From d65931a8db1d9996804e8e5de5200a4a4f76b43d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: raj_mathe Date: Wed, 27 Jan 2021 14:43:47 +0100 Subject: [PATCH] master > master: Woche 12 --- notes/berechnungen_wk12.md | 191 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++ protocol/woche12/README.md | 11 ++- 2 files changed, 198 insertions(+), 4 deletions(-) create mode 100644 notes/berechnungen_wk12.md diff --git a/notes/berechnungen_wk12.md b/notes/berechnungen_wk12.md new file mode 100644 index 0000000..4a294fb --- /dev/null +++ b/notes/berechnungen_wk12.md @@ -0,0 +1,191 @@ +## SKA 1 ## + +### Aufgabe 12 ### + +Gegeben sei + + A = -1 1 + 2 0 + 3 1 + +A ist in ℝ^{3 x 2} +**Zu finden:** Matrizen P, Q, so dass P·A·Q im Format wie in Satz 6.3.10 +Offensichtlich müssen + + P ∈ ℝ^{3 x 3} + Q ∈ ℝ^{2 x 2} + +gelten. Da bei X·Y müssen #col(X), #row(Y) übereinstimmen, weil +wenn man die Matrixmultiplikation ausführt, dann multipliziert man + - Zeilen aus X + mit + - Spalten aus Y. +Im Gaußverfahren + + A —> E1·A —> E2·E1·A —> E3·E2·E1·A ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·A + +—> Wir wollen (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1) als einzige Matrix erfassen, also als P. + +Wir führen A in ein augmentiertes System mit der 3x3 Identitätsmatrix auf + + -1 1 | 1 0 0 + 2 0 | 0 1 0 + 3 1 | 0 0 1 + +und führen das Gaußverfahren darauf auf. Dann geschieht (effektiv) parallel + + linke Hälfte: A —> E1·A —> E2·E1·A —> E3·E2·E1·A ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·A + rechte Hälfte: I —> E1·I —> E2·E1·I —> E3·E2·E1·I ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·I + = (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1) + = P + +Gaußverfahren: + + -1 1 | 1 0 0 + 2 0 | 0 1 0 + 3 1 | 0 0 1 + + Zeilen 1 und 2 tauschen: + + 2 0 | 0 1 0 + -1 1 | 1 0 0 + 3 1 | 0 0 1 + + Zeile_2 <— 2·Zeil_2 + Zeile_1 + Zeile_3 <— 2·Zeil_3 - 3·Zeile_1 + + 2 0 | 0 1 0 + 0 2 | 2 1 0 + 0 2 | 0 -3 2 + + Zeile_3 <— Zeil_3 - Zeile_2 + + 2 0 | 0 1 0 + 0 2 | 2 1 0 + 0 0 | -2 -4 2 + + Zeile_1 <— Zeile_1 / 2 + Zeile_2 <— Zeile_2 / 2 + + 1 0 | 0 1/2 0 + 0 1 | 1 1/2 0 + 0 0 | -2 -4 2 + +Also gilt mit + + P = 0 1 0 + 2 1 0 + -2 -4 2 + +Dass P·A = Form aus Satz 6.3.10. +Setze Q := 2 x 2 Identitätsmatrix +Dann + + P·A·Q = P·A = Matrix im Format aus Satz 6.3.10 + +### Anderes nicht so glückliches Beispiel ### + +Angenommen wir hätten A als 3 x 5 Matrix und nach Ausführung des o. s. Verfahrens + + 0 1 0 0 0 | 0 1/2 0 + 0 0 0 1 0 | 1 1/2 0 + 0 0 0 0 0 | -2 -4 2 + +erzielt. Dann würden wir P wie oben setzen. +Aber wir müssen noch Q bestimmen. +Das können wir einfach durch Permutationen erreichen: + + Q = 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 + 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 + 0 0 1 0 0 · 0 0 1 0 0 + 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 + 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 + +Oder mit Gaußverfahren, transponieren wir und augmentieren wir mit der 5x5 Identitätsmatrix: + + 0 0 0 | 1 0 0 0 0 + 1 0 0 | 0 1 0 0 0 + 0 0 0 | 0 0 1 0 0 + 0 1 0 | 0 0 0 1 0 + 0 0 0 | 0 0 0 0 1 + + Zeile1 und Zeile2 vertauschen: + + 1 0 0 | 0 1 0 0 0 + 0 0 0 | 1 0 0 0 0 + 0 0 0 | 0 0 1 0 0 + 0 1 0 | 0 0 0 1 0 + 0 0 0 | 0 0 0 0 1 + + Zeile2 und Zeile4 vertauschen: + + 1 0 0 | 0 1 0 0 0 + 0 1 0 | 0 0 0 1 0 + 0 0 0 | 0 0 1 0 0 + 0 0 0 | 1 0 0 0 0 + 0 0 0 | 0 0 0 0 1 + + Rechte Hälfte transponiert: + + Q = 0 0 0 1 0 + 1 0 0 0 0 + 0 0 1 0 0 + 0 1 0 0 0 + 0 0 0 0 1 + + +## Lineare Ausdehnung mit Komplikationen... ## + +Betrachte + + u1 = (1, 1, 0, 4)ᵀ + u2 = (1, 0, 0, 4)ᵀ + u3 = (0, 1, 0, 0)ᵀ + u4 = (1, -1, 0, 4)ᵀ + +und φ : ℝ^4 —> ℝ^2 partiell definiert + + φ(u1) = (8, 1)ᵀ + φ(u2) = (4, 5)ᵀ + φ(u3) = (4, -4)ᵀ + φ(u4) = (0, 9)ᵀ + +Beachte: + {u1, u2} lin. unabh. + u3, u4 ∈ Lin{u1, u2}: + u3 = u1 - u2 + u4 = u2 - u3 = u2 - (u1 - u2) = 2·u2 – u1 + +Darum müssen + + φ(u3) = φ(u1) - φ(u2) + φ(u4) = 2·φ(u2) – φ(u1) + +gelten. + +Wenn nicht erfüllt ==> ex. keine lineare Ausdehnung. +Wenn erfüllt ==> ex. eine lineare Ausdehnung: + +Setze + + u1' = u1 + u2' = u2 + ---> {u1', u2'} lin. unabh. + ---> {u1', u2'} lässt sich zu einer Basis + {u1', u2', u3', u4'} von ℝ^4 + +Wähle v3, v4 ∈ ℝ^2 beliebig und setze + + φ(u1') := (8, 1)ᵀ + φ(u2') := (4, 5)ᵀ + φ(u3') := v3 + φ(u4') := v4 + +Dann laut Satz 6.1.13. ex. eine (eindeutige) lineare Abb. + φ : ℝ^4 —> ℝ^2 +mit + + φ(u1') = (8, 1)ᵀ + φ(u2') = (4, 5)ᵀ + φ(u3') = v3 + φ(u4') = v4 diff --git a/protocol/woche12/README.md b/protocol/woche12/README.md index c822285..e0ea1e8 100644 --- a/protocol/woche12/README.md +++ b/protocol/woche12/README.md @@ -8,7 +8,10 @@ - Warten noch Leute auf deren Noten? - Klausurvorbereitung - Liste (noch unter Arbeit) von relevanten Themen: [/protocol/README.md > Klausur](../../protocol/README.md)). -- ( ) Fragen/Feedback zu ÜB10 -- ( ) Fragen zu SKA 11 -- ( ) Fragen zu ÜB11 -- ( ) VL-Stoff + allg. Fragen (Rest) +- (x) Fragen/Feedback zu ÜB10 +- (√) Fragen zu SKA 11 + - Aufgabe 12 (---> siehe [/notes/berechnungen_wk12.md](../../notes/berechnungen_wk12.md)) +- (√) Fragen zu ÜB11 + - Erkennung von linearen Abb. + - Punkt über Q / Permutationsmatrix für Aufgabe 3. +- (x) VL-Stoff + allg. Fragen (Rest)