## §1. Linear oder nicht? ## Betrachte φ : ℝ^3 ⟶ ℝ^2 definiert wie folgt und bestimme, in jedem Falle, ob φ linear ist. a) φ(x1, x2, x3) = ( 4·x1·x3 ) ( 10·x2 ) nicht linear b) φ(x1, x2, x3) = ( x3^2 ) ( 0 ) Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0, 0, 8) = 8·φ(0, 0, 1) gelten. Aber: φ(0, 0, 8) = (64, 0)^T 8·φ(0, 0, 1) = 8·(1, 0)^T = (8, 0)^T Also ist φ nicht linear, weil Homogenität verletzt wird. c) φ(x1, x2, x3) = ( x3 ) ( 0 ) linear d) φ(x1, x2, x3) = ( 0 ) ( 0 ) linear e) φ(x1, x2, x3) = ( 4 ) ( 0 ) Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2] Aber φ ist hier niemals der Nullvektor! Also ist φ nicht linear. f) φ(x1, x2, x3) = ( 10·x3 ) ( -x2 + x1 ) linear! f') φ(x1, x2, x3) = ( 1 - 10·x3 ) ( -x2 + x1 ) Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2] Aber φ(0) = (1, 0)^T. Also ist φ nicht linear. g) φ(x1, x2, x3) = ( exp(-(7·x2 + 8·x1)) ) ( 0 ) Wenn φ linear wäre, dann müsste φ(0) = 0 gelten. [Siehe Lemma 6.1.2] Aber φ(0) = (exp(0), 0)^T = (1, 0)^T. Also ist φ nicht linear. ## §2. Aufgaben ähnlich zu ÜB 10-2 ## Seien A = (u1, u2, u3) und B = (v1, v2), wobei u1 = (3, 0, 1)^T u2 = (0, -1, 0)^T u3 = (4, 0, 0)^T v1 = (4, 5)^T v2 = (0, 1)^T [√] A bildet eine Basis für ℝ^3 [√] B bildet eine Basis für ℝ^2 Sei nun φ : ℝ^3 ⟶ ℝ^2 definiert durch φ(x1, x2, x3) = ( 4·x1 - x3 ) ( 10·x2 + x1 ) ### Zur Linearität ### Seien (x1,x2,x3), (x1',x2',x3') ∈ ℝ^3 c, c' ∈ ℝ **Zu zeigen:** φ(c(x1, x2, x3) +c'(x1',x2',x3')) = c·φ(x1, x2, x3) +c'·φ(x1',x2',x3') Es gilt l. S. = φ(c(x1, x2, x3) +c'(x1',x2',x3')) = φ(c(x1·e1 + x2·e2 + x3·e3) +c'(x1'·e1 + x2'·e2 + x3'·e3)) = φ((c·x1 + c'·x1)·e1 + (c·x2 + c'·x2)·e2 + (c·x3 + c'·x3)·e3) = φ(c·x1 + c'·x1', c·x2 + c'·x2', c·x3 + c'·x3') = ( 4·(c·x1 + c'·x1') - (c·x3 + c'·x3') ) ( 10·(c·x2 + c'·x2') + (c·x1 + c'·x1') ) = ( c·(4·x1 - x3) + c'·(4·x1' - x3') ) ( c·(10·x2 + x1) + c'·(10·x2' + x1')) = c·( 4·x1 - x3 ) ( 10·x2 + x1 ) + c'·( 4·x1' - x3' ) ( 10·x2' + x1' ) = r. S. Darum ist φ linear. ### Darstellung ### Zunächst beobachten wir: φ(x1, x2, x3) = ( 4 0 -1 ) ( x1 ) ( 1 10 0 ) ( x2 ) ( x3 ) = C·x = φ_C(x) siehe [Skript, Bsp 6.2.2], wobei C die Matrix C = ( 4 0 -1 ) ( 1 10 0 ) ist. **Bemerkung.** Den vorherigen Teil konnten wir hiermit viel einfacher machen: Da φ_C linear ist (siehe [Skript, Bsp 6.2.2]), ist φ = φ_C linear. _Zurück zur Berechnung der Darstellung..._ Die zu berechnende Matrix M := M_A^B(φ), ist diejenige, die erfüllt: - ist x der Form x = ∑ α_j·u_j = (α_j) <--- als Vektor über Basis A - und ist M·(α_j) = (β_i) für einen Vektor (β_i) ∈ ℝ^2 - dann gilt φ(x) = y, wobei y = ∑ β_i·v_i Zusammengefasst ist M genau die Matrix, für die gilt: B·M·α = φ(A·α) für alle α ∈ ℝ^3. Da φ = φ_C, ist die äquivalent zu B·M·α = C·A·α Kurzgesagt: M_A^B(φ) = B^-1 · C · A. Um dies zu bestimmen, wenden wir das Gaußverfahren auf folgendes augmentiertes System an ( B | C·A ) und reduzieren die linke Hälfte auf die Identitätsmatrix. Die resultierende Matrix in der rechten Hälfte wir dann M sein. Es gilt C·A = ( 4 0 -1 ) (3 0 4) ( 1 10 0 ) (0 -1 0) (1 0 0) = ( 11 0 16 ) ( 3 -10 4 ) Also ist das augmentiere System ( B | C·A ) = ( 4 0 | 11 0 16 ) ( 5 1 | 3 -10 4 ) Zeile2 <- 4*Zeile2 - 5*Zeile1 ~> ( 4 0 | 11 0 16 ) ( 0 4 | -43 -40 -64 ) Zeile1 <- Zeile1 : 4 Zeile2 <- Zeile2 : 4 ~> ( 1 0 | 11/4 0 4 ) ( 0 1 | -43/4 -10 -16 ) Darum gilt M_A^B(φ) = ( 11/4 0 4 ) ( -43/4 -10 -16 ) ## §3. Lineare Fortsetzung von partiell definierten Funktionen ## Sei φ : ℝ^5 ⟶ ℝ^3 Seien u1, u2, u3, u4, u5 eine Basis für ℝ^5. Definiert werden φ(u1) = v1, φ(u2) = v2, φ(u4) = v3 **Aufgabe:** Gibt es eine lineare Abbildung, die die o. s. Gleichungen erfüllen? **Antwort:** Ja. **Beweis:** Setze φ(u3) := 0 (Nullvektor) φ(u5) := 0 (Nullvektor) Da u1, u2, u3, u4, u5 eine Basis ist, können wir für belieges x ∈ ℝ^5 φ(x) = ∑ c_i · φ(ui) wobei c_1, c_2, .... die eindeutigen Werte im Körper ℝ sind, so dass x = ∑ c_i · ui gilt. Dann ist φ linear (zeige die Axiome!!). **QED**