From ddadc9bcc3894e3fbaf008549f8c5d85a31466f3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: raj_mathe Date: Wed, 3 Feb 2021 15:03:51 +0100 Subject: [PATCH] master > master: Formatierung --- notes/berechnungen_wk12.md | 98 +++++++++++++++++++------------------- protocol/woche12/README.md | 6 ++- 2 files changed, 55 insertions(+), 49 deletions(-) diff --git a/notes/berechnungen_wk12.md b/notes/berechnungen_wk12.md index d843db9..f89833d 100644 --- a/notes/berechnungen_wk12.md +++ b/notes/berechnungen_wk12.md @@ -11,7 +11,7 @@ A eine m x m Matrix, m = 4: 4 3 3 1 1 -2 2 3 -in IF₅. +in 𝔽₅. Zur Bestimmung der Invertierbarkeit: Gaußverfahren auf (A | I): @@ -32,59 +32,60 @@ Zeile 4 <- Zeile 4 - Zeile 1 —> modulo 5 - 1 2 3 4 | 1 0 0 0 - 0 1 3 3 | 3 1 0 0 - 0 0 1 0 | 1 0 1 0 - 0 1 4 4 | 4 0 0 1 + 1 2 3 4 | 1 0 0 0 + 0 1 3 3 | 3 1 0 0 + 0 0 1 0 | 1 0 1 0 + 0 1 4 4 | 4 0 0 1 Zeile 4 <- Zeile 4 - Zeile 2 - 1 2 3 4 | 1 0 0 0 - 0 1 3 3 | 3 1 0 0 - 0 0 1 0 | 1 0 1 0 - 0 0 1 1 | 1 4 0 1 + 1 2 3 4 | 1 0 0 0 + 0 1 3 3 | 3 1 0 0 + 0 0 1 0 | 1 0 1 0 + 0 0 1 1 | 1 4 0 1 (hier habe ich sofort mod 5 berechnet) Zeile 4 <- Zeile 4 - Zeile 3 - 1 2 3 4 | 1 0 0 0 - 0 1 3 3 | 3 1 0 0 - 0 0 1 0 | 1 0 1 0 - 0 0 0 1 | 0 4 4 1 + 1 2 3 4 | 1 0 0 0 + 0 1 3 3 | 3 1 0 0 + 0 0 1 0 | 1 0 1 0 + 0 0 0 1 | 0 4 4 1 -==> Rang(A) = 4 = m -==> A invertierbar +⟹ Rang(A) = 4 = m + +⟹ A invertierbar Zeile 1 <- Zeile 1 - 2·Zeile 2 - 1 0 -3 -2 |-5 -2 0 0 - 0 1 3 3 | 3 1 0 0 - 0 0 1 0 | 1 0 1 0 - 0 0 0 1 | 0 4 4 1 + 1 0 2 3 | 0 3 0 0 + 0 1 3 3 | 3 1 0 0 + 0 0 1 0 | 1 0 1 0 + 0 0 0 1 | 0 4 4 1 -Zeile 1 <- Zeile 1 + 3·Zeile 3 +Zeile 1 <- Zeile 1 - 2·Zeile 3 Zeile 2 <- Zeile 2 - 3·Zeile 3 - 1 0 0 -2 |-2 -2 3 0 - 0 1 0 3 | 0 1 -3 0 - 0 0 1 0 | 1 0 1 0 - 0 0 0 1 | 0 4 4 1 + 1 0 0 3 | 3 3 3 0 + 0 1 0 3 | 0 1 2 0 + 0 0 1 0 | 1 0 1 0 + 0 0 0 1 | 0 4 4 1 -Zeile 1 <- Zeile 1 + 2·Zeile 4 +Zeile 1 <- Zeile 1 - 3·Zeile 4 Zeile 2 <- Zeile 2 - 3·Zeile 4 - 1 0 0 0 | 3 1 1 2 - 0 1 0 0 | 0 4 0 2 - 0 0 1 0 | 1 0 1 0 - 0 0 0 1 | 0 4 4 1 + 1 0 0 0 | 3 1 1 2 + 0 1 0 0 | 0 4 0 2 + 0 0 1 0 | 1 0 1 0 + 0 0 0 1 | 0 4 4 1 -===> A^-1 steht in der rechten Hälfte +⟹ A¯¹ steht in der rechten Hälfte - A^-1 = 3 1 1 2 - 0 4 0 2 - 1 0 1 0 - 0 4 4 1 + A¯¹ = 3 1 1 2 + 0 4 0 2 + 1 0 1 0 + 0 4 4 1 ## Lineare Ausdehnung ## @@ -100,7 +101,7 @@ Seien v2 = (-1, 1)ᵀ v3 = ( 1, 0)ᵀ -Gibt es eine lineare Abbildung, φ : IR^3 —> IR^2, +Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ³ —> ℝ², so dass φ(w1) = v1 @@ -132,7 +133,7 @@ Seien v1 = ( 2, 1)ᵀ v2 = (-1, 1)ᵀ -Gibt es eine lineare Abbildung, φ : IR^3 —> IR^2, +Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ³ —> ℝ², so dass φ(w1) = v1 @@ -143,8 +144,8 @@ gilt, und so dass φ injektiv ist? surjektiv? bijektiv? **Antwort.** - {w1, w2} sind linear unabhängig (wiederum mit Gaußverfahren und Rang zeigen). -- {w1, w2} können zu einer Basis von IR^3 ergänzt werden: {w1, w2, w3} -- Setze v3 ∈ IR^2 beliebig +- {w1, w2} können zu einer Basis von ℝ³ ergänzt werden: {w1, w2, w3} +- Setze v3 ∈ ℝ² beliebig - Satz der linearen Ausdehnung (6.1.13) wieder anwenden: - _es gibt eine_ lineare Abb, φ, die @@ -153,11 +154,11 @@ gilt, und so dass φ injektiv ist? surjektiv? bijektiv? φ(w3) = v3 erfüllt. - - Bild(φ) = lin{v1,v2,v3} ⊇ lin{v1, v2} = IR^2, - weil {v1, v2} eine Basis von IR^2. - Also Bild(φ) = IR^2. + - Bild(φ) = lin{v1,v2,v3} ⊇ lin{v1, v2} = ℝ², + weil {v1, v2} eine Basis von ℝ². + Also Bild(φ) = ℝ². - Darum ist φ surjektiv. -- Es gibt keine injektive (und damit keine bijektive) lin. Abb. φ von IR^3 nach IR^2, +- Es gibt keine injektive (und damit keine bijektive) lin. Abb. φ von ℝ³ nach ℝ², weil Rang(φ) <= 2, und 2 ≥ 3 gilt nicht. **Aufgabe 3a.** @@ -172,7 +173,7 @@ Seien v2 = (-2, 1, 0)ᵀ v3 = (1, 2, 0)ᵀ -Gibt es eine lineare Abbildung, φ : IR^3 —> IR^3, +Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ³ —> ℝ³, so dass φ(w1) = v1 @@ -191,15 +192,16 @@ Es gilt Darum ist die Frage äquivalent zu derselben Frage, nur mit nur den ersten 2 Bedingungen, weil die 3. immer mit erfüllt sein wird, -weil falls φ : IR^3 —> IR^3 linear und Bed. 1+2 erfüllt, +weil falls φ : ℝ³ —> ℝ³ linear und Bed. 1+2 erfüllt, so gilt Bedingung 3, weil φ(w3) = φ(w1 + w2) = φ(w1) + φ(w2) = v1 + v2 = v3. Ansatz: -- füge w3' hinzu, damit {w1,w2,w3'} eine Basis von IR^3 ist. -- v3' jetzt so wählen, dass φ surjektiv/injektiv ist. +- füge w3' hinzu, damit {w1,w2,w3'} eine Basis von ℝ³ ist. +- v3' jetzt so wählen, dass φ injektiv/nicht injektiv ist. +- Beachte Korollar 6.1.11 im besonderen Falle dass φ : ℝⁿ —> ℝⁿ mit gleicher Dim für Inputraum und Outputraum!! Lin Abb. injektiv ⟺ surjektiv ⟺ bijektiv (≡ „Isomorphismus“). **Aufgabe 3b.** @@ -214,7 +216,7 @@ Seien v2 = (-1, 1, 0)ᵀ v3 = (1, 4, 0)ᵀ -Gibt es eine lineare Abbildung, φ : IR^3 —> IR^3, +Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ³ —> ℝ³, so dass φ(w1) = v1 @@ -232,7 +234,7 @@ Es gilt - Aber v3 ≠ v1 + v2. Darum kann es niemals eine lineare Abb geben, die alle 3 Bedingungen erfüllt, -weil falls φ : IR^3 —> IR^3 linear ist und Bed. 1+2+3 erfüllt, +weil falls φ : ℝ³ —> ℝ³ linear ist und Bed. 1+2+3 erfüllt, so gilt φ(w3) = φ(w1 + w2) = φ(w1) + φ(w2) = v1 + v2 ≠ v3. diff --git a/protocol/woche12/README.md b/protocol/woche12/README.md index d34ed8c..00774b3 100644 --- a/protocol/woche12/README.md +++ b/protocol/woche12/README.md @@ -18,5 +18,9 @@ - warum Rang(A)=m ⟺ Rang(A) ≥ m in Aufgabe 11·2(b): - weil Rang(A) = Zeilenrang ≤ m stets gilt! - (√) Fragen zum Stoff oder Aufgaben - - Berechnung von Inversen / Gaußalgorithmus im Falle von endlichen Körpern (z. B. modulo 5) + - Berechnung von Inversen / Gaußalgorithmus im Falle von endlichen Körpern + (z. B. 𝔽₅, modulo _p_ für eine Primzahl) - lineare Ausdehnung + +Berechnungen ---> siehe [/notes/berechnungen_wk12.md](../../notes/berechnungen_wk12.md). +(Siehe auch Berechnungen in [Woche 10](../../notes/berechnungen_wk10.md).)