From ecff8149fa720132df82dde4d38641732f1f4906 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: raj_mathe Date: Wed, 2 Dec 2020 16:34:22 +0100 Subject: [PATCH] master > master: Kritzelei --- notes/berechnungen_wk6.md | 35 ++++++++++++++++++++--------------- protocol/woche6/README.md | 2 +- 2 files changed, 21 insertions(+), 16 deletions(-) diff --git a/notes/berechnungen_wk6.md b/notes/berechnungen_wk6.md index c98a0bf..8fa69af 100644 --- a/notes/berechnungen_wk6.md +++ b/notes/berechnungen_wk6.md @@ -1,27 +1,32 @@ -$13^{1003}\mod 5$ +## Berechnung von $a^{b}\mod c$ ## -$=3^{1003}\mod 5$ +### Ein Beispiel: ### -$=3^{1003}\mod 5$ +Berechne $13^{1003}\mod 5$. -$3^0=\boxed{1}$ -$3^1=\boxed{3}$ -$3^2=9\equiv \boxed{4}$ -$3^3=3^2\cdot 3\equiv 4\cdot 3 =12\equiv \boxed{2}$ -$3^4=3^3\cdot 3\equiv 2\cdot 3 =6\equiv \boxed{1}$ +Es gilt $13^{1003}\mod 5=3^{1003}\mod 5$ ----- -$3^5=3^4\cdot 3\equiv 1\cdot 3=3$ +Jetzt berechnen wir tabellarisch die multiplikative Untergruppe $\langle 3\rangle$: ----- +| $n$ | $3^{n}$ | +|-------|-------| +| $0$ |$3^0=\boxed{1}$ | +| $1$ | $3^{1}=\boxed{3}$ | +| $2$ | $3^{2}=9\equiv \boxed{4}$ | +| $3$ | $3^{3}=3^2\cdot 3\equiv 4\cdot 3 =12\equiv \boxed{2}$ | +| $4$ | $3^{\boxed{4}}=3^3\cdot 3\equiv 2\cdot 3 =6\equiv \boxed{1}$ | + +Darum gilt für alle $k,r\in\mathbb{N}$: $3^{4k+r}=3^{4k}\cdot 3^{r}=(3^{4})^{k}\cdot 3^{r}\equiv 1^{k}\cdot 3^{r}=1\cdot 3^{r}=3^{r}$ +modulo $5$. Das heißt, es reicht aus (in _diesem_ konkreten Fall) den Exponenten modulo $4$ zu berechnen, und dann $3^{\text{Rest}}$ zu berechnen: + $1003=4\cdot 250 + \boxed{3}$ -$\Longrightarrow$ $3^{1003}\equiv 3^{3}\mod 5=2$ +Also gilt $3^{1003}\equiv 3^{3}\equiv 2\mod 5$. +**Beachte!** +Wenn $n\in\mathbb{P}$ (wie oben), dann für $k\in\{1,2,\ldots,n-1\}$ gilt $k^{e}\not\equiv 0$. Warum? (1) da $n$ prim ist, ist jedes $1\leq a - ( ) SKA 6 - Breakout-Rooms (10min) - Gruppe 1: 1