# Woche 12 #
## Quiz 11 ##
Sei m = 4 und _A_ die folgende m x m Matrix über 𝔽₅:
A = 1 2 -2 -1
2 0 -1 1
4 3 3 1
1 -2 2 3
Zur Bestimmung der Invertierbarkeit führen wir das Gaußverfahren auf (A | I) aus:
1 2 -2 -1 | 1 0 0 0
2 0 -1 1 | 0 1 0 0
4 3 3 1 | 0 0 1 0
1 -2 2 3 | 0 0 0 1
Zeile 2 <- Zeile 2 - 2·Zeile 1
Zeile 3 <- Zeile 3 - 4·Zeile 1
Zeile 4 <- Zeile 4 - Zeile 1
1 2 -2 -1 | 1 0 0 0
0 -4 3 3 | -2 1 0 0
0 -5 11 5 | -4 0 1 0
0 -4 4 4 | -1 0 0 1
—> modulo 5
1 2 3 4 | 1 0 0 0
0 1 3 3 | 3 1 0 0
0 0 1 0 | 1 0 1 0
0 1 4 4 | 4 0 0 1
Zeile 4 <- Zeile 4 - Zeile 2
1 2 3 4 | 1 0 0 0
0 1 3 3 | 3 1 0 0
0 0 1 0 | 1 0 1 0
0 0 1 1 | 1 4 0 1
(hier habe ich sofort mod 5 berechnet)
Zeile 4 <- Zeile 4 - Zeile 3
1 2 3 4 | 1 0 0 0
0 1 3 3 | 3 1 0 0
0 0 1 0 | 1 0 1 0
0 0 0 1 | 0 4 4 1
⟹ Rang(A) = 4 = m
⟹ _A_ ist invertierbar
Zeile 1 <- Zeile 1 - 2·Zeile 2
1 0 2 3 | 0 3 0 0
0 1 3 3 | 3 1 0 0
0 0 1 0 | 1 0 1 0
0 0 0 1 | 0 4 4 1
Zeile 1 <- Zeile 1 - 2·Zeile 3
Zeile 2 <- Zeile 2 - 3·Zeile 3
1 0 0 3 | 3 3 3 0
0 1 0 3 | 0 1 2 0
0 0 1 0 | 1 0 1 0
0 0 0 1 | 0 4 4 1
Zeile 1 <- Zeile 1 - 3·Zeile 4
Zeile 2 <- Zeile 2 - 3·Zeile 4
1 0 0 0 | 3 1 1 2
0 1 0 0 | 0 4 0 2
0 0 1 0 | 1 0 1 0
0 0 0 1 | 0 4 4 1
⟹ Das Produkt der Elementarmatrizen, die A auf I (linke Hälfte) reduziert hat,
steht nun in der rechten Hälfte:
A¯¹ = 3 1 1 2
0 4 0 2
1 0 1 0
0 4 4 1
## Lineare Ausdehnung ##
**Aufgabe 1.**
Seien
w1 = (1, 1, 0)ᵀ
w2 = (1, -1, 2)ᵀ
w3 = (0, 3, -1)ᵀ
v1 = ( 2, 1)ᵀ
v2 = (-1, 1)ᵀ
v3 = ( 1, 0)ᵀ
Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ³ —> ℝ²,
so dass
φ(w1) = v1
φ(w2) = v2
φ(w3) = v3
gilt? Ist dies injektiv/surjektiv/bijektiv?
**Antwort.**
{w1, w2, w3} eine Basis
~~~> Gaußverfahren auf (w1 w2 w3) und Rang berechnen (soll gleich 3 sein)!
==> ja! (Satz 6.1.13 aus VL)
- Nicht injektiv, weil Rang(φ) <= 2, aber 2 ≥ 3 gilt nicht.
- Surjektiv:
Zz: Rang(φ) ≥ 2.
φ = φ_A
A = Darstellungsmatrix
....
- Bijektiv: nein, weil nicht injektiv.
**Aufgabe 2.**
Seien
w1 = (1, 1, 0)ᵀ
w2 = (1, -1, 2)ᵀ
v1 = ( 2, 1)ᵀ
v2 = (-1, 1)ᵀ
Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ³ —> ℝ²,
so dass
φ(w1) = v1
φ(w2) = v2
gilt, und so dass φ injektiv ist? surjektiv? bijektiv?
**Antwort.**
- {w1, w2} sind linear unabhängig (wiederum mit Gaußverfahren und Rang zeigen).
- {w1, w2} können zu einer Basis von ℝ³ ergänzt werden: {w1, w2, w3}
- Setze v3 ∈ ℝ² beliebig
- Satz der linearen Ausdehnung (6.1.13) wieder anwenden:
- _es gibt eine_ lineare Abb, φ, die
φ(w1) = v1
φ(w2) = v2
φ(w3) = v3
erfüllt.
- Bild(φ) = lin{v1,v2,v3} ⊇ lin{v1, v2} = ℝ²,
weil {v1, v2} eine Basis von ℝ².
Also Bild(φ) = ℝ².
- Darum ist φ surjektiv.
- Es gibt keine injektive (und damit keine bijektive) lin. Abb. φ von ℝ³ nach ℝ²,
weil Rang(φ) <= 2, und 2 ≥ 3 gilt nicht.
**Aufgabe 3a.**
Seien
w1 = (1, 1, 0)ᵀ
w2 = (1, -1, 1)ᵀ
w3 = (2, 0, 1)ᵀ
v1 = ( 2, 1, 0)ᵀ
v2 = (-2, 1, 0)ᵀ
v3 = (1, 2, 0)ᵀ
Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ³ —> ℝ³,
so dass
φ(w1) = v1
φ(w2) = v2
φ(w3) = v3
gilt, und so dass φ injektiv ist? surjektiv? bijektiv? nicht injektiv?
**Antwort.**
Beachte, {w1, w2, w3} ist nicht linear unabh.
Es gilt
- {w1, w2} linear unabh
- w3 ∈ lin{w1, w2}, und zwar w3 = w1 + w2
- Aber v3 = v1 + v2.
Darum ist die Frage äquivalent zu derselben Frage, nur
mit nur den ersten 2 Bedingungen, weil die 3. immer mit erfüllt sein wird,
weil falls φ : ℝ³ —> ℝ³ linear und Bed. 1+2 erfüllt,
so gilt Bedingung 3, weil
φ(w3) = φ(w1 + w2) = φ(w1) + φ(w2) = v1 + v2 = v3.
Ansatz:
- füge w3' hinzu, damit {w1,w2,w3'} eine Basis von ℝ³ ist.
- v3' jetzt so wählen, dass φ injektiv/nicht injektiv ist.
- Beachte Korollar 6.1.11 im besonderen Falle dass φ : ℝⁿ —> ℝⁿ mit gleicher Dim für Inputraum und Outputraum!! Lin Abb. injektiv ⟺ surjektiv ⟺ bijektiv (≡ „Isomorphismus“).
**Aufgabe 3b.**
Seien
w1 = (1, 1, 0)ᵀ
w2 = (1, -1, 1)ᵀ
w3 = (2, 0, 1)ᵀ
v1 = ( 2, 1, 0)ᵀ
v2 = (-1, 1, 0)ᵀ
v3 = (1, 4, 0)ᵀ
Gibt es eine lineare Abbildung, φ : ℝ³ —> ℝ³,
so dass
φ(w1) = v1
φ(w2) = v2
φ(w3) = v3
gilt, und so dass φ injektiv ist? surjektiv? bijektiv?
**Antwort.**
Beachte, {w1, w2, w3} ist nicht linear unabh.
Es gilt
- {w1, w2} linear unabh
- w3 ∈ lin{w1, w2}, und zwar w3 = w1 + w2
- Aber v3 ≠ v1 + v2.
Darum kann es niemals eine lineare Abb geben, die alle 3 Bedingungen erfüllt,
weil falls φ : ℝ³ —> ℝ³ linear ist und Bed. 1+2+3 erfüllt,
so gilt
φ(w3) = φ(w1 + w2) = φ(w1) + φ(w2) = v1 + v2 ≠ v3.
D. h. Bedingung 3 wäre verletzt.
**TODO** Die o. s. Varianten (die letzteren) ausrechnen und hochladen.