From e753621a96ea73ec0e6919ef092cb3d70a279e6e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: raj_mathe Date: Fri, 22 Jan 2021 08:45:51 +0100 Subject: [PATCH] master > master: minor --- docs/loesungen.pdf | Bin 604072 -> 604072 bytes docs/loesungen.tex | 742 ++++++++++++++++++++++----------------------- 2 files changed, 370 insertions(+), 372 deletions(-) diff --git a/docs/loesungen.pdf b/docs/loesungen.pdf index 98700ca638abf860852bfb27a1b3893fdd0ce2bf..9eb41132deca9dbb8f2e75abb941faa4df0af092 100644 GIT binary patch delta 150 zcmZ4SUS-95m4+6^7N!>F7M2#)7Pc1l7LF~P6I8W~3@nUI4Gpyo4Al(`)HS*Eee+XX z5=&AQG+eBV42%p742_^lw(nBqRAh2Cay55xb#pXwu`o8YaB(wsb#ryGFtRjo1)Ae( S>TGGJU_(gBb~z2sE`9(ET_!^S delta 150 zcmZ4SUS-95m4+6^7N!>F7M2#)7Pc1l7LF~P6I8Vf3=It}OiZ*54Al(`)HS*Eee+XX z5=&AQG+eBV42%p742_^lw(nBqRAh2CFt9XqG&FNEaWQdpGIca`GIKLCb2bH1E|%sd SmQHpGHiVRHm($?v;s*fo1trY@ diff --git a/docs/loesungen.tex b/docs/loesungen.tex index 2b14669..408362e 100644 --- a/docs/loesungen.tex +++ b/docs/loesungen.tex @@ -13,83 +13,83 @@ %% DOCUMENT STRUCTURE: %% ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ %% -%% — root.tex; +%% - root.tex; +%% | +%% ---- parameters.tex; +%% | +%% ---- src/index.tex; %% | -%% — parameters.tex; +%% ---- ########; %% | -%% — src/index.tex; -%% | -%% — ########; -%% | -%% — src/setup-type.tex; -%% | -%% — src/setup-packages.tex; -%% | -%% — src/setup-parameters.tex; -%% | -%% — src/setup-macros.tex; -%% | -%% — src/setup-environments.tex; -%% | -%% — src/setup-layout.tex; -%% | -%% — src/setup-localmacros.tex; +%% ---- src/setup-type.tex; %% | -%% — front/index.tex; -%% | -%% — front/title.tex; -%% | -%% — front/foreword.tex; -%% | -%% — front/contents.tex; +%% ---- src/setup-packages.tex; %% | -%% — body/index.tex; -%% | -%% — body/uebung/ueb1.tex; -%% | -%% — body/uebung/ueb2.tex; -%% | -%% — body/uebung/ueb3.tex; -%% | -%% — body/uebung/ueb4.tex; -%% | -%% — body/uebung/ueb5.tex; -%% | -%% — body/uebung/ueb6.tex; -%% | -%% — body/uebung/ueb7.tex; -%% | -%% — body/uebung/ueb8.tex; -%% | -%% — body/uebung/ueb9.tex; -%% | -%% — body/ska/ska4.tex; -%% | -%% — body/ska/ska5.tex; 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Gleichung ist jetzt genau dann lösbar, @@ -1546,10 +1543,10 @@ Dies führt zu einem Fallunterschied: \begin{mathe}[mc]{c} \begin{matrix}{cccc|c} -\boxed{1} &7 &2 &-1 &4\\ -0 &\boxed{1} &4 &-2 &-4\\ -0 &0 &0 &0 &0\\ -\end{matrix}\\ + \boxed{1} &7 &2 &-1 &4\\ + 0 &\boxed{1} &4 &-2 &-4\\ + 0 &0 &0 &0 &0\\ + \end{matrix}\\ \end{mathe} und kann jetzt aufgelöst werden. @@ -1972,13 +1969,13 @@ Für diese Aufgabe wird das Konzept der \emph{linearen Unabhängigkeit} aus Kapi {\scriptsize \begin{mathe}[mc]{c} \begin{matrix}{ccc|c} --5 &0 &0 &-7\\ -4 &-6 &-10 &6\\ --2 &-6 &-6 &9\\ --7 &4 &-1 &-5\\ -4 &-5 &2 &-9\\ --5 &8 &-7 &-5\\ -\end{matrix} + -5 &0 &0 &-7\\ + 4 &-6 &-10 &6\\ + -2 &-6 &-6 &9\\ + -7 &4 &-1 &-5\\ + 4 &-5 &2 &-9\\ + -5 &8 &-7 &-5\\ + \end{matrix} \end{mathe}} und $I=\{2,5,6\}$ ist $(A|\mathbf{b})_{I}$ gleich @@ -1986,10 +1983,10 @@ Für diese Aufgabe wird das Konzept der \emph{linearen Unabhängigkeit} aus Kapi {\scriptsize \begin{mathe}[bc]{c} \begin{matrix}{ccc|c} -4 &-6 &-10 &6\\ -4 &-5 &2 &-9\\ --5 &8 &-7 &-5\\ -\end{matrix}. + 4 &-6 &-10 &6\\ + 4 &-5 &2 &-9\\ + -5 &8 &-7 &-5\\ + \end{matrix}. \end{mathe}} \nvraum{1} @@ -2155,14 +2152,14 @@ Mit diesem Mittel können wir nun die Hauptaussage in der Aufgabe formulieren: {\scriptsize \begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{matrix}{cccccccc|c} -\underbrace{0\,0\,\ldots\,0}_{\ell_{1}} &\gamma_{1} &\cdots\cdots &\ast &\cdots\cdots &\cdots\cdots &\ast &\cdots\cdots &b^{(N)}_{1}\\ -0\,0\,\ldots\,0 &0 &\underbrace{0\,0\,\ldots\,0}_{\ell_{2}} &\gamma_{2} &\cdots\cdots &\cdots\cdots &\ast &\cdots\cdots &b^{(N)}_{2}\\ -\vdots & & & & & & &\vdots\\ -0\,0\,\ldots\,0 &0 &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &\underbrace{0\,0\,\ldots\,0}_{\ell_{r}} &\gamma_{r} &\cdots\cdots &b^{(N)}_{r}\\ -0\,0\,\ldots\,0 &0 &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &b^{(N)}_{r+1}\\ -\vdots & & & & & & &\vdots\\ -0\,0\,\ldots\,0 &0 &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &b^{(N)}_{m}\\ -\end{matrix} + \underbrace{0\,0\,\ldots\,0}_{\ell_{1}} &\gamma_{1} &\cdots\cdots &\ast &\cdots\cdots &\cdots\cdots &\ast &\cdots\cdots &b^{(N)}_{1}\\ + 0\,0\,\ldots\,0 &0 &\underbrace{0\,0\,\ldots\,0}_{\ell_{2}} &\gamma_{2} &\cdots\cdots &\cdots\cdots &\ast &\cdots\cdots &b^{(N)}_{2}\\ + \vdots & & & & & & &\vdots\\ + 0\,0\,\ldots\,0 &0 &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &\underbrace{0\,0\,\ldots\,0}_{\ell_{r}} &\gamma_{r} &\cdots\cdots &b^{(N)}_{r}\\ + 0\,0\,\ldots\,0 &0 &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &b^{(N)}_{r+1}\\ + \vdots & & & & & & &\vdots\\ + 0\,0\,\ldots\,0 &0 &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &0\,0\,\ldots\,0 &0 &\cdots\cdots &b^{(N)}_{m}\\ + \end{matrix} \end{mathe}} wobei $r\in\ntrlzero$ die Anzahl der Stufen ist, @@ -2479,9 +2476,9 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve \begin{mathe}[mc]{rclqrcl} A &= &\begin{smatrix} -1&-3\\ -2&1\\ -\end{smatrix}, + 1&-3\\ + 2&1\\ + \end{smatrix}, &\mathbf{b} &= &\begin{svector}7\\0\\\end{svector} \end{mathe} @@ -2490,9 +2487,9 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve \begin{mathe}[mc]{c} \begin{matrix}{cc|c} -1 &-3 &7\\ -2 &1 &0\\ -\end{matrix}\\ + 1 &-3 &7\\ + 2 &1 &0\\ + \end{matrix}\\ \end{mathe} Wende die Zeilentransformation @@ -2501,9 +2498,9 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve \begin{mathe}[mc]{c} \begin{matrix}{cc|c} -1 &-3 &7\\ -0 &7 &-14\\ -\end{matrix}\\ + 1 &-3 &7\\ + 0 &7 &-14\\ + \end{matrix}\\ \end{mathe} Aus der Stufenform erschließt sich @@ -2693,10 +2690,10 @@ wobei \mathbf{w}_{2} \right) &= &\begin{smatrix} -1&-2&4&0\\ -3&5&-3&1\\ -1&-2&-3&1\\ -\end{smatrix}\\ + 1&-2&4&0\\ + 3&5&-3&1\\ + 1&-2&-3&1\\ + \end{smatrix}\\ \end{mathe} Darum ist es notwendig und hinreichend, @@ -4724,10 +4721,10 @@ Dies ist zufälligerweise auch das Nullelement von $V$. \begin{mathe}[mc]{rcl} A &:= &\begin{matrix}{ccc} -1 &3 &2\\ -2 &2 &1\\ -2 &1 &-1\\ -\end{matrix} + 1 &3 &2\\ + 2 &2 &1\\ + 2 &1 &-1\\ + \end{matrix} \end{mathe} zu untersuchen. Wir berechnen @@ -4742,10 +4739,10 @@ Dies ist zufälligerweise auch das Nullelement von $V$. \begin{mathe}[mc]{c} \begin{matrix}{ccc} -1 &2 &2\\ -0 &4 &5\\ -0 &3 &5\\ -\end{matrix}\\ + 1 &2 &2\\ + 0 &4 &5\\ + 0 &3 &5\\ + \end{matrix}\\ \end{mathe} Zeilentransformation @@ -4754,10 +4751,10 @@ Dies ist zufälligerweise auch das Nullelement von $V$. \begin{mathe}[mc]{c} \begin{matrix}{ccc} -\boxed{1} &2 &2\\ -0 &\boxed{4} &5\\ -0 &0 &\boxed{5}\\ -\end{matrix}\\ + \boxed{1} &2 &2\\ + 0 &\boxed{4} &5\\ + 0 &0 &\boxed{5}\\ + \end{matrix}\\ \end{mathe} \end{algorithm} @@ -4782,10 +4779,10 @@ Dies ist zufälligerweise auch das Nullelement von $V$. \begin{mathe}[mc]{rcl} A &:= &\begin{matrix}{ccc} -1 &3 &2\\ -2 &2 &1\\ -2 &1 &4\\ -\end{matrix} + 1 &3 &2\\ + 2 &2 &1\\ + 2 &1 &4\\ + \end{matrix} \end{mathe} zu untersuchen. Um dies zu bestimmen, können wir das Gaußverfahren anwenden. @@ -4797,10 +4794,10 @@ Dies ist zufälligerweise auch das Nullelement von $V$. \begin{mathe}[mc]{c} \begin{matrix}{ccl} -\boxed{1} &2 &2\\ -0 &\boxed{4} &5(=0)\\ -0 &0 &5(=0)\\ -\end{matrix}\\ + \boxed{1} &2 &2\\ + 0 &\boxed{4} &5(=0)\\ + 0 &0 &5(=0)\\ + \end{matrix}\\ \end{mathe} Der Zeilenstufenform entnimmt man, $\rank(A)=2$. @@ -4825,10 +4822,10 @@ Dies ist zufälligerweise auch das Nullelement von $V$. \begin{mathe}[mc]{rcl} A &:= &\begin{matrix}{ccc} -1 &1+\imageinh &\imageinh\\ -\imageinh &-\imageinh &1-\imageinh\\ -0 &1-2\imageinh &2-\imageinh\\ -\end{matrix} + 1 &1+\imageinh &\imageinh\\ + \imageinh &-\imageinh &1-\imageinh\\ + 0 &1-2\imageinh &2-\imageinh\\ + \end{matrix} \end{mathe} zu untersuchen. Wir berechnen @@ -4841,10 +4838,10 @@ Dies ist zufälligerweise auch das Nullelement von $V$. \begin{mathe}[mc]{c} \begin{matrix}{ccc} -1 &1+\imageinh &\imageinh\\ -0 &2+\imageinh &1+2\imageinh\\ -0 &1-2\imageinh &2-\imageinh\\ -\end{matrix}\\ + 1 &1+\imageinh &\imageinh\\ + 0 &2+\imageinh &1+2\imageinh\\ + 0 &1-2\imageinh &2-\imageinh\\ + \end{matrix}\\ \end{mathe} Zeilentransformation @@ -4853,10 +4850,10 @@ Dies ist zufälligerweise auch das Nullelement von $V$. \begin{mathe}[mc]{c} \begin{matrix}{ccc} -\boxed{1} &1+\imageinh &\imageinh\\ -0 &\boxed{2+\imageinh} &1+2\imageinh\\ -0 &0 &0\\ -\end{matrix}\\ + \boxed{1} &1+\imageinh &\imageinh\\ + 0 &\boxed{2+\imageinh} &1+2\imageinh\\ + 0 &0 &0\\ + \end{matrix}\\ \end{mathe} \end{algorithm} @@ -4882,13 +4879,13 @@ Dies ist zufälligerweise auch das Nullelement von $V$. \begin{mathe}[mc]{rcl} A &:= &\begin{smatrix} -1&1&0\\ -0&1&1\\ -0&0&1\\ -1&-1&-1\\ -0&1&2\\ -0&-2&-1\\ -\end{smatrix} + 1&1&0\\ + 0&1&1\\ + 0&0&1\\ + 1&-1&-1\\ + 0&1&2\\ + 0&-2&-1\\ + \end{smatrix} \end{mathe} zu untersuchen. Wir berechnen @@ -4901,13 +4898,13 @@ Dies ist zufälligerweise auch das Nullelement von $V$. \begin{mathe}[mc]{c} \begin{smatrix} -1&1&0\\ -0&1&1\\ -0&0&1\\ -0&2&1\\ -0&1&2\\ -0&-2&-1\\ -\end{smatrix}\\ + 1&1&0\\ + 0&1&1\\ + 0&0&1\\ + 0&2&1\\ + 0&1&2\\ + 0&-2&-1\\ + \end{smatrix}\\ \end{mathe} Zeilentransformation @@ -4916,13 +4913,13 @@ Dies ist zufälligerweise auch das Nullelement von $V$. \begin{mathe}[mc]{c} \begin{smatrix} -1&1&0\\ -0&1&1\\ -0&-2&-1\\ -0&2&1\\ -0&1&2\\ -0&0&1\\ -\end{smatrix}\\ + 1&1&0\\ + 0&1&1\\ + 0&-2&-1\\ + 0&2&1\\ + 0&1&2\\ + 0&0&1\\ + \end{smatrix}\\ \end{mathe} Zeilentransformationen @@ -4934,13 +4931,13 @@ Dies ist zufälligerweise auch das Nullelement von $V$. \begin{mathe}[mc]{c} \begin{smatrix} -1&1&0\\ -0&1&1\\ -0&0&1\\ -0&0&1\\ -0&0&1\\ -0&0&1\\ -\end{smatrix}\\ + 1&1&0\\ + 0&1&1\\ + 0&0&1\\ + 0&0&1\\ + 0&0&1\\ + 0&0&1\\ + \end{smatrix}\\ \end{mathe} Zeilentransformationen @@ -4952,13 +4949,13 @@ Dies ist zufälligerweise auch das Nullelement von $V$. \begin{mathe}[mc]{c} \begin{smatrix} -1&1&0\\ -0&1&1\\ -0&0&1\\ -0&0&0\\ -0&0&0\\ -0&0&0\\ -\end{smatrix}\\ + 1&1&0\\ + 0&1&1\\ + 0&0&1\\ + 0&0&0\\ + 0&0&0\\ + 0&0&0\\ + \end{smatrix}\\ \end{mathe} \end{algorithm} @@ -5207,8 +5204,8 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. &\Longleftrightarrow &\underbrace{ \begin{matrix}{cccc} -1 &-1 &-2 &2\\ -\end{matrix} + 1 &-1 &-2 &2\\ + \end{matrix} }_{=:A_{1}} \mathbf{x}=\zerovector\\ \mathbf{x}\in U_{2} @@ -5217,8 +5214,8 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. &\Longleftrightarrow &\underbrace{ \begin{matrix}{cccc} -1 &-1 &-1 &-1\\ -\end{matrix} + 1 &-1 &-1 &-1\\ + \end{matrix} }_{=:A_{2}} \mathbf{x}=\zerovector\\ \mathbf{x}\in U_{1}\cap U_{2} @@ -5230,9 +5227,9 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. &\Longleftrightarrow &\underbrace{ \begin{matrix}{cccc} -1 &-1 &-2 &2\\ -1 &-1 &-1 &-1\\ -\end{matrix} + 1 &-1 &-2 &2\\ + 1 &-1 &-1 &-1\\ + \end{matrix} }_{=:A_{3}} \mathbf{x}=\zerovector\\ \end{longmathe} @@ -5250,8 +5247,8 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rcl} A_{1} &= &\begin{matrix}{cccc} -1 &-1 &-2 &2\\ -\end{matrix}\\ + 1 &-1 &-2 &2\\ + \end{matrix}\\ \end{mathe} Darum sind $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$ frei und $x_{1}$ wird durch diese bestimmt. @@ -5300,8 +5297,8 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rcl} A_{2} &= &\begin{matrix}{cccc} -1 &-1 &-2 &2\\ -\end{matrix}\\ + 1 &-1 &-2 &2\\ + \end{matrix}\\ \end{mathe} Darum sind $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$ frei und $x_{1}$ wird durch diese bestimmt. @@ -5349,13 +5346,13 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rclcl} A_{3} &= &\begin{matrix}{cccc} -1 &-1 &-2 &2\\ -1 &-1 &-1 &-1\\ -\end{matrix} + 1 &-1 &-2 &2\\ + 1 &-1 &-1 &-1\\ + \end{matrix} &\rightsquigarrow &\begin{matrix}{cccc} -1 &-1 &-2 &2\\ -0 &0 &1 &-3\\ -\end{matrix}\\ + 1 &-1 &-2 &2\\ + 0 &0 &1 &-3\\ + \end{matrix}\\ \end{mathe} Darum sind $x_{2}$, $x_{4}$, frei und $x_{1}$, $x_{3}$ werden durch diese bestimmt. @@ -5438,11 +5435,11 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{matrix}{ccccc} -1 &2 &-2 &1 &1\\ -1 &0 &0 &0 &0\\ -0 &1 &0 &1 &0\\ -0 &0 &1 &0 &1\\ -\end{matrix}\\ + 1 &2 &-2 &1 &1\\ + 1 &0 &0 &0 &0\\ + 0 &1 &0 &1 &0\\ + 0 &0 &1 &0 &1\\ + \end{matrix}\\ \end{mathe} Zeilenoperation @@ -5451,11 +5448,11 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{matrix}{ccccc} -1 &2 &-2 &1 &1\\ -0 &2 &-2 &1 &1\\ -0 &1 &0 &1 &0\\ -0 &0 &1 &0 &1\\ -\end{matrix}\\ + 1 &2 &-2 &1 &1\\ + 0 &2 &-2 &1 &1\\ + 0 &1 &0 &1 &0\\ + 0 &0 &1 &0 &1\\ + \end{matrix}\\ \end{mathe} Zeilenoperation @@ -5464,11 +5461,11 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{matrix}{ccccc} -1 &2 &-2 &1 &1\\ -0 &2 &-2 &1 &1\\ -0 &0 &2 &1 &-1\\ -0 &0 &1 &0 &1\\ -\end{matrix}\\ + 1 &2 &-2 &1 &1\\ + 0 &2 &-2 &1 &1\\ + 0 &0 &2 &1 &-1\\ + 0 &0 &1 &0 &1\\ + \end{matrix}\\ \end{mathe} Zeilenoperation @@ -5477,11 +5474,11 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{matrix}{ccccc} -1 &2 &-2 &1 &1\\ -0 &2 &-2 &1 &1\\ -0 &0 &2 &1 &-1\\ -0 &0 &0 &1 &-3\\ -\end{matrix}\\ + 1 &2 &-2 &1 &1\\ + 0 &2 &-2 &1 &1\\ + 0 &0 &2 &1 &-1\\ + 0 &0 &0 &1 &-3\\ + \end{matrix}\\ \end{mathe} $\Longrightarrow$ nur $x_{5}$ frei. @@ -5921,11 +5918,11 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. v_{1}\:v_{2}\:v_{3}\:u_{1}\:u_{2} \right) &= &\begin{smatrix} -1&-1&2&1&-1\\ -2&3&-1&2&-2\\ --1&0&-1&-1&1\\ --2&-2&1&1&2\\ -\end{smatrix}\\ + 1&-1&2&1&-1\\ + 2&3&-1&2&-2\\ + -1&0&-1&-1&1\\ + -2&-2&1&1&2\\ + \end{smatrix}\\ \end{mathe} und \textbf{zu zeigen}, dass $x_{4},x_{5}$ darin freie Unbekannte sind. @@ -5940,11 +5937,11 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{matrix}{ccccc} -1 &-1 &2 &1 &-1\\ -0 &5 &-5 &0 &0\\ -0 &-1 &1 &0 &0\\ -0 &-4 &5 &3 &0\\ -\end{matrix}.\\ + 1 &-1 &2 &1 &-1\\ + 0 &5 &-5 &0 &0\\ + 0 &-1 &1 &0 &0\\ + 0 &-4 &5 &3 &0\\ + \end{matrix}.\\ \end{mathe} Zeilenoperation @@ -5955,11 +5952,11 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{matrix}{ccccc} -1 &-1 &2 &1 &-1\\ -0 &5 &-5 &0 &0\\ -0 &0 &0 &0 &0\\ -0 &0 &1 &3 &0\\ -\end{matrix}.\\ + 1 &-1 &2 &1 &-1\\ + 0 &5 &-5 &0 &0\\ + 0 &0 &0 &0 &0\\ + 0 &0 &1 &3 &0\\ + \end{matrix}.\\ \end{mathe} Zeilenoperation @@ -5968,11 +5965,11 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{matrix}{ccccc} -\boxed{1} &-1 &2 &1 &-1\\ -0 &\boxed{5} &-5 &0 &0\\ -0 &0 &\boxed{1} &3 &0\\ -0 &0 &0 &0 &0\\ -\end{matrix}.\\ + \boxed{1} &-1 &2 &1 &-1\\ + 0 &\boxed{5} &-5 &0 &0\\ + 0 &0 &\boxed{1} &3 &0\\ + 0 &0 &0 &0 &0\\ + \end{matrix}.\\ \end{mathe} \end{algorithm} @@ -6050,11 +6047,11 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. u_{1}\:u_{2}\:v_{1}\:v_{2}\:v_{3} \right) &= &\begin{smatrix} -1&-1&1&-1&2\\ -2&-2&2&3&-1\\ --1&1&-1&0&-1\\ -1&2&-2&-2&1\\ -\end{smatrix}.\\ + 1&-1&1&-1&2\\ + 2&-2&2&3&-1\\ + -1&1&-1&0&-1\\ + 1&2&-2&-2&1\\ + \end{smatrix}.\\ \end{mathe} Es reicht aus hier \textbf{zu zeigen}, @@ -6070,11 +6067,11 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{matrix}{ccccc} -1 &-1 &1 &-1 &2\\ -0 &0 &0 &5 &-5\\ -0 &0 &0 &-1 &1\\ -0 &3 &-3 &-1 &-1\\ -\end{matrix}.\\ + 1 &-1 &1 &-1 &2\\ + 0 &0 &0 &5 &-5\\ + 0 &0 &0 &-1 &1\\ + 0 &3 &-3 &-1 &-1\\ + \end{matrix}.\\ \end{mathe} Zeilenoperation @@ -6083,11 +6080,11 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{matrix}{ccccc} -1 &-1 &1 &-1 &2\\ -0 &3 &-3 &-1 &-1\\ -0 &0 &0 &-1 &1\\ -0 &0 &0 &5 &-5\\ -\end{matrix}.\\ + 1 &-1 &1 &-1 &2\\ + 0 &3 &-3 &-1 &-1\\ + 0 &0 &0 &-1 &1\\ + 0 &0 &0 &5 &-5\\ + \end{matrix}.\\ \end{mathe} Zeilenoperation @@ -6096,11 +6093,11 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{matrix}{ccccc} -\boxed{1} &-1 &1 &-1 &2\\ -0 &\boxed{3} &-3 &-1 &-1\\ -0 &0 &0 &\boxed{-1} &1\\ -0 &0 &0 &0 &0\\ -\end{matrix}.\\ + \boxed{1} &-1 &1 &-1 &2\\ + 0 &\boxed{3} &-3 &-1 &-1\\ + 0 &0 &0 &\boxed{-1} &1\\ + 0 &0 &0 &0 &0\\ + \end{matrix}.\\ \end{mathe} \end{algorithm} @@ -6164,11 +6161,11 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rcl} A &:= &\begin{smatrix} -1&2&-2\\ --2&-5&6\\ -3&7&-9\\ -1&0&-3\\ -\end{smatrix} + 1&2&-2\\ + -2&-5&6\\ + 3&7&-9\\ + 1&0&-3\\ + \end{smatrix} \end{mathe} Insbesondere gilt \fbox{$\phi=\phi_{A}$}. @@ -6190,11 +6187,11 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{matrix}{ccccc} -1 &2 &-2\\ -0 &-1 &2\\ -0 &1 &-3\\ -0 &-2 &-1\\ -\end{matrix}.\\ + 1 &2 &-2\\ + 0 &-1 &2\\ + 0 &1 &-3\\ + 0 &-2 &-1\\ + \end{matrix}.\\ \end{mathe} Zeilenoperation @@ -6205,11 +6202,11 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{matrix}{ccccc} -1 &2 &-2\\ -0 &-1 &2\\ -0 &0 &-1\\ -0 &0 &-5\\ -\end{matrix}.\\ + 1 &2 &-2\\ + 0 &-1 &2\\ + 0 &0 &-1\\ + 0 &0 &-5\\ + \end{matrix}.\\ \end{mathe} Zeilenoperation @@ -6218,11 +6215,11 @@ Seien $n\in\ntrlpos$ und $\mathbf{v}_{i}\in V$ für $i\in\{1,2,\ldots,n\}$. \begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{matrix}{ccccc} -\boxed{1} &2 &-2\\ -0 &\boxed{-1} &2\\ -0 &0 &\boxed{-1}\\ -0 &0 &0\\ -\end{matrix}.\\ + \boxed{1} &2 &-2\\ + 0 &\boxed{-1} &2\\ + 0 &0 &\boxed{-1}\\ + 0 &0 &0\\ + \end{matrix}.\\ \end{mathe} $\Rightarrow$ $\rank(A)=\text{\upshape Zeilenrang}(A)=3$ @@ -7521,22 +7518,22 @@ Für jeden Fall berechnen wir $\ggT(a,b)$ mittels des Euklidischen Algorithmus $a$ &$b$ &Restberechnung (symbolisch) &Restberechnung (Werte)\\ \hline \endhead - $1529$ &$170$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$1529 = 170\cdot 8 + 169$\\ - &&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$170 = 169\cdot 1 + \boxed{\mathbf{1}}$\\ - &&$r_{1} = r_{2}\cdot q_{3} + r_{3}$ &$169 = 1\cdot 169 + 0$\\ - \hline - $13758$ &$21$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$13758 = 21\cdot 655 + \boxed{\mathbf{3}}$\\ - &&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$21 = 3\cdot 7 + 0$\\ - \hline - $210$ &$45$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$210 = 45\cdot 4 + 30$\\ - &&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$45 = 30\cdot 1 + \boxed{\mathbf{15}}$\\ - &&$r_{1} = r_{2}\cdot q_{3} + r_{3}$ &$30 = 15\cdot 2 + 0$\\ - \hline - $1209$ &$102$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$1209 = 102\cdot 11 + 87$\\ - &&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$102 = 87\cdot 1 + 15$\\ - &&$r_{1} = r_{2}\cdot q_{3} + r_{3}$ &$87 = 15\cdot 5 + 12$\\ - &&$r_{2} = r_{3}\cdot q_{4} + r_{4}$ &$15 = 12\cdot 1 + \boxed{\mathbf{3}}$\\ - &&$r_{3} = r_{4}\cdot q_{5} + r_{5}$ &$12 = 3\cdot 4 + 0$\\ + $1529$ &$170$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$1529 = 170\cdot 8 + 169$\\ + &&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$170 = 169\cdot 1 + \boxed{\mathbf{1}}$\\ + &&$r_{1} = r_{2}\cdot q_{3} + r_{3}$ &$169 = 1\cdot 169 + 0$\\ + \hline + $13758$ &$21$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$13758 = 21\cdot 655 + \boxed{\mathbf{3}}$\\ + &&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$21 = 3\cdot 7 + 0$\\ + \hline + $210$ &$45$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$210 = 45\cdot 4 + 30$\\ + &&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$45 = 30\cdot 1 + \boxed{\mathbf{15}}$\\ + &&$r_{1} = r_{2}\cdot q_{3} + r_{3}$ &$30 = 15\cdot 2 + 0$\\ + \hline + $1209$ &$102$ &$a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$1209 = 102\cdot 11 + 87$\\ + &&$b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$102 = 87\cdot 1 + 15$\\ + &&$r_{1} = r_{2}\cdot q_{3} + r_{3}$ &$87 = 15\cdot 5 + 12$\\ + &&$r_{2} = r_{3}\cdot q_{4} + r_{4}$ &$15 = 12\cdot 1 + \boxed{\mathbf{3}}$\\ + &&$r_{3} = r_{4}\cdot q_{5} + r_{5}$ &$12 = 3\cdot 4 + 0$\\ \hline \hline \end{longtable} @@ -7557,18 +7554,18 @@ Wir verwenden die Berechnungen aus der Tabelle in SKA \ref{ska:5:ex:6}. $a$ &$b$ &Rest (symbolisch) &Rest (Werte)\\ \hline \endhead - $1529$ &$170$ &$r_{1} = a - 8\cdot b$ &$169 = 1\cdot a + -8\cdot b$\\ - &&$r_{2} = b - 1\cdot r_{1}$ &$\boxed{1 = \mathbf{-1}\cdot a + \mathbf{9}\cdot b}$\\ - \hline - $13758$ &$21$ &$r_{1} = a - 655\cdot b$ &$\boxed{3 = \mathbf{1}\cdot a + \mathbf{-655}\cdot b}$\\ - \hline - $210$ &$45$ &$r_{1} = a - 4\cdot b$ &$30 = 1\cdot a + -4\cdot b$\\ - &&$r_{2} = b - 1\cdot r_{1}$ &$\boxed{15 = \mathbf{-1}\cdot a + \mathbf{5}\cdot b}$\\ - \hline - $1209$ &$102$ &$r_{1} = a - 11\cdot b$ &$87 = 1\cdot a + -11\cdot b$\\ - &&$r_{2} = b - 1\cdot r_{1}$ &$15 = -1\cdot a + 12\cdot b$\\ - &&$r_{3} = r_{1} - 5\cdot r_{2}$ &$12 = 6\cdot a + -71\cdot b$\\ - &&$r_{4} = r_{2} - 1\cdot r_{3}$ &$\boxed{3 = \mathbf{-7}\cdot a + \mathbf{83}\cdot b}$\\ + $1529$ &$170$ &$r_{1} = a - 8\cdot b$ &$169 = 1\cdot a + -8\cdot b$\\ + &&$r_{2} = b - 1\cdot r_{1}$ &$\boxed{1 = \mathbf{-1}\cdot a + \mathbf{9}\cdot b}$\\ + \hline + $13758$ &$21$ &$r_{1} = a - 655\cdot b$ &$\boxed{3 = \mathbf{1}\cdot a + \mathbf{-655}\cdot b}$\\ + \hline + $210$ &$45$ &$r_{1} = a - 4\cdot b$ &$30 = 1\cdot a + -4\cdot b$\\ + &&$r_{2} = b - 1\cdot r_{1}$ &$\boxed{15 = \mathbf{-1}\cdot a + \mathbf{5}\cdot b}$\\ + \hline + $1209$ &$102$ &$r_{1} = a - 11\cdot b$ &$87 = 1\cdot a + -11\cdot b$\\ + &&$r_{2} = b - 1\cdot r_{1}$ &$15 = -1\cdot a + 12\cdot b$\\ + &&$r_{3} = r_{1} - 5\cdot r_{2}$ &$12 = 6\cdot a + -71\cdot b$\\ + &&$r_{4} = r_{2} - 1\cdot r_{3}$ &$\boxed{3 = \mathbf{-7}\cdot a + \mathbf{83}\cdot b}$\\ \hline \hline \end{longtable} @@ -8138,9 +8135,9 @@ Für $x=[2]$ und $y=[3]$ gilt $x,y\neq [0]$ und aber $xy=[2\cdot 3]=[6]=[0]$. \begin{mathe}[mc]{c} \begin{matrix}{cc|c} -1+\imageinh &1 &0\\ --2 &2-\imageinh &1\\ -\end{matrix}\\ + 1+\imageinh &1 &0\\ + -2 &2-\imageinh &1\\ + \end{matrix}\\ \end{mathe} Wende die Zeilentransformation @@ -8149,9 +8146,9 @@ Für $x=[2]$ und $y=[3]$ gilt $x,y\neq [0]$ und aber $xy=[2\cdot 3]=[6]=[0]$. \begin{mathe}[mc]{c} \begin{matrix}{cc|c} -2 &1-\imageinh &0\\ --2 &2-\imageinh &1\\ -\end{matrix}\\ + 2 &1-\imageinh &0\\ + -2 &2-\imageinh &1\\ + \end{matrix}\\ \end{mathe} Wende die Zeilentransformation @@ -8160,9 +8157,9 @@ Für $x=[2]$ und $y=[3]$ gilt $x,y\neq [0]$ und aber $xy=[2\cdot 3]=[6]=[0]$. \begin{mathe}[mc]{c} \begin{matrix}{cc|c} -2 &1-\imageinh &0\\ -0 &3-2\imageinh &1\\ -\end{matrix}\\ + 2 &1-\imageinh &0\\ + 0 &3-2\imageinh &1\\ + \end{matrix}\\ \end{mathe} Aus der Stufenform erschließt sich @@ -8235,10 +8232,10 @@ Für $x=[2]$ und $y=[3]$ gilt $x,y\neq [0]$ und aber $xy=[2\cdot 3]=[6]=[0]$. Restberechnung (symbolisch) &Restberechnung (Werte)\\ \hline \endhead - $a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$103 = 21\cdot 4 + 19$\\ - $b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$21 = 19\cdot 1 + 2$\\ - $r_{1} = r_{2}\cdot q_{3} + r_{3}$ &$19 = 2\cdot 9 + \boxed{\mathbf{1}}$\\ - $r_{2} = r_{3}\cdot q_{4} + r_{4}$ &$2 = 1\cdot 2 + 0$\\ + $a = b\cdot q_{1} + r_{1}$ &$103 = 21\cdot 4 + 19$\\ + $b = r_{1}\cdot q_{2} + r_{2}$ &$21 = 19\cdot 1 + 2$\\ + $r_{1} = r_{2}\cdot q_{3} + r_{3}$ &$19 = 2\cdot 9 + \boxed{\mathbf{1}}$\\ + $r_{2} = r_{3}\cdot q_{4} + r_{4}$ &$2 = 1\cdot 2 + 0$\\ \hline \hline \end{longtable} @@ -8252,9 +8249,9 @@ Für $x=[2]$ und $y=[3]$ gilt $x,y\neq [0]$ und aber $xy=[2\cdot 3]=[6]=[0]$. Rest (symbolisch) &Rest (Werte)\\ \hline \endhead - $r_{1} = a - 4\cdot b$ &$19 = 1\cdot a + -4\cdot b$\\ - $r_{2} = b - 1\cdot r_{1}$ &$2 = -1\cdot a + 5\cdot b$\\ - $r_{3} = r_{1} - 9\cdot r_{2}$ &$\boxed{1 = \mathbf{10}\cdot a + \mathbf{-49}\cdot b}$\\ + $r_{1} = a - 4\cdot b$ &$19 = 1\cdot a + -4\cdot b$\\ + $r_{2} = b - 1\cdot r_{1}$ &$2 = -1\cdot a + 5\cdot b$\\ + $r_{3} = r_{1} - 9\cdot r_{2}$ &$\boxed{1 = \mathbf{10}\cdot a + \mathbf{-49}\cdot b}$\\ \hline \hline \end{longtable} @@ -8276,9 +8273,9 @@ Für $x=[2]$ und $y=[3]$ gilt $x,y\neq [0]$ und aber $xy=[2\cdot 3]=[6]=[0]$. \begin{mathe}[mc]{c} \begin{matrix}{cc|c} -2 &-3 &0\\ -10 &7 &-5\\ -\end{matrix}\\ + 2 &-3 &0\\ + 10 &7 &-5\\ + \end{matrix}\\ \end{mathe} Wende die Zeilentransformation @@ -8287,9 +8284,9 @@ Für $x=[2]$ und $y=[3]$ gilt $x,y\neq [0]$ und aber $xy=[2\cdot 3]=[6]=[0]$. \begin{mathe}[mc]{c} \begin{matrix}{cc|c} -2 &-3 &0\\ -0 &22 &-5\\ -\end{matrix}\\ + 2 &-3 &0\\ + 0 &22 &-5\\ + \end{matrix}\\ \end{mathe} Wir wenden die Zeilentransformation @@ -8298,9 +8295,9 @@ Für $x=[2]$ und $y=[3]$ gilt $x,y\neq [0]$ und aber $xy=[2\cdot 3]=[6]=[0]$. \begin{mathe}[bc]{c} \begin{matrix}{cc|c} -14 &1 &-5\\ -0 &22 &-5\\ -\end{matrix}\\ + 14 &1 &-5\\ + 0 &22 &-5\\ + \end{matrix}\\ \end{mathe} \end{algorithm} @@ -8311,9 +8308,9 @@ Für $x=[2]$ und $y=[3]$ gilt $x,y\neq [0]$ und aber $xy=[2\cdot 3]=[6]=[0]$. \begin{mathe}[mc]{c} \begin{matrix}{cc|c} -\mathbf{3} &1 &6\\ -0 &0 &\mathbf{6}\\ -\end{matrix}\\ + \mathbf{3} &1 &6\\ + 0 &0 &\mathbf{6}\\ + \end{matrix}\\ \end{mathe} $\Longrightarrow$ \fbox{System unlösbar}, da $6\neq 0$ in $\intgr/11\intgr$. @@ -8326,9 +8323,9 @@ Für $x=[2]$ und $y=[3]$ gilt $x,y\neq [0]$ und aber $xy=[2\cdot 3]=[6]=[0]$. \begin{mathe}[mc]{c} \begin{matrix}{cc|c} -1 &1 &8\\ -0 &9 &8\\ -\end{matrix}\\ + 1 &1 &8\\ + 0 &9 &8\\ + \end{matrix}\\ \end{mathe} Wende die Zeilentransformationen @@ -8337,9 +8334,9 @@ Für $x=[2]$ und $y=[3]$ gilt $x,y\neq [0]$ und aber $xy=[2\cdot 3]=[6]=[0]$. \begin{mathe}[mc]{c} \begin{matrix}{cc|c} -\mathbf{9} &0 &-1\\ -0 &\mathbf{9} &8\\ -\end{matrix}\\ + \mathbf{9} &0 &-1\\ + 0 &\mathbf{9} &8\\ + \end{matrix}\\ \end{mathe} Daraus ergibt sich die Lösung in $\intgr/13\intgr$: @@ -8449,9 +8446,9 @@ Einfacher ist also natürlich die Anwendung von dem Lemma von B\'ezout. \begin{mathe}[mc]{c} \begin{matrix}{cc|c} --1 &a &3\\ -a &-4 &0\\ -\end{matrix}\\ + -1 &a &3\\ + a &-4 &0\\ + \end{matrix}\\ \end{mathe} Wende die Zeilentransformationen @@ -8460,9 +8457,9 @@ a &-4 &0\\ \begin{mathe}[mc]{c} \begin{matrix}{cc|c} -1 &a &3\\ -0 &a^{2}-4 &3a\\ -\end{matrix}\\ + 1 &a &3\\ + 0 &a^{2}-4 &3a\\ + \end{matrix}\\ \end{mathe} \end{algorithm} @@ -8851,10 +8848,10 @@ Wir betrachten die Komposition ${g\circ f:X\to Z}$ \begin{mathe}[mc]{rcl} A &= &\begin{matrix}{ccc} -1 &0 &2\\ -2 &2 &1\\ -2 &1 &1\\ -\end{matrix}.\\ + 1 &0 &2\\ + 2 &2 &1\\ + 2 &1 &1\\ + \end{matrix}.\\ \end{mathe} Wir lösen also das homogene System: @@ -8868,10 +8865,10 @@ Wir betrachten die Komposition ${g\circ f:X\to Z}$ \begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{matrix}{ccc} -1 &0 &2\\ -0 &2 &2\\ -0 &1 &2\\ -\end{matrix}.\\ + 1 &0 &2\\ + 0 &2 &2\\ + 0 &1 &2\\ + \end{matrix}.\\ \end{mathe} Zeilenoperation @@ -8880,10 +8877,10 @@ Wir betrachten die Komposition ${g\circ f:X\to Z}$ \begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{matrix}{ccc} -1 &0 &2\\ -0 &2 &2\\ -0 &0 &2\\ -\end{matrix}.\\ + 1 &0 &2\\ + 0 &2 &2\\ + 0 &0 &2\\ + \end{matrix}.\\ \end{mathe} \end{algorithm} @@ -9169,4 +9166,5 @@ Stefan Waldmann. \end{thebibliography} \egroup + \end{document}