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@@ -6903,10 +6903,12 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
 
     Seien $d\in\ntrlpos$ und $a\in\reell$.
     Betrachet sei die Abbildung
+        ${\phi:\reell[x]_{\leq d}\to\reell[x]_{\leq d}}$
+    definiert durch
 
-        \begin{mathe}[mc]{rcccl}
-            \phi &: &\reell[x]_{\leq d} &\to &\reell[x]_{\leq d}\\
-                &: &f(x) &\mapsto &f(x+a)\\
+        \begin{mathe}[mc]{rclql}
+            \phi(f)(t) &:= &f(t+a),
+            &\text{für alle $f\in\reell[x]_{\leq d}$, $t\in\reell$}.\\
         \end{mathe}
 
     Bevor wir die uns den Aufgaben widmen,
@@ -6914,18 +6916,17 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
     und beobachten wir
     für
         $f\in\reell[x]_{\leq d}$
-        der Form $f=\sum_{k=0}^{d}\alpha_{k}x^{k}$,
-        wobei $\alpha_{0},\alpha_{1},\ldots,\alpha_{d}\in\reell$,
+        der Form $f=\sum_{k=0}^{d}\alpha_{k}x^{k}$
+        mit $\alpha_{0},\alpha_{1},\ldots,\alpha_{d}\in\reell$,
     dass
 
         \begin{mathe}[mc]{rcl}
-            \eqtag[eq:0:ueb:10:ex:3]
-            \phi(f)(x)
-                &= &f(x+a)\\
-                &= &\sum_{k=0}^{d}\alpha_{k}(x+a)^{k}\\
-                &= &\sum_{k=0}^{d}\alpha_{k}\sum_{i=0}^{k}\choose{k}{i}a^{k-i}x^{i}
+            \phi(f)(t)
+                &= &f(t+a)\\
+                &= &\sum_{k=0}^{d}\alpha_{k}(t+a)^{k}\\
+                &= &\sum_{k=0}^{d}\alpha_{k}\sum_{i=0}^{k}\choose{k}{i}a^{k-i}t^{i}
                     \quad\text{(Anwendung der bin. Formel)}\\
-                &= &\sum_{k=0}^{d}\sum_{i=0}^{k}\alpha_{k}\choose{k}{i}a^{k-i}x^{i}\\
+                &= &\sum_{k=0}^{d}\sum_{i=0}^{k}\alpha_{k}\choose{k}{i}a^{k-i}t^{i}\\
                 &= &\sum_{i=0}^{d}
                     \big(
                     \underbrace{
@@ -6933,7 +6934,14 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
                         \choose{k}{i}a^{k-i}\alpha_{k}
                     }_{=:\alpha'_{i}}
                     \big)
-                    x^{i}.\\
+                    t^{i}.\\
+        \end{mathe}
+
+    für alle $t\in\reell$ gilt. Folglich gilt
+
+        \begin{mathe}[mc]{rcl}
+            \eqtag[eq:0:ueb:10:ex:3]
+            \phi(f) &= &\sum_{i=0}^{d}\alpha'_{i}x^{i}.
         \end{mathe}
 
     Insbesondere ist es zumindest klar,
@@ -7014,24 +7022,22 @@ Das Hauptziel hier ist, eine Variant anzubieten, gegen die man seine Versuche ve
                     \end{mathe}
 
                 für ${i,j\in\{0,1,\ldots,d\}}$.
-                Laut \eqcref{eq:0:ueb:10:ex:3} gilt für alle
-                    ${\mathbf{\alpha}\in\reell^{d+1}}$
+                Für alle
+                    ${\mathbf{\alpha}\in\reell^{d+1}}$,
                 unter Betrachtung des entsprechenden Objekts
-                    ${f=\sum_{k=0}^{d}\alpha_{k}x^{k}\in\reell[x]_{\leq d}}$
+                    ${f=\sum_{i=0}^{d}\alpha_{i}x^{i}\in\reell[x]_{\leq d}}$,
+                und da laut \eqcref{eq:0:ueb:10:ex:3}
+                    ${\phi(f)=\sum_{i=0}^{d}\alpha'_{i}x^{i}}$
+                mit ${\alpha'_{i}=\sum_{j=i}^{d}\choose{j}{i}a^{j-i}\alpha_{j}}$
+                für alle ${i\in\{0,1,\ldots,d\}}$,
+                erhalten wir
 
-                    \begin{mathe}[mc]{rcl}
-                        \tilde{\phi}(\mathbf{\alpha}) &= &\mathbf{\alpha}'\\
+                    \begin{mathe}[mc]{rcccl}
+                        \tilde{\phi}(\mathbf{\alpha})
+                            &= &\mathbf{\alpha}'
+                            &= &(\sum_{j=i}^{d}\choose{j}{i}a^{j-i}\alpha_{j})_{i=0}^{d+1}.
                     \end{mathe}
 
-                wobei $\mathbf{\alpha}'\in\reell^{d+1}$ durch
-
-                    \begin{mathe}[mc]{rcl}
-                        \mathbf{\alpha}'_{i}
-                            &\eqcrefoverset{eq:0:ueb:10:ex:3}{=}
-                                &\sum_{j=i}^{d}\choose{j}{i}a^{j-i}\alpha_{j}\\
-                    \end{mathe}
-
-                für alle ${i\in\{0,1,\ldots,d+1\}}$ gegeben ist.
                 Beachte nun, dass
 
                     \begin{mathe}[mc]{rcccccl}