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\noindent\rule{\linewidth}{2pt} + + \vraum + + \noindent + \hraum{\footnotesize Raj Dahya}\hraum\\ + \hraum{\small \itshape Fakultät für Mathematik und Informatik}\hraum\\ + \hraum{\small \itshape Universität Leipzig.}\hraum\\ + \hraum{\small Wintersemester 2020/2021 }\hraum +\end{titlepage} + +%% ******************************************************************************** +%% FILE: front/foreword.tex +%% ******************************************************************************** + +\chapter*{Vorwort} + +Dieses Dokument enthält zusätzliche Aufgaben und Themen, +die in den Übungsgruppen erörtert wurden. + +%% ******************************************************************************** +%% FILE: front/contents.tex +%% ******************************************************************************** + +\kopfzeiledefault +\footnotesize +\setcounter{tocdepth}{1} +\def\contentsname{Inhaltsverzeichnis} + + \tableofcontents + + %% HAUPTTEXT: + +%% ******************************************************************************** +%% FILE: body/index.tex +%% ******************************************************************************** + +\def\chaptername{} + +%% ******************************************************************************** +%% FILE: body/linear-extensions.tex +%% ******************************************************************************** + +\chapter[Lineare Ausdehnung]{Lineare Ausdehnung} + \label{ch:lin-ext} + +In der Übungsgruppe in Woche 12 (am 3.2.2021) diskutierten wir +verzwickte Situationen und Fragentypen, die zum Thema linearer Ausdehnung vorkommen können. +Wir hatten das größtenteils theoretisch ausgelegt. +Hier wollen wir ein paar Aufgaben komplett durchrechnen. + +\textbf{Beachte!} Hier geht es niemals darum, +eine lineare Ausdehnung \emph{exmplizit darzustellen}, +sondern vielmehr +(1) \cite[Satz~6.1.13]{sinn2020} als zentrales Resultat anzuwenden, +(2) eine Basis aus den Inputvektoren zu generieren + (ggf. durch Entfernung von „linear abhängigen“ Vektoren, ggf. durch Basiserweiterung, ggf. durch beides!) +(3) die Input und Outputvektoren in der partielldefinierten Funktion +zu untersuchen, und \uline{rein aufgrund dessen} ein Urteil zu treffen, +ob + (3a) eine lineare Ausdehnung überhaupt möglich ist, + (3b) eine injektive/nicht injektive lineare Ausdehnung möglich ist, + (3c) eine surjektive/nicht surjektive lineare Ausdehnung möglich ist, + (3d) eine Isomorphismus (=Bijektion)/nicht-Isomorphismus als lineare Ausdehnung möglich ist. + +Nun, im Falle von Funktionen ${\phi:U\to V}$, wobei $U,V$ Vektorräume mit $\dim(U)=\dim(V)$, +sind wegen \cite[Korollar~6.1.11]{sinn2020} die Nebenfragen (3a)–(3c) alle äquivalent. +Im Falle $\dim(U)\neq\dim(V)$ machen wir von folgender Beobachtung Gebrauch: + +\begin{obs*} + Seien $U$, $V$ (endlich dimensionale) Vektorräume über einem Körper $K$ + und sei ${\phi:U\to V}$ linear. + Da $\range(\phi)\subseteq V$ gilt offensichtlich $\dim(\range(\phi))\leq\dim(V)$. + Und wenn wir eine Basis ${\{u_{1},u_{2}\ldots,u_{n}\}\subseteq U}$ + für $U$ fixieren, mit $n=\dim(U)$, + so gilt wegen Linearität + ${\range(\phi)=\vectorspacespan\{\phi(u_{1}),\phi(u_{2})\ldots,\phi(u_{n})\}}$. + Das heißt, $\{\phi(u_{1}),\phi(u_{2})\ldots,\phi(u_{n})\}$ + ist ein Erzeugendensystem für $\range(\phi)$. + Folglich gilt $\dim(\range(\phi))\leq n=\dim(U)$. + Da per Definition $\rank(\phi)=\dim(\range(\phi))$, + haben wir gezeigt, + dass + ${\rank(\phi)\leq\dim(V)}$ + und ${\rank(\phi)\leq\dim(U)}$ + \uline{stets gelten}. + Kürzer formuliert: + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \eqtag[eq:lin-abb-leq:ch:lin-ext] + \rank(\phi) &\leq &\min\{\dim(U),\dim(V)\}\\ + \end{mathe} + + gilt immer für alle lineare Abbildungen ${\phi:U\to V}$ + und alle Vektorräume $U, V$. +\end{obs*} + +Aus dieser Beobachtung können wir über (3b–3d) folgende Urteile generell treffen, wenn $\dim(U)\neq\dim(V)$: + + \begin{kompaktitem} + \item + Falls $\dim(U)>\dim(V)$ kann es bei offensichtlich höchstens nicht-injektive lineare Ausdehnungen geben, + weil für ${\phi:U\to V}$ linear gilt $\rank(\phi)\leq\dim(V)<\dim(U)$, + sodass laut \cite[Korollar~6.3.15(1)]{sinn2020} $\phi$ niemals injektiv sein kann. + \item[] + Darum lautet die Antwort zu (3b/3d) \emph{Gibt es injektive/bijektive...?} immer nein. + Die Fragen (3b/3d) \emph{Gibt es nicht-injektive/nicht-bijektive...?} sind dann äquivalent zu (3a). + \item + Falls $\dim(U)<\dim(V)$ kann es bei (3c) offensichtlich höchstens nicht-surjektive lineare Ausdehnungen geben, + weil für ${\phi:U\to V}$ linear gilt $\rank(\phi)\leq\dim(U)<\dim(V)$, + sodass laut \cite[Korollar~6.3.15(2)]{sinn2020} $\phi$ niemals surjektiv sein kann. + \item[] + Darum lautet die Antwort zu (3c/3d) \emph{Gibt es surjektive/bijektive...?} immer nein. + Die Fragen (3b/3d) \emph{Gibt es nicht-surjektive/nicht-bijektive...?} sind dann äquivalent zu (3a). + \end{kompaktitem} + +Daher können wir die Fragentypen in den Aufgaben immer teilweise sofort beantworten +und zum Teil vereinfachen, +je nachdem, ob $\dim(U)=\dim(V)$, oder $\dim(U)<\dim(V)$, oder $\dim(U)>\dim(V)$ +gelten. + +%% AUFGABE 1 +\clearpage +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{Aufgabe} +\section[Aufgabe 1]{} + \label{sec:1} +\let\sectionname\altsectionname + + Betrachten wir die Vektorräume $U:=\reell^{4}$ und $V:=\reell^{2}$. + Betrachten wir die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$ + gegeben durch + + \begin{mathe}[mc]{ccc} + u_{1} = \begin{svector} 0\\ 0\\ 1\\ 1\\\end{svector}, + &u_{2} = \begin{svector} 3\\ 0\\ 1\\ 1\\\end{svector}, + &u_{3} = \begin{svector} 30\\ 0\\ 0\\ 0\\\end{svector},\\ + \end{mathe} + + \begin{mathe}[mc]{ccc} + v_{1} = \begin{svector} 5\\ 8\\\end{svector}, + &v_{2} = \begin{svector} -9\\ 11\\\end{svector}, + &v_{3} = \begin{svector} -140\\ 30\\\end{svector}.\\ + \end{mathe} + + \begin{qstn} + Gibt es eine lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$, + so dass + + \setcounter{columnanzahl}{3} + \begin{multikompaktenum}{\bfseries i)}[\rtab][\rtab] + \item + $\phi(u_{1})=v_{1}$ + \item + $\phi(u_{2})=v_{2}$ + \item + $\phi(u_{3})=v_{3}$ + \end{multikompaktenum} + + \uline{alle} erfüllt sind? + \end{qstn} + + \begin{soln*} + Wir beachten zuerst, dass $\{u_{1},u_{2}\}$ linear unabhängig sind\footnote{ + ich lasse hier die Beweise weg, + aber man sollte die zeigen, + z.\,B. durch das Gaußverfahren. + } + und dass $u_{3}\in\vectorspacespan\{u_{1},_{2}\}$, + da ${u_{3}=10u_{2}-10u_{1}}$. + Wir beachten auch, dass + + \begin{mathe}[mc]{rcccl} + 10v_{2}-10v_{1} &= &\begin{svector} -140\\ 30\\\end{svector} &= &v_{3}\\ + \end{mathe} + + gilt. + Darum können wir die Frage auf Bedingungen {i) + ii)} reduzieren: + existiert eine lineare Abbildung, die {i) + ii)} erfüllt, + dann wird wegen Linearität Bedingung iii) automatisch mit erfüllt. + Existiert keine lineare Abbildung, die {i) + ii)} erfüllt, + dann existiert natürlich auch keine, die i)--iii) erfüllt. + + Wir \uline{erweitern} nun die lineare unabhängige Menge + $\{u_{1},u_{2}\}$ + zu einer Basis + $\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$ + von $U$. + Wähle außerdem beliebige Vektoren, $v'_{3},v'_{4}\in V$. + Da $\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$ eine Basis von $U$ + ist und $v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\in V$, + existiert laut \cite[Satz~6.1.13]{sinn2020} + eine lineare Ausdehnung, + ${\phi:U\to V}$, + so dass + + \begin{mathe}[mc]{cccc} + \phi(u_{1})=v_{1}, + &\phi(u_{2})=v_{2}, + &\phi(u'_{3})=v'_{3}, + &\phi(u'_{4})=v'_{4}, + \end{mathe} + + gelten. Insbesondere sind Bedingungen {i) + ii)} erfüllt. + Also lautet wie oben argumentiert, die Antwort auf die Originalfrage: »Ja«! + \end{soln*} + + \begin{qstn} + Gibt es eine + + \setcounter{columnanzahl}{3} + \begin{multikompaktenum} + \item[] b) injektive + \item[] b') nicht-injektive + \item[] c) surjektive + \item[] c') nicht-surjektive + \item[] d) bijektive\footnote{ + also einen »Isomorphismus« + } + \item[] d') nicht-bijektive + \end{multikompaktenum} + + lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$, + so dass i)--iii) erfüllt sind? + \end{qstn} + + \begin{soln*} + Da $\dim(U)>\dim(V)$, + kann es generell keine injektiven linearen Abbildungen + von $U$ nach $V$ geben. + Also lauten die Antworten auf b), d) »Nein«, + und da es mindestens eine lineare Ausdehnung existiert, + lautet die Antwort auf b') und d') »Ja«. + + Es bleiben nur noch c) und c') zu bestimmen. + Sei ${\phi:U\to V}$ eine lineare Ausdehnung von i)--iii). + Dann wegen Bedingungen {i) + ii)} und Linearität gilt + + \begin{mathe}[mc]{rcccccl} + \range(\phi) + &\supseteq + &\vectorspacespan\{\phi(u_{1}),\phi(u_{2})\} + &= &\vectorspacespan\{v_{1},v_{2}\} + &= &V.\\ + \end{mathe} + + Die letzte Gleichung gilt, weil $\{v_{1},v_{2}\}$ + linear unabhängig ist\footnote{ + ich lasse wieder den Beweis weg, + aber man sollte das machen + }, + und somit eine Basis von dem $2$-dimensionalen Raum, $V$, ist. + Darum ist $\range(\phi)$ surjektiv. + Da $\phi$ beliebig war haben wir tatsächlich gezeigt, + dass alle lineare Ausdehnungen von i)--iii) surjektiv sind. + Darum lautet die Antwort auf c) »Ja« und auf c') »Nein«. + \end{soln*} + +%% AUFGABE 2 +\clearpage +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{Aufgabe} +\section[Aufgabe 2]{} + \label{sec:2} +\let\sectionname\altsectionname + + Betrachten wir die Vektorräume $U:=\reell^{4}$ und $V:=\reell^{2}$. + Betrachten wir die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$ + gegeben durch + + \begin{mathe}[mc]{cccc} + u_{1} = \begin{svector} 0\\ 0\\ 1\\ 1\\\end{svector}, + &u_{2} = \begin{svector} 3\\ 0\\ 1\\ 1\\\end{svector}, + &u_{3} = \begin{svector} 30\\ 0\\ 0\\ 0\\\end{svector}, + &u_{4} = \begin{svector} 3\\ 0\\ 2\\ 2\\\end{svector},\\ + \end{mathe} + + \begin{mathe}[mc]{cccc} + v_{1} = \begin{svector} 5\\ 8\\\end{svector}, + &v_{2} = \begin{svector} 25\\ 40\\\end{svector}, + &v_{3} = \begin{svector} -140\\ 30\\\end{svector}, + &v_{4} = \begin{svector} 30\\ 48\\\end{svector}.\\ + \end{mathe} + + \begin{qstn} + Gibt es eine lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$, + so dass + + \setcounter{columnanzahl}{2} + \begin{multikompaktenum}{\bfseries i)}[\rtab][\rtab] + \item + $\phi(u_{1})=v_{1}$ + \item + $\phi(u_{2})=v_{2}$ + \item + $\phi(u_{3})=v_{3}$ + \item + $\phi(u_{4})=v_{4}$ + \end{multikompaktenum} + + \uline{alle} erfüllt sind? + \end{qstn} + + \begin{soln*} + Wir beachten zuerst, dass $\{u_{1},u_{2}\}$ linear unabhängig sind + und dass $u_{3},u_{4}\in\vectorspacespan\{u_{1},_{2}\}$, + da ${u_{3}=10u_{2}-10u_{1}}$ und ${u_{4}=u_{1}+u_{2}}$. + Wir beachten auch, dass + + \begin{mathe}[mc]{rcccl} + 10v_{2}-10v_{1} &= &\begin{svector} -140\\ 30\\\end{svector} &= &v_{3},\\ + v_{1}+v_{2} &= &\begin{svector} 30\\ 48\\\end{svector} &= &v_{4}\\ + \end{mathe} + + gelten. + Darum können wir die Frage auf Bedingungen {i) + ii)} reduzieren, + weil wegen der o.\,s. Verhältnisse {iii) + iv)} + für lineare Abbildungen automatisch mit erfüllt werden. + + Wir \uline{erweitern} nun die lineare unabhängige Menge $\{u_{1},u_{2}\}$ + zu einer Basis + $\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$ + von $U$. + Wähle außerdem beliebige Vektoren, $v'_{3},v'_{4}\in V$. + Da $\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$ eine Basis von $U$ + ist und $v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\in V$, + existiert laut \cite[Satz~6.1.13]{sinn2020} + eine lineare Ausdehnung, + ${\phi:U\to V}$, + so dass + + \begin{mathe}[mc]{cccc} + \phi(u_{1})=v_{1}, + &\phi(u_{2})=v_{2}, + &\phi(u'_{3})=v'_{3}, + &\phi(u'_{4})=v'_{4}, + \end{mathe} + + gelten. Insbesondere sind Bedingungen {i) + ii)} erfüllt. + Also lautet wie oben argumentiert, die Antwort auf die Originalfrage: »Ja«! + \end{soln*} + + \begin{qstn} + Gibt es eine + + \setcounter{columnanzahl}{3} + \begin{multikompaktenum} + \item[] b) injektive + \item[] b') nicht-injektive + \item[] c) surjektive + \item[] c') nicht-surjektive + \item[] d) bijektive + \item[] d') nicht-bijektive + \end{multikompaktenum} + + lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$, + so dass i)--iv) erfüllt sind? + \end{qstn} + + \begin{soln*} + Da $\dim(U)>\dim(V)$, + kann es generell keine injektiven linearen Abbildungen + von $U$ nach $V$ geben. + Also lauten die Antworten auf b), d) »Nein«, + und da es mindestens eine lineare Ausdehnung existiert, + lautet die Antwort auf b') und d') »Ja«. + + Es bleiben nur noch c) und c') zu bestimmen. + Beachte, dass in der Konstruktion von $\phi$ im o.\,s. Beweis + wir $v'_{3},v'_{4}$ beliebig auswählen konnten. + + Zu c) wähle $v'_{3}:=\begin{svector} 1\\ 0\\\end{svector}$ + und $v'_{4}:=\zerovector$ + und sei ${\phi_{1}:U\to V}$ die lineare Abbildung + im o.\,s. Beweis mit diesen Vektoren in der Konstruktion. + Da $\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$ eine Basis für $U$ ist, + gilt wegen Linearität von $\phi_{1}$ + + \begin{mathe}[mc]{rcl} + \range(\phi_{1}) + &= &\phi_{1}(\vectorspacespan\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\})\\ + &= &\vectorspacespan\{\phi(u_{1}),\phi(u_{2}),\phi(u'_{3}),\phi(u'_{4})\}\\ + &= &\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\}\\ + \end{mathe} + + und damit eine Basis des 2-dimensionalen Vektorraums, $V$. + Darum gilt + $% + \rank(\phi_{1}) + \textoverset{Defn}{=}\dim(\range(\phi_{1})) + =\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\}) + \geq\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v'_{3}\}) + =2 + $, + da \uline{per Wahl} $\{v_{1},v'_{3}\}$ linear unabhängig ist. + Also, $\rank(\phi_{1})\geq 2=\dim(V)$. + Folglich ist $\phi_{1}$ + laut \cite[Korollar~6.3.15(2)]{sinn2020} + surjektiv. + Die Antwort auf c) lautet also »Ja«. + + Zu c') wähle $v'_{3},v'_{4}:=\zerovector$ + und sei ${\phi_{2}:U\to V}$ die lineare Abbildung + im o.\,s. Beweis mit diesen Vektoren in der Konstruktion. + Wie oben gilt + $% + \rank(\phi_{2}) + \textoverset{Defn}{=}\dim(\range(\phi_{2})) + =\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\}) + =\dim(\vectorspacespan\{v_{1}\}) + \leq 1 + $, + da \uline{per Wahl} $v_{2},v_{3},v_{4}\in\vectorspacespan(\{v_{1}\})$ + und $v_{1}\neq\zerovector$. + Also, $\rank(\phi_{2})<2=\dim(V)$. + Folglich ist $\phi_{2}$ + laut \cite[Korollar~6.3.15(1)]{sinn2020} + nicht-surjektiv. + Die Antwort auf c') lautet also »Ja«. + \end{soln*} + +%% AUFGABE 3 +\clearpage +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{Aufgabe} +\section[Aufgabe 3]{} + \label{sec:3} +\let\sectionname\altsectionname + + Betrachten wir die Vektorräume $U:=\reell^{2}$ und $V:=\reell^{4}$. + Betrachten wir die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$ + gegeben durch + + \begin{mathe}[mc]{ccc} + u_{1} = \begin{svector} 1\\ 1\\\end{svector}, + &u_{2} = \begin{svector} 0\\ 2\\\end{svector}, + &u_{3} = \begin{svector} 1\\ 3\\\end{svector}\\ + \end{mathe} + + \begin{mathe}[mc]{ccc} + v_{1} = \begin{svector} -9\\ 0\\ 0\\ 1\\\end{svector}, + &v_{2} = \begin{svector} 4\\ 0\\ 0\\ 2\\\end{svector}, + &v_{3} = \begin{svector} 5\\ 1\\ 0\\ 3\\\end{svector}.\\ + \end{mathe} + + \begin{qstn} + Gibt es eine lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$, + so dass + + \setcounter{columnanzahl}{3} + \begin{multikompaktenum}{\bfseries i)}[\rtab][\rtab] + \item + $\phi(u_{1})=v_{1}$ + \item + $\phi(u_{2})=v_{2}$ + \item + $\phi(u_{3})=v_{3}$ + \end{multikompaktenum} + + \uline{alle} erfüllt sind? + \end{qstn} + + \begin{soln*} + Beachte, dass $u_{3}=u_{1}+u_{2}$, aber + + \begin{mathe}[mc]{rcccl} + v_{1}+v_{2} + &= &\begin{svector} -5\\ 0\\ 0\\ 3\\\end{svector} + &\neq &v_{3}.\\ + \end{mathe} + + Angenommen, es gebe eine lineare Ausdehnung ${\phi:U\to V}$, + die i)--iii) erfüllt. + Dann muss + $v_{3}=\phi(u_{3})=\phi(u_{1}+u_{2})=\phi(u_{1})+\phi(u_{2})=v_{1}+v_{2}$ + gelten. Laut der o.\,s. Gleichung kann dies aber nicht gelten. + Darum lautet die Antwort »Nein«. + Es gibt keine lineare Ausdehnung. + \end{soln*} + +%% AUFGABE 4 +\clearpage +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{Aufgabe} +\section[Aufgabe 4]{} + \label{sec:4} +\let\sectionname\altsectionname + + Betrachten wir die Vektorräume $U:=\reell^{2}$ und $V:=\reell^{4}$. + Betrachten wir die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$ + gegeben durch + + \begin{mathe}[mc]{ccc} + u_{1} = \begin{svector} 1\\ 1\\\end{svector}, + &u_{2} = \begin{svector} 2\\ 3\\\end{svector}, + &u_{3} = \begin{svector} 0\\ 1\\\end{svector}\\ + \end{mathe} + + \begin{mathe}[mc]{ccc} + v_{1} = \begin{svector} 8\\ 0\\ 0\\ 4\\\end{svector}, + &v_{2} = \begin{svector} 16\\ 0\\ 0\\ 9\\\end{svector}, + &v_{3} = \begin{svector} 2\\ 0\\ 0\\ 1\\\end{svector}.\\ + \end{mathe} + + \begin{qstn} + Gibt es eine lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$, + so dass + + \setcounter{columnanzahl}{3} + \begin{multikompaktenum}{\bfseries i)}[\rtab][\rtab] + \item + $\phi(u_{1})=v_{1}$ + \item + $\phi(u_{2})=v_{2}$ + \item + $\phi(u_{3})=v_{3}$ + \end{multikompaktenum} + + \uline{alle} erfüllt sind? + \end{qstn} + + \begin{soln*} + Wir beachten zuerst, dass $\{u_{1},u_{3}\}$ linear unabhängig ist + und dass $u_{2}\in\vectorspacespan\{u_{1}\}$, + da ${u_{2}=2u_{1}+u_{3}}$. + Wir beachten auch, dass + + \begin{mathe}[mc]{rcccl} + 2v_{1}+u_{3} &= &\begin{svector} 18\\ 0\\ 0\\ 9\\\end{svector} &= &v_{2}\\ + \end{mathe} + + gilt. + Darum können wir die Frage auf Bedingung {i) + iii)} reduzieren, + weil wegen der o.\,s. Verhältnisse {ii)} + für lineare Abbildungen automatisch mit erfüllt wird. + + Wegen linearer Unabhängigkeit ist $\{u_{1},u_{3}\}$ + bereits eine Basis des $2$-dimensionalen Raums, $U$. + Deswegen brauchen wir in dieser Aufgabe keine Erweiterung zu machen. + Da $\{u_{1},u_{3}\}$ eine Basis für $U$ + und $\{v_{1},v_{3}\}\subseteq V$, + existiert laut \cite[Satz~6.1.13]{sinn2020} + eine lineare Abbildung, + ${\phi:U\to V}$, + so dass + + \begin{mathe}[mc]{cc} + \phi(u_{1})=v_{1}, &\phi(u_{3})=v_{3}, + \end{mathe} + + gelten. Insbesondere sind Bedingung {i) + iii)} erfüllt. + Also lautet wie oben argumentiert, + die Antwort auf die Originalfrage: »Ja«! + \end{soln*} + + \begin{qstn} + Gibt es eine + + \setcounter{columnanzahl}{3} + \begin{multikompaktenum} + \item[] b) injektive + \item[] b') nicht-injektive + \item[] c) surjektive + \item[] c') nicht-surjektive + \item[] d) bijektive + \item[] d') nicht-bijektive + \end{multikompaktenum} + + lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$, + so dass i)--iii) erfüllt sind? + \end{qstn} + + \begin{soln*} + Da $\dim(U)<\dim(V)$, + kann es generell keine surjektive linearen Abbildungen + von $U$ nach $V$ geben. + Also lauten die Antworten auf c), d) »Nein«, + und da es mindestens eine lineare Ausdehnung existiert, + lautet die Antwort auf c') und d') »Ja«. + + Es bleiben nur noch b) und b') zu bestimmen. + Sei $\phi$ eine lineare Ausdehnung, die i)---iii) erfüllt. + Dann wegen Linearität von $\phi_{1}$ + und da $\{u_{1},u_{3}\}$ eine Basis von $U$ ist, + gilt + + \begin{mathe}[mc]{rcccccl} + \range(\phi_{1}) + &= &\phi_{1}(\vectorspacespan\{u_{1},u_{3}\}) + &= &\vectorspacespan\{\phi_{1}(u_{1}),\phi_{1}(u_{3})\} + &= &\vectorspacespan\{v_{1},v_{3}\} + \end{mathe} + + und damit + $% + \rank(\phi) + \textoverset{Defn}{=}\dim(\range(\phi)) + =\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v_{3}\}) + =\dim(\vectorspacespan\{v_{3}\}) + =1 + $, + da $v_{1}\in\vectorspacespan\{v_{3}\}$ + und $v_{3}\neq\zerovector$. + Also, $\rank(\phi)<2=\dim(U)$. + Folglich ist $\phi$ + laut \cite[Korollar~6.3.15(1)]{sinn2020} + nicht injektiv. + Da hier $\phi$ beliebig gewählt wurde, + sind alle linearen Ausdehnungen von i)--iii) + immer nicht-injektiv. + Darum lautet die Antwort auf b) »Nein« + und auf b') »Ja«. + \end{soln*} + +%% AUFGABE 5 +\clearpage +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{Aufgabe} +\section[Aufgabe 5]{} + \label{sec:5} +\let\sectionname\altsectionname + + Betrachten wir die Vektorräume $U:=\reell^{2}$ und $V:=\reell^{4}$. + Betrachten wir die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$ + gegeben durch + + \begin{mathe}[mc]{ccc} + u_{1} = \begin{svector} 1\\ 1\\\end{svector}, + &u_{2} = \begin{svector} 2\\ 2\\\end{svector}, + &u_{3} = \begin{svector} 3\\ 3\\\end{svector}\\ + \end{mathe} + + \begin{mathe}[mc]{ccc} + v_{1} = \begin{svector} 8\\ 0\\ 0\\ 4\\\end{svector}, + &v_{2} = \begin{svector} 16\\ 0\\ 0\\ 8\\\end{svector}, + &v_{3} = \begin{svector} 24\\ 0\\ 0\\ 12\\\end{svector}.\\ + \end{mathe} + + \begin{qstn} + Gibt es eine lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$, + so dass + + \setcounter{columnanzahl}{3} + \begin{multikompaktenum}{\bfseries i)}[\rtab][\rtab] + \item + $\phi(u_{1})=v_{1}$ + \item + $\phi(u_{2})=v_{2}$ + \item + $\phi(u_{3})=v_{3}$ + \end{multikompaktenum} + + \uline{alle} erfüllt sind? + \end{qstn} + + \begin{soln*} + Wir beachten zuerst, dass $\{u_{1}\}$ linear unabhängig ist + und dass $u_{2},u_{3}\in\vectorspacespan\{u_{1}\}$, + da $u_{2}=2u_{1}$ und $u_{3}=3u_{1}$. + Wir beachten auch, dass + + \begin{mathe}[mc]{rcccl} + 2v_{1} &= &\begin{svector} 16\\ 0\\ 0\\ 8\\\end{svector} &= &v_{2},\\ + 3v_{1} &= &\begin{svector} 24\\ 0\\ 0\\ 12\\\end{svector} &= &v_{3}\\ + \end{mathe} + + gelten. + Darum können wir die Frage auf Bedingung {i)} reduzieren, + weil wegen der o.\,s. Verhältnisse {ii) + iii)} + für lineare Abbildungen automatisch mit erfüllt werden. + + Erweitere $\{u_{1}\}$ zu einer Basis $\{u_{1},u'_{2}\}$ + des $2$-dimensionalen Raums, $U$, + und wähle einen Vektor $v'_{2}\in V$. + Da $\{u_{1},u'_{2}\}$ eine Basis für $U$ + und $\{v_{1},v'_{2}\}\subseteq V$, + existiert laut \cite[Satz~6.1.13]{sinn2020} + eine lineare Abbildung, + ${\phi:U\to V}$, + so dass + + \begin{mathe}[mc]{cc} + \phi(u_{1})=v_{1}, &\phi(u'_{2})=v'_{2}, + \end{mathe} + + gelten. Insbesondere sind Bedingung {i)} erfüllt. + Also lautet wie oben argumentiert, + die Antwort auf die Originalfrage: »Ja«! + \end{soln*} + + \begin{qstn} + Gibt es eine + + \setcounter{columnanzahl}{3} + \begin{multikompaktenum} + \item[] b) injektive + \item[] b') nicht-injektive + \item[] c) surjektive + \item[] c') nicht-surjektive + \item[] d) bijektive + \item[] d') nicht-bijektive + \end{multikompaktenum} + + lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$, + so dass i)--iii) erfüllt sind? + \end{qstn} + + \begin{soln*} + Da $\dim(U)<\dim(V)$, + kann es generell keine surjektive linearen Abbildungen + von $U$ nach $V$ geben. + Also lauten die Antworten auf c), d) »Nein«, + und da es mindestens eine lineare Ausdehnung existiert, + lautet die Antwort auf c') und d') »Ja«. + + Es bleiben nur noch b) und b') zu bestimmen. + Beachte, dass in der Konstruktion von $\phi$ im o.\,s. Beweis + wir $v'_{2}$ beliebig auswählen konnten. + + Zu b) wähle $v'_{2}:=\begin{svector} 0\\ 1\\ 0\\ 0\\\end{svector}$ + und sei ${\phi_{1}:U\to V}$ die lineare Abbildung + im o.\,s. Beweis mit diesen Vektoren in der Konstruktion. + Per Wahl ist $\{v_{1},v'_{2}\}$ linear unabhängig. + Da $\{u_{1},u'_{2}\}$ eine Basis für $U$ ist, + gilt wegen Linearität von $\phi_{1}$ + + \begin{mathe}[mc]{rcccccl} + \range(\phi_{1}) + &= &\phi_{1}(\vectorspacespan\{u_{1},u'_{2}\}) + &= &\vectorspacespan\{\phi_{1}(u_{1}),\phi_{1}(u'_{2})\} + &= &\vectorspacespan\{v_{1},v'_{2}\} + \end{mathe} + + und damit + $% + \rank(\phi_{1}) + \textoverset{Defn}{=}\dim(\range(\phi_{1})) + =\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v'_{2}\}) + =2 + $, + da \uline{per Wahl} $\{v_{1},v'_{2}\}$ linear unabhängig ist. + Also, $\rank(\phi_{1})\geq 2=\dim(U)$. + Folglich ist $\phi_{1}$ + laut \cite[Korollar~6.3.15(1)]{sinn2020} + injektiv. + Die Antwort auf b) lautet also »Ja«. + + Zu b') wähle $v'_{2}:=\zerovector$ + und sei ${\phi_{2}:U\to V}$ die lineare Abbildung + im o.\,s. Beweis mit diesen Vektoren in der Konstruktion. + Wie oben gilt + $% + \rank(\phi_{2}) + \textoverset{Defn}{=}\dim(\range(\phi_{2})) + =\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v'_{2}\}) + =\dim(\vectorspacespan\{v_{1}\}) + =1 + $, + da \uline{per Wahl} $v'_{2}\in\vectorspacespan(\{v_{1}\})$ + und $v_{1}\neq\zerovector$. + Also, $\rank(\phi_{2})<2=\dim(U)$. + Folglich ist $\phi_{2}$ + laut \cite[Korollar~6.3.15(1)]{sinn2020} + nicht-injektiv. + Die Antwort auf b') lautet also »Ja«. + \end{soln*} + +%% AUFGABE 6 +\clearpage +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{Aufgabe} +\section[Aufgabe 6]{} + \label{sec:6} +\let\sectionname\altsectionname + +{\itshape + Unter Arbeit. \textbf{TODO}: Beispiel mit $\dim(U)=\dim(V)$ und mit Antwort »Ja« auf inj + »Ja« auf nicht-inj. +} + +%% AUFGABE 7 +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{Aufgabe} +\section[Aufgabe 7]{} + \label{sec:7} +\let\sectionname\altsectionname + +{\itshape + Unter Arbeit. \textbf{TODO}: Beispiel mit $\dim(U)=\dim(V)$ und mit Antwort »Ja« auf inj + »Nein« auf nicht-inj. +} + +%% AUFGABE 8 +\let\altsectionname\sectionname +\def\sectionname{Aufgabe} +\section[Aufgabe 8]{} + \label{sec:8} +\let\sectionname\altsectionname + +{\itshape + Unter Arbeit. \textbf{TODO}: Beispiel mit $\dim(U)=\dim(V)$ und mit Antwort »Nein« auf inj + »Ja« auf nicht-inj. +} + +%% ******************************************************************************** +%% FILE: back/index.tex +%% ******************************************************************************** + +\bibliographystyle{alpha} +\def\bibname{Literaturverzeichnis} +\nocite{*} + +\bgroup +\footnotesize + +%% ******************************************************************************** +%% FILE: ./../loesungen/back/quelle.bib +%% ******************************************************************************** + +\begin{thebibliography}{Wal16} + +\bibitem[Jec97]{jech1997} +Thomas Jech. +\newblock {\em {Set Theory}}. +\newblock Springer-Verlag, 1997. + +\bibitem[Sin20]{sinn2020} +Rainer Sinn. +\newblock {Lineare Algebra I: Skript zur Veranstaltung Universit\"at Leipzig}. +\newblock Vorlesungsskript, 2020. + +\bibitem[Wal16]{waldmann2016} +Stefan Waldmann. +\newblock {\em {Lineare Algebra 1: Die Grundlagen f\"ur Studierende der + Mathematik und Physik}}. +\newblock Springer Berlin Heidelberg, 2016. + +\end{thebibliography} +\egroup + +\end{document}