master > master: ÜB11-2(a) küzerer Beweis mittels Dimensionsformel
This commit is contained in:
parent
c42baa642e
commit
f09eaa4e6f
Binary file not shown.
@ -7404,20 +7404,20 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
|
||||
}_{\text{Spaltenraum von $A$}}.\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Insbesondere gilt per des Ranges und \cite[Lemma 5.4.7]{sinn2020}
|
||||
Insbesondere gilt per des Definition des Rangs,
|
||||
und da laut \cite[Lemma 5.4.7]{sinn2020} Rang = Spaltenrang,
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||||
\eqtag[eq:2:beob:ueb:11:ex:2]
|
||||
\rank(A)
|
||||
&\textoverset{Lemm}{=}
|
||||
&\text{Spaltenrang}(A)\\
|
||||
&\textoverset{Defn}{=}
|
||||
&\dim(\vectorspacespan\{w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}\})\\
|
||||
&\dim(\vectorspacespan\{w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}\})
|
||||
&\eqcrefoverset{eq:1:beob:ueb:11:ex:2}{=}
|
||||
&\dim(\range(\phi_{A})).\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Darum gilt die Behauptung.
|
||||
\nvraum{1}
|
||||
|
||||
\end{obs}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}{\bfseries (a)}
|
||||
@ -7430,80 +7430,32 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
|
||||
\end{schattierteboxdunn}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Für diesen Beweis machen wir von den Berechnungen in \cref{obs:2:ueb:11:ex:2} Gebrauch.
|
||||
Wir inspizieren den linearen Unterraum
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcccl}
|
||||
W &:= &\range(\phi_{A}) &= &\vectorspacespan\{w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}\}\subseteq K^{m}\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Offensichtlich ist $\cal{W}:=(w_{1},w_{2},\ldots,w_{n})$ ein Erzeugendensystem für $W$, sodass $\dim(W)\leq n$ gilt.
|
||||
Des Weiteren gelten die Implikationen:
|
||||
|
||||
\begin{mathe}[mc]{rcl}
|
||||
\eqtag[eq:1:ueb:11:ex:2:a]
|
||||
\dim(W)\geq n
|
||||
&\Longrightarrow
|
||||
&\dim(W)=n\quad\text{(da $\dim(W)\leq n$ sowieso)}\\
|
||||
&\Longrightarrow
|
||||
&(w_{1},w_{2},\ldots,w_{n})\,\text{linear unabhängig}\\
|
||||
&&\quad\text{laut \cite[Korollar~5.4.4]{sinn2020}}\\
|
||||
&&\quad\text{und da $\cal{W}$ ein Erzsys. aus $n=\dim(W)$ Vektoren}\\
|
||||
&\Longrightarrow
|
||||
&(w_{1},w_{2},\ldots,w_{n})\,\text{eine Basis für $W$}\\
|
||||
&&\quad\text{da $\cal{W}$ sowieso ein Erzeugendensystem für $W$ ist}\\
|
||||
&\Longrightarrow
|
||||
&\dim(W)=n\\
|
||||
&\Longrightarrow
|
||||
&\dim(W)\geq n\quad\text{(offensichtlich)}.\\
|
||||
\end{mathe}
|
||||
|
||||
Da nun
|
||||
$\rank(A)\eqcrefoverset{eq:2:beob:ueb:11:ex:2}{=}\dim(\range(\phi_{A}))=\dim(W)$,
|
||||
erhalten wir
|
||||
Für diesen Beweis machen wir von der Dimensionsformel für lineare Abbildungen
|
||||
(siehe \cite[6.1.10 Korollar]{sinn2020})
|
||||
Gebrauch.
|
||||
Es gilt
|
||||
|
||||
\begin{longmathe}[mc]{RCL}
|
||||
\rank(A)\geq n
|
||||
\phi_{A}\,\text{injektiv}
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&\dim(W)\geq n\\
|
||||
&\eqcrefoverset{eq:1:ueb:11:ex:2:a}{\Longleftrightarrow}
|
||||
&(w_{1},w_{2},\ldots,w_{n})\,\text{linear unabhängig}\\
|
||||
&\textoverset{Defn}{\Longleftrightarrow}
|
||||
&\forall{c_{1},c_{2},\ldots,c_{n}\in K:~}
|
||||
\big(
|
||||
\sum_{i=1}^{n}c_{i}w_{i}=\zerovector
|
||||
\Rightarrow
|
||||
c_{1},c_{2},\ldots,c_{n}=0_{K}
|
||||
\big)\\
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&\forall{x\in K^{n}:~}
|
||||
\big(
|
||||
\underbrace{
|
||||
\sum_{i=1}^{n}x_{i}w_{i}
|
||||
}_{
|
||||
=Ax=\phi_{A}(x)
|
||||
}
|
||||
=\zerovector
|
||||
\Rightarrow
|
||||
x=\zerovector
|
||||
\big)\\
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&\forall{x\in K^{n}:~}
|
||||
\big(
|
||||
x\in\ker(\phi_{A})\Rightarrow x\in\{\zerovector\}
|
||||
\big)\\
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&\ker(\phi_{A})\subseteq\{\zerovector\}\\
|
||||
&\ker(\phi_{A})=\{0\}
|
||||
\quad\text{(siehe \cite[Lemma~6.1.4(1)]{sinn2020})}\\
|
||||
&\textoverset{($\ast$)}{\Longleftrightarrow}
|
||||
&\ker(\phi_{A})=\{\zerovector\}\\
|
||||
&\dim(\ker(\phi_{A}))=0\\
|
||||
&\textoverset{Dimensionsformel}{\Longleftrightarrow}
|
||||
&\dim(K^{n})-\dim(\rank(\phi_{A}))=0\\
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&\phi_{A}\,\text{injektiv}
|
||||
\quad\text{(siehe \cite[Lemma~6.1.4(1)]{sinn2020})}.\\
|
||||
&\dim(\rank(\phi_{A}))=n\\
|
||||
&\eqcrefoverset{eq:2:beob:ueb:11:ex:2}{\Longleftrightarrow}
|
||||
&\rank(A)=n\\
|
||||
&\Longleftrightarrow
|
||||
&\rank(A)\geq n.\\
|
||||
\end{longmathe}
|
||||
|
||||
Hierbei gilt ($\ast$),
|
||||
weil $\{\zerovector\}\subseteq\ker(\phi_{A})$ immer gilt,
|
||||
weil wiederum $\phi_{A}(\zerovector)=\zerovector$ stets gilt (siehe \cite[Lemma~6.1.2]{sinn2020}).
|
||||
Hierbei gilt ($\ast$), da $\ker(\phi_{A})$ ein linearer Unterraum von $K^{n}$ ist,
|
||||
und da $\dim(U)=0\Leftrightarrow U=\{0\}$ für alle linearen Unterräume, $U\subseteq K^{n}$.
|
||||
Und die letzte doppelte Implikation gilt,
|
||||
weil laut \Cref{obs:1:ueb:11:ex:2} $\rank(A)\leq n$ stets gilt.
|
||||
Den o.\,s. doppelten Implikationen zufolge gilt die Behauptung.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
@ -7561,7 +7513,7 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
|
||||
Das heißt, $\phi_{A}$ ist injektiv und surjektiv.
|
||||
Aus den anderen Teilaufgaben folgt
|
||||
$\rank(A)\geq\max\{m,n\}$.
|
||||
Darum gilt $\max\{m,n\}\rank(A)\leq\min\{m,n\}$
|
||||
Darum gilt $\max\{m,n\}\leq\rank(A)\leq\min\{m,n\}$
|
||||
(siehe \Cref{obs:1:ueb:11:ex:2}).
|
||||
Folglich gelten $m=n$ und $\rank(A)=m=n$.
|
||||
|
||||
|
||||
Loading…
x
Reference in New Issue
Block a user