raj_mathe/linalg2020
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master > master: Musterlösung A6 Text überarbeitet, Fälle ergänzt

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@ -1317,6 +1317,7 @@
\def\vectorspacespan{\mathop{\text{\upshape Lin}}}
\def\dim{\mathop{\text{\upshape dim}}}
\def\det{\mathop{\text{\upshape det}}}
\def\rank{\mathop{\text{\upshape Rang}}}
\def\onematrix{\text{\upshape\bfseries I}}
\def\zeromatrix{\text{\upshape\bfseries 0}}
@ -1377,7 +1378,7 @@
\label{ueb:1:ex:1}
\let\sectionname\altsectionname
Es sSei $V\neq\{0\}$ ein Vektorraum über einem Körper, $K$.
Es sei $V\neq\{0\}$ ein Vektorraum über einem Körper, $K$.
Eine lineare Abbildung ${\phi:V\to V}$ heißt dann \emph{stark kontrahierend},
wenn $\exists{n\in\ntrlpos:~}\phi^{n}=0(\cdot)$.
@ -1397,7 +1398,7 @@ Es gibt hierfür mehrere Ansätze.
In jedem der u.\,s. Möglichkeiten fixieren wir ein $n\in\ntrlpos$, so dass $\phi^{n}=\zerovector$,
und wir nehmen an, $\phi$ sei \emph{stark kontrahierend}.
Als möglicherweise einfachtsten Ansätze kann man auf der Ebene von Abbildungen argumentieren.
Als möglicherweise einfachste Ansätze kann man auf der Ebene von Abbildungen argumentieren.
\setcounternach{enumi}{1}
\begin{enumerate}{\bfseries {Ansatz} I.}
@ -1477,8 +1478,8 @@ und konstruktiv vorgehen.
\enndeOfProof
\end{enumerate}
Am Schönsten kann man mit \emph{Dimension} arbeiten.
(Auf diese Idee ist ein Studierender gekommen.)
Die vielleicht schönsten Ideen kamen von zwei Studierenden
und verwenden \emph{Dimension} bzw. \emph{Determinante}.
\begin{enumerate}{\bfseries {Ansatz} I.}
\setcounternach{enumi}{5}
@ -1513,15 +1514,23 @@ Am Schönsten kann man mit \emph{Dimension} arbeiten.
Darum gilt in allen Fällen $\dim(\ker(\phi))>0$, wzzw.
\enndeOfProof
\item
(Funktioniert nur, wenn $V$ endlich dimensional ist.)
Sei $A$ eine Matrizendarstellung von $\phi$.
\textbf{Zu zeigen:} $\det(A)=0$ (da $A$ invertierbar $\Leftrightarrow$ $\det(A)\neq 0$).
Es gilt $\det(A)^{n}=\det(A^{n})=\det(\zeromatrix)=0$.
Daraus folgt, dass $\det(A)=0$.
\enndeOfProof
\end{enumerate}
\begin{punktschema}
3 &Argument vollständig (=ausführlich) und logisch gültig.\\
\hdashline
2 &Der Ansatz war richtig aber z.\,B.:\\
&es fehlte an Ausführlichkeit (enthielt jedoch genug von dem nicht trivialen Teil);\\
&er war nicht ausführlich (enthielt jedoch genug von dem nicht trivialen Teil);\\
&oder die Aufgabe war in (a) falsch, aber versteckteweise in (b) vorhanden (und zwar vollständig+gültig);\\
&oder er baute z.\,T. auf einem inkorrekt präsentierten Resultat (was dann z.\,B. auf die Ausführlichkeit eine Auswirkung hatte).\\
&oder er baute z.\,T. auf einem inkorrekt präsentierten Resultat
(was dann z.\,B. auf die Ausführlichkeit eine Auswirkung hatte).\\
\hdashline
1 &Ansatz enthielt eine richtige Idee, aber wurde nicht korrekt/ausführlich ausgeführt,
od. man schließt die (nicht triviale) Lücke zw. Aussage über $\phi^{n}$ und Aussage über $\phi$ nicht\\
@ -1532,16 +1541,19 @@ Am Schönsten kann man mit \emph{Dimension} arbeiten.
{\footnotesize
\textbf{Bemerkung.}
Da es sich hier um die Bewertung von Argumentationen handelt,
kann man in Wirklichkeit hier kein Schema festlegen.
Stattdessen musste ich über die Qualität ein Urteil treffen.
kann man in Wirklichkeit kein Schema festlegen.
Stattdessen musste über die Qualität Urteile getroffen werden.
In erster Linie kriegt man volle Punkte, wenn man
vollständig (idealerweise auch ausführlich) + gültig + überzeugend
argumentierte.
Ab dann musste ich anhand unterschiedlicher Defizite empirische Graduierungen implementieren.
Ab dann wurden anhand unterschiedlicher Defizite empirische Graduierungen implementiert.
Wenn etwas unvollständig oder ungültig war, bekam der Versuch einen Abzug.
Wenn etwas zu unordentlich oder inkohärent war, wurde meistens auf $0$ Pkt gegeben,
aber diese wurde verschont, wenn die Argumentation eine richtige Idee enthielt.
Es gab einen Fall, wo leider ein Denkfehler (ungültiger Schritt) vorlag,
Wenn etwas zu unordentlich oder inkohärent war, wurde meistens $0$ Pkt gegeben.
(Hier ging es nicht um Handschrift, sondern um die Präsentation insgesamt,
den Umgang mit technischen Mitteln
und den Aufbau des Argumentes.)
Dies wurde dennoch gespart, wenn die Argumentation eine richtige Idee enthielt.
Es gab z.\,B. einen Fall, wo leider ein Denkfehler (ungültiger Schritt) vorlag,
aber der Ansatz war sonst sauber aufgeschrieben,
sodass der Versuch mindestens $1$ Pkt verdiente.
}
@ -1664,25 +1676,29 @@ Aber die Zielsetzungen sind anders.
\end{punktschema}
{\footnotesize
\textbf{Bemerkung.} Hier lagen ähnliche Schwierigkeiten vor, ein Schema festzulegen.
Dafür wandte ich ähnliche Prinzipien an wie in der Bemerkung am Ende von A6a.
Spezifisch zu dieser Aufgabe konnte ich folgendes Beobachten:
\textbf{Bemerkung.} Hier lagen wiederum Schwierigkeiten vor, ein Schema festzulegen.
Dafür wurde ähnliche Prinzipien angewandt wie in A6a (siehe Bemerkung dort).
Spezifisch zu dieser Aufgabe konnte man folgendes Beobachten:
\begin{kompaktitem}
\item Denkfehler im Ansatz: Viele haben ein Element in $\ker(\phi)$ gesucht,
dann eins in $\range(\phi)$, aber nicht ein \uline{gemeinsames Element}.
\item Denkfehler im Ansatz:
Viele haben ein Element in $\ker(\phi)$ gesucht,
dann eins in $\range(\phi)$,
aber kein \uline{gemeinsames Element}.
\item Technische Kleinigkeiten (die jedoch keine Lappalien sind):
Damit man $\phi^{k-1}(v)$ und $\phi^{k-2}(v)$ überhaupt bilden darf,
muss man \uline{begründen}, dass $k\geq 1$ bzw. $k\geq 2$.
Ein sorgfältiger Umgang mit Randfällen und zu prüfen, dass etwas nicht jenseits eines Randes,
sind allgemein wichtig in allen technischen Bereichen.
\item Zu unterscheiden dazwischen, wann etwas trivial ist, und wann etwas explizit/ausführlich begründet werden soll.
\item Man argumentiert für Ergebnisse,
die schon in anderen Teilaufgaben vorhanden sind.
Das weist darauf hin,
\item Es schien für einige schwierig zu unterscheiden,
wann etwas trivial war,
und wann etwas explizit/ausführlich begründet werden soll.
\item Manchmal argumentierte man für Ergebnisse,
die schon in anderen Teilaufgaben vorhanden waren.
So etwas weist darauf hin,
dass man sich der Bedeutung der Resultate bzw. der Zusammenhänge nicht bewusst ist.
Auch wenn eine Prüfung größtenteils sachlich ist,
ist es generell sinnvoll,
ist es dennoch sinnvoll,
sich zu überlegen, wie die Teile einer Aufgabe aufeinander aufbauen
und wie sie konzipiert sind.
\end{kompaktitem}
@ -1697,9 +1713,10 @@ Spezifisch zu dieser Aufgabe konnte ich folgendes Beobachten:
%% AUFGABE 6c
\headingTeilaufgabe{6c}
Hier müssen wir für $V=\reell^{2}$ ein ${\phi:V\to V}$,
Hier müssen wir für $V=\reell^{2}$ ein lineares ${\phi:V\to V}$ konstruieren,
so dass $\phi\neq 0(\cdot)$
und so dass $\phi$ \kurs{stark kontrahierend} ist.
und
so dass $\phi$ \kurs{stark kontrahierend} ist.
Äquivalent können wir eine passende
Matrixdarstellung, $A\in M_{2\times 2}(\reell)$,
konstruieren.
@ -1765,7 +1782,7 @@ Hier ein paar Möglichkeiten:
1 &1\\
1 &1\\
\end{matrix}$.
Da $\rank(A)=1$ ist $A$ nicht invertierbar.
Da $\rank(A)=1$, ist $A$ nicht invertierbar.
(Auch möglich: man weise darauf hin, dass die Spalten in $A$ nicht linear unabhängig sind.)
Es gilt nun $A^{2}=\begin{matrix}{cc}
2 &2\\
@ -1774,7 +1791,7 @@ Hier ein paar Möglichkeiten:
Darum
$A^{3} = A^{2}\cdot A = 2A\cdot A = 2\cdot A^{2} = 2\cdot 2A = 2^{2}A$,
usw.
Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=2^{n}A(\neq 0)$ für alle $n\in\ntrlpos$.
Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=2^{n}A\neq\zeromatrix$ für alle $n\in\ntrlpos$.
Darum ist $A$ (bzw. $\phi_{A}$) \uline{nicht} \kurs{stark kontrahierend}.
\item
$A:=\begin{matrix}{cc}
@ -1782,7 +1799,7 @@ Hier ein paar Möglichkeiten:
p &1-p\\
\end{matrix}$
für $p\in[0,1]$.
Da $\rank(A)=1$ ist $A$ nicht invertierbar.
Da $\rank(A)=1$, ist $A$ nicht invertierbar.
(Auch möglich: man weise darauf hin, dass die Spalten in $A$ nicht linear unabhängig sind.)
Es gilt nun $A^{2}=\begin{matrix}{cc}
p &1-p\\
@ -1791,14 +1808,14 @@ Hier ein paar Möglichkeiten:
Darum
$A^{3} = A^{2}\cdot A = A\cdot A = A^{2} = A$,
usw.
Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=A(\neq 0)$ für alle $n\in\ntrlpos$.
Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=A\neq\zeromatrix$ für alle $n\in\ntrlpos$.
Darum ist $A$ (bzw. $\phi_{A}$) \uline{nicht} \kurs{stark kontrahierend}.
\item
$A:=\begin{matrix}{cc}
1 &0\\
1 &0\\
\end{matrix}$.
Da $\rank(A)=1$ ist $A$ nicht invertierbar.
Da $\rank(A)=1$, ist $A$ nicht invertierbar.
(Auch möglich: berechne Zeilenstufen form und begründe dadurch.)
Es gilt nun $A^{2}=\begin{matrix}{cc}
1 &0\\
@ -1807,14 +1824,14 @@ Hier ein paar Möglichkeiten:
Darum
$A^{3}=A^{2}\cdot A = A\cdot A = A^{2}=A$,
usw.
Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=A(\neq 0)$ für alle $n\in\ntrlpos$.
Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=A\neq\zeromatrix$ für alle $n\in\ntrlpos$.
Darum ist $A$ (bzw. $\phi_{A}$) \uline{nicht} \kurs{stark kontrahierend}.
\item
$A:=\begin{matrix}{cc}
1 &0\\
0 &0\\
\end{matrix}$.
Da $\rank(A)=1$ ist $A$ nicht invertierbar.
Da $\rank(A)=1$, ist $A$ nicht invertierbar.
(Auch möglich: man weise darauf hin, dass die Spalten in $A$ nicht linear unabhängig sind.)
Es gilt nun $A^{2}=\begin{matrix}{cc}
1 &0\\
@ -1823,7 +1840,7 @@ Hier ein paar Möglichkeiten:
Darum
$A^{3}=A^{2}\cdot A = A\cdot A = A^{2}=A$,
usw.
Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=A(\neq 0)$ für alle $n\in\ntrlpos$.
Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=A\neq\zeromatrix$ für alle $n\in\ntrlpos$.
Darum ist $A$ (bzw. $\phi_{A}$) \uline{nicht} \kurs{stark kontrahierend}.
\end{kompaktitem}