From d9414f2779c1990661e103d7c6c21935b26cd2ac Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: raj_mathe Date: Fri, 22 Jan 2021 08:46:02 +0100 Subject: [PATCH] master > master: Formattierung --- notes/berechnungen_wk11.md | 85 +++++++++++++++++++------------------- 1 file changed, 43 insertions(+), 42 deletions(-) diff --git a/notes/berechnungen_wk11.md b/notes/berechnungen_wk11.md index 5ea9045..f9923ad 100644 --- a/notes/berechnungen_wk11.md +++ b/notes/berechnungen_wk11.md @@ -5,8 +5,8 @@ Bestimme in jedem Falle, ob φ linear ist. a) - φ(x1, x2, x3) = ( 4·x1·x3 ) - ( 10·x2 ) + φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4·x₁·x₃ ) + ( 10·x₂ ) Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(2, 0, 2) = 2·φ(1, 0, 1) gelten. Aber: @@ -18,8 +18,8 @@ Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird. b) - φ(x1, x2, x3) = ( x3² ) - ( 0 ) + φ(x₁, x₂, x₃) = ( x₃² ) + ( 0 ) Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0, 0, 8) = 8·φ(0, 0, 1) gelten. Aber: @@ -31,21 +31,21 @@ Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird. c) - φ(x1, x2, x3) = ( x3 ) + φ(x₁, x₂, x₃) = ( x₃ ) ( 0 ) --> linear d) - φ(x1, x2, x3) = ( 0 ) + φ(x₁, x₂, x₃) = ( 0 ) ( 0 ) --> linear e) - φ(x1, x2, x3) = ( 4 ) + φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4 ) ( 0 ) Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2] @@ -54,15 +54,15 @@ Also ist φ nicht linear. f) - φ(x1, x2, x3) = ( 10·x3 ) - ( -x2 + x1 ) + φ(x₁, x₂, x₃) = ( 10·x₃ ) + ( -x₂ + x₁ ) linear! g) - φ(x1, x2, x3) = ( 1 - 10·x3 ) - ( -x2 + x1 ) + φ(x₁, x₂, x₃) = ( 1 - 10·x₃ ) + ( -x₂ + x₁ ) Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2] Aber φ(0) = (1, 0)ᵀ. @@ -70,7 +70,7 @@ Also ist φ nicht linear. h) - φ(x1, x2, x3) = ( exp(-(7·x2 + 8·x1)) ) + φ(x₁, x₂, x₃) = ( exp(-(7·x₂ + 8·x₁)) ) ( 0 ) Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2] @@ -79,15 +79,15 @@ Also ist φ nicht linear. ## §2. Aufgaben ähnlich zu ÜB 10-2 ## -Seien A = (u1, u2, u3) und B = (v1, v2), +Seien A = (u₁, u₂, u₃) und B = (v₁, v₂), wobei - u1 = (3, 0, 1)ᵀ - u2 = (0, -1, 0)ᵀ - u3 = (4, 0, 0)ᵀ + u₁ = (3, 0, 1)ᵀ + u₂ = (0, -1, 0)ᵀ + u₃ = (4, 0, 0)ᵀ - v1 = (4, 5)ᵀ - v2 = (0, 1)ᵀ + v₁ = (4, 5)ᵀ + v₂ = (0, 1)ᵀ Beachte: @@ -96,33 +96,33 @@ Beachte: Sei nun φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert durch - φ(x1, x2, x3) = ( 4·x1 - x3 ) - ( 10·x2 + x1 ) + φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4·x₁ - x₃ ) + ( 10·x₂ + x₁ ) ### Zur Linearität ### Seien - (x1,x2,x3), (x1',x2',x3') ∈ ℝ³ + (x₁,x₂,x₃), (x₁',x₂',x₃') ∈ ℝ³ c, c' ∈ ℝ **Zu zeigen:** - φ(c(x1, x2, x3) +c'(x1',x2',x3')) = c·φ(x1, x2, x3) +c'·φ(x1',x2',x3') + φ(c(x₁, x₂, x₃) +c'(x₁',x₂',x₃')) = c·φ(x₁, x₂, x₃) +c'·φ(x₁', x₂', x₃') Es gilt - l. S. = φ(c(x1, x2, x3) +c'(x1',x2',x3')) - = φ(c(x1·e1 + x2·e2 + x3·e3) +c'(x1'·e1 + x2'·e2 + x3'·e3)) - = φ((c·x1 + c'·x1)·e1 + (c·x2 + c'·x2)·e2 + (c·x3 + c'·x3)·e3) - = φ(c·x1 + c'·x1', c·x2 + c'·x2', c·x3 + c'·x3') + l. S. = φ(c(x₁, x₂, x₃) +c'(x₁',x₂',x₃')) + = φ(c(x₁·e1 + x₂·e2 + x₃·e3) +c'(x₁'·e1 + x₂'·e2 + x₃'·e3)) + = φ((c·x₁ + c'·x₁)·e1 + (c·x₂ + c'·x₂)·e2 + (c·x₃ + c'·x₃)·e3) + = φ(c·x₁ + c'·x₁', c·x₂ + c'·x₂', c·x₃ + c'·x₃') - = ( 4·(c·x1 + c'·x1') - (c·x3 + c'·x3') ) - ( 10·(c·x2 + c'·x2') + (c·x1 + c'·x1') ) + = ( 4·(c·x₁ + c'·x₁') - (c·x₃ + c'·x₃') ) + ( 10·(c·x₂ + c'·x₂') + (c·x₁ + c'·x₁') ) - = ( c·(4·x1 - x3) + c'·(4·x1' - x3') ) - ( c·(10·x2 + x1) + c'·(10·x2' + x1') ) + = ( c·(4·x₁ - x₃) + c'·(4·x₁' - x₃') ) + ( c·(10·x₂ + x₁) + c'·(10·x₂' + x₁') ) - = c·( 4·x1 - x3 ) + c'·( 4·x1' - x3' ) - ( 10·x2 + x1 ) ( 10·x2' + x1' ) + = c·( 4·x₁ - x₃ ) + c'·( 4·x₁' - x₃' ) + ( 10·x₂ + x₁ ) ( 10·x₂' + x₁' ) = r. S. @@ -131,9 +131,9 @@ Darum ist φ linear. ### Darstellung ### Zunächst beobachten wir: - φ(x1, x2, x3) = ( 4 0 -1 ) ( x1 ) - ( 1 10 0 ) ( x2 ) - ( x3 ) + φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4 0 -1 ) ( x₁ ) + ( 1 10 0 ) ( x₂ ) + ( x₃ ) = C·x = φ_C(x) siehe [Skript, Bsp 6.2.2], @@ -204,13 +204,14 @@ Darum gilt ## §3. Lineare Fortsetzung von partiell definierten Funktionen ## -Sei φ : ℝ^5 ⟶ ℝ³ +Sei φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³ -Seien u1, u2, u3, u4, u5 eine Basis für ℝ^5. +Seien u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis für ℝ⁵. +Seien v₁, v₂, v₃ Vektoren in ℝ³. Definiert werden - φ(u1) = v1, φ(u2) = v2, φ(u4) = v3 + φ(u₁) = v₁, φ(u₂) = v₂, φ(u₄) = v₃ **Aufgabe:** Gibt es eine lineare Abbildung, die die o. s. Gleichungen erfüllen? @@ -218,11 +219,11 @@ Definiert werden **Beweis:** Setze - φ(u3) := 0 (Nullvektor) - φ(u5) := 0 (Nullvektor) + φ(u₃) := 0 (Nullvektor) + φ(u₅) := 0 (Nullvektor) -Da u1, u2, u3, u4, u5 eine Basis ist, -können wir für belieges x ∈ ℝ^5 +Da u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis ist, +können wir für beliebiges x ∈ ℝ⁵ φ(x) = ∑ c_i · φ(ui)