# Woche 8 # ## Hinweise zu ÜB 8-1 ## Als Beispiel nehme ich die linearen Unterräume: U₁ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ + 3·x₂ = 4·x₃ + x₄}, U₂ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ = 5·x₂ + 2·x₃ + x₄}. Sei x ∈ ℝ⁴. Dann gelten offensichtlich - x ∈ U₁ ⟺ x₁ + 3·x₂ - 4·x₃ - x₄ = 0 ⟺ A₁x = 0, - x ∈ U₂ ⟺ x₁ - 5·x₂ - 2·x₃ - x₄ = 0 ⟺ A₂x = 0, - x ∈ U₁∩U₂ ⟺ (x₁ + 3·x₂ - 4·x₃ - x₄ = 0 und x₁ - 5·x₂ - 2·x₃ - x₄ = 0) ⟺ A₃x = (0, 0)ᵀ, wobei - A₁ = die 1 x 4 Matrix (1 3 -4 -1), - A₂ = die 1 x 4 Matrix (1 -5 -2 1), - A₃ = die 2 x 4 Matrix (1 3 -4 -1) (1 -5 -2 1). 1) Für U₁ haben wir also x ∈ U₁ ⟺ A₁x = 0. Nun ist A₁ bereits in Zeilenstufenform. Und hier sind x₂, x₃, x₄ frei. Das liefert uns erzeugende Elemente, indem wir diese jeweils auf 0 od. 1 setzen. u₁ = (-3, 1, 0, 0)ᵀ [hier setze man x₂=1, x₃=x₄=0] u₂ = ( 4, 0, 1, 0)ᵀ [hier setze man x₃=1, x₂=x₄=0] u₃ = ( 1, 0, 0, 1)ᵀ [hier setze man x₄=1, x₂=x₃=0] Diese sind offensichtlich linear unabhängig (wegen der disjunkten Ein und Ausschaltung von freien Variablen), und da nur x₂, x₃, x₄ in der allgemeinen Lösung frei sind, sind diese Vektoren erzeugend für U₁. Also ist {u₁, u₂, u₃} eine Basis für U₁. 2) analog für eine Basisberechnung für U₂. Man bekommt als Basis {v₁, v₂, v₃}, wobei v₁ = ( 5, 1, 0, 0)ᵀ v₂ = ( 2, 0, 1, 0)ᵀ v₃ = (-1, 0, 0, 1)ᵀ. 3) Für U₁∩U₂ gilt x ∈ U₁∩U₂ ⟺ A₃x = 0. In Zeilenstufenform wird A₃ zu A₃ ~~> (1 3 -4 -1) (0 8 -2 -2) Also sind x₃ und x₄ frei. Die Auflösung des LGS liefert uns erzeugende Elemente, indem wir die freien Variablen jeweils auf 0 od. 1 setzen: w₁ = (13/4, 1/4, 1, 0)ᵀ [hier setze man x₃=1, x₄=0] w₂ = ( 1/4, 1/4, 0, 1)ᵀ [hier setze man x₄=1, x₃=0] Wir können diese Vektoren beliebig skalieren. Es ist sinnvoll alles mit 4 zu multiplizieren und man erhält stattdessen: w₁ = (13, 1, 4, 0)ᵀ w₂ = ( 1, 1, 0, 4)ᵀ Diese sind offensichtlich linear unabhängig (wegen der disjunkten Ein und Ausschaltung von freien Variablen), und da nur x₃, x₄ in der allgemeinen Lösung frei sind, sind diese Vektoren erzeugend für U₁∩U₂. Also ist {w₁, w₂} eine Basis für U₁∩U₂. 4) Für U₁ + U₂ erhält man mithilfe der oben berechneten Basen U₁ + U₂ = Lin{u₁, u₂, u₃} + Lin{v₁, v₂, v₃} = Lin{u₁, u₂, u₃, v₁, v₂, v₃} Darum ist {u₁, u₂, u₃, v₁, v₂, v₃} erzeugend für U₁ + U₂. Diese Vektoren sind aber nicht unbedingt linear unabhängig, also längst keine Basis. Wir führen das Gaußverfahren darauf, um auf eine maximale linear unabhängige Teilmenge davon zu kommen: (u₁ | u₂ | u₃ | v₁ | v₂ | v₃) ( -3 4 1 5 2 -1 ) = ( 1 0 0 1 0 0 ) · 3, + Z1 ( 0 1 0 0 1 0 ) ( 0 0 1 0 0 1 ) ( -3 4 1 5 2 -1 ) ~> ( 0 4 1 8 2 -1 ) ( 0 1 0 0 1 0 ) · -4, + Z2 ( 0 0 1 0 0 1 ) ( -3 4 1 5 2 -1 ) ~> ( 0 4 1 8 2 -1 ) ( 0 0 1 8 -2 -1 ) ( 0 0 1 0 0 1 ) · -1, + Z3 ( -3 4 1 5 2 -1 ) ~> ( 0 4 1 8 2 -1 ) ( 0 0 1 8 -2 -1 ) ( 0 0 0 8 -2 -2 ) Die Stellen der Stufen weisen auf die linear unabhängigen Vektoren hin: {u₁, u₂, u₃, v₁} sind linear unabhängig und {v₂, v₃} hängen davon ab. Darum gilt U₁ + U₂ = Lin{u₁, u₂, u₃, v₁}, sodass wegen linearer Unabhängigkeit {u₁, u₂, u₃, v₁} eine Basis ist. Da aber dim(V) = 4 = Anzahl der Basiselemente von U₁ + U₂, erhalten wir U₁ + U₂ = V. ## Alternativ I für Teilaufgabe 8-1 (4) ## Man braucht nach dem Gaußverfahren keine Basiselemente aufzulisten. Es reicht sich den Zeilenrang anzuschauen, was gleich 4 ist, und da dim(V) = 4, erkennt man sofort, dass U₁ + U₂ = V. ## Alternativ II für Teilaufgabe 8-1 (4) ## Man braucht die Aufstellung der Basiselemente und das Gaußverfahren eigentlich nicht. Laut Aufgabenstellung gelten U₁ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ + 3·x₂ = 4·x₃ + x₄} = {a₁}^⊥ = (Lin{a₁})^⊥, U₂ = {x ∈ ℝ⁴ | x₁ = 5·x₂ + 2·x₃ + x₄} = {a₂}^⊥ = (Lin{a₂})^⊥, wobei a₁ = (1,3,-4,-1)ᵀ und a₂ = (1,-5,-2,-1)ᵀ und damit gilt U₁ + U₂ = ((U₁ + U₂)^⊥)^⊥ [hierfür braucht man ein Lemma (1)] = (U₁^⊥ ∩ U₂^⊥)^⊥ [hierfür braucht man ein Lemma (2)] = (((Lin{a₁})^⊥)^⊥ ∩ ((Lin{a₂})^⊥)^⊥)^⊥ = (Lin{a₁} ∩ Lin{a₂})^⊥ [hier wird Lemma 1 wieder verwendet] = ({0})^⊥, da {a₁, a₂} offensichtlich lin unabh. sind, und damit gibt es kein gemeinsames Element in Lin{a₁} ∩ Lin{a₂} außer den Nullvektor = V, da alles in V zu 0 senkrecht steht. Dafür aber brauchen wir einiges über Skalarprodukte zu wissen. Man braucht folgende Definition und wie angedeutet zwei Lemmata: **Definition.** Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt. Für jede Teilmenge, A ⊆ V, setze man A^⊥ := {x ∈ V | ∀y∈A: ⟨x, y⟩=0}. **Lemma 1.** Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum mit Skalarpodukt. Dann (U^⊥)^⊥ = U für alle Untervektorräume, U ⊆ V. (Für unendlich dimensionale Vektorräume brauchen wir den Begriff eines _abgeschlossenen Untervektorraums_.) **Lemma 2.** Sei V ein Vektorraum mit Skalarpodukt. Dann (U₁ + U₂)^⊥ = U₁^⊥ ∩ U₂^⊥ für alle Untervektorräume, U₁, U₂ ⊆ V.