From ee2c026c011744ae4c6845f54684ec85b738d830 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: raj_mathe Date: Wed, 24 Mar 2021 15:09:34 +0100 Subject: [PATCH] master > master: notes --- notes/vorbereitungKL2_2.md | 96 ++++++++++++++++++++++---------------- 1 file changed, 55 insertions(+), 41 deletions(-) diff --git a/notes/vorbereitungKL2_2.md b/notes/vorbereitungKL2_2.md index 4e964d9..cd5cf80 100644 --- a/notes/vorbereitungKL2_2.md +++ b/notes/vorbereitungKL2_2.md @@ -8,62 +8,76 @@ ---> ex. lin Abb φ : R^3 ---> R^3 (siehe Satz 6.1.13) 5b) -ii) wir wissen, dass {w1, w2} lin unabh. - ---> also ex. w3 ∈ R^3 s. d. {w1, w2, w3} eine Basis von R^3 ist. - ---> lin Abb φ wie vorher erzeugen. - Zz: φ ist injektiv. (Dann folgt: φ bijektiv (weil VR beide 3-dimensional sind), also φ ein Isomorphismus) - Sei x ∈ Kern(φ). - Dann x = c1·v1 + c2·v2 + c3·v3 - Also 0 = φ(x) = c1·w1 + c2·w2 + c3·w3 - Also c1, c2, c3 = 0, weil {w1, w2, w3} eine Basis - Also x = c1·v1 + c2·v2 + c3·v3 = 0. - ===> Damit haben wir gezeigt, dass Kern(φ) = {0} - (beachte, dass 0 immer im Kern ist) - ===> φ injektiv. + ii) wir wissen, dass {w1, w2} lin unabh. + ---> also ex. w3 ∈ R^3 s. d. {w1, w2, w3} eine Basis von R^3 ist. + ---> lin Abb φ wie vorher erzeugen. + Zz: φ ist injektiv. (Dann folgt: φ bijektiv (weil VR beide 3-dimensional sind), also φ ein Isomorphismus) + Sei x ∈ Kern(φ). + Dann x = c1·v1 + c2·v2 + c3·v3 + Also 0 = φ(x) = c1·w1 + c2·w2 + c3·w3 + Also c1, c2, c3 = 0, weil {w1, w2, w3} eine Basis + Also x = c1·v1 + c2·v2 + c3·v3 = 0. + ===> Damit haben wir gezeigt, dass Kern(φ) = {0} + (beachte, dass 0 immer im Kern ist) + ===> φ injektiv. - ODER + ODER - Aus Korollar 6.1.15 folgt φ ein Iso, weil {w1, w2, w3} eine Basis ist. + Aus Korollar 6.1.15 folgt φ ein Iso, weil {w1, w2, w3} eine Basis ist. -iii) setze w3 = 0. Konstruiere φ wie oben. -Dann erfüllt φ die 3 erwünschten Eigenschaften. -Und φ(v3) = w3 = 0, sodass Kern(φ) ≠ {0}, weil v3 ≠ 0. -Darum ist φ nicht injektiv und damit kein Isomorphismus. + iii) setze w3 = 0. Konstruiere φ wie oben. + Dann erfüllt φ die 3 erwünschten Eigenschaften. + Und φ(v3) = w3 = 0, sodass Kern(φ) ≠ {0}, weil v3 ≠ 0. + Darum ist φ nicht injektiv und damit kein Isomorphismus. -Wenn dim(W) = m, m eine endliche Zahl: + Wenn dim(W) = m, m eine endliche Zahl: -(1) φ injektiv <==> Kern(φ) = {0} - <==> dim(Kern(φ)) = 0 - <==> dim(Bild(φ)) = dim(V) - <==> Rang(φ) = dim(V) - <==> Rang(φ) ≥ dim(V) + (1) φ injektiv <==> Kern(φ) = {0} + <==> dim(Kern(φ)) = 0 + <==> dim(Bild(φ)) = dim(V) + <==> Rang(φ) = dim(V) + <==> Rang(φ) ≥ dim(V) -(2) φ surjektiv <==> Bild(φ) = W - <==> dim(Bild(φ)) = dim(W) (=m) - <==> Rang(φ) = dim(W) - <==> Rang(φ) ≥ dim(W) + (2) φ surjektiv <==> Bild(φ) = W + <==> dim(Bild(φ)) = dim(W) (=m) + <==> Rang(φ) = dim(W) + <==> Rang(φ) ≥ dim(W) - z. B. wenn Bild(φ) = lin{w1, w2, ..., w_r} und {w1, w2, ..., w_r} lin unabh. - dann dim(Bild(φ)) = r + z. B. wenn Bild(φ) = lin{w1, w2, ..., w_r} und {w1, w2, ..., w_r} lin unabh. + dann dim(Bild(φ)) = r -A = ( a_ij ) eine m x n Matrix -B = ( b_ij ) eine m x n Matrix +## MATRIZEN ## -A + 5B = ( a_ij + 5b_ij ) +Matrizen werden mal so in Bezug auf ihre Einträge folgendermaßen formal dargestellt: -A = ( a_ij ) eine m x n Matrix - ¯ -B = ( b_ij ) eine n x l Matrix + A = ( a_ij ) eine m x n Matrix + B = ( b_ij ) eine m x n Matrix + +Mit dieser Darstellung kann man dann Ergebnisse von algebraischen Operationen analog darstellen, +wie z. B. + + A + 5B = ( a_ij + 5b_ij ). + +Seien + + A = ( a_ij ) eine m x n Matrix + ¯ + B = ( b_ij ) eine n x l Matrix ¯ -(„innere Dimensionen“ müssen übereinstimmen, um Matrixmult. durchzuführen) +Zur Matrixmultiplikation müssen die „innere Dimensionen“ übereinstimmen, +um die Operation auszuführen (wenn die quadratisch sind, dann gilt das ohnehin). +Es gilt + n -A·B = ( c_ij ), wobei c_ij = ∑ a_ik b_kj + A·B = ( c_ij ), wobei c_ij = ∑ a_ik b_kj k=1 - l -B·A = ( d_ij ), wobei d_ij = ∑ b_ik a_kj - k=1 +Hingegen (solange m=l) gilt + + l + B·A = ( d_ij ), wobei d_ij = ∑ b_ik a_kj + k=1