raj_mathe/linalg2020
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@ -2003,13 +2003,12 @@ Mit diesem Mittel können wir nun die Hauptaussage in der Aufgabe formulieren:
für $i\in\{1,2,\ldots,m\}$. für $i\in\{1,2,\ldots,m\}$.
Da ${\mathbf{z}^{(1)},\mathbf{z}^{(2)},\ldots,\mathbf{z}^{(m)}\in\reell^{n}}$, Da ${\mathbf{z}^{(1)},\mathbf{z}^{(2)},\ldots,\mathbf{z}^{(m)}\in\reell^{n}}$,
können wir eine \emph{maximale Menge} ${I_{0}\subseteq\{1,2,\ldots,m\}}$ finden, können wir eine \emph{maximale Menge} ${I_{0}\subseteq\{1,2,\ldots,m\}}$ finden,
so dass $(\mathbf{z}^{(i)})_{i\in I_{0}}$ linear unabhängige Vektoren sind. so dass $(\mathbf{z}^{(i)})_{i\in I_{0}}$ aus linear unabhängigen Vektoren besteht.
Aus der Maximalität folgt, dass für jedes ${k\in\{1,2,\ldots,m\}\ohne I_{0}}$
$(\mathbf{z}^{(i)})_{i\in I_{0}\cup\{k\}}$ \emph{linear abhängig} sind.
Wegen der Dimension von $\reell^{n}$ gilt ${|I|\leq\min\{m,n\}=n}$. Wegen der Dimension von $\reell^{n}$ gilt ${|I|\leq\min\{m,n\}=n}$.
Aus der linearer Unabhängigkeit von den $(\mathbf{z}^{(i)})_{i\in I_{0}}$ folgt, Sei ${k\in\{1,2,\ldots,m\}\ohne I_{0}}$ beliebig.
dass es (eindeutige) Koeffizienten $c_{k,i}\in\reell$ für $i\in I_{0}$ gibt, Wegen Maximalität muss $(\mathbf{z}^{(i)})_{i\in I_{0}\cup\{k\}}$ \emph{linear abhängig} sein.
so dass Und wegen der linearen Unabhängigkeit von $(\mathbf{z}^{(i)})_{i\in I_{0}}$
existieren (eindeutige) Koeffizienten $c_{k,i}\in\reell$ für $i\in I_{0}$ so dass
\begin{mathe}[mc]{rcl} \begin{mathe}[mc]{rcl}
\eqtag[eq:1:\beweislabel] \eqtag[eq:1:\beweislabel]
@ -3678,8 +3677,7 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
\begin{einzug}[\rtab][\rtab] \begin{einzug}[\rtab][\rtab]
\begin{proof} \begin{proof}
Wir zeigen \Cref{\beweislabel} per Induktion. Wir zeigen dies per Induktion mit den Fällen $n\leq 2$ als Induktionsanfang.
Als Induktionsanfang widmen wir uns den Fällen $n\leq 2$.
\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab] \begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsanfang:}}] \item[\uwave{{\bfseries Induktionsanfang:}}]
@ -3693,7 +3691,9 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
Also gilt $\Phi(1)$. Also gilt $\Phi(1)$.
\item[] \item[]
Sei $n=2$. Dann gilt für alle endlichen Mengen $E_{1},E_{2}$ Sei $n=2$.
Laut \Cref{lemm:1:ska:4:ex:10} (siehe unten)
gilt für alle endlichen Mengen $E_{1},E_{2}$
\begin{mathe}[mc]{rcccccl} \begin{mathe}[mc]{rcccccl}
|\prod_{i=1}^{2}E_{i}| |\prod_{i=1}^{2}E_{i}|
@ -3702,7 +3702,6 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
&= &\prod_{i=1}^{2}|E_{i}|.\\ &= &\prod_{i=1}^{2}|E_{i}|.\\
\end{mathe} \end{mathe}
(Dieses Resultat haben wir in \Cref{lemm:1:ska:4:ex:10} ausgelagert.)\\
Also gilt $\Phi(2)$. Also gilt $\Phi(2)$.
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}] \item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}]
@ -3741,7 +3740,7 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
\begin{einzug}[\rtab][\rtab] \begin{einzug}[\rtab][\rtab]
\begin{proof} \begin{proof}
Wir beweisen dies per Induktion über $|Y|$ durchführen. Wir zeigen dies per Induktion über $|Y|$ mit den Fällen $|Y|\leq 1$ als Induktionsanfang.
\begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab] \begin{kompaktenum}[\rtab][\rtab]
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsanfang:}}] \item[\uwave{{\bfseries Induktionsanfang:}}]
@ -3769,12 +3768,11 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}] \item[\uwave{{\bfseries Induktionsvoraussetzung:}}]
Sei $n>1$. Sei $n>1$.
Angenommen, $|X\times Y'|=|X|\cdot |Y'|$ Angenommen, $|X\times Y'|=|X|\cdot |Y'|$
für alle $k$-elementigen Mengen, $Y'$ für alle $n-1$-elementigen Mengen, $Y'$.
und für alle $k<n$.
\item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}] \item[\uwave{{\bfseries Induktionsschritt:}}]
Sei $Y$ eine beliebige $n$-elementige Menge.\\ Sei $Y$ eine beliebige $n$-elementige Menge.\\
\textbf{Zu zeigen:} $|X\times Y|=|X|\times|Y|$ gilt.\\ \textbf{Zu zeigen:} $|X\times Y|=|X|\cdot|Y|$ gilt.\\
Da $n>0$, können wir ein beliebiges $y_{0}\in Y$ fixieren.\\ Da $n>0$, können wir ein beliebiges $y_{0}\in Y$ fixieren.\\
Setze $Y':=Y\ohne\{y_{0}\}$. Setze $Y':=Y\ohne\{y_{0}\}$.
Da $Y'$ $n-1$-elementig ist, gilt per Induktionsvoraussetzung Da $Y'$ $n-1$-elementig ist, gilt per Induktionsvoraussetzung
@ -3876,7 +3874,7 @@ Seien $X$, $Y$ nicht leere Mengen und ${f:X\to Y}$ eine Funktion.
Da $X_{0}$ $n$-elementig ist und $x_{0}\in X_{0}$ und $G(x_{0})$, Da $X_{0}$ $n$-elementig ist und $x_{0}\in X_{0}$ und $G(x_{0})$,
gilt per IV (\textdagger)~$\forall{x\in X_{0}:~}G(x)$. gilt per IV (\textdagger)~$\forall{x\in X_{0}:~}G(x)$.
Wähle nun irgendeinen der Fische, $\tilde{x}\in X_{0}$ und setze $X':=X\ohne\{\tilde{x}\}$. Wähle nun irgendeinen der Fische, $\tilde{x}\in X_{0}$ und setze $X':=X\ohne\{\tilde{x}\}$.\\
O.\,E. können wir $\tilde{x}:=x_{0}$ wählen, sodass $X'=X_{1}$ gilt.\\ O.\,E. können wir $\tilde{x}:=x_{0}$ wählen, sodass $X'=X_{1}$ gilt.\\
Die Teilmenge $X_{1}$ ist nun eine $n$-elementige Menge mit mindestens $n-1$ Goldfischen.\\ Die Teilmenge $X_{1}$ ist nun eine $n$-elementige Menge mit mindestens $n-1$ Goldfischen.\\
\fbox{Also $\exists{x\in X_{1}:~}G(x)$.}\\ \fbox{Also $\exists{x\in X_{1}:~}G(x)$.}\\