master > master: Woche 10

notes/berechnungen_wk10.md

@@ -2,6 +2,7 @@
 
 U = lin{u1, u2}
 V = lin{v1, v2, v3}
+
 ### U ⊆ V ? ###
 
 #### Beispiel 1 ####
@@ -13,6 +14,14 @@ v1 = (4 0 0 0)ᵀ
 v2 = (1 4 0 0)ᵀ
 v3 = (1 0 1 0)ᵀ
 
+Anmerkung: lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3} <===> u1, u2 ∈ lin{v1, v2, v3}
+
+Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2)
+---> auf Zeilenstufenform reduzieren
+---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind.
+---> ja
+---> lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3}
+
 #### Beispiel 2 ####
 
 u1 = (1 1 0 1)ᵀ
@@ -22,7 +31,120 @@ v1 = (4 0 0 0)ᵀ
 v2 = (1 4 0 0)ᵀ
 v3 = (1 0 1 0)ᵀ
 
+Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2)
+---> auf Zeilenstufenform reduzieren
+---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind.
+---> nein
+---> also lin{u1, u2} ⊈ lin{v1, v2, v3}
 
 ### Basis von V/U ###
 
 --> Beispiel 1.
+
+u1 = (1 1 0 0)ᵀ
+u2 = (-1 1 0 0)ᵀ
+
+v1 = (4 0 0 0)ᵀ
+v2 = (1 0 1 0)ᵀ
+v3 = (1 4 0 0)ᵀ
+
+Schreibweise für Äquivalenzklassen:
+    [v] = v + U
+--> die Elemente in V/U
+
+Setze A := (u1 u2 v1 v2 v3)
+---> auf Zeilenstufenform reduzieren
+---> bestimmen, welche Variablen frei / unfrei sind
+     ---> bestimme die Basis durch die Spalten, die den unfreien Variablen entsprechen
+--->
+    x3, x5 sind frei
+    x1, x2, x4 nicht frei
+---> v2 + U (entspricht x4) bildet eine Basis
+
+
+## SKA 9-5 ##
+
+Basis für U:
+u1 = (1 1 0)ᵀ
+u2 = (0 1 1)ᵀ
+Basis für V = ℝ^3:
+v1 = (1 0 0)ᵀ
+v2 = (0 1 0)ᵀ
+v3 = (0 0 1)ᵀ
+
+A = (u1, u2, v1, v2, v3)
+---> Zeilenstufenform: x1, x2, x3 nicht frei; x4, x5 frei
+---> V / U = lin {v1 + U} = lin { e1 + U }
+    und dim(V/U) = 1
+
+    Beachte: v2 = u1 - v1      ===> v2 + U = -(v1 + U)
+             v3 = (u2-u1) + v1 ===> v3 + U = v1 + U
+
+
+
+## UB9-2 (Bsp) ##
+
+Seien
+
+v1 = (1 0 0 4 1)ᵀ
+v2 = (0 1 0 8 0)ᵀ
+v3 = (-3 0 0 0 1)ᵀ
+
+φ : ℝ^3 ---> ℝ^5
+sei linear mit
+    φ(e_i) = v_i für alle i
+
+1. Sei x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ^3
+    φ(x1,x2,x3)
+    = φ(x)
+    = φ(x1·e1 + x2·e2 + x3·e3)
+    = φ(x1·e1) + φ(x2·e2) + φ(x3·e3)
+    = x1·φ(e1) + x2·φ(e2) + x3·φ(e3)
+    = x1·v1 + x2·v2 + x3·v3
+    = Ax
+wobei A = (v1 v2 v3)
+    =   1   0  -3
+        0   1   0
+        0   0   0
+        4   8   0
+        1   0   1
+Also ist φ = φ_A (siehe Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020]).
+Wℝ berechnen den Rang von A, um die Injektivität/Surjektivität/Bijektivität
+von φ zu klassifizieren:
+---> A in Zeilenstufenform:
+        1    0   -3
+        0    1    0
+        0    0    0
+        0    0   12
+        0    0    4
+    Rang(A) = 3
+---> A ist eine mxn Matrix mit m=5, n=3
+        Rang(A) = 3 ≥ 3 = n ===> φ = φ_A ist injektiv
+        Rang(A) = 3 < 5 = m ===> φ = φ_A ist nicht surjektiv
+        m ≠ n ===> φ = φ_A ist nicht bijektiv
+
+
+
+## UB9-3 (wie man ansetzen kann...) ##
+
+ZZ ψ◦ϕ injektiv <===> ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}
+
+(==>) Angenommen, ψ◦ϕ injektiv.
+Zz: ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}.
+
+...
+
+(<==) Angenommen, ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0}.
+Zz: ψ◦ϕ injektiv
+
+Laut Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020] reicht es aus zu zeigen,
+dass Kern(ψ◦ϕ) = {0}.
+Sei x ∈ U beliebig.
+Zz: x ∈ Kern(ψ◦ϕ) <===> x = 0
+
+        x ∈ Kern(ψ◦ϕ)
+        <===> (ψ◦ϕ)(x) = 0
+        ..
+        .. <--- ϕ injektiv + Kern(ψ) ∩ Bild(ϕ) = {0} ausnutzen !
+        ..
+        <===> x = 0

protocol/woche10/README.md

@@ -5,7 +5,7 @@ Das Material aus _Woche 9_ ist aber für diese Woche noch relevant.
 
 ## Ablauf ##
 
-- ( ) allgemeine Ankündigungen
+- (√) allgemeine Ankündigungen
     - Antwort auf Frage vom Prof über Argumentation (Berechnungen vs. Worte)
     - Semesterende:
         - Klausur in letzter Vorlesungswoche, Freitag den 12.02.2021 um 12:00–14:00. Organisatorisch genauso wie Hausaufgaben:
@@ -16,9 +16,11 @@ Das Material aus _Woche 9_ ist aber für diese Woche noch relevant.
             In letzter Woche Zeit in Übung zur Besprechung der Klausur.
         - SKA 12 wird trotzdem veröffentlicht.
         - Übrig gebliebene Themen: 5.5, 6.1, 6.2, 6.3, 6.4. Koordinatenwechsel --> Sommersemester.
-- ( ) Fragen zu ÜB8
-- ( ) Fragen zu SKA 8
-- ( ) Fragen zu SKA 9
-    - Bsp.
-- ( ) ÜB9 / Hinweise
-- ( ) VL-Stoff + allg. Fragen (Rest)
+- (√) Fragen zu ÜB8
+- ~~( ) Fragen zu SKA 8~~
+- (√) Fragen zu SKA 9 (9-5)
+- (√) ÜB9 / Hinweise
+- (√) VL-Stoff + allg. Fragen (Rest)
+    - Verwendung von Sätzen/Lemmate bei Aufgaben
+    - Faktorräume
+    - Rang