A:~}y=f(x) + \,\text{oder}\, + \exists{x\in B:~}y=f(x)\\ + &\Longleftrightarrow + &y\in f(A)\,\text{oder}\,y\in f(B)\\ + &\Longleftrightarrow + &y\in f(A)\cup f(B).\\ + \end{longmathe} + + Darum gilt $f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$ für alle $A,B\subseteq X$. + \end{proof} + + %% AUFGABE 3-2c + \item + \begin{claim*} + Die Aussage $\forall{A\subseteq X:~}f(X\ohne A)=Y\ohne f(A)$ + ist \fbox{\uline{nicht} allgemein gültig}. + \end{claim*} + + \begin{proof} + Betrachte das Beispiel $X=\{0,1\}$, $Y=\{2\}$, und ${f:X\to Y}$ mit $f(x)=2$ für alle $x\in X$. + Für $A=\{0\}$ + gilt $f(X\ohne A)=f(\{1\})=\{2\}$, + während $Y\cap f(A)=\{2\}\ohne\{2\}=\leer$. + Also $f(X\ohne A)\neq Y\cap f(A)$. + Darum ist dies ein Gegenbeispiel zur Aussage. + \end{proof} + + \text{Bemerkung.} Die Aussage ist eigentlich genau dann wahr, wenn $f$ bijektiv ist. + Und eine leicht modifizierte Aussage, + $\forall{A\subseteq X:~}f(X\ohne A)=f(X)\cap f(A)$, + ist genau dann wahr, wenn $f$ injektiv ist. + + %% AUFGABE 3-2d + \item + \begin{claim*} + Die Aussage $\forall{A,B\subseteq Y:~}f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$ + ist \fbox{allgemein gültig}. + \end{claim*} + + \begin{proof} + Seien $A,B\subseteq Y$ beliebige Teilmengen. + Es reicht aus \textbf{zu zeigen}, + dass $x\in f^{-1}(A\cap B)\Leftrightarrow x\in f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$ + für alle $x\in X$ gilt.\\ + Sei also $x\in X$ beliebig. Es gilt + + \begin{longmathe}[mc]{RCL} + x\in f^{-1}(A\cap B) + &\Longleftrightarrow + &f(x)\in A\cap B\\ + &\Longleftrightarrow + &f(x)\in A\,\text{und}\,f(x)\in B\\ + &\Longleftrightarrow + &x\in f^{-1}(A)\,\text{und}\,x\in f^{-1}(B)\\ + &\Longleftrightarrow + &x\in f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B).\\ + \end{longmathe} + + Darum gilt $f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$ für alle $A,B\subseteq Y$. + \end{proof} + + %% AUFGABE 3-2e + \item + \begin{claim*} + Die Aussage $\forall{A,B\subseteq Y:~}f^{-1}(A\cup B)=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)$ + ist \fbox{allgemein gültig}. + \end{claim*} + + \begin{proof} + Seien $A,B\subseteq Y$ beliebige Teilmengen. + Es reicht aus \textbf{zu zeigen}, + dass $x\in f^{-1}(A\cup B)\Leftrightarrow x\in f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)$ + für alle $x\in X$ gilt.\\ + Sei also $x\in X$ beliebig. Es gilt + + \begin{longmathe}[mc]{RCL} + x\in f^{-1}(A\cup B) + &\Longleftrightarrow + &f(x)\in A\cup B\\ + &\Longleftrightarrow + &f(x)\in A\,\text{oder}\,f(x)\in B\\ + &\Longleftrightarrow + &x\in f^{-1}(A)\,\text{oder}\,x\in f^{-1}(B)\\ + &\Longleftrightarrow + &x\in f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B).\\ + \end{longmathe} + + Darum gilt $f^{-1}(A\cup B)=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)$ für alle $A,B\subseteq Y$. + \end{proof} + +\end{enumerate} + +%% AUFGABE 3-3 +\clearpage +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{Aufgabe} +\section[Aufgabe 3]{} + \label{ueb:3:ex:3} +\let\sectionname\altsectionname + +\begin{enumerate}{\bfseries (a)} + %% AUFGABE 3-3a + \item + Seien $n\in\ntrlpos$ und $v\in\reell^{n}$. + Sei ${f:\reell^{n}\to\reell^{n}}$ durch $f(x)=x+v$ definiert. + + \begin{claim*} + $f$ ist \fbox{bijektiv}. + \end{claim*} + + \begin{proof} + Sei ${g:\reell^{n}\to\reell^{n}}$ durch $g(x)=x-v$ definiert. + Es ist einfach zu sehen, + dass $f\circ g=\id_{\reell^{n}}$ + und $g\circ f=\id_{\reell^{n}}$. + Per Definition ist als $f$ eine Bijektion mit Inversem $g$. + \end{proof} + %% AUFGABE 3-3b + \item + Seien $n\in\ntrlpos$ und $X=\reell^{n}\times(\reell^{n}\ohne\{\zerovector\}$. + Sei $Y$ die Menge aller Geraden im $\reell^{n}$. + Sei ${f:X\to Y}$ durch $f(v,w)=\{v+t\cdot w\mid t\in\reell\}$ definiert. + + \begin{claim*} + $f$ ist \fbox{surjektiv} aber \fbox{nicht injektiv}. + \end{claim*} + + \begin{proof} + \uwave{{\bfseries Surjektivität}}\\ + \textbf{Idee:} Folgt aus der Definition von Geraden durch Parameter.\\ + Sei $L\subseteq\reell^{n}$ eine beliebige Gerade. \textbf{Zu zeigen:} $L\in f(X)$.\\ + Nun, \emph{per Definition} einer Geraden existieren + $u,v\in\reell^{n}$ mit $w\neq\zerovector$ + und so dass $L=\{u+t\cdot w\mid t\in\reell\}$. + Offensichtlicht gilt $(v,w)\in X$. + Darum gilt $L=f((v,w))\in f(X)$. + + \uwave{{\bfseries Nichtinjektivität}}\\ + \textbf{Idee:} Wir wissen, dass verschiedene aber parallele Vektoren dieselbe Gerade definieren.\\ + Fixiere beliebiges $v,w\in\reell^{n}$ + und wähle ein $c\in\reell\ohne\{0,1\}$.\\ + Dann sind $w,cw\neq\zerovector$ verschiedene aber parallele Vektoren.\\ + Darum gilt $f((v,w))=\{v+t\cdot w\mid t\in\reell\}=\{v+tc\cdot w\mid t\in\reell\}=f((v,cw))$.\\ + Da $(v,w)\neq(v,cw)$, ist $f$ somit nicht injektiv. + \end{proof} + %% AUFGABE 3-3c + \item + Es sei $X$ die Menge aller Bücher in einem fixierten Kontext. + Sei $Y$ die Menge alle Autor(inn)en von Büchern. + Sei ${f:X\to\Pot(Y)}$ definiert durch + $f(x)=\{y\mid \text{$y$ ein(e) Autor(in) vom Buch $x$}\}$ + für alle $x\in X$. + + \begin{claim*} + $f$ ist \fbox{nicht im Allgemeinen injektiv} und \fbox{niemals surjektiv}. + \end{claim*} + + \begin{proof} + \uwave{{\bfseries Nichtsurjektivität}}\\ + \textbf{Zu zeigen:} Es gibt konstellationen von Autor(inn)en, die kein gemeinsames Buch verfasst haben.\\ + Es gibt \emph{immer} eine(n) Autor(in) eines Buchs, + sodass $\leer\notin f(X)$ in allen Kontexten. + Darum ist $f$ niemals surjektiv. + + \uwave{{\bfseries Nichtinjektivität}}\\ + \textbf{Zu zeigen:} Es gibt zwei verschiedene Bücher, + die von der gleichen Konstellation an Autor(inn)en + verfasst wurden. + In unserem Kontext hat bspw. $a=\text{{\itshape JK~Rowling}}$ alleine die Bücher + ${b_{1}:=\text{{\itshape »HP~and~the~Philosopher's~Stone«}}}$ + und + ${b_{2}:=\text{{\itshape »HP~and~the~Goblet~of~Fire«}}}$ + geschrieben. + Darum $b_{1}\neq b_{2}$ und $f(b_{1})=\{a\}=f(b_{2})$. + Also ist $f$ in unserem Kontext nicht injektiv. + \end{proof} + + \textbf{Anmerkung.} + Falls wir $\leer$ von der Bildmenge $\Pot(Y)$ exludieren, + dann können wir mindestens dafür argumentieren, + dass $f$ \fbox{nicht im Allgemeinen surjektiv} ist: + In unserem konkreten Kontext haben bspw. {\itshape JK~Rowling} und {\itshape Oscar~Wilde} nie am selben Buch gearbeitet, + also gilt $\{\text{JK Rowling},\,\text{Oscar Wilde}\}\notin f(X)$. + In der Tat ist ein Kontext kaum vorstellbar, + in dem sich \emph{alle} Autor(inn)en an einem gemeinsamen Buch beteiligt haben, + d.\,h. $Y\in f(X)$ sowie alle „große“ Teilmengen sind fast immer ausgeschlossen. + + %% AUFGABE 3-3d + \item + Seien $X$ die Menge aller in Deutschland zugelassener Kfz und + $Y$ die Menge aller amtlicher Kennzeichen. + Sei ${f:X\to Y}$ die Abbildung, die jedem Kfz sein Kennzeichen zuordnet. + + \begin{claim*} + $f$ ist \fbox{injektiv} aber \fbox{nicht im Allgemeinen surjektiv}. + \end{claim*} + + \begin{proof} + \uwave{{\bfseries Injektivität:}} + Jedes Kennzeichen darf per Gesetz nur einem Kfz zugehören. + \uwave{{\bfseries Nichtsurjektivität:}} + Es besteht zwar die Chance, dass irgendwann alle Kennzeichen aufgebraucht werden, + aber in der Praxis ist die Menge $Y$ sehr groß, + dass dies aktuell und für eine lange Zeit nicht vorkommt. + \end{proof} +\end{enumerate} + +\setcounternach{part}{2} +\part{Selbstkontrollenaufgaben} + + \def\chaptername{SKA Blatt} + +%% ******************************************************************************** +%% FILE: body/ska/ska4.tex +%% ******************************************************************************** + +\setcounternach{chapter}{4} +\chapter[Woche 4]{Woche 4} + \label{ska:4} + +%% SKA 4-1 +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{SKA} +\section[Aufgabe 1]{} + \label{ska:4:ex:1} +\let\sectionname\altsectionname + +Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen. +Einer Abbildung, $f:X\to Y$, +können wir eindeutig die Relation + $\graph(f):=\{(x,y)\in X\times Y\mid f(x)=y\}$ +zuordnen. Dies nennt sich der \textbf{Graph von $f$} +(siehe \cite[\S{}2.3]{sinn2020}---dort wird dies mit $\Gamma_{f}$ bezeichnet). +Hier ist $\graph(f)$ also eine Relation auf $X\times Y$. +In der Tat \emph{definieren} setzen manche Werke Funktionen mit ihrem Graphen gleich +(siehe bspw. \cite[S.11]{jech1997}), +aber dies ist streng genommen nicht die ganze Wahrheit. + +%% SKA 4-2 +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{SKA} +\section[Aufgabe 2]{} + \label{ska:4:ex:2} +\let\sectionname\altsectionname + +({\itshape Unter Arbeit}) + +%% SKA 4-3 +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{SKA} +\section[Aufgabe 3]{} + \label{ska:4:ex:3} +\let\sectionname\altsectionname + +({\itshape Unter Arbeit}) + +%% SKA 4-4 +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{SKA} +\section[Aufgabe 4]{} + \label{ska:4:ex:4} +\let\sectionname\altsectionname + +({\itshape Unter Arbeit}) + +%% SKA 4-5 +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{SKA} +\section[Aufgabe 5]{} + \label{ska:4:ex:5} +\let\sectionname\altsectionname + +({\itshape Unter Arbeit}) + +%% SKA 4-6 +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{SKA} +\section[Aufgabe 6]{} + \label{ska:4:ex:6} +\let\sectionname\altsectionname + +({\itshape Unter Arbeit}) + +%% SKA 4-7 +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{SKA} +\section[Aufgabe 7]{} + \label{ska:4:ex:7} +\let\sectionname\altsectionname + +({\itshape Unter Arbeit}) + +%% SKA 4-8 +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{SKA} +\section[Aufgabe 8]{} + \label{ska:4:ex:8} +\let\sectionname\altsectionname + +({\itshape Unter Arbeit}) + +%% SKA 4-9 +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{SKA} +\section[Aufgabe 9]{} + \label{ska:4:ex:9} +\let\sectionname\altsectionname + +({\itshape Unter Arbeit}) + +%% SKA 4-10 +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{SKA} +\section[Aufgabe 10]{} + \label{ska:4:ex:10} +\let\sectionname\altsectionname + +({\itshape Unter Arbeit}) + +%% SKA 4-11 +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{SKA} +\section[Aufgabe 11]{} + \label{ska:4:ex:11} +\let\sectionname\altsectionname + +({\itshape Unter Arbeit}) + +\setcounternach{part}{3} +\part{Quizzes} + + \def\chaptername{Quiz} + +%% ******************************************************************************** +%% FILE: body/quizzes/quiz1.tex +%% ******************************************************************************** + +\setcounternach{chapter}{1} +\chapter[Woche 1]{Woche 1} + \label{quiz:1} + +\begin{claim*} + Das LGS + + \begin{mathe}[mc]{rcrcr} + -x &+ &a\cdot y &= &3\\ + a\cdot x &- &4y &= &0\\ + \end{mathe} + + ist genau dann lösbar, wenn $a\in\reell\ohne\{\pm 2\}$. +\end{claim*} + +\begin{proof} + Sei $a\in\reell$ beliebig. Wir führen das Gaußverfahren aus: + + \begin{algorithm}[\rtab][\rtab] + Ursprüngliches LGS $(A_{\alpha}|b_{\beta})$: + + \begin{mathe}[mc]{c} + \begin{matrix}{cc|c} +-1 &a &3\\ +a &-4 &0\\ +\end{matrix}\\ + \end{mathe} + + Wende die Zeilentransformationen + ${Z_{2}\leftsquigarrow a\cdot Z_{1}+Z_{2}}$ + an: + + \begin{mathe}[mc]{c} + \begin{matrix}{cc|c} +1 &a &3\\ +0 &a^{2}-4 &3a\\ +\end{matrix}\\ + \end{mathe} + + \end{algorithm} + + Wenn $a\in\{\pm 2\}$, ist das LGS unlösbar, da in der 2. Zeile links nur $0$ Einträge stehen und rechts $\pm 6$.\\ + Wenn $a\notin\{\pm 2\}$, gibt es zwei Stufen und damit ist das LGS lösbar.\\ + Also gilt die Behauptung. +\end{proof} + +%% ******************************************************************************** +%% FILE: body/quizzes/quiz2.tex +%% ******************************************************************************** + +\setcounternach{chapter}{2} +\chapter[Woche 2]{Woche 2} + \label{quiz:2} + +Sei $L$ die Gerade $\{\mathbf{v}+t\mathbf{w}\mid t\in\reell\}\subseteq\reell^{3}$, +wobei + + \begin{mathe}[mc]{rclqrcl} + \mathbf{v} &= &\begin{svector}-4\\2\\5\\\end{svector}, + &\mathbf{w} &= &\begin{svector}2\\-6\\12\\\end{svector}.\\ + \end{mathe} + +\begin{enumerate}{\bfseries (1)} + %% QUIZ 2-a + \item + + \begin{claim*} + Der Punkt, $\mathbf{x}=\begin{svector}-3\\-1\\11\\\end{svector}$, liegt in der Geraden, $L$. + \end{claim*} + + \begin{proof} + Es gilt + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \mathbf{x}\in L + &\Longleftrightarrow + &\exists{t\in\reell:~} + \mathbf{x}=\mathbf{v}+t\mathbf{w}\\ + &\Longleftrightarrow + &\exists{t\in\reell:~} + \mathbf{x}-\mathbf{v}=t\mathbf{w}\\ + &\Longleftrightarrow + &\exists{t\in\reell:~} + \begin{svector}1\\-3\\6\\\end{svector}=t\begin{svector}2\\-6\\12\\\end{svector}\\ + \end{mathe} + + Nun ist die letzte Aussage wahr, + da der Ausdruck innerhalb des Existenzquantors offensichtlich unter $t=\frac{1}{2}$ wahr ist. + Darum gilt $\mathbf{x}\in L$. + \end{proof} + + %% QUIZ 2-b + \item + Fixiere einen Vektor, $\mathbf{w}_{\perp}\in\reell^{3}$, + der zu $\mathbf{w}$ normal ist. + Z.\,B. können wir + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \mathbf{w}_{\perp} &= &\begin{svector}3\\-1\\0\\\end{svector}\\ + \end{mathe} + + wählen. Dann gilt $\brkt{\mathbf{w},\mathbf{w}_{\perp}}=0$, + sodass die Vektoren normal zueinander stehen. + + Nun, für $\mathbf{x}\in L$ setze + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + L_{\mathbf{x}} &:= &\{\mathbf{x}+s\cdot\mathbf{w}_{\perp}\mid s\in\reell\}.\\ + \end{mathe} + + Dann gilt offensichtlich $\mathbf{x}\in L\cap L_{\mathbf{x}}$.\\ + Andererseits, da die Richtungsvektoren in den Geraden nicht linear abhängig sind, + (da sie normal zueinander stehen), + gilt $|L\cap L_{\mathbf{x}}|\leq 1$.\\ + Darum gilt $L\cap L_{\mathbf{x}}=\{\mathbf{x}\}$. +\end{enumerate} + +%% ******************************************************************************** +%% FILE: body/quizzes/quiz3.tex +%% ******************************************************************************** + +\setcounternach{chapter}{3} +\chapter[Woche 3]{Woche 3} + \label{quiz:3} + +\begin{enumerate}{\bfseries (a)} + %% QUIZ 3-a + \item + + \begin{claim*} + Seien $X$, $Y$ beliebige Mengen und $f:X\to Y$ eine Funktion. + Sei $B\subseteq Y$ beliebig. + Dann gilt $f(f^{-1}(B))=f(X)\cap B$. + Insbesondere gilt $f(f^{-1}(B))\subseteq B$ + \end{claim*} + + \begin{proof} + Für $y\in Y$ gilt + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + y\in f(f^{-1}(B)) + &\Longleftrightarrow + &\exists{x\in f^{-1}(B):~}f(x)=y\\ + &\Longleftrightarrow + &\exists{x\in X:~}(x\in f^{-1}(B)\,\text{und}\,f(x)=y)\\ + &\Longleftrightarrow + &\exists{x\in X:~}(f(x)=y\,\text{und}\,x\in f^{-1}(B))\\ + &\Longleftrightarrow + &\exists{x\in X:~}(y=f(x)\,\text{und}\,f(x)\in B)\\ + &\Longleftrightarrow + &\exists{x\in X:~}(y=f(x)\,\text{und}\,y\in B)\\ + &\Longleftrightarrow + &(\exists{x\in X:~}y=f(x))\,\text{und}\,y\in B\\ + &\Longleftrightarrow + &y\in f(X)\,\text{und}\,y\in B\\ + &\Longleftrightarrow + &y\in f(X)\cap B.\\ + \end{mathe} + + Darum gilt $f(f^{-1}(B))=f(X)\cap B\subseteq B$. + \end{proof} + + %% QUIZ 3-b + \item + + Aus (a) folgt: + + \begin{kompaktitem} + \item + $f$ \uline{surjektiv} $\Longrightarrow$ + $f(f^{-1}(B))=f(X)\cap B=Y\cap B=B$ + für alle $B\subseteq Y$; + \item + $f$ \uline{nicht surjektiv} $\Longrightarrow$ + $f(f^{-1}(Y))=f(X)\cap Y=f(X)\subset Y$ (strikt). + \end{kompaktitem} + + Darum ist es notwendig und hinreichend, eine nicht-surjektive Funktion als Beispiel zu nehmen. + Hier ein minimales Beispiel $X=\{0\}$ und $Y=\{1,2\}$ und $B=Y$ und $f:X\to Y$ definiert durch $f(0)=1$. + Dann $f(f^{-1}(B))=f(f^{-1}(Y))=f(X)=\{1\}\subset Y$ (strikt). +\end{enumerate} + +%% ******************************************************************************** +%% FILE: back/index.tex +%% ******************************************************************************** + +\bibliographystyle{alpha} +\def\bibname{Literaturverzeichnis} +\nocite{*} + +\bgroup +\footnotesize + +%% ******************************************************************************** +%% FILE: ./back/quelle.bib +%% ******************************************************************************** + +\begin{thebibliography}{EFT18} + +\bibitem[EFT18]{ebbinghaus2018} +Heinz-Dieter Ebbinghaus, J\"org Flum, and Wolfgang Thomas. +\newblock {\em {Einf\"uhrung in die mathematische Logik}}. +\newblock 2018. + +\bibitem[Jec97]{jech1997} +Thomas Jech. +\newblock {\em {Set Theory}}. +\newblock Springer-Verlag, 1997. + +\bibitem[Sin20]{sinn2020} +Rainer Sinn. +\newblock {Lineare Algebra I: Skript zur Veranstaltung Universit\"at Leipzig}. +\newblock Vorlesungsskript, 2020. + +\bibitem[Wal16]{waldmann2016} +Stefan Waldmann. +\newblock {\em {Lineare Algebra 1: Die Grundlagen f\"ur Studierende der + Mathematik und Physik}}. +\newblock Springer Berlin Heidelberg, 2016. + +\end{thebibliography} +\egroup +\end{document} diff --git a/notes/berechnungen_wk3.md b/notes/berechnungen_wk3.md new file mode 100644 index 0000000..9eda947 --- /dev/null +++ b/notes/berechnungen_wk3.md @@ -0,0 +1,51 @@ +# Kritzelei aus Woche 3 # + +## Übungsblatt 1 ## + +Für volle Lösungen siehe Datei [/docs/loesungen.pdf](../docs/loesungen.pdf). +### Anmerkung zu Aufgabe 2 ### + +Seien **A** eine m x n Matrix über IR, und **b** in IR^m. + +_Lösungsmenge vor Transformation:_ + +Sei L_1 := { x ∈ IR^n | Ax = b } + +_Lösungsmenge nach Transformation:_ + +Sei L_2 := { x ∈ IR^n | A'x = b' }, +wobei (A'|b') das Resultat einer Transformation (Art I, II, III) ist. + +**BEHAUPTUNG.** Es gilt L_1 = L_2. + +**BEWEIS.** + +- **Zu zeigen 1:** L_1 ⊆ L_2 + - Sei x aus L_1 beliebig. D. h. **x** ist eine Lösung zu (A|b) + - **Zu zeigen:** x in L_2, d. h. dass x eine Lösung zu (A'|b') ist. + - Fall 1. Transformation vom Typ I: + - ... + - Fall 2. Transformation vom Typ II: + - ... + - Fall 3. Transformation vom Typ III: + - ... + +- **Zu zeigen 2:** L_2 ⊆ L_1 + - Sei x aus L_2 beliebig. D. h. **x** ist eine Lösung zu (A'|b') + - **Zu zeigen:** x in L_1, d. h. dass x eine Lösung zu (A|b) ist. + - _Unvollständige Argumentation:_ Die Transformationen sind umkehrbar. Also ist x eine Lösung von (A|b) auch. + - !! **Fehlt:** Warum bedeutet diese Umkehrbarkeit, dass x noch eine Lösung von (A|b) ist? !! + - Richtiger Ansatz 1: + - Gegeben ist, dass A'x = b' gilt. + - Nun gilt: A' = E·A, b' = E·b, wobei E die Zeilenumformung ist. + - **Umkehrbarkeit der Transformation bedeutet:** E ist umkehrbar. + - Also, aus A'x = b' (d. h. E·A·x = E·b) folgt Ax = b. + - Richtiger Ansatz 2: + - (A'|b') entsteht durch Anwendung von I, II, od. III. aus (A|b) + - **die Umkehrung (von (A'|b') ---> nach (A|b)) ist selbst eine Transformation vom Typ I, II, od. III.** + - Also (A|b) ist eine Transformation von (A'|b') + - Der erste Teil des Beweis hat gezeigt, dass + - **x** Lösung von (A'|b') ==> **x** Lösung von Transformation von (A'|b') + - d. h. **x** Lösung von (A'|b') ==> **x** Lösung von Transformation von (A|b). + +**QED** diff --git a/notes/berechnungen_wk4.md b/notes/berechnungen_wk4.md new file mode 100644 index 0000000..632835c --- /dev/null +++ b/notes/berechnungen_wk4.md @@ -0,0 +1,240 @@ +# Kritzelei aus Woche 4 # + +## SKA 3 ## + +- **1.** Unterschied zw. ℕ, ℕ₀ beachten. +- **2.** „minimales Beispiel“: A = {🍎}, B = Ø, C = Ø. +- **3.** x ∈ linker Seite ⟺ x ∈ rechter Seite; Dualität zw. Mengen und logischen Operationen. +- **4.** ja —> Aussagenlogischer Ansatz vs. „visueller“ Ansatz vs. „algebraischer“ Ansatz (DeM). +- **5.** = +- **6.** 3·4, ja +- **7.** erst Z in R „definieren“, dann ZxZ in RxR definieren, analog mit NxN ⊆ ZxZ +- **8.** Diagramm +- **9.** ja +- **10.** ∈: nein, ⊆: ja  +- **11.** Formale Semantik / algebraische Oeprationen +- **12.** nein, sondern sind klassische Komplemente +- **13.** Mengentheoretisch: Ja, weil Gph(ƒ) = Gph(g). Kategorientheoretisch: „Nein“. +- **14.** Fasern/Bildmengen für ƒ : X ⟶ Y + + ƒ Injektiv ⟺ alle Fasern von ƒ enthalten ≤ 1 Element + ƒ Surjektiv ⟺ alle Faster von ƒ sind nicht leer ⟺ ƒ(X) = Y +- **15.** ƒ¯¹{y} ist die Schnittmenge aus Gph(ƒ) und dem Geraden {(x,y) | x ∈ ℝ} + + Injektiv ⟺ jede Schnittmenge von Gph(ƒ) mit vertikalen Geraden hat höchstens 1 Pkt + Surjektiv ⟺ jede Schnittmenge von Gph(ƒ) mit vertikalen Geraden hat mindestens 1 Pkt +- **16.** dom(log) = (0,∞), ran(log) = ℝ + + +## SKA 4 ## + +- **1.** Lösungsskizze: + + R := Gph(ƒ). Etwas ausführlicher: + + ƒ : X ⟶ Y sei eine Funktion + R := {(x,y) ∈ X x Y | ƒ(x) = y} = Gph(ƒ) + Dann ist R eine binäre Relation mit R ⊆ X x Y + +- **2.** Lösungsskizze + + Sei ƒ : M ⟶ N definiert durch + ƒ(m) = das n, so dass (m,n) ∈ R + für alle m ∈ M. + + (i) ⟺ ƒ überall definiert; + (ii) ⟺ ƒ wohldefiniert + +- **3.** Beachte, dass die Relation auf P(X) ist und _nicht_ auf X! + + Formales Argument + ~~~~~~~~~~~~~~~~~ + Wir prüfen die Axiome einer OR: + Refl. Zz: Sei A ∈ P(X). Dann A ≤ A. + Offensichtlich gilt X \ A ⊆ X \ A. + Per Konstruktion gilt also A ≤ A. + Antisymm. Zz: Seien A, B ∈ P(X). Dann A ≤ B und B ≤ A ⟹ A=B. + Es gilt + A ≤ B und B ≤ A. + ⟹ X \ A ⊆ X \ B und X \ B ⊆ X \ A + per Konstruktion + ⟹ X \ A = X \ B + per Definition von Mengengleichheit + ⟹ X \ (X \ A) = X \ (X \ B) + ⟹ A = B + da A, B Teilmengen von X sind + Trans. Zz: Seien A, B, C ∈ P(X). Dann A ≤ B und B ≤ C ⟹ A ≤ C. + Es gilt + A ≤ B und B ≤ C. + ⟹ X \ A ⊆ X \ B und X \ B ⊆ X \ C + per Konstruktion + ⟹ X \ A ⊆ X \ C + da Mengeninklusion transitiv ist + ⟹ A ≤ C + per Konstruktion. + Also genügt (P(X), ≤) den Axiomen einer OR. + +- **4.** Beachte: Entfernung von P(C) nicht von C!! + + Lösung + ~~~~~~~~ + Entferne Ø von P(C). + Dann existiert kein „kleinstes Element“ (auch „Minimum“ genannt). + Allerdings existieren genau 3 „minimale Elemente“ in (P(C)\{Ø}, ⊆), viz. {a}, {b}, {c}. +- **5.** Ja in beiden Fällen (im 2. Falle nehmen wir an, dass Alle Wörter mindestens 2 Buchstaben enthalten). + + Formales Argument: + ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ + Sei ∑ die Menge von Buchstaben und W die Menge von Wörtern im Wörterbuch. + Dann handelt es sich in beiden Fällen um eine Relation, die durch + + ~ := {(w1,w2) ∈ W⨉W | ƒ(w1) = ƒ(w2)} + + definiert wird, wobei ƒ eine Abbildung von W nach ∑ ist. + (Im 1. Falle gilt ƒ(w) = erster Buchstabe in w; + im 2. Falle gilt ƒ(w) = zweitletzter Buchstabe in w.) + + Schnelle Variante: + ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ + (1) Für w1, w2 ∈ W gilt w1 ~ w2 ⟺ ƒ(w1) = ƒ(w2). + D. h. ƒ ist eine „Reduktion“ von der ÄR (W, ~) auf (∑, =). + (2) (∑, =) ist eine ÄR, d.h. Gleichheit ist eine Äquivalenzrelation auf ∑. + (3) Aus (1) + (2) folgt, dass ~ eine ÄR ist. + + Ausführliche Variante: + ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ + Wir prüfen die Axiome einer OR: + Refl. Zz: Sei w ∈ W. Dann w ~ w. + Es gilt ƒ(w) = ƒ(w), da „=“ reflexiv ist. + Per Konstruktion gilt also w ~ w. + Symm. Zz: Seien u, v ∈ W. Dann u ~ v ⟹ v ~ u. + Es gilt + u ~ v + ⟹ ƒ(u) = ƒ(v) per Konstruktion + ⟹ ƒ(v) = ƒ(u) da „=“ symmetrisch ist + ⟹ v ~ u per Konstruktion. + Trans. Zz: Seien u, v, w ∈ W. Dann u ~ v und v ~ w ⟹ u ~ w. + Es gilt + u ~ v und v ~ w + ⟹ ƒ(u) = ƒ(v) und ƒ(v) = ƒ(w) per Konstruktion + ⟹ ƒ(u) = ƒ(w) da „=“ transitiv ist + ⟹ u ~ w per Konstruktion. + + Also genügt (W, ~) den Axiomen einer ÄR. + +- **6.** - +- **7.** - + +- **8.** Schubfachprinzip mit 4 Kategorien und 5 Plätzen: + + Schnelles Argument: + ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ + muss gelten, da sonst jede Farbe höchstens 1 Mal vorkommt, + was höchstens 4 Plätze belegt, aber wir wählen 5 Karten. + +- **9.** Schubfachprinzip mit 366 Kategorien und 7000 Plätzen: + + Schnelles Argument: + ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ + Falls für jeden Tag max 17 Studierende diesen Geburtstag haben, + dann würde es maximal + (18-1)·366 = 6222 + Studierende geben. + Aber es gibt 7000 (> 6222) Studierende. + Widerspruch! + Darum gibt es einen Tag, an dem (mind.) 18 Studierende den als ihren Geburtstag feiern. + + Formales Argument: + ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ + Sei T die Menge von Tagen. Also |T|=366 + Sei S die Menge von Studierenden, |S|≥7000. + Sei + ƒ : S ⟶ T + die Funktion, die jedem Studierenden seinen Geburtstag zuordnet. + Setze + G := {ƒ¯¹{d} | d ∈ T} \ {Ø}. + und + geb : G ⟶ T + durch + geb(A) = ƒ(a) für ein a ∈ A + für jedes A ∈ G. + + Beobachtung 1: + ~~~~~~~~~~~~~~ + Die Funktion, geb, ist wohldefiniert: + + Sei A ∈ G beliebig. + Dann A = ƒ¯¹{d} für ein d ∈ T und A ≠ Ø + Also gibt es ein a ∈ A + und weiterhin gilt für a1, a2 ∈ A, dass ƒ(a1) = d = ƒ(a2). + Darum ordnet geb der Menge A exakt einen Wert zu. + + Beobachtung 2: + ~~~~~~~~~~~~~~ + Die Funktion, geb, ist injektiv: + + Seien A1, A2 ∈ G. + Zz: ƒ(A1) = ƒ(A2) ⟹ A1 = A2. + Per Konstruktion gelten + A1 = ƒ¯¹{d1}, A1 ≠ Ø, und + A2 = ƒ¯¹{d2}, A2 ≠ Ø + für ein d1, d2 ∈ T. + Wie oben gilt ƒ(A1) = d1 und ƒ(A2) = d2. + Darum + ƒ(A1) = ƒ(A2) + ⟹ d1 = d2 + ⟹ ƒ¯¹{d1} = ƒ¯¹{d2} + ⟹ A1 = A2. + + Beobachtung 3: + ~~~~~~~~~~~~~~ + Es gilt S = ⋃{A | A ∈ G}. + Warum? + - Per Konstruktion gilt A ⊆ S für alle A ∈ G. + Also gilt ⋃{A | A ∈ G} ⊆ S. + - Sei s ∈ S belibig. + Seien d := ƒ(s) und A₀ := ƒ¯¹{d}. + Dann A₀ ≠ Ø, da s ∈ A₀, da ƒ(s) = d. + Also gilt A₀ ∈ G per Konstruktion von G. + Also s ∈ A₀ ⊆ ⋃{A | A ∈ G}. + Darum gilt S ⊆ ⋃{A | A ∈ G}. + + Da die Funktion, geb, injektiv ist (Beobachtung 2), + liefert das SCHUBFACHPRINZIP + |G| ≤ |T| = 366. + Da die Mengen in G offensichtlich paarweise disjunkt sind, + und da S = ⋃{A | A ∈ G} (Beobachtung 3), + gilt + 7000 ≤ |S| + = ∑{|A| | A ∈ G} + ≤ max{|A| | A ∈ G} · |G| + ≤ max{|A| | A ∈ G} · 366. + Also + max{|A| | A ∈ G} ≥ 7000/366 > 19. + Also existiert mindestens ein A₀ ∈ G mit |A₀| > 19 > 18. + Per Konstruktion von G haben nun alle Studierende in A₀ den gleichen Geburtstag. + Darum haben mindestens 18 Studierende denselben Geburtstag. + +- **10.** + + Induktionsargument: + ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ + IND-ANFANG: + Für n = 1. Nichts zu zeigen, da ∏{E_i : 1≤i≤1} = E_1. + Für n = 2. + ... siehe Argument im Skript + ... oder gilt einfach per Definition: siehe jedes Lehrbuch über Mengenlehre. + Sei n > 2. + IND-VORAUSSETZUNG: + Angenommen, |∏{E_i : 1≤i n+1) geht nur, wenn n ≥ 2. + Das heißt, der Fall 1 —> 2 wird übersprungen. diff --git a/uebung/README.md b/uebung/README.md new file mode 100644 index 0000000..4346240 --- /dev/null +++ b/uebung/README.md @@ -0,0 +1,40 @@ +# Kurs # + +Die URL vom Kurs findet man hier: . + +## Leistungen ## + +Klausurzulassung, wenn + +- ≥ 50% der Punkte aus den insgesamt 12 Übungsblättern (je 15 Pkt). +- ~~?/? Quizzes~~ —> keine Voraussetzung mehr. Die Quizzes sind freiwillig! + +Klausur: + +- voraussichtlich am 16.02.2021 +- 90 min Dauer +- ??? Fragen + +## Übungsgruppen ### + +Die Übungsgruppen sind Pflichtveranstaltungen. + +Jede Woche besteht der Ablauf grob aus folgenden Teilen: + +- allgemeine Ankündigungen +- Präsentation von SKA von jeder Gruppe (sofern anstehend) +- Besprechung von ÜB aus vorheriger Woche (sofern korrigiert) +- Besprechung vom Stoff aus VL +- Quiz 10min +- Breakout-Rooms für SKA + +Je nach Zeit und Nachfrage fallen manche Dinge aus, damit wir uns den wichtigeren Dingen widmen können. + +## Notizen aus jeder Woche ## + +Jede Woche werden Anmerkungen in Markdown-Dateien hier festgehalten: + +- Woche 1: --- +- Woche 2: --- +- Woche 3: [/uebung/woche3/README.md](./woche3). +- Woche 4: [/uebung/woche4/README.md](./woche4). diff --git a/uebung/woche3/README.md b/uebung/woche3/README.md new file mode 100644 index 0000000..1de4867 --- /dev/null +++ b/uebung/woche3/README.md @@ -0,0 +1,53 @@ +## Woche 3 (KW 46, 9.–15. November) ## + +### Agenda ### + +- allgemeine Ankündigungen + - ÜB Abgaben: einscannen -> in DIN A4 o. Ä. konvertieren + - Git Repo + - Bitte um Fragen zur VL im Chat zu posten (für später) +- Präsentation von **SKA 2** von den Gruppen: + - **Gruppe 1** | Aufgabe 1 + - **Gruppe 2** | Aufgabe 2 + - **Gruppe 3** | Aufgabe 3 + - **Gruppe 4** | Aufgabe 6 + - **Gruppe 5** | Aufgabe 11 + - **Gruppe 6** | Aufgabe 5 + - **Gruppe 7** | Aufgabe 4 +- Besprechung von ÜB aus vorheriger Woche + - A1: + - Missverständnisse über freie Variablen + - Fallunterscheidung α≠4; (α=4 und β=8); (α=4 und β≠8). + - A2: + - Beweisführung: **Zu zeigen:** _L₁ = L₂_. Teil 1: (⊆) ... Teil 2: (⊇). + - Mechanismus für die Rechtfertigung Rückrichtung fehlte. + - A3: + - Logische Umformungen: + - **Statement**: + [Es gibt (eine Auswahl von) _n+1_ Gleichungen], die ein _unlösbares_ LGS bilden. + [Es gibt x], so dass x Eigenschaft Φ erfüllt + - ⟶ **falsche Verneinung**: + ~~[Es gibt (eine Auswahl von) _n+1_ Gleichungen], die ein _lösbares_ LGS bilden.~~ + - ⟶ **richtige Verneinung**: + [Für jede Auswahl von _n+1_ Gleichungen], ist das durch sie definierte LGS _lösbar_. + [Für alle x], x erfüllt Eigenschaft Φ nicht + + - »Nach Definition ist ein Gleichungssystem unlösbar, wenn eine Gleichung unlösbar ist.« + ``` + A <==== B + ``` + - **Anmerkung** Hier schwankte es einige Male zwischen der Ungewissheit, ob sie + - hier nur die Implikation verwenden wollten, (Gleichung unlösbar ⟹ System unlösbar) + - die Definition im Sinne dieses „genau, dann wenn“ Zusammenhangs verstanden hatten. + + Für volle Lösungen siehe Datei [/docs/loesungen.pdf](../../docs/loesungen.pdf). + +- Besprechung von Materialien / VL + - Geogebra + - Verständnis durch Anschauung vs. formales Vorgehen + - Beweisführung: wie man formale Aussagen formal aufdrosselt und „Ziele“ setzt („zu zeigen ist...“) + - konkrete Fragen von Studierenden behandeln +- Quiz 10min (?) + - fällt evtl. aus +- Breakout-Rooms für SKA (?) + - fällt evtl. aus diff --git a/uebung/woche4/README.md b/uebung/woche4/README.md new file mode 100644 index 0000000..0d92528 --- /dev/null +++ b/uebung/woche4/README.md @@ -0,0 +1,43 @@ +## Woche 4 (KW 47, 16.–22. November) ## + +### Agenda ### + +- (√) allgemeine Ankündigungen + - „Lösungen“ in Git-Repo + - Sortierung: VL, ÜB, SKA, Quiz, interaktive Aufgaben ??? + - Umfrage über Rhythmus (--> Diskussion evtl. am Ende verschieben) +- (√) Präsentation von **SKA 3 / ÜB 2** von den Gruppen: + - **Gruppe 1** | SKA 11-12 + - **Gruppe 2** | ??? + - **Gruppe 3** | ??? + - **Gruppe 4** | SKA 11 + - **Gruppe 5** | ??? + - **Gruppe 6** | ??? + - **Gruppe 7** | ??? +- (x) SKA 3: Besprechung / Zusammenarbeit / Breakout-Rooms (---> Umfrage!) + + siehe [/notes/berechnungen_wk4.md](../../notes/berechnungen_wk4.md) > Abschnitt über SKA 3 für Kritzelei. +- (√) SKA 4: Besprechung / Zusammenarbeit / Breakout-Rooms (---> Umfrage! + + siehe [/notes/berechnungen_wk4.md](../../notes/berechnungen_wk4.md) > Abschnitt über SKA 4 für Kritzelei.) +- (x) ÜB2: Besprechung: + - A2-1 und A2-2(a) + - aufdrosseln der Hauptaussage + - A2-2(b): Windschief + - A2-3 + - a) Trick mit γ1, γ2 und Differenzen. + + Für volle Lösungen siehe Datei [/docs/loesungen.pdf](../../docs/loesungen.pdf). +- (x) VL-Stoff: Fragen / Redebedarf. + +## Beschlüsse mit der Gruppe ## + +- Besprechung in den Übungsgruppen: + - ÜB: + - „Musterlösungen“ (quasi) sind im Repo bzw. von SHK im Laufe der Woche verfügbar. + Den Studierenden überlassen, ob sie sie anschauen. + - SKA: + - hauptsächlich die SKA aus der aktuellen Woche besprechen. +- Präsentationen: jede Gruppe meldet sich im Moodle-Chat im Laufe der Woche: + - ob die was präsentiert + - was die präsentiert (muss aber SKA aus aktueller oder letzter Woche sein) diff --git a/uebung/woche5/README.md b/uebung/woche5/README.md new file mode 100644 index 0000000..c244ba3 --- /dev/null +++ b/uebung/woche5/README.md @@ -0,0 +1,10 @@ +## Woche 5 (KW 48, 23.–29. November) ## + +## Ablauf ## + +- ( ) allgemeine Ankündigungen + - Erinnerung an Beschlüsse aus der letzten Woche +- ( ) Präsentation von **SKA 4 / SKA 5 / ÜB 3** von den Gruppen: +- ( ) SKA 5: / Zusammenarbeit / Breakout-Rooms (---> Umfrage!) +- ( ) ÜB 3 +- ( ) VL-Stoff diff --git a/uebung/woche6/README.md b/uebung/woche6/README.md new file mode 100644 index 0000000..329b5cf --- /dev/null +++ b/uebung/woche6/README.md @@ -0,0 +1,10 @@ +## Woche 6 (KW 49, 30.11.–6.12.) ## + +## Ablauf ## + +- ( ) allgemeine Ankündigungen + - Erinnerung an Beschlüsse aus der letzten Woche +- ( ) Präsentation von **SKA 5 / SKA 6 / ÜB 4** von den Gruppen: +- ( ) SKA 6: / Zusammenarbeit / Breakout-Rooms (---> Umfrage!) +- ( ) ÜB 4 +- ( ) VL-Stoff