$13^{1003}\mod 5$

$=3^{1003}\mod 5$

$=3^{1003}\mod 5$

$3^0=\boxed{1}$
$3^1=\boxed{3}$
$3^2=9\equiv \boxed{4}$
$3^3=3^2\cdot 3\equiv 4\cdot 3 =12\equiv \boxed{2}$
$3^4=3^3\cdot 3\equiv 2\cdot 3 =6\equiv \boxed{1}$

----
$3^5=3^4\cdot 3\equiv 1\cdot 3=3$

----

$3^{4k+r}=3^{4k}\cdot 3^{r}=(3^{4})^{k}\cdot 3^{r}\equiv 1^{k}\cdot 3^{r}=1\cdot 3^{r}=3^{r}$

$1003=4\cdot 250 + \boxed{3}$

$\Longrightarrow$ $3^{1003}\equiv 3^{3}\mod 5=2$


Wenn $n=p\in\mathbb{P}$, dann für $k\in\{1,2,\ldots,n-1\}$ gilt $k^{e}\not\equiv 0$. (Wegen Ex. von Inversen: ist $a$ das Inverse von $k$, dann ist $a^{e}$ das Inverse von $k^{e}$.)

Wenn $n\notin\mathbb{P}$, dann kann es sein, dass es $k\in\{1,2,\ldots,n-1\}$ gibt, so dass $k^{e}\equiv 0$.