diff --git a/docs/loesungen.pdf b/docs/loesungen.pdf index 62404c7..b265ce8 100644 Binary files a/docs/loesungen.pdf and b/docs/loesungen.pdf differ diff --git a/docs/loesungen.tex b/docs/loesungen.tex index 9b6c1ab..a9b94c3 100644 --- a/docs/loesungen.tex +++ b/docs/loesungen.tex @@ -51,6 +51,8 @@ %% | %% — body/uebung/ueb3.tex; %% | +%% — body/uebung/ueb4.tex; +%% | %% — body/ska/ska4.tex; %% | %% — body/quizzes/quiz1.tex; @@ -184,6 +186,8 @@ \usepackage{ifthen} \usepackage{ifnextok} \usepackage{longtable} +\usepackage{multicol} +\usepackage{multirow} \usepackage{nameref} \usepackage{nowtoaux} \usepackage{paralist} @@ -1346,6 +1350,7 @@ \def\id{\text{\textup id}} \def\modfn{\mathop{\text{\textup mod}}} \def\divides{\mathbin{\mid}} +\def\ndivides{\mathbin{\nmid}} \def\ggT{\mathop{\text{\upshape ggT}}} \makeatother @@ -2974,7 +2979,7 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion. \end{proof} %% AUFGABE 3-3b \item - Seien $n\in\ntrlpos$ und $X=\reell^{n}\times(\reell^{n}\ohne\{\zerovector\}$. + Seien $n\in\ntrlpos$ und $X=\reell^{n}\times(\reell^{n}\ohne\{\zerovector\})$. Sei $Y$ die Menge aller Geraden im $\reell^{n}$. Sei ${f:X\to Y}$ durch $f(v,w)=\{v+t\cdot w\mid t\in\reell\}$ definiert. @@ -3062,6 +3067,494 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion. \end{proof} \end{enumerate} +%% ******************************************************************************** +%% FILE: body/uebung/ueb4.tex +%% ******************************************************************************** + +\setcounternach{chapter}{4} +\chapter[Woche 4]{Woche 4} + \label{ueb:4} + +\textbf{ACHTUNG.} +Diese Lösungen dienen \emph{nicht} als Musterlösungen sondern eher als Referenz. +Hier wird eingehender gearbeitet, als generell verlangt wird. +Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche vergleichen kann. + +%% AUFGABE 4-1 +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{Aufgabe} +\section[Aufgabe 1]{} + \label{ueb:4:ex:1} +\let\sectionname\altsectionname + +\begin{enumerate}{\bfseries (a)} + %% AUFGABE 4-1a + \item + Betrachte die Menge $X:=\intgr\times\ntrlpos$ + und die binäre Relation, $\sim\subseteq X\times X$, + die durch + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + (a,b)\sim (a',b') &\Longleftrightarrow &ab'=a'b + \end{mathe} + + für $(a,b),(a',b')\in X$ definiert wird. + + \begin{claim*} + $(X,\sim)$ ist eine Äquivalenzrelation. + \end{claim*} + + \begin{proof} + Wir gehen die Axiome durch: + + \begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab] + \item[\uwave{{\itshape Reflexivität:}}] + Sei $(a,b)\in X$ beliebig. + \textbf{Zu zeigen:} $(a,b)\sim(a,b)$.\\ + Offensichtlich gilt $ab=ab$.\\ + Per Konstruktion gilt also $(a,b)\sim(a,b)$. + + \item[\uwave{{\itshape Symmetrie:}}] + Seien $(a,b),(a',b')\in X$ beliebig. + \textbf{Zu zeigen:} ${(a,b)\sim(a',b')\Rightarrow(a',b')\sim(a,b)}$.\\ + Es gilt + + \begin{mathe}[mc]{rclql} + (a,b)\sim (a',b') + &\Longleftrightarrow + &ab'=a'b + &\text{(per Konstruktion)}\\ + &\Longrightarrow + &a'b=ab'\\ + &\Longleftrightarrow + &(a',b')\sim(a,b) + &\text{(per Konstruktion).}\\ + \end{mathe} + + \item[\uwave{{\itshape Transitivität:}}] + Seien $(a,b),(a',b'),(a'',b'')\in X$ beliebig.\\ + \textbf{Zu zeigen:} + $(a,b)\sim(a',b')$ + und + $(a',b')\sim(a'',b'')$ + $\Rightarrow$ + $(a,b)\sim(a'',b'')$.\\ + Es gilt + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \begin{array}[b]{0l0} + (a,b)\sim (a',b')\\ + \,\text{und}\,(a',b')\sim(a'',b'')\\ + \end{array} + &\Longleftrightarrow + &ab'=a'b\,\text{und}\,a'b''=a''b'\\ + &&\quad\text{(per Konstruktion)}\\ + &\Longrightarrow + &(ab'')b'=(ab')b''=(a'b)b''=(a'b'')b=(a''b')b=(a''b)b'\\ + &\Longrightarrow + &ab''=a''b,\\ + &&\quad\text{da $b'\neq 0$}\\ + &\Longleftrightarrow + &(a,b)\sim(a'',b'')\\ + &&\quad\text{(per Konstruktion).}\\ + \end{mathe} + \end{kompaktenum} + + Darum erfüllt $(X,\sim)$ die Axiome einer Äquivalenzrelation. + \end{proof} + + \textbf{Bemerkung.} + Man kann zeigen, dass ${f:X/\lsim\to\rtnl}$ + definiert durch $f([(a,b)])=a/b$ + wohldefiniert und bijektiv ist. + In der Tat realisieren manche Werke die rationalen Zahlen, $\rtnl$, + als genau diesen Quotientenraum, + d.\,h. man kann die Äquivalenzklassen hier als rationale Zahlen deuten. + + %% AUFGABE 4-1b + \item + Betrachte die Menge $X:=\intgr\times\intgr$ + und die binäre Relation, $\leq\subseteq X\times X$, + die durch + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + (a,b)\leq(a',b') &\Longleftrightarrow &a\leq a'\,\text{und}\,b\leq b'\\ + \end{mathe} + + für $(a,b),(a',b')\in X$ definiert wird. + + \begin{claim*} + $(X,\leq)$ ist ist eine Halbordnung aber \fbox{nicht total}. + \end{claim*} + + \begin{proof} + Wir gehen die Axiome durch: + + \begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab] + \item[\uwave{{\itshape Reflexivität:}}] + Sei $(a,b)\in X$ beliebig. + \textbf{Zu zeigen:} $(a,b)\leq(a,b)$.\\ + Offensichtlich gilt $a\leq a$ und $b\leq b$.\\ + Per Konstruktion gilt also $(a,b)\leq(a,b)$. + + \item[\uwave{{\itshape Antisymmetrie:}}] + Seien $(a,b),(a',b')\in X$ beliebig.\\ + \textbf{Zu zeigen:} + $(a,b)\leq(a',b')$ + und + $(a',b')\leq(a,b)$ + $\Rightarrow$ + $(a,b)=(a',b')$.\\ + Es gilt + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \begin{array}[b]{0l0} + (a,b)\leq (a',b')\\ + \,\text{und}\,(a',b')\leq(a,b)\\ + \end{array} + &\Longleftrightarrow + &a\leq a'\,\text{und}\,b\leq b' + \text{und}\, + a'\leq a\,\text{und}\,b'\leq b\\ + &&\text{(per Konstruktion)}\\ + &\Longrightarrow + &a=a\,\text{und}\,b=b',\\ + &&\text{da $(\intgr,\leq)$ antisymmetrisch ist}\\ + &\Longleftrightarrow + &(a,b)=(a',b').\\ + \end{mathe} + + \item[\uwave{{\itshape Transitivität:}}] + Seien $(a,b),(a',b'),(a'',b'')\in X$ beliebig.\\ + \textbf{Zu zeigen:} + $(a,b)\leq(a',b')$ + und + $(a',b')\leq(a'',b'')$ + $\Rightarrow$ + $(a,b)\leq(a'',b'')$.\\ + Es gilt + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \begin{array}[b]{0l0} + (a,b)\leq (a',b')\\ + \,\text{und}\,(a',b')\leq(a'',b'')\\ + \end{array} + &\Longleftrightarrow + &a\leq a'\,\text{und}\,b\leq b' + \text{und}\, + a'\leq a''\,\text{und}\,b'\leq b''\\ + &&\text{(per Konstruktion)}\\ + &\Longrightarrow + &a\leq a''\,\text{und}\,b\leq b'',\\ + &&\text{da $(\intgr,\leq)$ transitiv ist}\\ + &\Longleftrightarrow + &(a,b)\leq(a'',b'')\\ + &&\text{(per Konstruktion).}\\ + \end{mathe} + \end{kompaktenum} + + Darum erfüllt $(X,\leq)$ die Axiome einer Halbordnung.\\ + Zum Schluss, beachte, dass $(0,1)$ und $(1,0)$ bzgl. $\leq$ unvergleichbar sind. + Darum ist $(X,\leq)$ nicht total. + \end{proof} +\end{enumerate} + +%% AUFGABE 4-2 +\clearpage +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{Aufgabe} +\section[Aufgabe 2]{} + \label{ueb:4:ex:2} +\let\sectionname\altsectionname + +Fixiere $n\in\ntrlpos$. Wir definieren die binäre Relation ${\sim\subseteq\intgr\times\intgr}$ +mittels + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + a \sim b &:\Longleftrightarrow &\modfn(a,n)=\modfn(b,n)\\ + \end{mathe} + +für $a,b\in\intgr$. + +\begin{enumerate}{\bfseries (a)} + %% AUFGABE 4-2a + \item + \begin{claim*} + $(\intgr,\sim)$ ist eine Äquivalenzrelation. + \end{claim*} + + \begin{proof} + Wir gehen die Axiome durch: + + \begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab] + \item[\uwave{{\itshape Reflexivität:}}] + Sei $a\in \intgr$ beliebig. + \textbf{Zu zeigen:} $a\sim a$.\\ + Offensichtlich gilt $\modfn(a,n)=\modfn(a,n)$.\\ + Per Konstruktion gilt also $(a,b)\sim(a,b)$. + + \item[\uwave{{\itshape Symmetrie:}}] + Seien $a, a'\in \intgr$ beliebig. + \textbf{Zu zeigen:} ${a\sim a'\Rightarrow a'\sim a}$.\\ + Es gilt + + \begin{mathe}[mc]{rclql} + a\sim a' + &\Longleftrightarrow + &\modfn(a,n)=\modfn(a',n) + &\text{(per Konstruktion)}\\ + &\Longrightarrow + &\modfn(a',n)=\modfn(a,n)\\ + &\Longleftrightarrow + & a'\sim a + &\text{(per Konstruktion).}\\ + \end{mathe} + + \item[\uwave{{\itshape Transitivität:}}] + Seien $ a, a', a''\in \intgr$ beliebig. + \textbf{Zu zeigen:} + $a\sim a'$ + und + $a'\sim a''$ + $\Rightarrow$ + $a\sim a''$.\\ + Es gilt + + \begin{mathe}[mc]{rclql} + a\sim a'\,\text{und}\, a'\sim a'' + &\Longleftrightarrow + &\modfn(a,n)=\modfn(a',n) + \,\text{und}\, + \modfn(a',n)=\modfn(a'',n)\\ + &&\text{(per Konstruktion)}\\ + &\Longrightarrow + &\modfn(a,n)=\modfn(a'',n)\\ + &\Longleftrightarrow + &a\sim a'' + \quad\text{(per Konstruktion).}\\ + \end{mathe} + \end{kompaktenum} + + Darum erfüllt $(\intgr,\sim)$ die Axiome einer Äquivalenzrelation. + \end{proof} + + \textbf{Bemerkung.} Es gibt einen einfacheren Ansatz. + Zunächst beweist man das allgemeine Lemma: + Für jede Äquivalenzrelation $(Y,\approx)$ und jede Relation $(X,R)$, + falls eine Funktion ${f:X\to Y}$ existiert, + so dass ${\forall{x,x'\in X:~}(x,x')\in R\Leftrightarrow f(x)\approx f(x')}$, + so gilt dass $(X,R)$ eine Äquivalenzrelation ist. + Und jetzt wendet man dies auf unseren Kontext an: + Wir die Äquivalenzrelation $(\{0,1,2\ldots,n-1\},=)$ + und die Relation $(\intgr,\sim)$ + und eine Abbildung ${f:a\in\intgr\mapsto\modfn(a,n)}$, + für die + ${\forall{a,a'\in\intgr:~}(a,a')\in\sim\Leftrightarrow f(a)\approx f(a')}$ + \emph{per Konstruktion} gilt. + Darum ist $(\intgr,\sim)$ eine Äquivalenzrelation. + + %% AUFGABE 4-2b + \item + \begin{claim*} + Es gibt $n$ Äquivalenzklassen. + \end{claim*} + + \begin{proof} + Betrachte die Abbildung + + \begin{mathe}[mc]{rcccl} + \rho &: &\intgr/\lsim &\to &\{0,1,\ldots,n-1\}\\ + &: &[a] &\mapsto &\modfn(a,n)\\ + \end{mathe} + + Es reicht aus \textbf{zu zeigen}, dass $\rho$ eine wohldefinierte Bijektion ist. + + \begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab] + \item[\uwave{{\itshape Wohldefiniertheit:}}] + Sei $C\in\intgr/\sim$ beliebig. + Seien $a,a'\in\intgr$ mit $[a]=C$ und $[a']=C$.\\ + \textbf{Zu zeigen:} $\modfn(a,n)=\modfn(a',n)$.\\ + Aus $[a]=C=[a']$ + folgt $a\sim a'$ + und damit per Konstruktion + $\modfn(a,n)=\modfn(a',n)$. + Darum ordnet $\rho$ einen eindeutig Wert $[a]$ zu. + + \item[\uwave{{\itshape Injektivität:}}] + Seien $C,C'\in\intgr/\lsim$ beliebig. + \textbf{Zu zeigen:} ${\rho(C)=\rho(C')\Rightarrow C=C'}$.\\ + Wähle zunächst $a,a'\in\intgr$, so dass $C=[a]$ und $C=[a']$. + Dann gilt + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \rho(C)=\rho(C') + &\Longrightarrow + &\modfn(a,n)=\modfn(a',n)\\ + &\Longrightarrow + &a\sim a'\\ + &\Longrightarrow + &C=[a]=[a']=C'.\\ + \end{mathe} + + \item[\uwave{{\itshape Surjektivität:}}] + Sei $k\in\{0,1,\ldots,n-1\}$ beliebig. + \textbf{Zu zeigen:} $k\in\rho(\intgr/\lsim)$.\\ + Setze $C=[k]\in\intgr/\lsim$. + Dann $\rho(C)=\modfn(k,n)=k$.\footnote{ + Seien $q\in\intgr$ und $r\in\{0,1,\ldots,n-1\}$ mit $qn+r=k$. + Da $k,r\in\{0,1,\ldots,n-1\}$, + gilt $qn=k-r\in\intgr\cap(-n,n)$. + Also muss $q=0$ gelten. + Also $r=k$. + Also $\modfn(k,n)=r=k$. + } + Also gilt $k\in\rho(\intgr/\lsim)$. + \end{kompaktenum} + + Darum ist $\rho$ eine Bijektion. + Also gilt $|\intgr/\lsim|=|\{0,1,\ldots,n-1\}|=n$. + \end{proof} + %% AUFGABE 4-2c + \item + Laut der Berechnung in Aufgabe 2(b) gilt + ${\intgr/\lsim=\{[0],[1],\ldots,[n-1]\}}$. + Für jedes ${k\in\{0,1,\ldots,n-1\}}$ + lässt sich die Äquivalenzklasse $[k]$ + wie folgt als Teilmenge beschreiben + + \begin{mathe}[bc]{rcl} + [k] &= &\{a\in\intgr \mid a\sim k\} + \,\text{per Definition}\\ + &= &\{a\in\intgr \mid \modfn(a,n)=\modfn(k,n)\}\\ + &= &\{a\in\intgr \mid \modfn(a,n)=k\}\\ + &= &\{a\in\intgr \mid \exists{q\in\intgr:~}a=qn+r\}\\ + &= &\{qn+r \mid q\in\intgr\}\\ + &= &\intgr\cdot n + r.\\ + \end{mathe} + + Also lassen sich die Äquivalenzklassen durch die Teilmengen + ${\{\intgr\cdot n+r\mid r\in\{0,1,\ldots,n-1\}\}}$ + darstellen. +\end{enumerate} + +%% AUFGABE 4-3 +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{Aufgabe} +\section[Aufgabe 3]{} + \label{ueb:4:ex:3} +\let\sectionname\altsectionname + +\begin{claim*} + \makelabel{claim:main:ueb:4:ex:3} + Für $n\in\ntrlpos$ bezeichne mit $\Phi(n)$ die Aussage, + dass für alle Mengen $X$, $Y$ mit $|X|=|Y|=n$ + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \eqtag[eq:1:\beweislabel] + |\{f\mid f\,\text{eine Bijektion zw. $X$ und $Y$}\}| &= &n!.\\ + \end{mathe} + + Dann gilt $\forall{n\in\ntrlpos:~}\Phi(n)$. +\end{claim*} + + \begin{proof}[Ansatz I][Ansatz I] + Sei $n\in\ntrlpos$ und seien $X$, $Y$ $n$-elementige Mengen. + Sei $(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})$ eine Auflistung der Elemente in $X$. + Um eine Injektion zw. $X$ und $Y$ zu definieren, + wählt man zuerst ein Element $y_{1}\in Y$ für $x_{1}$ (dafür gibt es $n$ Möglichkeiten), + dann ein Element $y_{2}\in Y$ for $x_{2}$ (dafür bleiben $n-1$ Möglichkeiten übrig), + usw. + Darum gibt es insgesamt $n\cdot (n-1)\cdot\cdots 1=n!$ + Injektionen zwischen $X$ und $Y$. + Da $X$ und $Y$ endlich und gleichmächtig sind, + ist jede Injektion zwischen diesen Mengen automatisch surjektiv und damit bijektiv. + Darum gibt es $n!$ Bijektionen zwischen $X$ und $Y$. + \end{proof} + + \begin{proof}[Ansatz II][Ansatz II] + Wir beweisen die Behauptung per Induktion über $n$. + + \begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab] + \item[\uwave{{\bfseries Induktionsanfang:}}] + Sei $n=1$. Für $1$-elementigen Mengen $X$, $Y$, + gibt es offensichtlich exakt eine Funktion zwischen $X$ und $Y$, + und dies ist eine Bijektion. + Darum gilt \eqcref{eq:1:\beweislabel}. + + \item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}] + Sei $n>1$. + Angenommen, $\Phi(n-1)$ gilt. + + \item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}] + Seien $X$, $Y$ beliebige $n$-elementige Mengen. + \textbf{Zu zeigen:} \eqcref{eq:1:\beweislabel} gilt.\\ + Fixiere $x_{0}\in X$. + Beobachte, dass für alle $y_{0}\in Y$ + die Mengen + $X':=X\ohne\{x_{0}\}$ + und + $Y':=Y\ohne\{y_{0}\}$ + beide $n-1$-elementig sind. + Betrachte nun die Abbildung + + \begin{mathe}[mc]{rcccl} + F &: &\{g\mid g\,\text{Bij. zw. $X\ohne\{x_{0}\}$ und $Y\ohne\{x_{0}\}$}\} + &\to + &\{f\mid f\,\text{Bij. zw. $X$ und $Y$},\,f(x_{0})=y_{0}\}\\ + &: &g &\mapsto &g\cup\{(x_{0},y_{0})\}.\\ + \end{mathe} + + Das heißt, jede Bijektion ${g:X\ohne\{x_{0}\}\to Y\ohne\{y_{0}\}}$ + wird durch $F$ zu einer Funktion von $X$ nach $Y$ fortgesetzt, + indem das zusätzliche Element, $x_{0}$, auf $y_{0}$ abgebildet wird. + Es ist einfach zu sehen, dass $F$ wohldefiniert ist, + d.\,h. für jede Bijektion ${g:X\ohne\{x_{0}\}\to Y\ohne\{y_{0}\}}$, + es gilt, dass $F(g)$ eine wohldefinierte Funktion zwischen $X$ und $Y$ ist + und weiterhin ist dies eine Bijektion. + Außerdem ist es klar, dass die Abbildung + + \begin{mathe}[mc]{rcccl} + G &: &\{f\mid f\,\text{Bij. zw. $X$ und $Y$},\,f(x_{0})=y_{0}\} + &\to + &\{g\mid g\,\text{Bij. zw. $X\ohne\{x_{0}\}$ und $Y\ohne\{x_{0}\}$}\}\\ + &: &f &\mapsto &f\restr{X\ohne\{x_{0}\}\times Y\ohne\{x_{0}\}}\\ + \end{mathe} + + die Abbildung $F$ nach rechts und links invertiert. + Also ist $G$ eine Bijektion. + Daraus folgt per Definition von Kardinalität + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \eqtag[eq:2:\beweislabel] + |\{f\mid f\,\text{Bij. zw. $X$ und $Y$},\,f(x_{0})=y_{0}\}| + &= &|\{g\mid g\,\text{Bij. zw. $X\ohne\{x_{0}\}$ und $Y\ohne\{x_{0}\}$}\}|\\ + &= &(n-1)!\,\text{laut IV}.\\ + \end{mathe} + + Anderseits ist + ${(\{f\mid f\,\text{Bij. zw. $X$ und $Y$},\,f(x_{0})=y_{0}\})_{y_{0}\in Y}}$ + eine Partition von + ${\{f\mid f\,\text{Bij. zw. $X$ und $Y$}\}}$. + Darum gilt + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + |\{f\mid f\,\text{Bij. zw. $X$ und $Y$}\}| + &= &|\bigcup_{y_{0}\in Y}\{f\mid f\,\text{Bij. zw. $X$ und $Y$},\,f(x_{0})=y_{0}\}|\\ + &= &\sum_{y_{0}\in Y}|\{f\mid f\,\text{Bij. zw. $X$ und $Y$},\,f(x_{0})=y_{0}\}|\\ + &&\text{wegen paarweise Disjunktheit}\\ + &\eqcrefoverset{eq:2:\beweislabel}{=} + &\sum_{y_{0}\in Y}(n-1)! + = |Y|\cdot (n-1)! + = n\cdot (n-1)! + = n!.\\ + \end{mathe} + + Also gilt \eqcref{eq:1:\beweislabel}. + \end{kompaktenum} + + Darum gilt $\Phi(n)$ per Induktion für alle $n\in\ntrl$. + \end{proof} + \setcounternach{part}{2} \part{Selbstkontrollenaufgaben}