%% ********************************************************************************
%% AUTHOR:     Raj Dahya
%% CREATED:    9. März 2020
%% EDITED:     9. März 2020
%% TYPE:       Notizen
%% TITLE:      Musterlösung Klausur1 WiSe 2020/2021, A6
%% DOI:        —
%% DEPARTMENT: Fakultät for Mathematik und Informatik
%% INSTITUTE:  Universität Leipzig
%% ********************************************************************************

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%% DOCUMENT STRUCTURE:
%% ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
%%
%%   - root.tex;
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%% DOCUMENT-RANDOM-SEED: 5637845
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%% FILE: root.tex
%% ********************************************************************************

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%% ********************************************************************************

%% ********************************************************************************
%% FILE: srclocal/index.tex
%% ********************************************************************************

\makeatletter

%% ********************************************************************************
%% FILE: src/setup-type.tex
%% ********************************************************************************

\documentclass[
    10pt,
    a4paper,
    oneside,
    openright,
    center,
    chapterbib,
    crosshair,
    fleqn,
    headcount,
    headline,
    indent,
    indentfirst=false,
    portrait,
    phonetic,
    oldernstyle,
    onecolumn,
    sfbold,
    upper,
]{scrbook}

%% ********************************************************************************
%% FILE: src/setup-packages.tex
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\PassOptionsToPackage{T2A,OT1}{fontenc}   % T1,OT1,T2A,OT2
\PassOptionsToPackage{utf8}{inputenc} % utf8
\PassOptionsToPackage{british,english,ngerman,russian}{babel}
\PassOptionsToPackage{
    english,
    ngerman,
    russian,
    capitalise,
}{cleveref}
\PassOptionsToPackage{
    bookmarks=true,
    bookmarksopen=false,
    bookmarksopenlevel=0,
    bookmarkstype=toc,
    colorlinks=false,
    raiselinks=true,
    hyperfigures=true,
}{hyperref}
\PassOptionsToPackage{
    reset,
    left=1in,
    right=1in,
    top=20mm,
    bottom=20mm,
    heightrounded,
}{geometry}
\PassOptionsToPackage{
    framemethod=TikZ,
}{mdframed}
\PassOptionsToPackage{normalem}{ulem}
\PassOptionsToPackage{
    amsmath,
    thmmarks,
}{ntheorem}
\PassOptionsToPackage{table}{xcolor}
\PassOptionsToPackage{
    all,
    color,
    curve,
    frame,
    import,
    knot,
    line,
    movie,
    rotate,
    textures,
    tile,
    tips,
    web,
    xdvi,
}{xy}

\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{ntheorem} % <— muss nach den ams* Packages vorkommen!!
\usepackage{array}
\usepackage{babel}
\usepackage{bbding}
\usepackage{bbm}
\usepackage{calc}
\usepackage{sectsty}
\usepackage{titlesec}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{footmisc}
\usepackage{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{ifpdf}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{ifnextok}
\usepackage{longtable}
\usepackage{multicol}
\usepackage{multirow}
\usepackage{nameref}
\usepackage{nowtoaux}
\usepackage{paralist}
\usepackage{enumerate} %% nach [paralist]
\usepackage{pgf}
\usepackage{arydshln} %% nach [pgf!]
\usepackage{pgfplots}
\usepackage{proof}
\usepackage{refcount}
\usepackage{relsize}
\usepackage{savesym}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{subfigure}
\usepackage{yfonts}   %% <— Altgotische Fonts
\usepackage{tikz}
\usepackage{xy}
\usepackage{undertilde}
\usepackage{ulem} %% <– f\"ur besseren \underline-Befehl (\ul)
\usepackage{xcolor}
\usepackage{xspace}
\usepackage{xstring}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{cleveref} % must vor hyperref geladen werden.

\pgfplotsset{compat=newest}

\usetikzlibrary{
    angles,
    arrows,
    automata,
    calc,
    decorations,
    decorations.pathmorphing,
    decorations.pathreplacing,
    math,
    positioning,
    patterns,
    quotes,
    snakes,
}

%% \var ≈ alter Befehl
%% \xvar ≈ wie das neue Package \var interpretieren soll.
\savesymbol{Diamond}
\savesymbol{emptyset}
\savesymbol{ggg}
\savesymbol{int}
\savesymbol{lll}
\savesymbol{RectangleBold}
\savesymbol{langle}
\savesymbol{rangle}
\savesymbol{hookrightarrow}
\savesymbol{hookleftarrow}
\savesymbol{Asterisk}
\usepackage{mathabx}
\usepackage{wasysym}
\let\varemptyset=\emptyset
\restoresymbol{x}{Diamond}
\restoresymbol{x}{emptyset}
\restoresymbol{x}{ggg}
\restoresymbol{x}{int}
\restoresymbol{x}{lll}
\restoresymbol{x}{RectangleBold}
\restoresymbol{x}{langle}
\restoresymbol{x}{rangle}
\restoresymbol{x}{hookrightarrow}
\restoresymbol{x}{hookleftarrow}
\restoresymbol{x}{Asterisk}

\ifpdf
    \usepackage{pdfcolmk}
\fi

\usepackage{mdframed}

%% Force-Import aus MnSymbol
\DeclareFontFamily{U}{MnSymbolA}{}
\DeclareFontShape{U}{MnSymbolA}{m}{n}{
    <-6> MnSymbolA5
    <6-7> MnSymbolA6
    <7-8> MnSymbolA7
    <8-9> MnSymbolA8
    <9-10> MnSymbolA9
    <10-12> MnSymbolA10
    <12-> MnSymbolA12
}{}
\DeclareFontShape{U}{MnSymbolA}{b}{n}{
    <-6> MnSymbolA-Bold5
    <6-7> MnSymbolA-Bold6
    <7-8> MnSymbolA-Bold7
    <8-9> MnSymbolA-Bold8
    <9-10> MnSymbolA-Bold9
    <10-12> MnSymbolA-Bold10
    <12-> MnSymbolA-Bold12
}{}
\DeclareSymbolFont{MnSyA}{U}{MnSymbolA}{m}{n}
\DeclareMathSymbol{\lcirclearrowright}{\mathrel}{MnSyA}{252}
\DeclareMathSymbol{\lcirclearrowdown}{\mathrel}{MnSyA}{255}
\DeclareMathSymbol{\rcirclearrowleft}{\mathrel}{MnSyA}{250}
\DeclareMathSymbol{\rcirclearrowdown}{\mathrel}{MnSyA}{251}

\DeclareFontFamily{U}{MnSymbolC}{}
\DeclareSymbolFont{MnSyC}{U}{MnSymbolC}{m}{n}
\DeclareFontShape{U}{MnSymbolC}{m}{n}{
    <-6>  MnSymbolC5
    <6-7>  MnSymbolC6
    <7-8>  MnSymbolC7
    <8-9>  MnSymbolC8
    <9-10> MnSymbolC9
    <10-12> MnSymbolC10
    <12->   MnSymbolC12%
}{}
\DeclareMathSymbol{\powerset}{\mathord}{MnSyC}{180}

%% ********************************************************************************
%% FILE: src/setup-parameters.tex
%% ********************************************************************************

\def\boolwahr{true}
\def\boolfalsch{false}
\def\boolleer{}

\let\documenttwosided\boolfalsch
\let\boolinappendix\boolfalsch
\let\boolinmdframed\boolfalsch
\let\eqtagset\boolfalsch
\let\eqtaglabel\boolleer
\let\eqtagsymb\boolleer

\newcount\bufferctr
\newcount\bufferreplace
\newcounter{columnanzahl}

\newlength\rtab
\newlength\gesamtlinkerRand
\newlength\gesamtrechterRand
\newlength\ownspaceabovethm
\newlength\ownspacebelowthm
\setlength{\rtab}{0.025\textwidth}
\setlength{\ownspaceabovethm}{0.5\baselineskip}
\setlength{\ownspacebelowthm}{0.5\baselineskip}
\setlength{\gesamtlinkerRand}{0pt}
\setlength{\gesamtrechterRand}{0pt}

\def\secnumberingpt{$\cdot$}
\def\secnumberingseppt{.}
\def\subsecnumberingseppt{}
\def\thmnumberingpt{$\cdot$}
\def\thmnumberingseppt{}
\def\thmForceSepPt{.}

\definecolor{leer}{gray}{1}
\definecolor{hellgrau}{gray}{0.85}
\definecolor{dunkelgrau}{gray}{0.5}
\definecolor{maroon}{rgb}{0.6901961,0.1882353,0.3764706}
\definecolor{dunkelgruen}{rgb}{0.015625,0.363281,0.109375}
\definecolor{dunkelrot}{rgb}{0.5450980392,0,0}
\definecolor{dunkelblau}{rgb}{0,0,0.5450980392}
\definecolor{blau}{rgb}{0,0,1}
\definecolor{newresult}{rgb}{0.6,0.6,0.6}
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\definecolor{hervorheben}{rgb}{0,0.9,0.7}
\definecolor{starkesblau}{rgb}{0.1019607843,0.3176470588,0.8156862745}
\definecolor{achtung}{rgb}{1,0.5,0.5}
\definecolor{frage}{rgb}{0.5,1,0.5}
\definecolor{schreibweise}{rgb}{0,0.7,0.9}
\definecolor{axiom}{rgb}{0,0.3,0.3}

%% ********************************************************************************
%% FILE: src/setup-macros.tex
%% ********************************************************************************

%% ****************************************************************
%% TEX:
%% ****************************************************************

\def\let@name#1#2{\expandafter\let\csname #1\expandafter\endcsname\csname #2\endcsname\relax}
\DeclareRobustCommand\crfamily{\fontfamily{ccr}\selectfont}
\DeclareTextFontCommand{\textcr}{\crfamily}

\def\nichtzeigen#1{\phantom{#1}}

%% ****************************************************************
%% SPACING:
%% ****************************************************************

\def\ifthenelseleer#1#2#3{\ifthenelse{\equal{#1}{}}{#2}{#1#3}}
\def\bedingtesspaceexpand#1#2#3{\ifthenelseleer{\csname #1\endcsname}{#3}{#2#3}}
\def\voritemise{\leavevmode\nvraum{1}}
\def\hraum{\null\hfill\null}
\def\vraum{\null\vfill\null}
\def\nvraum{\@ifnextchar\bgroup{\nvraum@c}{\nvraum@bes}}
    \def\nvraum@c#1{\vspace*{-#1\baselineskip}}
    \def\nvraum@bes{\vspace*{-\baselineskip}}
\def\erlaubeplatz{\relax\ifmmode\else\@\xspace\fi}
\def\entferneplatz{\relax\ifmmode\else\expandafter\@gobble\fi}
\def\forceindent{\hspace*{20pt}} %% * nötig, damit am Anfang/Ende einer Zeile nicht ignoriert wird

%% ****************************************************************
%% TAGS / BEZEICHNUNGEN / LABELLING:
%% ****************************************************************

\def\send@toaux#1{\@bsphack\protected@write\@auxout{}{\string#1}\@esphack}

%% \rlabel{LABEL}[CTR]{CREF-SHORT}{CREF-LONG}{DISPLAYTEXT}
\def\rlabel#1[#2]#3#4#5{#5\rlabel@aux{#1}[#2]{#3}{#4}{#5}}
    \def\rlabel@aux#1[#2]#3#4#5{%
        \send@toaux{\newlabel{#1}{{\@currentlabel}{\thepage}{{\unexpanded{#5}}}{#2.\csname the#2\endcsname}{}}}\relax%
    }

%% \tag@rawscheme{CREF-SHORT}{CREF-LONG}[CTR]{LEFT-BRKT}{RIGHT-BRKT}    [LABEL]{DISPLAYTEXT}
\def\tag@rawscheme#1#2[#3]#4#5{\@ifnextchar[{\tag@rawscheme@{#1}{#2}[#3]{#4}{#5}}{\tag@rawscheme@{#1}{#2}[#3]{#4}{#5}[*]}}
    \def\tag@rawscheme@#1#2[#3]#4#5[#6]{\@ifnextchar\bgroup{\tag@rawscheme@@{#1}{#2}[#3]{#4}{#5}[#6]}{\tag@rawscheme@@{#1}{#2}[#3]{#4}{#5}[#6]{}}}
    \def\tag@rawscheme@@#1#2[#3]#4#5[#6]#7{%
        \ifthenelse{\equal{#6}{*}}{%
            \ifthenelse{\equal{#7}{\boolleer}}{\refstepcounter{#3}#4\csname the#3\endcsname#5}{#4#7#5}%
        }{%
            \refstepcounter{#3}#4%
            \ifthenelse{\equal{#7}{\boolleer}}{\rlabel{#6}[#3]{#1}{#2}{\csname the#3\endcsname}}{\rlabel{#6}[#3]{#1}{#2}{#7}}%
            #5%
        }%
    }
%% \tag@scheme{CREF-SHORT}{CREF-LONG}[CTR]    [LABEL]{DISPLAYTEXT}
\def\tag@scheme#1#2[#3]{\tag@rawscheme{#1}{#2}[#3]{\upshape(}{\upshape)}}

%% \eqtag[LABEL]{DISPLAYTEXT}
\def\eqtag@post#1{\makebox[0pt][r]{#1}}
\def\eqtag@pre{\tag@scheme{Eq}{Equation}[Xe]}
\def\eqtag{\@ifnextchar[{\eqtag@}{\eqtag@[*]}}
    \def\eqtag@[#1]{\@ifnextchar\bgroup{\eqtag@@[#1]}{\eqtag@@[#1]{}}}
    \def\eqtag@@[#1]#2{\eqtag@post{\eqtag@pre[#1]{#2}}}

\def\eqcref#1{\text{(\ref{#1})}}
\def\ptcref#1{\ref{#1}}
\def\punktlabel#1{\label{it:#1:\beweislabel}}
\def\punktcref#1{\eqcref{it:#1:\beweislabel}}
\def\crefit#1#2{\cref{#1}~\eqcref{it:#2:#1}}
\def\Crefit#1#2{\Cref{#1}~\eqcref{it:#2:#1}}

%% UNDER/OVERSET BEFEHLE
\def\opfromto[#1]_#2^#3{\underset{#2}{\overset{#3}{#1}}}
\def\textoverset#1#2{\overset{\text{#1}}{#2}}
\def\textunderset#1#2{\underset{#2}{\text{#1}}}
\def\crefoverset#1#2{\textoverset{\cref{#1}}{#2}}
\def\Crefoverset#1#2{\textoverset{\Cref{#1}}{#2}}
\def\crefunderset#1#2{\textunderset{#2}{\cref{#1}}}
\def\Crefunderset#1#2{\textunderset{#2}{\Cref{#1}}}
\def\eqcrefoverset#1#2{\textoverset{\eqcref{#1}}{#2}}
\def\eqcrefunderset#1#2{\textunderset{#2}{\eqcref{#1}}}
\def\mathclap#1{#1}
\def\oberunterset#1{\@ifnextchar^{\oberunterset@oben{#1}}{\oberunterset@unten{#1}}}
    \def\oberunterset@oben#1^#2_#3{\underset{\mathclap{#3}}{\overset{\mathclap{#2}}{#1}}}
    \def\oberunterset@unten#1_#2^#3{\underset{\mathclap{#2}}{\overset{\mathclap{#3}}{#1}}}
    \def\breitunderbrace#1_#2{\underbrace{#1}_{\mathclap{#2}}}
    \def\breitoverbrace#1^#2{\overbrace{#1}^{\mathclap{#2}}}
    \def\breitunderbracket#1_#2{\underbracket{#1}_{\mathclap{#2}}}
    \def\breitoverbracket#1^#2{\overbracket{#1}^{\mathclap{#2}}}

\def\generatenestedsecnumbering#1#2#3{%
    \expandafter\gdef\csname thelong#3\endcsname{%
        \expandafter\csname the#2\endcsname%
        \secnumberingpt%
        \expandafter\csname #1\endcsname{#3}%
    }%
    \expandafter\gdef\csname theshort#3\endcsname{%
        \expandafter\csname #1\endcsname{#3}%
    }%
}
\def\generatenestedthmnumbering#1#2#3{%
    \expandafter\gdef\csname the#3\endcsname{%
        \expandafter\csname the#2\endcsname%
        \thmnumberingpt%
        \expandafter\csname #1\endcsname{#3}%
    }%
    \expandafter\gdef\csname theshort#3\endcsname{%
        \expandafter\csname #1\endcsname{#3}%
    }%
}

%% ****************************************************************
%% ALLG. MACROS:
%% ****************************************************************

\def\+#1{\addtocounter{#1}{1}}
\def\setcounternach#1#2{\setcounter{#1}{#2}\addtocounter{#1}{-1}}
\def\textsubscript#1{${}_{\textup{#1}}$}
\def\rome#1{\overline{\underline{#1}}}
\def\textTODO{\text{[{\large\textcolor{red}{More work needed!}}]}}
\def\hlineEIGENpt{\hdashline[0.5pt/5pt]}
\def\clineEIGENpt#1{\cdashline{#1}[0.5pt/5pt]}

\def\forcepunkt#1{#1\IfEndWith{#1}{.}{}{.}}
\def\lateinabkuerzung#1#2{%
    \expandafter\gdef\csname #1\endcsname{\emph{#2}\@ifnextchar.{\entferneplatz}{\erlaubeplatz}}
}
\def\deutscheabkuerzung#1#2{%
    \expandafter\gdef\csname #1\endcsname{{#2}\@ifnextchar.{\entferneplatz}{\erlaubeplatz}}
}

%% ****************************************************************
%% MATHE
%% ****************************************************************

\def\matrix#1{\left(\begin{array}{#1}}
    \def\endmatrix{\end{array}\right)}
\def\smatrix{\left(\begin{smallmatrix}}
    \def\endsmatrix{\end{smallmatrix}\right)}

\def\multiargrekursiverbefehl#1#2#3#4#5#6#7#8{%
    \expandafter\gdef\csname#1\endcsname #2##1#4{\csname #1@anfang\endcsname##1#3\egroup}
    \expandafter\def\csname #1@anfang\endcsname##1#3{#5##1\@ifnextchar\egroup{\csname #1@ende\endcsname}{#7\csname #1@mitte\endcsname}}
    \expandafter\def\csname #1@mitte\endcsname##1#3{#6##1\@ifnextchar\egroup{\csname #1@ende\endcsname}{#7\csname #1@mitte\endcsname}}
    \expandafter\def\csname #1@ende\endcsname##1{#8}
}
\multiargrekursiverbefehl{svektor}{[}{;}{]}{\begin{smatrix}}{}{\\}{\\\end{smatrix}}
\multiargrekursiverbefehl{vektor}{[}{;}{]}{\begin{matrix}{c}}{}{\\}{\\\end{matrix}}
\multiargrekursiverbefehl{vektorzeile}{}{,}{;}{}{&}{}{}
\multiargrekursiverbefehl{matlabmatrix}{[}{;}{]}{\begin{smatrix}\vektorzeile}{\vektorzeile}{;\\}{;\end{smatrix}}

\def\cases[#1]#2{\left\{\begin{array}[#1]{#2}}
    \def\endcases{\end{array}\right.}

\def\BeweisRichtung[#1]{\@ifnextchar\bgroup{\@BeweisRichtung@c[#1]}{\@BeweisRichtung@bes[#1]}}
    \def\@BeweisRichtung@bes[#1]{{\bfseries(#1).~}}
    \def\@BeweisRichtung@c[#1]#2#3{{\bfseries(#2#1#3).~}}
\def\erzeugeBeweisRichtungBefehle#1#2{
    \expandafter\gdef\csname #1text\endcsname##1##2{\BeweisRichtung[#2]{##1}{##2}}
    \expandafter\gdef\csname #1\endcsname{%
        \@ifnextchar\bgroup{\csname #1@\endcsname}{\csname #1text\endcsname{}{}}%
    }
    \expandafter\gdef\csname #1@\endcsname##1##2{%
        \csname #1text\endcsname{\punktcref{##1}}{\punktcref{##2}}%
    }
}
\erzeugeBeweisRichtungBefehle{hinRichtung}{$\Longrightarrow$}
\erzeugeBeweisRichtungBefehle{herRichtung}{$\Longleftarrow$}
\erzeugeBeweisRichtungBefehle{hinherRichtung}{$\Longleftrightarrow$}

\def\cal#1{\mathcal{#1}}
\def\brkt#1{\langle{}#1{}\rangle}
\def\mathfrak#1{\mbox{\usefont{U}{euf}{m}{n}#1}}
\def\kurs#1{\textit{#1}}
\def\rectangleblack{\text{\RectangleBold}}
\def\rectanglewhite{\text{\Rectangle}}
\def\squareblack{\blacksquare}
\def\squarewhite{\Box}

%% ********************************************************************************
%% FILE: src/setup-environments.tex
%% ********************************************************************************

%% **********************************************************************
%% CLEVEREF: ************************************************************

    \def\crefname@full#1#2#3{\crefname{#1}{#2}{#3}\Crefname{#1}{#2}{#3}}
    \crefname@full{chapter}{Kapitel}{Kapitel}
    \crefname@full{section}{Abschnitt}{Abschnitte}
    \crefname@full{figure}{Fig.}{Fig.}
    \crefname@full{subfigure}{Fig.}{Fig.}

    \crefname@full{proof}{Beweis}{Beweise}
    \crefname@full{thm}{Theorem}{Theoreme}
    \crefname@full{satz}{Satz}{Sätze}
    \crefname@full{claim}{Behauptung}{Behauptungen}
    \crefname@full{lemm}{Lemma}{Lemmata}
    \crefname@full{cor}{Korollar}{Korollarien}
    \crefname@full{folg}{Folgerung}{Folgerungen}
    \crefname@full{prop}{Proposition}{Propositionen}
    \crefname@full{defn}{Definition}{Definitionen}
    \crefname@full{conv}{Konvention}{Konventionen}
    \crefname@full{fact}{Fakt}{Fakten}
    \crefname@full{rem}{Bemerkung}{Bemerkungen}
    \crefname@full{qstn}{Frage}{Fragen}
    \crefname@full{e.g.}{Beipsiel}{Beipsiele}

%% ****************************************************************
%% THEOREME:
%% ****************************************************************

    \def\qedEIGEN#1{\@ifnextchar[{\qedEIGEN@c{#1}}{\qedEIGEN@bes{#1}}}%]
    \def\qedEIGEN@bes#1{%
        \bgroup%
        \parfillskip=0pt%            % so \par doesnt push \square to left
        \widowpenalty=10000%         % so we dont break the page before \square
        \displaywidowpenalty=10000%  % ditto
        \finalhyphendemerits=0%      % TeXbook exercise 14.32
        \leavevmode%                 % \nobreak means lines not pages
        \unskip%                     % remove previous space or glue
        \nobreak%                    % don’t break lines
        \hfil%                       % ragged right if we spill over
        \penalty50%                  % discouragement to do so
        \hskip.2em%                  % ensure some space
        \null%                       % anchor following \hfill
        \hfill%                      % push \square to right
        #1%                          % the end-of-proof mark
        \par%
        \egroup%
    }
    \def\qedEIGEN@c#1[#2]{%
        \bgroup%
        \parfillskip=0pt%            % so \par doesnt push \square to left
        \widowpenalty=10000%         % so we dont break the page before \square
        \displaywidowpenalty=10000%  % ditto
        \finalhyphendemerits=0%      % TeXbook exercise 14.32
        \leavevmode%                 % \nobreak means lines not pages
        \unskip%                     % remove previous space or glue
        \nobreak%                    % don’t break lines
        \hfil%                       % ragged right if we spill over
        \penalty50%                  % discouragement to do so
        \hskip.2em%                  % ensure some space
        \null%                       % anchor following \hfill
        \hfill%                      % push \square to right
        {#1~{\smaller\bfseries\upshape (#2)}}%
        \par%
        \egroup%
    }
    \def\qedVARIANT#1#2{
        \expandafter\def\csname ennde#1Sign\endcsname{#2}
        \expandafter\def\csname ennde#1\endcsname{\@ifnextchar[{\qedEIGEN@c{#2}}{\qedEIGEN@bes{#2}}} %]
    }
    \qedVARIANT{OfProof}{$\squareblack$}
    \qedVARIANT{OfWork}{\rectangleblack}
    \qedVARIANT{OfSomething}{$\dashv$}
    \qedVARIANT{OnNeutral}{$\lozenge$} % \lozenge \bigcirc \blacklozenge
    \def\qedsymbol{\enndeOfProofSign}
    \def\proofSymbol{\enndeOfProofSign}

    \def\ra@pretheoremwork{
        \setlength{\theorempreskipamount}{\ownspaceabovethm}
    }
    \def\rathmtransfer#1#2{
        \expandafter\def\csname #2\endcsname{\csname #1\endcsname}
        \expandafter\def\csname end#2\endcsname{\csname end#1\endcsname}
    }

    \def\ranewthm#1#2#3[#4]{
        %% FOR \BEGIN{THM}
        \theoremstyle{\current@theoremstyle}
        \theoremseparator{\current@theoremseparator}
        \theoremprework{\ra@pretheoremwork}
        \@ifundefined{#1@basic}{\newtheorem{#1@basic}[#4]{#2}}{\renewtheorem{#1@basic}[#4]{#2}}
        %% FOR \BEGIN{THM}[...]
        \theoremstyle{\current@theoremstyle}
        \theoremseparator{\thmForceSepPt}
        \theoremprework{\ra@pretheoremwork}
        \@ifundefined{#1@withName}{\newtheorem{#1@withName}[#4]{#2}}{\renewtheorem{#1@withName}[#4]{#2}}
        %% FOR \BEGIN{THM*}
        \theoremstyle{nonumberplain}
        \theoremseparator{\thmForceSepPt}
        \theoremprework{\ra@pretheoremwork}
        \@ifundefined{#1@star@basic}{\newtheorem{#1@star@basic}[Xdisplaynone]{#2}}{\renewtheorem{#1@star@basic}[Xdisplaynone]{#2}}
        %% FOR \BEGIN{THM*}[...]
        \theoremstyle{nonumberplain}
        \theoremseparator{\thmForceSepPt}
        \theoremprework{\ra@pretheoremwork}
        \@ifundefined{#1@star@withName}{\newtheorem{#1@star@withName}[Xdisplaynone]{#2}}{\renewtheorem{#1@star@withName}[Xdisplaynone]{#2}}
        %% GENERATE ENVIRONMENTS:
        \umbauenenv{#1}{#3}[#4]
        \umbauenenv{#1@star}{#3}[Xdisplaynone]
        %% TRANSFER *-DEFINITION
        \rathmtransfer{#1@star}{#1*}
    }

    \def\umbauenenv#1#2[#3]{%
        %% \BEGIN{THM}...
        \expandafter\def\csname #1\endcsname{\relax%
            \@ifnextchar[{\csname #1@\endcsname}{\csname #1@\endcsname[*]}%
        }
        %% \BEGIN{THM}[ANFANG]...
        \expandafter\def\csname #1@\endcsname[##1]{\relax%
            \@ifnextchar[{\csname #1@@\endcsname[##1]}{\csname #1@@\endcsname[##1][*]}%
        }
        %% \BEGIN{THM}[ANFANG][SCHLUSS]
        \expandafter\def\csname #1@@\endcsname[##1][##2]{%
            \ifx*##1%
                \def\enndeOfBlock{\csname end#1@basic\endcsname}
                \csname #1@basic\endcsname%
            \else%
                \def\enndeOfBlock{\csname end#1@withName\endcsname}
                \csname #1@withName\endcsname[##1]%
            \fi%
            \def\makelabel####1{%
                \gdef\beweislabel{####1}%
                \label{\beweislabel}%
            }%
            \ifx*##2%
                \def\enndeSymbol{\qedEIGEN{#2}}
            \else%
                \def\enndeSymbol{\qedEIGEN{#2}[##2]}
            \fi
        }
        %% \END{THM}
        \expandafter\gdef\csname end#1\endcsname{\enndeSymbol\enndeOfBlock}
    }

    %% NEWTHEOREM EINSTELLUNGSOPTIONEN:
    %% F\"UR \theoremstyle
    %% plain            Emulates original LATEX defin, except uses param \theorem...skipamount.
    %% break            Header followed by line break.
    %% change            Header, Number and Text are interchanged, without a line break.
    %% changebreak        =change, but with a line break after Header.
    %% margin            Number in left margin, without a line break.
    %% marginbreak        =margin, but with a line break after the header.
    %% nonumberplain    =plain, without number.
    %% nonumberbreak    =break, without number.
    %% empty            No number, no name. Only the optional argument is typeset.
    %%    \theoremclass \theoremnumbering
    %%    \theorempreskip \theorempostkip \theoremindent
    %%    \theoremprework \theorempostwork

        \def\current@theoremstyle{plain}
        \def\current@theoremseparator{\thmnumberingseppt}
        \theoremstyle{\current@theoremstyle}
        \theoremseparator{\current@theoremseparator}
        \theoremsymbol{}

    \newtheorem{X}{X}[chapter] % for most theorems
    \newtheorem{Xe}{Xe}[chapter] % for equations
    \newtheorem*{Xdisplaynone}{Xdisplaynone}[chapter] % a dummy counter, that will never be displayed.
    \newtheorem{Xsp}{Xsp}[chapter] % for special theorems
    \generatenestedthmnumbering{arabic}{chapter}{X}
    \generatenestedthmnumbering{arabic}{chapter}{Xe}
    \generatenestedthmnumbering{Roman}{chapter}{Xsp}
    \let\theXsp\theshortXsp

        \theoremheaderfont{\upshape\bfseries}
        \theorembodyfont{\slshape}

    \ranewthm{thm}{Theorem}{\enndeOnNeutralSign}[X]
    \ranewthm{satz}{Satz}{\enndeOnNeutralSign}[X]
    \ranewthm{claim}{Behauptung}{\enndeOnNeutralSign}[X]
    \ranewthm{lemm}{Lemma}{\enndeOnNeutralSign}[X]
    \ranewthm{cor}{Korollar}{\enndeOnNeutralSign}[X]
    \ranewthm{folg}{Folgerung}{\enndeOnNeutralSign}[X]
    \ranewthm{prop}{Proposition}{\enndeOnNeutralSign}[X]

        \theorembodyfont{\upshape}

    \ranewthm{defn}{Definition}{\enndeOnNeutralSign}[X]
    \ranewthm{conv}{Konvention}{\enndeOnNeutralSign}[X]
    \ranewthm{obs}{Beobachtung}{\enndeOnNeutralSign}[X]
    \ranewthm{e.g.}{Beipsiel}{\enndeOnNeutralSign}[X]
    \ranewthm{fact}{Fakt}{\enndeOnNeutralSign}[X]
    \ranewthm{rem}{Bemerkung}{\enndeOnNeutralSign}[X]
    \ranewthm{qstn}{Frage}{\enndeOnNeutralSign}[X]
    \ranewthm{exer}{Aufgabe}{\enndeOnNeutralSign}[X]
    \ranewthm{soln}{Lösung}{\enndeOnNeutralSign}[X]

        \theoremheaderfont{\itshape\bfseries}
        \theorembodyfont{\upshape}

    \ranewthm{proof@tmp}{Beweis}{\enndeOfProofSign}[Xdisplaynone]
    \rathmtransfer{proof@tmp*}{proof}

    \def\behauptungbeleg@claim{%
        \iflanguage{british}{Claim}{%
        \iflanguage{english}{Claim}{%
        \iflanguage{ngerman}{Behauptung}{%
        \iflanguage{russian}{Утверждение}{%
        Claim%
        }}}}%
    }
    \def\behauptungbeleg@pf@kurz{%
        \iflanguage{british}{Pf}{%
        \iflanguage{english}{Pf}{%
        \iflanguage{ngerman}{Bew}{%
        \iflanguage{russian}{Доказательство}{%
        Pf%
        }}}}%
    }
    \def\behauptungbeleg{\@ifnextchar\bgroup{\behauptungbeleg@c}{\behauptungbeleg@bes}}
            \def\behauptungbeleg@c#1{\item[{\bfseries \behauptungbeleg@claim\erlaubeplatz #1.}]}
            \def\behauptungbeleg@bes{\item[{\bfseries \behauptungbeleg@claim.}]}
        \def\belegbehauptung{\item[{\bfseries\itshape\behauptungbeleg@pf@kurz.}]}

%% ****************************************************************
%% ALTE UMGEBUNGEN:
%% ****************************************************************

    \newcolumntype{\RECHTS}[1]{>{\raggedleft}p{#1}}
    \newcolumntype{\LINKS}[1]{>{\raggedright}p{#1}}
    \newcolumntype{m}{>{$}l<{$}}
    \newcolumntype{C}{>{$}c<{$}}
    \newcolumntype{L}{>{$}l<{$}}
    \newcolumntype{R}{>{$}r<{$}}
    \newcolumntype{0}{@{\hspace{0pt}}}
    \newcolumntype{\LINKSRAND}{@{\hspace{\@totalleftmargin}}}
    \newcolumntype{h}{@{\extracolsep{\fill}}}
    \newcolumntype{i}{>{\itshape}}
    \newcolumntype{t}{@{\hspace{\tabcolsep}}}
    \newcolumntype{q}{@{\hspace{1em}}}
    \newcolumntype{n}{@{\hspace{-\tabcolsep}}}
    \newcolumntype{M}[2]{%
        >{\begin{minipage}{#2}\begin{math}}%
        {#1}%
        <{\end{math}\end{minipage}}%
    }
    \newcolumntype{T}[2]{%
        >{\begin{minipage}{#2}}%
        {#1}%
        <{\end{minipage}}%
    }
    \setlength{\LTpre}{\baselineskip}
    \setlength{\LTpost}{0pt}
    \def\center{\centering}
        \def\endcenter{}

    \def\punkteumgebung@genbefehl#1#2#3{
        \punkteumgebung@genbefehl@{#1}{#2}{#3}{}{}
        \punkteumgebung@genbefehl@{multi#1}{#2}{#3}{
            \setlength{\columnsep}{10pt}%
            \setlength{\columnseprule}{0pt}%
            \begin{multicols}{\thecolumnanzahl}%
        }{\end{multicols}\nvraum{1}}
    }
    \def\punkteumgebung@genbefehl@#1#2#3#4#5{
        \expandafter\gdef\csname #1\endcsname{
            \@ifnextchar\bgroup{\csname #1@c\endcsname}{\csname #1@bes\endcsname}
        }%]
            \expandafter\def\csname #1@c\endcsname##1{
                \@ifnextchar[{\csname #1@c@\endcsname{##1}}{\csname #1@c@\endcsname{##1}[\z@]}
            }%]
            \expandafter\def\csname #1@c@\endcsname##1[##2]{
                \@ifnextchar[{\csname #1@c@@\endcsname{##1}[##2]}{\csname #1@c@@\endcsname{##1}[##2][\z@]}
            }%]
            \expandafter\def\csname #1@c@@\endcsname##1[##2][##3]{
                \let\alterlinkerRand\gesamtlinkerRand
                \let\alterrechterRand\gesamtrechterRand
                \addtolength{\gesamtlinkerRand}{##2}
                \addtolength{\gesamtrechterRand}{##3}
                \advance\linewidth -##2%
                \advance\linewidth -##3%
                \advance\@totalleftmargin ##2%
                \parshape\@ne \@totalleftmargin\linewidth%
                #4
                \begin{#2}[\upshape ##1]%
                    \setlength{\parskip}{0.5\baselineskip}\relax%
                    \setlength{\topsep}{\z@}\relax%
                    \setlength{\partopsep}{\z@}\relax%
                    \setlength{\parsep}{\parskip}\relax%
                    \setlength{\itemsep}{#3}\relax%
                    \setlength{\listparindent}{\z@}\relax%
                    \setlength{\itemindent}{\z@}\relax%
            }
            \expandafter\def\csname #1@bes\endcsname{
                \@ifnextchar[{\csname #1@bes@\endcsname}{\csname #1@bes@\endcsname[\z@]}
            }%]
            \expandafter\def\csname #1@bes@\endcsname[##1]{
                \@ifnextchar[{\csname #1@bes@@\endcsname[##1]}{\csname #1@bes@@\endcsname[##1][\z@]}
            }%]
            \expandafter\def\csname #1@bes@@\endcsname[##1][##2]{
                \let\alterlinkerRand\gesamtlinkerRand
                \let\alterrechterRand\gesamtrechterRand
                \addtolength{\gesamtlinkerRand}{##1}
                \addtolength{\gesamtrechterRand}{##2}
                \advance\linewidth -##1%
                \advance\linewidth -##2%
                \advance\@totalleftmargin ##1%
                \parshape\@ne \@totalleftmargin\linewidth%
                #4
                \begin{#2}%
                    \setlength{\parskip}{0.5\baselineskip}\relax%
                    \setlength{\topsep}{\z@}\relax%
                    \setlength{\partopsep}{\z@}\relax%
                    \setlength{\parsep}{\parskip}\relax%
                    \setlength{\itemsep}{#3}\relax%
                    \setlength{\listparindent}{\z@}\relax%
                    \setlength{\itemindent}{\z@}\relax%
            }
        \expandafter\gdef\csname end#1\endcsname{%
            \end{#2}#5
            \setlength{\gesamtlinkerRand}{\alterlinkerRand}
            \setlength{\gesamtlinkerRand}{\alterrechterRand}
        }
    }

    \def\ritempunkt{{\Large\textbullet}} % \textbullet, $\sqbullet$, $\blacktriangleright$
    \setdefaultitem{\ritempunkt}{\ritempunkt}{\ritempunkt}{\ritempunkt}
    \punkteumgebung@genbefehl{itemise}{compactitem}{\parskip}{}{}
    \punkteumgebung@genbefehl{kompaktitem}{compactitem}{\z@}{}{}
    \punkteumgebung@genbefehl{enumerate}{compactenum}{\parskip}{}{}
    \punkteumgebung@genbefehl{kompaktenum}{compactenum}{\z@}{}{}

    \let\ALTthebibliography\thebibliography
    \renewenvironment{thebibliography}[1]{%
        \begin{ALTthebibliography}{#1}
        \addcontentsline{toc}{part}{\bibname}
    }{%
        \end{ALTthebibliography}
    }

%% ****************************************************************
%% NEUE UMGEBUNGEN:
%% ****************************************************************

    \def\matrix#1{\left(\begin{array}[mc]{#1}}
        \def\endmatrix{\end{array}\right)}
    \def\smatrix{\left(\begin{smallmatrix}}
        \def\endsmatrix{\end{smallmatrix}\right)}
    \def\vector{\begin{matrix}{c}}
        \def\endvector{\end{matrix}}
    \def\svector{\begin{smatrix}}
        \def\endsvector{\end{smatrix}}

    \def\multiargrekursiverbefehl#1#2#3#4#5#6#7#8{%
        \expandafter\gdef\csname#1\endcsname #2##1#4{\csname #1@anfang\endcsname##1#3\egroup}
        \expandafter\def\csname #1@anfang\endcsname##1#3{#5##1\@ifnextchar\egroup{\csname #1@ende\endcsname}{#7\csname #1@mitte\endcsname}}
        \expandafter\def\csname #1@mitte\endcsname##1#3{#6##1\@ifnextchar\egroup{\csname #1@ende\endcsname}{#7\csname #1@mitte\endcsname}}
        \expandafter\def\csname #1@ende\endcsname##1{#8}
    }
    \multiargrekursiverbefehl{svektor}{[}{;}{]}{\begin{smatrix}}{}{\\}{\\\end{smatrix}}
    \multiargrekursiverbefehl{vektor}{[}{;}{]}{\begin{matrix}{c}}{}{\\}{\\\end{matrix}}
    \multiargrekursiverbefehl{vektorzeile}{}{,}{;}{}{&}{}{}
    \multiargrekursiverbefehl{matlabmatrix}{[}{;}{]}{\begin{smatrix}\vektorzeile}{\vektorzeile}{;\\}{;\end{smatrix}}

    \def\underbracenodisplay#1{%
        \mathop{\vtop{\m@th\ialign{##\crcr
        $\hfil\displaystyle{#1}\hfil$\crcr
        \noalign{\kern3\p@\nointerlineskip}%
        \upbracefill\crcr\noalign{\kern3\p@}}}}\limits%
    }

    \def\mathe[#1]#2{%
        \ifthenelse{\equal{\boolinmdframed}{\boolwahr}}{}{\begin{escapeeinzug}}
        \noindent%
        \let\eqtagset\boolfalsch
        \let\eqtaglabel\boolleer
        \let\eqtagsymb\boolleer
        \let\alteqtag\eqtag
        \def\eqtag{\@ifnextchar[{\eqtag@loc@}{\eqtag@loc@[*]}}%
        \def\eqtag@loc@[##1]{\@ifnextchar\bgroup{\eqtag@loc@@[##1]}{\eqtag@loc@@[##1]{}}}%
        \def\eqtag@loc@@[##1]##2{%
            \gdef\eqtagset{\boolwahr}
            \gdef\eqtaglabel{##1}
            \gdef\eqtagsymb{##2}
        }%
        \def\verticalalign{}%
            \IfBeginWith{#1}{t}{\def\verticalalign{t}}{}%
            \IfBeginWith{#1}{m}{\def\verticalalign{c}}{}%
            \IfBeginWith{#1}{b}{\def\verticalalign{b}}{}%
        \def\horizontalalign{\null\hfill\null}%
            \IfEndWith{#1}{l}{}{\null\hfill\null}%
            \IfEndWith{#1}{r}{\def\horizontalalign{}}{}%
        \begin{math}
        \begin{array}[\verticalalign]{0#2}%
    }
        \def\endmathe{%
            \end{array}
            \end{math}\horizontalalign%
            \let\eqtag\alteqtag
            \ifthenelse{\equal{\eqtagset}{\boolwahr}}{\eqtag[\eqtaglabel]{\eqtagsymb}}{}
            \ifthenelse{\equal{\boolinmdframed}{\boolwahr}}{}{\end{escapeeinzug}}%
        }

    \def\longmathe[#1]#2{\relax
        \let\altarraystretch\arraystretch
        \renewcommand\arraystretch{1.2}\relax
        \begin{longtable}[#1]{\LINKSRAND #2}
    }
        \def\endlongmathe{
            \end{longtable}
            \renewcommand\arraystretch{\altarraystretch}
        }

    \def\einzug{\@ifnextchar[{\indents@}{\indents@[\z@]}}%]
        \def\indents@[#1]{\@ifnextchar[{\indents@@[#1]}{\indents@@[#1][\z@]}}%]
        \def\indents@@[#1][#2]{%
            \begin{list}{}{\relax
                \setlength{\topsep}{\z@}\relax
                \setlength{\partopsep}{\z@}\relax
                \setlength{\parsep}{\parskip}\relax
                \setlength{\listparindent}{\z@}\relax
                \setlength{\itemindent}{\z@}\relax
                \setlength{\leftmargin}{#1}\relax
                \setlength{\rightmargin}{#2}\relax
                \let\alterlinkerRand\gesamtlinkerRand
                \let\alterrechterRand\gesamtrechterRand
                \addtolength{\gesamtlinkerRand}{#1}
                \addtolength{\gesamtrechterRand}{#2}
            }\relax
                \item[]\relax
        }
            \def\endeinzug{%
                \setlength{\gesamtlinkerRand}{\alterlinkerRand}
                \setlength{\gesamtlinkerRand}{\alterrechterRand}
                \end{list}%
            }

    \def\escapeeinzug{\begin{einzug}[-\gesamtlinkerRand][-\gesamtrechterRand]}
        \def\endescapeeinzug{\end{einzug}}

    \def\programmiercode{
        \modulolinenumbers[1]
        \begin{einzug}[\rtab][\rtab]%
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        >=stealth,
        auto,
        thick,
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%% FILE: src/setup-layout.tex
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\def\footnoteref[#1]{\protected@xdef\@thefnmark{\ref{#1}}\@footnotemark}
\let\altfootnotetext\footnotetext
    \def\footnotetext[#1]#2{\incrftnotectr{footnote}\altfootnotetext[\value{footnote}]{\label{#1}#2}}
\let\altfootnotemark\footnotemark
    %% Undesirable solution, as the text is not hyperlinked.
    \def\footnotemark[#1]{\text{\textsuperscript{\getrefnumber{#1}}}}

\DefineFNsymbols*{custom}{abcdefghijklmnopqrstuvwxyz}
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\def\footnotelayout{\documentfont\scriptsize}
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\def\kopfzeileleer{
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\def\theunitnamesection{\theshortsection}

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%% MATHE:
%% ****************************************************************

\def\cal#1{\mathcal{#1}}
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\def\punktschema{
    \footnotesize
    \hraum
    \begin{tabular}[mc]{|p{0.1\textwidth}|p{0.7\textwidth}|}
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            \multicolumn{2}{|l|}{{\bfseries NOTENSCHEMA}}\\
            Punkte &Beschreibung\\
        \hline
        \hline
}
    \def\endpunktschema{
        \hline
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\def\headingTeilaufgabe#1{
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\begin{document}
    \startdocumentlayoutoptions

    %% HAUPTTEXT:

%% ********************************************************************************
%% FILE: body/index.tex
%% ********************************************************************************

%% ********************************************************************************
%% FILE: body/A6.tex
%% ********************************************************************************

%% AUFGABE 6
\let\altsectionname\sectionname
\def\sectionname{Aufgabe}
\setcounternach{section}{6}
\section[]{(Klausur${}_{1}$, WiSe 2020/2021)}
    \label{ueb:1:ex:1}
\let\sectionname\altsectionname

Es sSei $V\neq\{0\}$ ein Vektorraum über einem Körper, $K$.
Eine lineare Abbildung ${\phi:V\to V}$ heißt dann \emph{stark kontrahierend},
wenn $\exists{n\in\ntrlpos:~}\phi^{n}=0(\cdot)$.

%% ********************************************************************************
%% FILE: body/A6a.tex
%% ********************************************************************************

%% AUFGABE 6a
\headingTeilaufgabe{6a}

\begin{claim*}
    Sei ${\phi:V\to V}$ linear.
    Dann gilt $\phi$ \emph{stark kontrahierend} $\Rightarrow$ $\phi$ nicht invertierbar.
\end{claim*}

Es gibt hierfür mehrere Ansätze.
In jedem der u.\,s. Möglichkeiten fixieren wir ein $n\in\ntrlpos$, so dass $\phi^{n}=\zerovector$,
und wir nehmen an, $\phi$ sei \emph{stark kontrahierend}.

Als möglicherweise einfachtsten Ansätze kann man auf der Ebene von Abbildungen argumentieren.

\setcounternach{enumi}{1}
\begin{enumerate}{\bfseries {Ansatz} I.}
    \item
        \textbf{Zu zeigen}, $\phi$ sei nicht invertierbar.
        Angenommen, dies sei nicht der Fall.
        Aus \textbf{Lemma 6.3.2} im Skript (siehe insbes. den Beweis dort)
        ist die Menge der invertierbaren lineare Abbildungen
        unter „Multiplikation“ (d.\,h. Komposition) abgeschlossen.
        Darum sind
            $\phi$, $\phi^{2}=\phi\circ\phi$, $\phi^{3}=\phi\circ\phi^{2}$, \ldots\,
        alle invertierbar.
        Insbesondere muss $\phi^{n}(=0(\cdot))$ \fbox{invertierbar} sein.
        Da $V\neq\{\zerovector\}$ ist die $0(\cdot)$-Abbildung \fbox{nicht invertierbar}.
        Widerspuch!
        Also ist $\phi$ nicht invertierbar.
        \enndeOfProof
    \item
        Es reicht aus \textbf{zu zeigen}, dass $\phi$ nicht surjektiv ist.
        Angenommen, dies sei nicht der Fall.
        Aus \textbf{Satz 2.3.6(1)} im Skript (siehe insbes. den Beweis)
        sind surjektive Abbildungen unter Komposition abgeschlossen.
        Darum sind
            $\phi$, $\phi^{2}=\phi\circ\phi$, $\phi^{3}=\phi\circ\phi^{2}$, \ldots\,
        alle surjektiv.
        Insbesondere muss $\phi^{n}$ surjektiv sein.
        Da $\phi^{n}$ linear ist, muss also \fbox{$\range(\phi^{n})=V$} gelten.
        Da $\phi^{n}=0(\cdot)$, gilt aber $\range(\phi^{n})=\{\zerovector\}$.
        Darum muss $V=\{\zerovector\}$ gelten, was der Voraussetzung auf $V$ widerspricht.
        Darum haben wir einen Widerspruch erreicht.
        Also ist $\phi$ nicht surjektiv, w.z.z.w.
        \enndeOfProof
    \item
        Es reicht aus \textbf{zu zeigen}, dass $\phi$ nicht injektiv ist.
        Angenommen, dies sei nicht der Fall.
        Aus \textbf{Satz 2.3.6(1)} im Skript (siehe insbes. den Beweis)
        sind injektive Abbildungen unter Komposition abgeschlossen.
        Darum sind
            $\phi$, $\phi^{2}=\phi\circ\phi$, $\phi^{3}=\phi\circ\phi^{2}$, \ldots\,
        alle injektiv.
        Insbesondere muss $\phi^{n}$ injektiv sein.
        Da $\phi^{n}$ linear ist, muss also \fbox{$\ker(\phi^{n})=\{\zerovector\}$} gelten.
        Da $\phi^{n}=0(\cdot)$, gilt aber $\ker(\phi^{n})=V$ (weil $\phi^{n}(u)=\zerovector$ für alle $u\in V$).
        Darum muss $\{\zerovector\}=V$ gelten, was der Voraussetzung auf $V$ widerspricht.
        Darum haben wir einen Widerspruch erreicht.
        Also ist $\phi$ nicht injektiv, w.z.z.w.
        \enndeOfProof
\end{enumerate}

Als direkter Ansatz kann man auf der Ebene von Vektoren argumentieren
und konstruktiv vorgehen.

\begin{enumerate}{\bfseries {Ansatz} I.}
    \setcounternach{enumi}{4}
    \item
        Es reicht aus \textbf{zu zeigen}, dass $\ker(\phi)\neq\{\zerovector\}$, d.\,h. dass $\phi$ nicht injektiv ist.
        Wir zeigen dies direkt.
        Da $V\neq\{\zerovector\}$ existiert ein $v\in V\ohne\{\zerovector\}$.
        Betrachten wir die Elemente:

            \begin{mathe}[mc]{ccccc}
                (\zerovector\neq)v=\phi^{0}(v),
                &\phi^{1}(v),
                &\phi^{2}(v),
                &\ldots,
                &\phi^{n}(v)(=\zerovector)\\
            \end{mathe}

        Dann existiert ein $k\in\ntrlzero$ mit $1\leq k<n$,
        so dass $\phi^{k}(v)\neq\zerovector$ und $\phi^{k+1}(v)=\zerovector$.
        (Man kann das auch so argumentieren: wähle $k\in\ntrlzero$ maximal mit $\phi^{k}(v)\neq\zerovector$.
        Dann muss $0\leq k<n$ gelten.)
        Setze $u:=\phi^{k}(v)$. Dann per Konstruktion gilt $u\in V\ohne\{\zerovector\}$
        und $\phi(u)=\phi(\phi^{k}(v))=\phi^{k+1}(v)=\zerovector$.
        Also gilt $u\in\ker(u)\ohne\{\zerovector\}$.
        Darum $\ker(\phi)\neq\{\zerovector\}$, w.z.z.w.
        \enndeOfProof
\end{enumerate}

Am Schönsten kann man mit \emph{Dimension} arbeiten.
(Auf diese Idee ist ein Studierender gekommen.)

\begin{enumerate}{\bfseries {Ansatz} I.}
    \setcounternach{enumi}{5}
    \item
        \textbf{Zu zeigen:} $\dim(\ker(\phi))>0$.
        (Anhand Elementarkenntnisse wissen wir, dass dies zu $\ker(\phi)\neq\{\zerovector\}$ äquivalent ist,
        was wiederum zu der Nichtinjektivität von $\phi$ äquivalent ist,
        was die Nichtinvertierbarkeit von $\phi$ impliziert.)\\
        \forceindent
        O.\,E. können wir auch annehmen, dass $n$ \uline{minimal} gewählt wird, so dass $\phi^{n}=0(\cdot)$.\\
        \textbf{Fall 1.} $n=1$.
            Dann gilt $\phi=\phi^{1}=0(\cdot)$,
            woraus sich $\ker(\phi)=V$ und $\dim(\ker(\phi))=\dim(V)>0$ ergibt,
            da $V\neq\{\zerovector\}$.\\
        \textbf{Fall 2.} $n>1$.
            Dann gilt $\phi\circ\phi^{n-1}=\phi^{n}=0(\cdot)$,
            woraus sich \fbox{$\range(\phi^{n-1})\subseteq\ker(\phi)$}\textsuperscript{~($\ast$)} ergibt.
            Nun, wegen \uline{Minimalität} von $n$ kann $\phi^{n-1}=0(\cdot)$ \uline{nicht} gelten.
            Es gilt nun

            \begin{mathe}[mc]{rcl}
                \phi^{n-1}\neq 0(\cdot)
                    &\Longrightarrow
                        &\range(\phi^{n-1})\neq\{\zerovector\}\\
                    &\Longrightarrow
                        &\dim(\range(\phi^{n-1}))>0\\
                    &\Longrightarrow
                        &\dim(\ker(\phi))\geq\dim(\range(\phi^{n-1}))>0.\\
            \end{mathe}

            In der letzten Aussage gilt die erste Ungleichung gilt wegen ($\ast$).

        Darum gilt in allen Fällen $\dim(\ker(\phi))>0$, wzzw.
        \enndeOfProof
\end{enumerate}

\begin{punktschema}
    3   &Argument vollständig (=ausführlich) und logisch gültig.\\
    \hdashline
    2   &Der Ansatz war richtig aber z.\,B.:\\
        &es fehlte an Ausführlichkeit (enthielt jedoch genug von dem nicht trivialen Teil);\\
        &oder die Aufgabe war in (a) falsch, aber versteckteweise in (b) vorhanden (und zwar vollständig+gültig);\\
        &oder er baute z.\,T. auf einem inkorrekt präsentierten Resultat (was dann z.\,B. auf die Ausführlichkeit eine Auswirkung hatte).\\
    \hdashline
    1   &Ansatz enthielt eine richtige Idee, aber wurde nicht korrekt/ausführlich ausgeführt,
        od. man schließt die (nicht triviale) Lücke zw. Aussage über $\phi^{n}$ und Aussage über $\phi$ nicht\\
    \hdashline
    0   &sonst.\\
\end{punktschema}

{\footnotesize
\textbf{Bemerkung.}
Da es sich hier um die Bewertung von Argumentationen handelt,
kann man in Wirklichkeit hier kein Schema festlegen.
Stattdessen musste ich über die Qualität ein Urteil treffen.
In erster Linie kriegt man volle Punkte, wenn man
vollständig (idealerweise auch ausführlich) + gültig + überzeugend
argumentierte.
Ab dann musste ich anhand unterschiedlicher Defizite empirische Graduierungen implementieren.
Wenn etwas unvollständig oder ungültig war, bekam der Versuch einen Abzug.
Wenn etwas zu unordentlich oder inkohärent war, wurde meistens auf $0$ Pkt gegeben,
aber diese wurde verschont, wenn die Argumentation eine richtige Idee enthielt.
Es gab einen Fall, wo leider ein Denkfehler (ungültiger Schritt) vorlag,
aber der Ansatz war sonst sauber aufgeschrieben,
sodass der Versuch mindestens $1$ Pkt verdiente.
}

\clearpage

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%% FILE: body/A6b.tex
%% ********************************************************************************

%% AUFGABE 6b
\headingTeilaufgabe{6b}

\begin{claim*}
    Sei ${\phi:V\to V}$ linear und \emph{stark kontrahierend}.
    Sei $v\in V$ mit $v\neq\zerovector$ und $\phi(v)\neq\zerovector$.
    Dann gilt $\ker(\phi)\cap\range(\phi)\neq\{\zerovector\}$.
\end{claim*}

Beachte, dass (offensichtlich)
    $\zerovector\in\ker(\phi)$
    und
    $\zerovector\in\range(\phi)$
gelten, sodass $\ker(\phi)\cap\range(\phi)\supseteq\{\zerovector\}$.
Was wir also eigentlich in dieser Behauptung zeigen, ist
    $\ker(\phi)\cap\range(\phi)\supset\{\zerovector\}$ (strikte Inklusion),
d.\,h. dass ein Element $u\in V\ohne\{\zerovector\}$ existiert,
so dass \uline{dasselbe} Element $u$ sowohl in $\ker(\phi)$
als auch in $\range(\phi)$ liegt.

Es gibt hierfür mehrere Ansätze.
In jedem der u.\,s. Möglichkeiten fixieren wir ein $n\in\ntrlpos$, so dass $\phi^{n}=\zerovector$,
und wir nehmen an, $\phi$ sei \emph{stark kontrahierend}.

\begin{enumerate}{\bfseries {Ansatz} I.}
    \item
        \textbf{Zu zeigen:} Es gibt ein Element
        $u\in V\ohne\{\zerovector\}$
        mit $u\in\ker(\phi)$ und $u\in\range(\phi)$.

        Um ein solches $u$ zu konstruieren, betrachten wir die Elemente:

            \begin{mathe}[mc]{ccccc}
                v=\phi^{0}(v),
                &\phi^{1}(v),
                &\phi^{2}(v),
                &\ldots,
                &\phi^{n}(v)(=\zerovector)\\
            \end{mathe}

        Sei $k\in\ntrlzero$ \uline{minimal} mit $\phi^{k}(v)=\zerovector$.
        Da $\phi^{n}(v)=\zerovector$, ist dies wohldefiniert.
        Da
            $\phi^{0}(v)\neq\zerovector$
        und
            $\phi^{1}(v)\neq\zerovector$,
        gilt $k\geq 2$.\\
        \forceindent
        Darum können wir den Vektor, $u:=\phi^{k-1}(v)$ betrachten.
        Wegen \uline{Minimalität} von $k$ gilt $u\neq\zerovector$.
        Da $k\geq 2$, gilt $u=\phi(\phi^{k-2}(v))\in\range(\phi)$.
        Und per Wahl von $k$ gilt $\phi(u)=\phi(\phi^{k-1}(v))=\phi^{k}(v)=\zerovector$,
        sodass $u\in\ker(u)$ gilt.
        Darum haben wir ein passendes Element gefunden,
        und die Behauptung ist bewiesen.
        \enndeOfProof
    \item
        \textbf{Zu zeigen:} $\ker(\phi)\cap\range(\phi)\neq\{\zerovector\}$.

        Angenommen, dies sei nicht der Fall.
        Dann

            \begin{mathe}[mc]{rcl}
                \eqtag{$\star$}
                \ker(\phi)\cap\range(\phi) &= &\{\zerovector\}.\\
            \end{mathe}

        Sei $k\in\ntrlzero$ \uline{minimal} mit $\phi^{k}(v)=\zerovector$.
        Da $\phi^{n}(v)=\zerovector$, ist dies wohldefiniert
        und per Voraussetzung auf $v$ gilt $k\geq 2$.\\
        \forceindent
        Man betrachte nun $u:=\phi^{k-1}(v)$.
        Wegen \uline{Minimalität} von $k$ gilt $u\neq\zerovector$.
        Da $k\geq 2$, gilt $u=\phi(\phi^{k-2}(v))\in\range(\phi)$.
        Und per Wahl von $k$ gilt $\phi(u)=\phi(\phi^{k-1}(v))=\phi^{k}(v)=\zerovector$,
        sodass $u\in\ker(u)$ gilt.
        Darum
            $%
                u\in\ker(\phi)\cap\range(\phi)%
                \overset{(\star)}{=}\{\zerovector\}%
            $.
        Also $\phi^{k-1}(v)=u=\zerovector$, was ein Widerspruch zur \uline{Minimalität} von $k$ ist.
        Da wir einen Widerspruch erreicht haben,
        gilt doch $\ker(\phi)\cap\range(\phi)\neq\{\zerovector\}$.
        \enndeOfProof
\end{enumerate}

Beachte, dass diese Ansätze eigentlich äquivalent sind:
in dem II. Ansatz haben wir das gesuchte Element in I konstruiert.
Aber die Zielsetzungen sind anders.

\begin{punktschema}
    3   &Argument vollständig (=ausführlich) und logisch gültig.\\
    \hdashline
    2   &Fehlte was Kleines (aber Wichtiges), wie,
        explizit zu sagen/zeigen,
            dass $\phi^{k-1}(v)\in\range(\phi)$
        oder dass $\phi^{k-1}(v)\in\ker(\phi)$ (aber wenn beides fehlten kriegt man natürlich weniger als $2$),
        oder dass $k\geq 2$ (was nötig ist, damit man $\phi^{k-1}(v)=\phi^{k-2}(v)$ schreiben darf).
        Oder man hat mit $k=n-1$ gearbeitet, obwohl das nicht unbedingt stimmt (außer man wählte $n$ minimal für $v$, aber das muss man dann sagen).\\
    \hdashline
    1,5 &Der Ansatz enthielt eine richtige Idee, aber wurde nicht korrekt oder ausführlich ausgeführt.
        Es lag zumindest vor, dass man ein gemeinsames Element in $\ker(\phi)$ und im $\range(\phi)$
        zeigen musste.\\
    \hdashline
    1   &Der Ansatz enthielt eine richtige Idee, aber wurde nicht korrekt oder ausführlich ausgeführt.
        Unterschied zu 1,5: Entweder fehlte zu viel oder war an Stellen inkohärent.\\
    \hdashline
    0   &sonst.\\
\end{punktschema}

{\footnotesize
\textbf{Bemerkung.} Hier lagen ähnliche Schwierigkeiten vor, ein Schema festzulegen.
Dafür wandte ich ähnliche Prinzipien an wie in der Bemerkung am Ende von A6a.
Spezifisch zu dieser Aufgabe konnte ich folgendes Beobachten:

\begin{kompaktitem}
    \item Denkfehler im Ansatz: Viele haben ein Element in $\ker(\phi)$ gesucht,
        dann eins in $\range(\phi)$, aber nicht ein \uline{gemeinsames Element}.
    \item Technische Kleinigkeiten (die jedoch keine Lappalien sind):
        Damit man $\phi^{k-1}(v)$ und $\phi^{k-2}(v)$ überhaupt bilden darf,
        muss man \uline{begründen}, dass $k\geq 1$ bzw. $k\geq 2$.
        Ein sorgfältiger Umgang mit Randfällen und zu prüfen, dass etwas nicht jenseits eines Randes,
        sind allgemein wichtig in allen technischen Bereichen.
    \item Zu unterscheiden dazwischen, wann etwas trivial ist, und wann etwas explizit/ausführlich begründet werden soll.
    \item Man argumentiert für Ergebnisse,
        die schon in anderen Teilaufgaben vorhanden sind.
        Das weist darauf hin,
        dass man sich der Bedeutung der Resultate bzw. der Zusammenhänge nicht bewusst ist.
        Auch wenn eine Prüfung größtenteils sachlich ist,
        ist es generell sinnvoll,
        sich zu überlegen, wie die Teile einer Aufgabe aufeinander aufbauen
        und wie sie konzipiert sind.
\end{kompaktitem}
}

\clearpage

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%% FILE: body/A6c.tex
%% ********************************************************************************

%% AUFGABE 6c
\headingTeilaufgabe{6c}

Hier müssen wir für $V=\reell^{2}$ ein ${\phi:V\to V}$,
so dass $\phi\neq 0(\cdot)$
und so dass $\phi$ \kurs{stark kontrahierend} ist.
Äquivalent können wir eine passende
Matrixdarstellung, $A\in M_{2\times 2}(\reell)$,
konstruieren.

Hier ein paar Möglichkeiten:

\begin{kompaktitem}
    \item
        $A:=\begin{matrix}{cc}
          1 &-1\\
          1 &-1\\
        \end{matrix}$.
        Dann ist $A$ offensichtlich ungleich $\zeromatrix$ (die Nullmatrix).
        Und $A^{2}=\begin{matrix}{cc}
          0 &0\\
          0 &0\\
        \end{matrix}$,
        sodass $A$ (bzw. $\phi_{A}$) auch \kurs{stark kontrahierend} ist.
    \item
        $A:=\begin{matrix}{cc}
          0 &1\\
          0 &0\\
        \end{matrix}$.
        Dann ist $A$ offensichtlich ungleich $\zeromatrix$.
        Und $A^{2}=\begin{matrix}{cc}
          0 &0\\
          0 &0\\
        \end{matrix}$,
        sodass $A$ (bzw. $\phi_{A}$) auch \kurs{stark kontrahierend} ist.
\end{kompaktitem}

Es gibt natürlich viel mehr Möglichkeiten.

\begin{punktschema}
    2 &Konstruktion beide Eigenschaften erfüllt + stark kontrahierend begründet.\\
    \hdashline
    1 &Konstruktion beide Eigenschaften erfüllt, aber unbegründet.\\
    \hdashline
    0 &Konstruktion erfüllt mind. eine der zwei Bedingungen nicht.\\
\end{punktschema}

\clearpage

%% ********************************************************************************
%% FILE: body/A6d.tex
%% ********************************************************************************

%% AUFGABE 6d
\headingTeilaufgabe{6d}

Hier müssen wir für $V=\reell^{2}$ ein ${\phi:V\to V}$,
so dass $\phi$ nicht invertierbar
und so dass $\phi$ \uline{nicht} \kurs{stark kontrahierend} ist.
Äquivalent können wir eine passende
Matrixdarstellung, $A\in M_{2\times 2}(\reell)$,
konstruieren.

Hier ein paar Möglichkeiten:

\begin{kompaktitem}
    \item
        $A:=\begin{matrix}{cc}
          1 &1\\
          1 &1\\
        \end{matrix}$.
        Da $\rank(A)=1$ ist $A$ nicht invertierbar.
        (Auch möglich: man weise darauf hin, dass die Spalten in $A$ nicht linear unabhängig sind.)
        Es gilt nun $A^{2}=\begin{matrix}{cc}
          2 &2\\
          2 &2\\
        \end{matrix}=2A$.
        Darum
            $A^{3} = A^{2}\cdot A = 2A\cdot A = 2\cdot A^{2} = 2\cdot 2A = 2^{2}A$,
        usw.
        Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=2^{n}A(\neq 0)$ für alle $n\in\ntrlpos$.
        Darum ist $A$ (bzw. $\phi_{A}$) \uline{nicht} \kurs{stark kontrahierend}.
    \item
        $A:=\begin{matrix}{cc}
          p &1-p\\
          p &1-p\\
        \end{matrix}$
        für $p\in[0,1]$.
        Da $\rank(A)=1$ ist $A$ nicht invertierbar.
        (Auch möglich: man weise darauf hin, dass die Spalten in $A$ nicht linear unabhängig sind.)
        Es gilt nun $A^{2}=\begin{matrix}{cc}
          p &1-p\\
          p &1-p\\
        \end{matrix}=A$.
        Darum
            $A^{3} = A^{2}\cdot A = A\cdot A = A^{2} = A$,
        usw.
        Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=A(\neq 0)$ für alle $n\in\ntrlpos$.
        Darum ist $A$ (bzw. $\phi_{A}$) \uline{nicht} \kurs{stark kontrahierend}.
    \item
        $A:=\begin{matrix}{cc}
          1 &0\\
          1 &0\\
        \end{matrix}$.
        Da $\rank(A)=1$ ist $A$ nicht invertierbar.
        (Auch möglich: berechne Zeilenstufen form und begründe dadurch.)
        Es gilt nun $A^{2}=\begin{matrix}{cc}
          1 &0\\
          1 &0\\
        \end{matrix}=A$.
        Darum
            $A^{3}=A^{2}\cdot A = A\cdot A = A^{2}=A$,
        usw.
        Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=A(\neq 0)$ für alle $n\in\ntrlpos$.
        Darum ist $A$ (bzw. $\phi_{A}$) \uline{nicht} \kurs{stark kontrahierend}.
    \item
        $A:=\begin{matrix}{cc}
          1 &0\\
          0 &0\\
        \end{matrix}$.
        Da $\rank(A)=1$ ist $A$ nicht invertierbar.
        (Auch möglich: man weise darauf hin, dass die Spalten in $A$ nicht linear unabhängig sind.)
        Es gilt nun $A^{2}=\begin{matrix}{cc}
          1 &0\\
          0 &0\\
        \end{matrix}=A$.
        Darum
            $A^{3}=A^{2}\cdot A = A\cdot A = A^{2}=A$,
        usw.
        Man sieht per Induktion, dass $A^{n}=A(\neq 0)$ für alle $n\in\ntrlpos$.
        Darum ist $A$ (bzw. $\phi_{A}$) \uline{nicht} \kurs{stark kontrahierend}.
\end{kompaktitem}

Es gibt natürlich viel mehr Möglichkeiten.

\begin{punktschema}
    2 &Konstruktion erfüllt beide Eigenschaften + und 2 Eigenschaften begründet.\\
    \hdashline
    1,5 &Konstruktion erfüllt beide Eigenschaften + und 1 Eigenschaft begründet.\\
    \hdashline
    1 &Konstruktion erfüllt beide Eigenschaften + und 0 Eigenschaft begründet.\\
    \hdashline
    0 &sonst.\\
\end{punktschema}

{\footnotesize
\textbf{Bemerkung.}
Es gab keine Teilpunkte, wenn $A$ invertierbar war.
Der Grund hierfür war, dass,
\emph{auch wenn man die anderen Aufgaben nicht beweisen konnte},
man aus 6(a) hätte verstehen müssen,
dass

    \begin{mathe}[mc]{rcl}
        \eqtag{$\star$}
        \text{stark kontrahierend} &\Longrightarrow &\text{nicht invertierbar}\\
    \end{mathe}

und damit trivialerweise

    \begin{mathe}[mc]{rcl}
        \text{invertierbar} &\Longrightarrow &\text{nicht stark kontrahierend}\\
    \end{mathe}

gelten. Der Zweck von Aufgabe 6(d) ist zu zeigen,
dass die Implikation in ($\star$) strikt ist, und dass die Umkehrung von ($\star$):

    \begin{mathe}[mc]{rcl}
        \text{nicht invertierbar} &\Longrightarrow &\text{stark kontrahierend}\\
    \end{mathe}

nicht gilt. Dies zeigt man, indem man ein $\phi$ findet, die nicht invertierbar
ist und nicht \emph{stark kontrahierend} ist.
}

\end{document}
