## §1. Linear oder nicht? ## In folgenden Aufgaben wird eine Funktion φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert. Bestimme in jedem Falle, ob φ linear ist. a) φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4·x₁·x₃ ) ( 10·x₂ ) Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(2, 0, 2) = 2·φ(1, 0, 1) gelten. Aber: φ(2, 0, 2) = (16, 0)ᵀ 2·φ(1, 0, 1) = 2·(4, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠ φ(2, 0, 2) Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird. b) φ(x₁, x₂, x₃) = ( x₃² ) ( 0 ) Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0, 0, 8) = 8·φ(0, 0, 1) gelten. Aber: φ(0, 0, 8) = (64, 0)ᵀ 8·φ(0, 0, 1) = 8·(1, 0)ᵀ = (8, 0)ᵀ ≠ φ(0, 0, 8) Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird. c) φ(x₁, x₂, x₃) = ( x₃ ) ( 0 ) --> linear d) φ(x₁, x₂, x₃) = ( 0 ) ( 0 ) --> linear e) φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4 ) ( 0 ) Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2] Aber φ ist hier niemals der Nullvektor! Also ist φ nicht linear. f) φ(x₁, x₂, x₃) = ( 10·x₃ ) ( -x₂ + x₁ ) linear! g) φ(x₁, x₂, x₃) = ( 1 - 10·x₃ ) ( -x₂ + x₁ ) Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2] Aber φ(0) = (1, 0)ᵀ. Also ist φ nicht linear. h) φ(x₁, x₂, x₃) = ( exp(-(7·x₂ + 8·x₁)) ) ( 0 ) Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2] Aber φ(0) = (exp(0), 0)ᵀ = (1, 0)ᵀ. Also ist φ nicht linear. ## §2. Aufgaben ähnlich zu ÜB 10-2 ## Seien A = (u₁, u₂, u₃) und B = (v₁, v₂), wobei u₁ = (3, 0, 1)ᵀ u₂ = (0, -1, 0)ᵀ u₃ = (4, 0, 0)ᵀ v₁ = (4, 5)ᵀ v₂ = (0, 1)ᵀ Beachte: - A bildet eine Basis für ℝ³ - B bildet eine Basis für ℝ² Sei nun φ : ℝ³ ⟶ ℝ² definiert durch φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4·x₁ - x₃ ) ( 10·x₂ + x₁ ) ### Zur Linearität ### Seien (x₁,x₂,x₃), (x₁',x₂',x₃') ∈ ℝ³ c, c' ∈ ℝ **Zu zeigen:** φ(c(x₁, x₂, x₃) +c'(x₁',x₂',x₃')) = c·φ(x₁, x₂, x₃) +c'·φ(x₁', x₂', x₃') Es gilt l. S. = φ(c(x₁, x₂, x₃) +c'(x₁',x₂',x₃')) = φ(c(x₁·e1 + x₂·e2 + x₃·e3) +c'(x₁'·e1 + x₂'·e2 + x₃'·e3)) = φ((c·x₁ + c'·x₁)·e1 + (c·x₂ + c'·x₂)·e2 + (c·x₃ + c'·x₃)·e3) = φ(c·x₁ + c'·x₁', c·x₂ + c'·x₂', c·x₃ + c'·x₃') = ( 4·(c·x₁ + c'·x₁') - (c·x₃ + c'·x₃') ) ( 10·(c·x₂ + c'·x₂') + (c·x₁ + c'·x₁') ) = ( c·(4·x₁ - x₃) + c'·(4·x₁' - x₃') ) ( c·(10·x₂ + x₁) + c'·(10·x₂' + x₁') ) = c·( 4·x₁ - x₃ ) + c'·( 4·x₁' - x₃' ) ( 10·x₂ + x₁ ) ( 10·x₂' + x₁' ) = r. S. Darum ist φ linear. ### Darstellung ### Zunächst beobachten wir: φ(x₁, x₂, x₃) = ( 4 0 -1 ) ( x₁ ) ( 1 10 0 ) ( x₂ ) ( x₃ ) = C·x = φ_C(x) siehe [Skript, Bsp 6.2.2], wobei C die Matrix C = ( 4 0 -1 ) ( 1 10 0 ) ist. **Bemerkung.** Den vorherigen Teil konnten wir hiermit viel einfacher machen: Da φ_C linear ist (siehe [Skript, Bsp 6.2.2]), ist φ = φ_C linear. _Zurück zur Berechnung der Darstellung..._ Die zu berechnende Matrix M := M_A^B(φ), ist diejenige, die erfüllt: - ist x der Form x = ∑ α_j·u_j = (α_j) <--- als Vektor über Basis A - und ist M·(α_j) = (β_i) für einen Vektor (β_i) ∈ ℝ² - dann gilt φ(x) = y, wobei y = ∑ β_i·v_i Zusammengefasst ist M genau die Matrix, für die gilt: B·M·α = φ(A·α) für alle α ∈ ℝ³. Da φ = φ_C, ist die äquivalent zu B·M·α = C·A·α Kurzgesagt: M_A^B(φ) = B^-1 · C · A. Um dies zu bestimmen, wenden wir das Gaußverfahren auf folgendes augmentiertes System an ( B | C·A ) und reduzieren die linke Hälfte auf die Identitätsmatrix. Die resultierende Matrix in der rechten Hälfte wir dann M sein. Es gilt C·A = ( 4 0 -1 ) (3 0 4) ( 1 10 0 ) (0 -1 0) (1 0 0) = ( 11 0 16 ) ( 3 -10 4 ) Also ist das augmentiere System ( B | C·A ) = ( 4 0 | 11 0 16 ) ( 5 1 | 3 -10 4 ) Zeile2 <- 4*Zeile2 - 5*Zeile1 ~> ( 4 0 | 11 0 16 ) ( 0 4 | -43 -40 -64 ) Zeile1 <- Zeile1 : 4 Zeile2 <- Zeile2 : 4 ~> ( 1 0 | 11/4 0 4 ) ( 0 1 | -43/4 -10 -16 ) Darum gilt M_A^B(φ) = ( 11/4 0 4 ) ( -43/4 -10 -16 ) ## §3. Lineare Fortsetzung von partiell definierten Funktionen ## Sei φ : ℝ⁵ ⟶ ℝ³ Seien u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis für ℝ⁵. Seien v₁, v₂, v₃ Vektoren in ℝ³. Definiert werden φ(u₁) = v₁, φ(u₂) = v₂, φ(u₄) = v₃ **Aufgabe:** Gibt es eine lineare Abbildung, die die o. s. Gleichungen erfüllen? **Antwort:** Ja. **Beweis:** Setze φ(u₃) := 0 (Nullvektor) φ(u₅) := 0 (Nullvektor) Da u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ eine Basis ist, können wir für beliebiges x ∈ ℝ⁵ φ(x) = ∑ c_i · φ(ui) wobei c_1, c_2, .... die eindeutigen Werte im Körper ℝ sind, so dass x = ∑ c_i · ui gilt. Dann ist φ linear (zeige die Axiome!!). **QED**