From f6d182164705f5d4c2ff48d02146518e2090a798 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: raj_mathe Date: Wed, 13 Jan 2021 14:53:11 +0100 Subject: [PATCH] master > master: Formattierung --- notes/berechnungen_wk10.md | 174 ++++++++++++++++++------------------- 1 file changed, 87 insertions(+), 87 deletions(-) diff --git a/notes/berechnungen_wk10.md b/notes/berechnungen_wk10.md index b44bf9e..52443be 100644 --- a/notes/berechnungen_wk10.md +++ b/notes/berechnungen_wk10.md @@ -1,127 +1,127 @@ +(Für die Berechnungen haben wir Octave benutzt.) ## Aufgabe ähnlich wie ÜB9-1 ## U = lin{u1, u2} V = lin{v1, v2, v3} ### U ⊆ V ? ### - #### Beispiel 1 #### -u1 = (1 1 0 0)ᵀ -u2 = (-1 1 0 0)ᵀ + u1 = (1 1 0 0)ᵀ + u2 = (-1 1 0 0)ᵀ -v1 = (4 0 0 0)ᵀ -v2 = (1 4 0 0)ᵀ -v3 = (1 0 1 0)ᵀ + v1 = (4 0 0 0)ᵀ + v2 = (1 4 0 0)ᵀ + v3 = (1 0 1 0)ᵀ -Anmerkung: lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3} <===> u1, u2 ∈ lin{v1, v2, v3} + Anmerkung: lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3} <===> u1, u2 ∈ lin{v1, v2, v3} -Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2) ----> auf Zeilenstufenform reduzieren ----> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind. ----> ja ----> lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3} + Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2) + ---> auf Zeilenstufenform reduzieren + ---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind. + ---> ja + ---> lin{u1, u2} ⊆ lin{v1, v2, v3} #### Beispiel 2 #### -u1 = (1 1 0 1)ᵀ -u2 = (-1 1 0 0)ᵀ + u1 = (1 1 0 1)ᵀ + u2 = (-1 1 0 0)ᵀ -v1 = (4 0 0 0)ᵀ -v2 = (1 4 0 0)ᵀ -v3 = (1 0 1 0)ᵀ + v1 = (4 0 0 0)ᵀ + v2 = (1 4 0 0)ᵀ + v3 = (1 0 1 0)ᵀ -Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2) ----> auf Zeilenstufenform reduzieren ----> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind. ----> nein ----> also lin{u1, u2} ⊈ lin{v1, v2, v3} + Setze A := (v1 v2 v3 u1 u2) + ---> auf Zeilenstufenform reduzieren + ---> zeigen, dass in homogenen LGS Ax = 0 x4 und x5 freie Unbekannte sind. + ---> nein + ---> also lin{u1, u2} ⊈ lin{v1, v2, v3} ### Basis von V/U ### ---> Beispiel 1. + --> Beispiel 1. -u1 = (1 1 0 0)ᵀ -u2 = (-1 1 0 0)ᵀ + u1 = (1 1 0 0)ᵀ + u2 = (-1 1 0 0)ᵀ -v1 = (4 0 0 0)ᵀ -v2 = (1 0 1 0)ᵀ -v3 = (1 4 0 0)ᵀ + v1 = (4 0 0 0)ᵀ + v2 = (1 0 1 0)ᵀ + v3 = (1 4 0 0)ᵀ -Schreibweise für Äquivalenzklassen: - [v] = v + U ---> die Elemente in V/U + Schreibweise für Äquivalenzklassen: + [v] = v + U + --> die Elemente in V/U -Setze A := (u1 u2 v1 v2 v3) ----> auf Zeilenstufenform reduzieren ----> bestimmen, welche Variablen frei / unfrei sind - ---> bestimme die Basis durch die Spalten, die den unfreien Variablen entsprechen ----> - x3, x5 sind frei - x1, x2, x4 nicht frei ----> v2 + U (entspricht x4) bildet eine Basis + Setze A := (u1 u2 v1 v2 v3) + ---> auf Zeilenstufenform reduzieren + ---> bestimmen, welche Variablen frei / unfrei sind + ---> bestimme die Basis durch die Spalten, die den unfreien Variablen entsprechen + ---> + x3, x5 sind frei + x1, x2, x4 nicht frei + ---> v2 + U (entspricht x4) bildet eine Basis ## SKA 9-5 ## -Basis für U: -u1 = (1 1 0)ᵀ -u2 = (0 1 1)ᵀ -Basis für V = ℝ^3: -v1 = (1 0 0)ᵀ -v2 = (0 1 0)ᵀ -v3 = (0 0 1)ᵀ + Basis für U: + u1 = (1 1 0)ᵀ + u2 = (0 1 1)ᵀ + Basis für V = ℝ^3: + v1 = (1 0 0)ᵀ + v2 = (0 1 0)ᵀ + v3 = (0 0 1)ᵀ -A = (u1, u2, v1, v2, v3) ----> Zeilenstufenform: x1, x2, x3 nicht frei; x4, x5 frei ----> V / U = lin {v1 + U} = lin { e1 + U } - und dim(V/U) = 1 + A = (u1, u2, v1, v2, v3) + ---> Zeilenstufenform: x1, x2, x3 nicht frei; x4, x5 frei + ---> V / U = lin {v1 + U} = lin { e1 + U } + und dim(V/U) = 1 - Beachte: v2 = u1 - v1 ===> v2 + U = -(v1 + U) - v3 = (u2-u1) + v1 ===> v3 + U = v1 + U + Beachte: v2 = u1 - v1 ===> v2 + U = -(v1 + U) + v3 = (u2-u1) + v1 ===> v3 + U = v1 + U ## UB9-2 (Bsp) ## -Seien + Seien -v1 = (1 0 0 4 1)ᵀ -v2 = (0 1 0 8 0)ᵀ -v3 = (-3 0 0 0 1)ᵀ + v1 = (1 0 0 4 1)ᵀ + v2 = (0 1 0 8 0)ᵀ + v3 = (-3 0 0 0 1)ᵀ -φ : ℝ^3 ---> ℝ^5 -sei linear mit - φ(e_i) = v_i für alle i + φ : ℝ^3 ---> ℝ^5 + sei linear mit + φ(e_i) = v_i für alle i -1. Sei x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ^3 - φ(x1,x2,x3) - = φ(x) - = φ(x1·e1 + x2·e2 + x3·e3) - = φ(x1·e1) + φ(x2·e2) + φ(x3·e3) - = x1·φ(e1) + x2·φ(e2) + x3·φ(e3) - = x1·v1 + x2·v2 + x3·v3 - = Ax -wobei A = (v1 v2 v3) - = 1 0 -3 - 0 1 0 - 0 0 0 - 4 8 0 - 1 0 1 -Also ist φ = φ_A (siehe Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020]). -Wℝ berechnen den Rang von A, um die Injektivität/Surjektivität/Bijektivität -von φ zu klassifizieren: ----> A in Zeilenstufenform: - 1 0 -3 - 0 1 0 - 0 0 0 - 0 0 12 - 0 0 4 - Rang(A) = 3 ----> A ist eine mxn Matrix mit m=5, n=3 - Rang(A) = 3 ≥ 3 = n ===> φ = φ_A ist injektiv - Rang(A) = 3 < 5 = m ===> φ = φ_A ist nicht surjektiv - m ≠ n ===> φ = φ_A ist nicht bijektiv + 1. Sei x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ^3 + φ(x1,x2,x3) + = φ(x) + = φ(x1·e1 + x2·e2 + x3·e3) + = φ(x1·e1) + φ(x2·e2) + φ(x3·e3) + = x1·φ(e1) + x2·φ(e2) + x3·φ(e3) + = x1·v1 + x2·v2 + x3·v3 + = Ax + wobei A = (v1 v2 v3) + = 1 0 -3 + 0 1 0 + 0 0 0 + 4 8 0 + 1 0 1 + Also ist φ = φ_A (siehe Korollar 6.3.15 aus [Sinn2020]). + Wℝ berechnen den Rang von A, um die Injektivität/Surjektivität/Bijektivität + von φ zu klassifizieren: + ---> A in Zeilenstufenform: + 1 0 -3 + 0 1 0 + 0 0 0 + 0 0 12 + 0 0 4 + Rang(A) = 3 + ---> A ist eine mxn Matrix mit m=5, n=3 + Rang(A) = 3 ≥ 3 = n ===> φ = φ_A ist injektiv + Rang(A) = 3 < 5 = m ===> φ = φ_A ist nicht surjektiv + m ≠ n ===> φ = φ_A ist nicht bijektiv