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index b8a85c7..8d46502 100644
--- a/docs/loesungen.tex
+++ b/docs/loesungen.tex
@@ -1334,7 +1334,7 @@
\def\phi{\altvarphi}
\def\varphi{\altphi}
-\def\span{\mathop{\text{\upshape Lin}}}
+\def\vectorspacespan{\mathop{\text{\upshape Lin}}}
\def\dim{\mathop{\text{\upshape dim}}}
\def\onematrix{\text{\upshape\bfseries I}}
\def\zeromatrix{\text{\upshape\bfseries 0}}
@@ -1343,6 +1343,8 @@
\def\graph{\mathop{\text{\textup Gph}}}
\def\id{\text{\textup id}}
\def\modfn{\mathop{\text{\textup mod}}}
+\def\divides{\mathbin{\mid}}
+\def\ggT{\mathop{\text{\upshape ggT}}}
\makeatother
\begin{document}
@@ -1578,7 +1580,7 @@ Dies führt zu einem Fallunterschied:
\right\}
}$,
oder etwas kompakter formuliert,
- ${L_{\alpha,\beta}=\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector} + \span\left\{\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector}, \begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector}\right\}}$.
+ ${L_{\alpha,\beta}=\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector} + \vectorspacespan\left\{\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector}, \begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector}\right\}}$.
\end{enumerate}
%% FALL 2
@@ -1618,7 +1620,7 @@ Dies führt zu einem Fallunterschied:
\right\}
}$,
oder etwas kompakter formuliert,
- ${L_{\alpha,\beta}=\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector} + \frac{\beta-8}{\alpha-4}\cdot\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector} + \span\left\{\begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector}\right\}}$.
+ ${L_{\alpha,\beta}=\begin{svector}32\\-4\\0\\0\\\end{svector} + \frac{\beta-8}{\alpha-4}\cdot\begin{svector}26\\-4\\1\\0\\\end{svector} + \vectorspacespan\left\{\begin{svector}-13\\2\\1\\1\\\end{svector}\right\}}$.
\end{enumerate}
Wir fassen die Lösung für alle Fälle zusammen:
@@ -1626,8 +1628,8 @@ Wir fassen die Lösung für alle Fälle zusammen:
\begin{mathe}[mc]{rcl}
L_{\alpha,\beta} &= &\begin{cases}[m]{lcl}
\leer &: &\alpha=4,\,\beta\neq 8\\
- \mathbf{u} + \span\{\mathbf{v},\mathbf{w}\} &: &\alpha=4,\,\beta=8\\
- \mathbf{u} + \frac{\alpha-4}{\beta-8}\mathbf{v} + \span\{\mathbf{w}\} &: &\alpha\neq 4\\
+ \mathbf{u} + \vectorspacespan\{\mathbf{v},\mathbf{w}\} &: &\alpha=4,\,\beta=8\\
+ \mathbf{u} + \frac{\alpha-4}{\beta-8}\mathbf{v} + \vectorspacespan\{\mathbf{w}\} &: &\alpha\neq 4\\
\end{cases}
\end{mathe}
@@ -2283,7 +2285,7 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
Da $\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}\neq\zerovector$ bedeutet dies,
dass $\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}$ \emph{linear unabhängig} sind. ($\to$ Warum??)\\
Also gilt für den Untervektorraum
- $U:=\span\{\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}\}$,
+ $U:=\vectorspacespan\{\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}\}$,
dass $\dim(U)=2$.\\
Da $U\subseteq\reell^{2}$ Vektorräume sind und $\dim(U)=2=\dim(\reell^{2})$,
folgt hieraus, dass $U=\reell^{2}$. ($\to$ Warum??)\\
@@ -2294,7 +2296,7 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
\mathbf{\xi} &:= &\mathbf{v}^{\prime}-\mathbf{v}\in\reell^{2}.\\
\end{mathe}
- Dann $\mathbf{\xi}\in U=\span\{\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}\}$.
+ Dann $\mathbf{\xi}\in U=\vectorspacespan\{\mathbf{w},\mathbf{w}^{\prime}\}$.
Folglich existieren Skalare $\alpha,\beta\in\reell$,
so dass $\alpha\mathbf{w}+\beta\mathbf{w}^{\prime}=\mathbf{\xi}$
gilt.\\
@@ -2623,8 +2625,8 @@ Wir arbeiten im Vektorraum $\reell^{3}$ und betrachten die Vektoren
\end{mathe}
\textbf{Zu berechnen:}
- $U:=\span\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\}
- \cap\span\{\mathbf{w}_{1},\mathbf{w}_{2}\}$
+ $U:=\vectorspacespan\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\}
+ \cap\vectorspacespan\{\mathbf{w}_{1},\mathbf{w}_{2}\}$
als Untervektorraum von $\reell^{3}$.\\
Zu diesem Zwecke betrachte einen beliebigen Vektor, $\mathbf{\xi}\in\reell^{3}$.
Es gilt
@@ -2755,7 +2757,7 @@ Wir können nun \eqcref{eq:0:ueb:3:ex:1} fortsetzen und erhalten
28\mathbf{v}_{1}+-8\mathbf{v}_{2}
}_{=:\mathbf{u}}
)\\
- &\Longleftrightarrow &\mathbf{\xi}\in\span\{\mathbf{u}\}\\
+ &\Longleftrightarrow &\mathbf{\xi}\in\vectorspacespan\{\mathbf{u}\}\\
\end{mathe}
für alle $\mathbf{\xi}\in\reell^{3}$.\\
@@ -2773,12 +2775,12 @@ Aus \eqcref{eq:1:ueb:3:ex:1} ergibt sich der zu berechnende Untervektorraum
als
\begin{mathe}[mc]{rcccccccl}
- \span\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\}
- \cap\span\{\mathbf{w}_{1},\mathbf{w}_{2}\}
+ \vectorspacespan\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\}
+ \cap\vectorspacespan\{\mathbf{w}_{1},\mathbf{w}_{2}\}
&= &U
- &= &\span\{\mathbf{u}\}
- &= &\span\{44\begin{svector}1\\1\\1\\\end{svector}\}
- &= &\span\{\begin{svector}1\\1\\1\\\end{svector}\}.\\
+ &= &\vectorspacespan\{\mathbf{u}\}
+ &= &\vectorspacespan\{44\begin{svector}1\\1\\1\\\end{svector}\}
+ &= &\vectorspacespan\{\begin{svector}1\\1\\1\\\end{svector}\}.\\
\end{mathe}
%% AUFGABE 3-2
@@ -3473,7 +3475,7 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
\end{mathe}
Also gilt \eqcref{eq:1:\beweislabel}.
- Also gilt $\Phi(1)$
+ Also gilt $\Phi(1)$.
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}]
Sei $n>1$.
@@ -3708,7 +3710,7 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
Angenommen, $\Phi(k)$ gilt für alle $k<n$.
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}]
- Seien $E_{1},E_{2},\ldots,E_{n}$ beliebige endliche Mengen.
+ Seien $E_{1},E_{2},\ldots,E_{n}$ beliebige endliche Mengen.\\
\textbf{Zu zeigen:} $|\prod_{i=1}^{n}E_{i}|=\prod_{i=1}^{n}|E_{i}|$ gilt.\\
Es gilt
@@ -3835,17 +3837,16 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
gilt offensichtlich $\forall{x\in X:~}G(x)$.
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}]
- Sei $n\in\ntrlpos$ mit $n>1$.
- Angenommen, $\Phi(k)$ gilt für alle $k<n$.
+ Sei $n\in\ntrlpos$ mit $n\geq 1$.
+ Angenommen, $\Phi(n)$ gilt.
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}]
- Sei $X$ eine $n$-elementige Menge von Fischen.\\
+ Sei $X$ eine $n+1$-elementige Menge von Fischen.\\
Angenommen, ein $x_{0}\in X$ mit $G(x_{0})$ existiere.
\textbf{Zu zeigen:} Für alle $x\in X$ gilt $G(x)$.\\
- Setze $X_{1}:=X\ohne\{x_{0}\}$, was nicht leer ist, weil $n\geq 2$.\\
- Fixiere einen Fisch $x_{1}\in X_{1}$
- und setze $X_{0}:=X\ohne\{x_{1}\}$.\\
- Da $x_{1}\neq x_{0}$ sind $X_{0},X_{1}$ verschiedene $n-1$-elementige Mengen:
+ Fixiere einen anderen Fisch $x_{1}\in X\ohne\{x_{0}\}$, was möglich ist, weil $|X|=n+1\geq 2$.\\
+ Setze $X_{0}:=X\ohne\{x_{1}\}$ und $X_{1}:=X\ohne\{x_{0}\}$.\\
+ Da $x_{1}\neq x_{0}$, sind $X_{0},X_{1}$ verschiedene $n$-elementige Mengen:
\hraum
{\footnotesize
@@ -3862,7 +3863,6 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
\node (X1mid) at (+0.25*\habst,1*\vabst) {};
\node[label=above:{$x_{0}$}] (x0) at (-1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
\node[label=above:{$x_{1}$}] (x1) at (+1*\habst,1*\vabst) {$\bullet$};
- \node[above right = 0.3*\rad and 0.3*\rad of X0mid,label=below:{$\tilde{x}$}] {$\bullet$};
\node[above left = 0.7*\rad and 0.7*\rad of X0mid] {$X_{0}$};
\node[above right = 0.7*\rad and 0.7*\rad of X1mid] {$X_{1}$};
@@ -3873,21 +3873,17 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
\hraum
Fokussieren wir uns zunächst auf $X_{0}$ (die schattierte Teilmenge).\\
- Da $X_{0}$ $n-1$-elementig ist und $x_{0}\in X_{0}$ und $G(x_{0})$,
+ Da $X_{0}$ $n$-elementig ist und $x_{0}\in X_{0}$ und $G(x_{0})$,
gilt per IV (\textdagger)~$\forall{x\in X_{0}:~}G(x)$.
- \fbox{Wähle nun einen Fisch, $\tilde{x}\in X_{0}$, mit $\tilde{x}\neq x_{0}$}
- und setze $X':=X\ohne\{\tilde{x}\}$ .\\
- Dann ist $X'$ eine $n-1$-elementige Menge und $x_{0}\in X_{1}$ und $G(x_{0})$.\\
- Per IV gilt also $\forall{x\in X':~}G(x)$.\\
- Daraus und aus (\textdagger) folgt $\forall{x\in X:~}G(x)$, da ja $X=X_{0}\cup X'$.\footnote{
- Per Wahl gilt $\tilde{x}\in X_{0}=X\ohne x_{1}$.
- Also, $\tilde{x}\neq x_{1}$.
- Also, $x_{1}\in X'$.
- Also, $X=X_{0}\cup\{x_{1}\}\subseteq X_{0}\cup X'\subseteq X$.
- }
+ Wähle nun irgendeinen der Fische, $\tilde{x}\in X_{0}$ und setze $X':=X\ohne\{\tilde{x}\}$.
+ O.\,E. können wir $\tilde{x}:=x_{0}$ wählen, sodass $X'=X_{1}$ gilt.\\
+ Die Teilmenge $X_{1}$ ist nun eine $n$-elementige Menge mit mindestens $n-1$ Goldfischen.\\
+ \fbox{Also $\exists{x\in X_{1}:~}G(x)$.}\\
+ Per IV gilt also $\forall{x\in X_{1}:~}G(x)$.\\
+ Daraus und aus (\textdagger) folgt $\forall{x\in X:~}G(x)$, da ja $X=X_{0}\cup X_{1}$.
- Darum gilt $\Phi(n)$.
+ Darum gilt $\Phi(n+1)$.
\end{kompaktenum}
Darum gilt $\forall{n\in\ntrlpos:~}\Phi(n)$.
@@ -3897,24 +3893,22 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
\begin{quote}
\itshape
- Wähle nun einen Fisch, $\tilde{x}\in X_{0}$, mit $\tilde{x}\neq x_{0}$ \ldots
+ Also $\exists{x\in X':~}G(x)$.
\end{quote}
Im ursprünglichen Text ist dies die problematische Stelle:
\begin{quote}
\itshape
- Jetzt können wir aber \uline{auch einen der Goldfische rausnehmen} und haben wieder \ldots
+ Jetzt können wir aber \uline{auch einen der Goldfische rausnehmen} und haben wieder ein Aquarium mit $n$ Fischen und \uline{mindestens einem Goldfisch}.
\end{quote}
Zurück aber zu unserer Formalisierung:\\
- Diese Stelle im Argument ist nur möglich, wenn $X_{0}\ohne\{x_{0}\}$ nicht leer ist,
- oder äquivalent, wenn $X_{0}\cap X_{1}$ nicht leer ist.
- Das \uline{Diagramm} mag dies andeuten, aber das Diagramm täuscht.
- Denn formal betrachtet muss das Element, $\tilde{x}\in X_{0}\cap X_{1}$,
- verschieden von $x_{0}$ und $x_{1}$ sein.
- Das setzt voraus, dass $n=|X|\geq 3$.
- Aber im Induktionsschritt wurde nur $n>1$ vorausgesetzt!
+ Wir haben etwas ausführlicher gezeigt, dass die Menge $X'$ mindestens $n-1$ Goldfische enthält.
+ Wenn wir $\tilde{x}:=x_{0}$ wählen entspricht dies der Größe des Schnitts $X_{0}\cap X_{1}$.
+ Das \uline{Diagramm} mag andeuten, dass dieser Schnitt nicht leer ist, aber das Diagramm täuscht.
+ Im Induktionsschritt setzen wir nur voraus, dass $n\geq 1$.
+ Darum ist $n-1>0$ nur garantiert, wenn stattdessen $n'\geq 2$ vorausgesetzt wird.
Das heißt das Induktionsargument ist faul,
weil der Schritt $1\rightsquigarrow 2$ implizit übersprungen wird.