raj_mathe/linalg2020
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master > master: Umsortierung von Berechnungen in 10.1

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@ -6414,27 +6414,30 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
Da $w_{i}\in\range(\phi)$ für alle ${i\in\{1,2,\ldots,d\}}$,
reicht es aus wie oben zu zeigen,
dass ${(w_{1},w_{2},\ldots,w_{d})}$ linear unabhängig sind.
Seien also $c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}\in K$ beliebig
mit $\sum_{i=1}^{d}c_{i}w_{i}=\zerovector$.
\textbf{Zu zeigen:} $c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}=0_{K}$.
Es gilt nun
Für $c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}\in K$ gelten nun folgende Implikationen:
\begin{mathe}[mc]{rclql}
\sum_{i=1}^{d}c_{i}x_{i}
&= &\sum_{i=1}^{d}c_{i}\psi(w_{i})
&\text{(siehe oben)}\\
&= &\psi(\sum_{i=1}^{d}c_{i}w_{i})
&\text{wegen Linearität}\\
&= &\psi(\zerovector)
&\text{per Voraussetzung}\\
&= &\zerovector
&\text{(siehe \cite[Lemma~6.1.2]{sinn2020})}.\\
\end{mathe}
\begin{longmathe}[mc]{RCL}
\sum_{i=1}^{d}c_{i}w_{i}=\zerovector
&\Longrightarrow
&\psi(\sum_{i=1}^{d}c_{i}w_{i})=\psi(\zerovector)\\
&\Longrightarrow
&\sum_{i=1}^{d}c_{i}\psi(w_{i})=\zerovector\\
&&\text{wegen Linearität von $\psi$ und \cite[Lemma~6.1.2]{sinn2020}}\\
&\Longrightarrow
&\sum_{i=1}^{d}c_{i}x_{i}=\zerovector\\
&&\text{per Konstruktion von $w_{i}$}\\
&\Longrightarrow
&c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}=0_{K}\\
&&\text{weil ${(x_{1},x_{2},\ldots,x_{d})}$ linear unabhängig ist.}\\
\end{longmathe}
Wegen linearer Unabhängigkeit von ${(x_{1},x_{2},\ldots,x_{d})}$,
folgt hieraus, dass $c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}=0_{K}$.
Damit haben wir die lineare Unabhängigkeit von ${(w_{1},w_{2},\ldots,w_{d})}$ bewiesen.
Da $w_{i}\in\range(\phi)$ für alle ${i\in\{1,2,\ldots,d\}}$,
Damit gilt
${\sum_{i=1}^{d}c_{i}w_{i}=\zerovector
\Rightarrow
c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}=0_{K}}$
für alle $c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}\in K$.
Also ist ${(w_{1},w_{2},\ldots,w_{d})}$ linear unabhängig.
Da ${w_{i}\in\range(\phi)}$ für alle ${i\in\{1,2,\ldots,d\}}$,
erschließt sich aus der linearen Unabhängigkeit
\fbox{$d\leq\dim(\range(\phi))$}
(siehe \cite[Satz~5.3.4]{sinn2020}).
@ -6468,30 +6471,35 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
Wir zeigen nun, dass
$(x_{1},x_{2},\ldots,x_{d})$
linear unabhängig ist.
Seien also $c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}\in K$ beliebig
mit $\sum_{i=1}^{d}c_{i}x_{i}=\zerovector$.
\textbf{Zu zeigen:} $c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}=0_{K}$.
Es gilt nun
Für $c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}\in K$ gelten nun folgende Implikationen:
\begin{mathe}[mc]{rclql}
\psi(\sum_{i=1}^{d}c_{i}w_{i})
&= &\sum_{i=1}^{d}c_{i}\psi(w_{i})
&\text{wegen Linearität}\\
&= &\sum_{i=1}^{d}c_{i}x_{i}
&\text{per Konstruktion}\\
&= &\zerovector
&\text{per Voraussetzung}.\\
\end{mathe}
\begin{longmathe}[mc]{RCL}
\sum_{i=1}^{d}c_{i}x_{i}=\zerovector
&\Longrightarrow
&\sum_{i=1}^{d}c_{i}\psi(w_{i})=\zerovector\\
&&\text{per Konstruktion von $x_{i}$}\\
&\Longrightarrow
&\psi(\sum_{i=1}^{d}c_{i}w_{i})=\zerovector\\
&&\text{wegen Linearität von $\psi$}\\
&\Longrightarrow
&\sum_{i=1}^{d}c_{i}w_{i}\in\ker(\psi)=\{\zerovector\}\\
&&\text{wegen \uline{Injektivität} von $\psi$ + \cite[Lemma~6.1.4]{sinn2020}}\\
&\Longrightarrow
&\sum_{i=1}^{d}c_{i}w_{i}=\zerovector\\
&\Longrightarrow
&c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}=0_{K}\\
&&\text{weil ${(x_{1},x_{2},\ldots,x_{d})}$ linear unabhängig ist.}\\
\end{longmathe}
Darum $\sum_{i=1}^{d}c_{i}w_{i}\in\ker(\psi)=\{\zerovector\}$
wegen \uline{Injektivität} von $\psi$ (siehe \cite[Lemma~6.1.4]{sinn2020}).
Also $\sum_{i=1}^{d}c_{i}w_{i}=\zerovector$,
woraus sich ergibt, dass $c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}=0_{K}$,
weil ${(w_{1},w_{2},\ldots,w_{d})}$ linear unabhängig ist.
Darum haben wir die lineare Unabhängigkeit von $(x_{1},x_{2},\ldots,x_{d})$ bewiesen.
Damit gilt
${\sum_{i=1}^{d}c_{i}x_{i}=\zerovector
\Rightarrow
c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}=0_{K}}$
für alle $c_{1},c_{2},\ldots,c_{d}\in K$.
Also ist ${(x_{1},x_{2},\ldots,x_{d})}$ linear unabhängig.
Da $(x_{1},x_{2},\ldots,x_{d})$ linear unabhängig ist
und $x_{i}\in\range(\psi\circ\phi)$ für alle ${i\in\{1,2,\ldots,d\}}$,
und ${x_{i}\in\range(\psi\circ\phi)}$ für alle ${i\in\{1,2,\ldots,d\}}$,
folgt \fbox{$%
d\leq\dim(\range(\psi\circ\phi))
\textoverset{Defn}{=}\rank(\psi\circ\phi)%