# Woche 11 #
## SKA 11 ##
### Aufgabe 12 ###
Gegeben sei
A = -1 1
2 0
3 1
A ist in ℝ^{3 x 2}
**Zu finden:** Matrizen P, Q, so dass P·A·Q im Format wie in Satz 6.3.10
Offensichtlich müssen
P ∈ ℝ^{3 x 3}
Q ∈ ℝ^{2 x 2}
gelten. Da bei X·Y müssen #col(X), #row(Y) übereinstimmen, weil
wenn man die Matrixmultiplikation ausführt, dann multipliziert man
- Zeilen aus X
mit
- Spalten aus Y.
Im Gaußverfahren
A —> E1·A —> E2·E1·A —> E3·E2·E1·A ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·A
—> Wir wollen (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1) als einzige Matrix erfassen, also als P.
Wir führen A in ein augmentiertes System mit der 3x3 Identitätsmatrix auf
-1 1 | 1 0 0
2 0 | 0 1 0
3 1 | 0 0 1
und führen das Gaußverfahren darauf auf. Dann geschieht (effektiv) parallel
linke Hälfte: A —> E1·A —> E2·E1·A —> E3·E2·E1·A ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·A
rechte Hälfte: I —> E1·I —> E2·E1·I —> E3·E2·E1·I ... —> (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)·I
= (E_r·E_{r-1}·...·E3·E2·E1)
= P
Gaußverfahren:
-1 1 | 1 0 0
2 0 | 0 1 0
3 1 | 0 0 1
Zeilen 1 und 2 tauschen:
2 0 | 0 1 0
-1 1 | 1 0 0
3 1 | 0 0 1
Zeile_2 <— 2·Zeile_2 + Zeile_1
Zeile_3 <— 2·Zeile_3 - 3·Zeile_1
2 0 | 0 1 0
0 2 | 2 1 0
0 2 | 0 -3 2
Zeile_3 <— Zeile_3 - Zeile_2
2 0 | 0 1 0
0 2 | 2 1 0
0 0 | -2 -4 2
Zeile_1 <— Zeile_1 / 2
Zeile_2 <— Zeile_2 / 2
1 0 | 0 1/2 0
0 1 | 1 1/2 0
0 0 | -2 -4 2
Also gilt mit
P = 0 1 0
2 1 0
-2 -4 2
Dass P·A = Form aus Satz 6.3.10.
Setze Q := 2 x 2 Identitätsmatrix
Dann
P·A·Q = P·A = Matrix im Format aus Satz 6.3.10
### Anderes nicht so glückliches Beispiel ###
Angenommen wir hätten A als 3 x 5 Matrix und nach Ausführung des o. s. Verfahrens
0 1 0 0 0 | 0 1/2 0
0 0 0 1 0 | 1 1/2 0
0 0 0 0 0 | -2 -4 2
erzielt. Dann würden wir P wie oben setzen.
Aber wir müssen noch Q bestimmen.
Das können wir einfach durch Permutationen erreichen:
0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
Q = 0 0 1 0 0 · 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
Oder mit Gaußverfahren, transponieren wir und augmentieren wir mit der 5x5 Identitätsmatrix:
0 0 0 | 1 0 0 0 0
1 0 0 | 0 1 0 0 0
0 0 0 | 0 0 1 0 0
0 1 0 | 0 0 0 1 0
0 0 0 | 0 0 0 0 1
Zeile1 und Zeile2 vertauschen:
1 0 0 | 0 1 0 0 0
0 0 0 | 1 0 0 0 0
0 0 0 | 0 0 1 0 0
0 1 0 | 0 0 0 1 0
0 0 0 | 0 0 0 0 1
Zeile2 und Zeile4 vertauschen:
1 0 0 | 0 1 0 0 0
0 1 0 | 0 0 0 1 0
0 0 0 | 0 0 1 0 0
0 0 0 | 1 0 0 0 0
0 0 0 | 0 0 0 0 1
Rechte Hälfte __transponiert__:
0 0 0 1 0
1 0 0 0 0
Q = 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 1
## Lineare Ausdehnung mit Komplikationen... ##
Betrachte
u1 = (1, 1, 0, 4)ᵀ
u2 = (1, 0, 0, 4)ᵀ
u3 = (0, 1, 0, 0)ᵀ
u4 = (1, -1, 0, 4)ᵀ
und φ : ℝ^4 —> ℝ^2 partiell definiert
φ(u1) = (8, 1)ᵀ
φ(u2) = (4, 5)ᵀ
φ(u3) = (4, -4)ᵀ
φ(u4) = (0, 9)ᵀ
Beachte:
{u1, u2} lin. unabh.
u3, u4 ∈ Lin{u1, u2}:
u3 = u1 - u2
u4 = u2 - u3 = u2 - (u1 - u2) = 2·u2 – u1
Darum müssen
φ(u3) = φ(u1) - φ(u2)
φ(u4) = 2·φ(u2) – φ(u1)
gelten.
Wenn nicht erfüllt ==> ex. keine lineare Ausdehnung.
Wenn erfüllt ==> ex. eine lineare Ausdehnung:
Setze
u1' = u1
u2' = u2
---> {u1', u2'} lin. unabh.
---> {u1', u2'} lässt sich zu einer Basis
{u1', u2', u3', u4'} von ℝ^4
Wähle v3, v4 ∈ ℝ^2 beliebig und setze
φ(u1') := (8, 1)ᵀ
φ(u2') := (4, 5)ᵀ
φ(u3') := v3
φ(u4') := v4
Dann laut Satz 6.1.13. ex. eine (eindeutige) lineare Abb.
φ : ℝ^4 —> ℝ^2
mit
φ(u1') = (8, 1)ᵀ
φ(u2') = (4, 5)ᵀ
φ(u3') = v3
φ(u4') = v4