%% ********************************************************************************
%% AUTHOR:     Raj Dahya
%% CREATED:    November 2020
%% EDITED:     —
%% TYPE:       Notizen
%% TITLE:      Zusatzaufgaben
%% DOI:        —
%% DEPARTMENT: Fakultät for Mathematik und Informatik
%% INSTITUTE:  Universität Leipzig
%% ********************************************************************************

%% ********************************************************************************
%% DOCUMENT STRUCTURE:
%% ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
%%
%%   - root.tex;
%%    |
%%    ---- parameters.tex;
%%    |
%%    ---- ../loesungen/src/index.tex;
%%        |
%%        ---- ########;
%%        |
%%        ---- ../loesungen/src/setup-type.tex;
%%        |
%%        ---- ../loesungen/src/setup-packages.tex;
%%        |
%%        ---- ../loesungen/src/setup-parameters.tex;
%%        |
%%        ---- ../loesungen/src/setup-macros.tex;
%%        |
%%        ---- ../loesungen/src/setup-environments.tex;
%%        |
%%        ---- ../loesungen/src/setup-layout.tex;
%%        |
%%        ---- ../loesungen/src/setup-localmacros.tex;
%%    |
%%    ---- front/index.tex;
%%        |
%%        ---- front/title.tex;
%%        |
%%        ---- front/foreword.tex;
%%        |
%%        ---- front/contents.tex;
%%    |
%%    ---- body/index.tex;
%%        |
%%        ---- body/linear-extensions.tex;
%%    |
%%    ---- back/index.tex;
%%        |
%%        ---- ./../loesungen/back/quelle.bib;
%%
%% DOCUMENT-RANDOM-SEED: 5637845
%% ********************************************************************************

%% ********************************************************************************
%% FILE: root.tex
%% ********************************************************************************

%% ********************************************************************************
%% FILE: parameters.tex
%% ********************************************************************************

%% ********************************************************************************
%% FILE: ../loesungen/src/index.tex
%% ********************************************************************************

\makeatletter

%% ********************************************************************************
%% FILE: ../loesungen/src/setup-type.tex
%% ********************************************************************************

\documentclass[
    12pt,
    a4paper,
    oneside,
    openright,
    center,
    chapterbib,
    crosshair,
    fleqn,
    headcount,
    headline,
    indent,
    indentfirst=false,
    portrait,
    phonetic,
    oldernstyle,
    onecolumn,
    sfbold,
    upper,
]{scrbook}

%% ********************************************************************************
%% FILE: ../loesungen/src/setup-packages.tex
%% ********************************************************************************

\PassOptionsToPackage{T2A,OT1}{fontenc}   % T1,OT1,T2A,OT2
\PassOptionsToPackage{utf8}{inputenc} % utf8
\PassOptionsToPackage{british,english,ngerman,russian}{babel}
\PassOptionsToPackage{
    english,
    ngerman,
    russian,
    capitalise,
}{cleveref}
\PassOptionsToPackage{
    bookmarks=true,
    bookmarksopen=false,
    bookmarksopenlevel=0,
    bookmarkstype=toc,
    colorlinks=false,
    raiselinks=true,
    hyperfigures=true,
}{hyperref}
\PassOptionsToPackage{
    reset,
    left=1in,
    right=1in,
    top=20mm,
    bottom=20mm,
    heightrounded,
}{geometry}
\PassOptionsToPackage{
    framemethod=TikZ,
}{mdframed}
\PassOptionsToPackage{normalem}{ulem}
\PassOptionsToPackage{
    amsmath,
    thmmarks,
}{ntheorem}
\PassOptionsToPackage{table}{xcolor}
\PassOptionsToPackage{
    all,
    color,
    curve,
    frame,
    import,
    knot,
    line,
    movie,
    rotate,
    textures,
    tile,
    tips,
    web,
    xdvi,
}{xy}

\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{ntheorem} % <— muss nach den ams* Packages vorkommen!!
\usepackage{array}
\usepackage{babel}
\usepackage{bbding}
\usepackage{bbm}
\usepackage{calc}
\usepackage{sectsty}
\usepackage{titlesec}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{footmisc}
\usepackage{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{ifpdf}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{ifnextok}
\usepackage{longtable}
\usepackage{multicol}
\usepackage{multirow}
\usepackage{nameref}
\usepackage{nowtoaux}
\usepackage{paralist}
\usepackage{enumerate} %% nach [paralist]
\usepackage{pgf}
\usepackage{pgfplots}
\usepackage{proof}
\usepackage{refcount}
\usepackage{relsize}
\usepackage{savesym}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{subfigure}
\usepackage{yfonts}   %% <— Altgotische Fonts
\usepackage{tikz}
\usepackage{xy}
\usepackage{undertilde}
\usepackage{ulem} %% <– f\"ur besseren \underline-Befehl (\ul)
\usepackage{xcolor}
\usepackage{xspace}
\usepackage{xstring}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{cleveref} % must vor hyperref geladen werden.

\pgfplotsset{compat=newest}

\usetikzlibrary{
    angles,
    arrows,
    automata,
    calc,
    decorations,
    decorations.pathmorphing,
    decorations.pathreplacing,
    math,
    positioning,
    patterns,
    quotes,
    snakes,
}

%% \var ≈ alter Befehl
%% \xvar ≈ wie das neue Package \var interpretieren soll.
\savesymbol{Diamond}
\savesymbol{emptyset}
\savesymbol{ggg}
\savesymbol{int}
\savesymbol{lll}
\savesymbol{RectangleBold}
\savesymbol{langle}
\savesymbol{rangle}
\savesymbol{hookrightarrow}
\savesymbol{hookleftarrow}
\savesymbol{Asterisk}
\usepackage{mathabx}
\usepackage{wasysym}
\let\varemptyset=\emptyset
\restoresymbol{x}{Diamond}
\restoresymbol{x}{emptyset}
\restoresymbol{x}{ggg}
\restoresymbol{x}{int}
\restoresymbol{x}{lll}
\restoresymbol{x}{RectangleBold}
\restoresymbol{x}{langle}
\restoresymbol{x}{rangle}
\restoresymbol{x}{hookrightarrow}
\restoresymbol{x}{hookleftarrow}
\restoresymbol{x}{Asterisk}

\ifpdf
    \usepackage{pdfcolmk}
\fi

\usepackage{mdframed}

%% Force-Import aus MnSymbol
\DeclareFontFamily{U}{MnSymbolA}{}
\DeclareFontShape{U}{MnSymbolA}{m}{n}{
    <-6> MnSymbolA5
    <6-7> MnSymbolA6
    <7-8> MnSymbolA7
    <8-9> MnSymbolA8
    <9-10> MnSymbolA9
    <10-12> MnSymbolA10
    <12-> MnSymbolA12
}{}
\DeclareFontShape{U}{MnSymbolA}{b}{n}{
    <-6> MnSymbolA-Bold5
    <6-7> MnSymbolA-Bold6
    <7-8> MnSymbolA-Bold7
    <8-9> MnSymbolA-Bold8
    <9-10> MnSymbolA-Bold9
    <10-12> MnSymbolA-Bold10
    <12-> MnSymbolA-Bold12
}{}
\DeclareSymbolFont{MnSyA}{U}{MnSymbolA}{m}{n}
\DeclareMathSymbol{\lcirclearrowright}{\mathrel}{MnSyA}{252}
\DeclareMathSymbol{\lcirclearrowdown}{\mathrel}{MnSyA}{255}
\DeclareMathSymbol{\rcirclearrowleft}{\mathrel}{MnSyA}{250}
\DeclareMathSymbol{\rcirclearrowdown}{\mathrel}{MnSyA}{251}

\DeclareFontFamily{U}{MnSymbolC}{}
\DeclareSymbolFont{MnSyC}{U}{MnSymbolC}{m}{n}
\DeclareFontShape{U}{MnSymbolC}{m}{n}{
    <-6>  MnSymbolC5
    <6-7>  MnSymbolC6
    <7-8>  MnSymbolC7
    <8-9>  MnSymbolC8
    <9-10> MnSymbolC9
    <10-12> MnSymbolC10
    <12->   MnSymbolC12%
}{}
\DeclareMathSymbol{\powerset}{\mathord}{MnSyC}{180}

%% ********************************************************************************
%% FILE: ../loesungen/src/setup-parameters.tex
%% ********************************************************************************

\def\boolwahr{true}
\def\boolfalsch{false}
\def\boolleer{}

\let\documenttwosided\boolfalsch
\let\boolinappendix\boolfalsch
\let\boolinmdframed\boolfalsch
\let\eqtagset\boolfalsch
\let\eqtaglabel\boolleer
\let\eqtagsymb\boolleer

\newcount\bufferctr
\newcount\bufferreplace
\newcounter{columnanzahl}

\newlength\rtab
\newlength\gesamtlinkerRand
\newlength\gesamtrechterRand
\newlength\ownspaceabovethm
\newlength\ownspacebelowthm
\setlength{\rtab}{0.025\textwidth}
\setlength{\ownspaceabovethm}{0.5\baselineskip}
\setlength{\ownspacebelowthm}{0.5\baselineskip}
\setlength{\gesamtlinkerRand}{0pt}
\setlength{\gesamtrechterRand}{0pt}

\def\secnumberingpt{$\cdot$}
\def\secnumberingseppt{.}
\def\subsecnumberingseppt{}
\def\thmnumberingpt{$\cdot$}
\def\thmnumberingseppt{}
\def\thmForceSepPt{.}

\definecolor{leer}{gray}{1}
\definecolor{hellgrau}{gray}{0.85}
\definecolor{dunkelgrau}{gray}{0.5}
\definecolor{maroon}{rgb}{0.6901961,0.1882353,0.3764706}
\definecolor{dunkelgruen}{rgb}{0.015625,0.363281,0.109375}
\definecolor{dunkelrot}{rgb}{0.5450980392,0,0}
\definecolor{dunkelblau}{rgb}{0,0,0.5450980392}
\definecolor{blau}{rgb}{0,0,1}
\definecolor{newresult}{rgb}{0.6,0.6,0.6}
\definecolor{improvedresult}{rgb}{0.9,0.9,0.9}
\definecolor{hervorheben}{rgb}{0,0.9,0.7}
\definecolor{starkesblau}{rgb}{0.1019607843,0.3176470588,0.8156862745}
\definecolor{achtung}{rgb}{1,0.5,0.5}
\definecolor{frage}{rgb}{0.5,1,0.5}
\definecolor{schreibweise}{rgb}{0,0.7,0.9}
\definecolor{axiom}{rgb}{0,0.3,0.3}

%% ********************************************************************************
%% FILE: ../loesungen/src/setup-macros.tex
%% ********************************************************************************

%% ****************************************************************
%% TEX:
%% ****************************************************************

\def\let@name#1#2{\expandafter\let\csname #1\expandafter\endcsname\csname #2\endcsname\relax}
\DeclareRobustCommand\crfamily{\fontfamily{ccr}\selectfont}
\DeclareTextFontCommand{\textcr}{\crfamily}

\def\nichtzeigen#1{\phantom{#1}}

%% ****************************************************************
%% SPACING:
%% ****************************************************************

\def\ifthenelseleer#1#2#3{\ifthenelse{\equal{#1}{}}{#2}{#1#3}}
\def\bedingtesspaceexpand#1#2#3{\ifthenelseleer{\csname #1\endcsname}{#3}{#2#3}}
\def\voritemise{\leavevmode\nvraum{1}}
\def\hraum{\null\hfill\null}
\def\vraum{\null\vfill\null}
\def\nvraum{\@ifnextchar\bgroup{\nvraum@c}{\nvraum@bes}}
    \def\nvraum@c#1{\vspace*{-#1\baselineskip}}
    \def\nvraum@bes{\vspace*{-\baselineskip}}
\def\erlaubeplatz{\relax\ifmmode\else\@\xspace\fi}
\def\entferneplatz{\relax\ifmmode\else\expandafter\@gobble\fi}

%% ****************************************************************
%% TAGS / BEZEICHNUNGEN / LABELLING:
%% ****************************************************************

\def\send@toaux#1{\@bsphack\protected@write\@auxout{}{\string#1}\@esphack}

%% \rlabel{LABEL}[CTR]{CREF-SHORT}{CREF-LONG}{DISPLAYTEXT}
\def\rlabel#1[#2]#3#4#5{#5\rlabel@aux{#1}[#2]{#3}{#4}{#5}}
    \def\rlabel@aux#1[#2]#3#4#5{%
        \send@toaux{\newlabel{#1}{{\@currentlabel}{\thepage}{{\unexpanded{#5}}}{#2.\csname the#2\endcsname}{}}}\relax%
    }

%% \tag@rawscheme{CREF-SHORT}{CREF-LONG}[CTR]{LEFT-BRKT}{RIGHT-BRKT}    [LABEL]{DISPLAYTEXT}
\def\tag@rawscheme#1#2[#3]#4#5{\@ifnextchar[{\tag@rawscheme@{#1}{#2}[#3]{#4}{#5}}{\tag@rawscheme@{#1}{#2}[#3]{#4}{#5}[*]}}
    \def\tag@rawscheme@#1#2[#3]#4#5[#6]{\@ifnextchar\bgroup{\tag@rawscheme@@{#1}{#2}[#3]{#4}{#5}[#6]}{\tag@rawscheme@@{#1}{#2}[#3]{#4}{#5}[#6]{}}}
    \def\tag@rawscheme@@#1#2[#3]#4#5[#6]#7{%
        \ifthenelse{\equal{#6}{*}}{%
            \ifthenelse{\equal{#7}{\boolleer}}{\refstepcounter{#3}#4\csname the#3\endcsname#5}{#4#7#5}%
        }{%
            \refstepcounter{#3}#4%
            \ifthenelse{\equal{#7}{\boolleer}}{\rlabel{#6}[#3]{#1}{#2}{\csname the#3\endcsname}}{\rlabel{#6}[#3]{#1}{#2}{#7}}%
            #5%
        }%
    }
%% \tag@scheme{CREF-SHORT}{CREF-LONG}[CTR]    [LABEL]{DISPLAYTEXT}
\def\tag@scheme#1#2[#3]{\tag@rawscheme{#1}{#2}[#3]{\upshape(}{\upshape)}}

%% \eqtag[LABEL]{DISPLAYTEXT}
\def\eqtag@post#1{\makebox[0pt][r]{#1}}
\def\eqtag@pre{\tag@scheme{Eq}{Equation}[Xe]}
\def\eqtag{\@ifnextchar[{\eqtag@}{\eqtag@[*]}}
    \def\eqtag@[#1]{\@ifnextchar\bgroup{\eqtag@@[#1]}{\eqtag@@[#1]{}}}
    \def\eqtag@@[#1]#2{\eqtag@post{\eqtag@pre[#1]{#2}}}

\def\eqcref#1{\text{(\ref{#1})}}
\def\ptcref#1{\ref{#1}}
\def\punktlabel#1{\label{it:#1:\beweislabel}}
\def\punktcref#1{\eqcref{it:#1:\beweislabel}}
\def\crefit#1#2{\cref{#1}~\eqcref{it:#2:#1}}
\def\Crefit#1#2{\Cref{#1}~\eqcref{it:#2:#1}}

%% UNDER/OVERSET BEFEHLE
\def\opfromto[#1]_#2^#3{\underset{#2}{\overset{#3}{#1}}}
\def\textoverset#1#2{\overset{\text{#1}}{#2}}
\def\textunderset#1#2{\underset{#2}{\text{#1}}}
\def\crefoverset#1#2{\textoverset{\cref{#1}}{#2}}
\def\Crefoverset#1#2{\textoverset{\Cref{#1}}{#2}}
\def\crefunderset#1#2{\textunderset{#2}{\cref{#1}}}
\def\Crefunderset#1#2{\textunderset{#2}{\Cref{#1}}}
\def\eqcrefoverset#1#2{\textoverset{\eqcref{#1}}{#2}}
\def\eqcrefunderset#1#2{\textunderset{#2}{\eqcref{#1}}}
\def\mathclap#1{#1}
\def\oberunterset#1{\@ifnextchar^{\oberunterset@oben{#1}}{\oberunterset@unten{#1}}}
    \def\oberunterset@oben#1^#2_#3{\underset{\mathclap{#3}}{\overset{\mathclap{#2}}{#1}}}
    \def\oberunterset@unten#1_#2^#3{\underset{\mathclap{#2}}{\overset{\mathclap{#3}}{#1}}}
    \def\breitunderbrace#1_#2{\underbrace{#1}_{\mathclap{#2}}}
    \def\breitoverbrace#1^#2{\overbrace{#1}^{\mathclap{#2}}}
    \def\breitunderbracket#1_#2{\underbracket{#1}_{\mathclap{#2}}}
    \def\breitoverbracket#1^#2{\overbracket{#1}^{\mathclap{#2}}}

\def\generatenestedsecnumbering#1#2#3{%
    \expandafter\gdef\csname thelong#3\endcsname{%
        \expandafter\csname the#2\endcsname%
        \secnumberingpt%
        \expandafter\csname #1\endcsname{#3}%
    }%
    \expandafter\gdef\csname theshort#3\endcsname{%
        \expandafter\csname #1\endcsname{#3}%
    }%
}
\def\generatenestedthmnumbering#1#2#3{%
    \expandafter\gdef\csname the#3\endcsname{%
        \expandafter\csname the#2\endcsname%
        \thmnumberingpt%
        \expandafter\csname #1\endcsname{#3}%
    }%
    \expandafter\gdef\csname theshort#3\endcsname{%
        \expandafter\csname #1\endcsname{#3}%
    }%
}

%% ****************************************************************
%% ALLG. MACROS:
%% ****************************************************************

\def\+#1{\addtocounter{#1}{1}}
\def\setcounternach#1#2{\setcounter{#1}{#2}\addtocounter{#1}{-1}}
\def\textsubscript#1{${}_{\textup{#1}}$}
\def\rome#1{\overline{\underline{#1}}}
\def\textTODO{\text{[{\large\textcolor{red}{More work needed!}}]}}
\def\hlineEIGENpt{\hdashline[0.5pt/5pt]}
\def\clineEIGENpt#1{\cdashline{#1}[0.5pt/5pt]}

\def\forcepunkt#1{#1\IfEndWith{#1}{.}{}{.}}
\def\lateinabkuerzung#1#2{%
    \expandafter\gdef\csname #1\endcsname{\emph{#2}\@ifnextchar.{\entferneplatz}{\erlaubeplatz}}
}
\def\deutscheabkuerzung#1#2{%
    \expandafter\gdef\csname #1\endcsname{{#2}\@ifnextchar.{\entferneplatz}{\erlaubeplatz}}
}

%% ****************************************************************
%% MATHE
%% ****************************************************************

\def\matrix#1{\left(\begin{array}{#1}}
    \def\endmatrix{\end{array}\right)}
\def\smatrix{\left(\begin{smallmatrix}}
    \def\endsmatrix{\end{smallmatrix}\right)}

\def\multiargrekursiverbefehl#1#2#3#4#5#6#7#8{%
    \expandafter\gdef\csname#1\endcsname #2##1#4{\csname #1@anfang\endcsname##1#3\egroup}
    \expandafter\def\csname #1@anfang\endcsname##1#3{#5##1\@ifnextchar\egroup{\csname #1@ende\endcsname}{#7\csname #1@mitte\endcsname}}
    \expandafter\def\csname #1@mitte\endcsname##1#3{#6##1\@ifnextchar\egroup{\csname #1@ende\endcsname}{#7\csname #1@mitte\endcsname}}
    \expandafter\def\csname #1@ende\endcsname##1{#8}
}
\multiargrekursiverbefehl{svektor}{[}{;}{]}{\begin{smatrix}}{}{\\}{\\\end{smatrix}}
\multiargrekursiverbefehl{vektor}{[}{;}{]}{\begin{matrix}{c}}{}{\\}{\\\end{matrix}}
\multiargrekursiverbefehl{vektorzeile}{}{,}{;}{}{&}{}{}
\multiargrekursiverbefehl{matlabmatrix}{[}{;}{]}{\begin{smatrix}\vektorzeile}{\vektorzeile}{;\\}{;\end{smatrix}}

\def\cases[#1]#2{\left\{\begin{array}[#1]{#2}}
    \def\endcases{\end{array}\right.}

\def\BeweisRichtung[#1]{\@ifnextchar\bgroup{\@BeweisRichtung@c[#1]}{\@BeweisRichtung@bes[#1]}}
    \def\@BeweisRichtung@bes[#1]{{\bfseries(#1).~}}
    \def\@BeweisRichtung@c[#1]#2#3{{\bfseries(#2#1#3).~}}
\def\erzeugeBeweisRichtungBefehle#1#2{
    \expandafter\gdef\csname #1text\endcsname##1##2{\BeweisRichtung[#2]{##1}{##2}}
    \expandafter\gdef\csname #1\endcsname{%
        \@ifnextchar\bgroup{\csname #1@\endcsname}{\csname #1text\endcsname{}{}}%
    }
    \expandafter\gdef\csname #1@\endcsname##1##2{%
        \csname #1text\endcsname{\punktcref{##1}}{\punktcref{##2}}%
    }
}
\erzeugeBeweisRichtungBefehle{hinRichtung}{$\Longrightarrow$}
\erzeugeBeweisRichtungBefehle{herRichtung}{$\Longleftarrow$}
\erzeugeBeweisRichtungBefehle{hinherRichtung}{$\Longleftrightarrow$}

\def\cal#1{\mathcal{#1}}
\def\brkt#1{\langle{}#1{}\rangle}
\def\mathfrak#1{\mbox{\usefont{U}{euf}{m}{n}#1}}
\def\kurs#1{\textit{#1}}
\def\rectangleblack{\text{\RectangleBold}}
\def\rectanglewhite{\text{\Rectangle}}
\def\squareblack{\blacksquare}
\def\squarewhite{\Box}

%% ********************************************************************************
%% FILE: ../loesungen/src/setup-environments.tex
%% ********************************************************************************

%% **********************************************************************
%% CLEVEREF: ************************************************************

    \def\crefname@full#1#2#3{\crefname{#1}{#2}{#3}\Crefname{#1}{#2}{#3}}
    \crefname@full{chapter}{Kapitel}{Kapitel}
    \crefname@full{section}{Abschnitt}{Abschnitte}
    \crefname@full{figure}{Fig.}{Fig.}
    \crefname@full{subfigure}{Fig.}{Fig.}

    \crefname@full{proof}{Beweis}{Beweise}
    \crefname@full{thm}{Theorem}{Theoreme}
    \crefname@full{satz}{Satz}{Sätze}
    \crefname@full{claim}{Behauptung}{Behauptungen}
    \crefname@full{lemm}{Lemma}{Lemmata}
    \crefname@full{cor}{Korollar}{Korollarien}
    \crefname@full{folg}{Folgerung}{Folgerungen}
    \crefname@full{prop}{Proposition}{Propositionen}
    \crefname@full{defn}{Definition}{Definitionen}
    \crefname@full{conv}{Konvention}{Konventionen}
    \crefname@full{fact}{Fakt}{Fakten}
    \crefname@full{rem}{Bemerkung}{Bemerkungen}
    \crefname@full{qstn}{Frage}{Fragen}
    \crefname@full{e.g.}{Beipsiel}{Beipsiele}

%% ****************************************************************
%% THEOREME:
%% ****************************************************************

    \def\qedEIGEN#1{\@ifnextchar[{\qedEIGEN@c{#1}}{\qedEIGEN@bes{#1}}}%]
    \def\qedEIGEN@bes#1{%
        \parfillskip=0pt%            % so \par doesnt push \square to left
        \widowpenalty=10000%         % so we dont break the page before \square
        \displaywidowpenalty=10000%  % ditto
        \finalhyphendemerits=0%      % TeXbook exercise 14.32
        \leavevmode%                 % \nobreak means lines not pages
        \unskip%                     % remove previous space or glue
        \nobreak%                    % don’t break lines
        \hfil%                       % ragged right if we spill over
        \penalty50%                  % discouragement to do so
        \hskip.2em%                  % ensure some space
        \null%                       % anchor following \hfill
        \hfill%                      % push \square to right
        #1%                          % the end-of-proof mark
        \par%
    }
    \def\qedEIGEN@c#1[#2]{%
        \parfillskip=0pt%            % so \par doesnt push \square to left
        \widowpenalty=10000%         % so we dont break the page before \square
        \displaywidowpenalty=10000%  % ditto
        \finalhyphendemerits=0%      % TeXbook exercise 14.32
        \leavevmode%                 % \nobreak means lines not pages
        \unskip%                     % remove previous space or glue
        \nobreak%                    % don’t break lines
        \hfil%                       % ragged right if we spill over
        \penalty50%                  % discouragement to do so
        \hskip.2em%                  % ensure some space
        \null%                       % anchor following \hfill
        \hfill%                      % push \square to right
        {#1~{\smaller\bfseries\upshape (#2)}}%
        \par%
    }
    \def\qedVARIANT#1#2{
        \expandafter\def\csname ennde#1Sign\endcsname{#2}
        \expandafter\def\csname ennde#1\endcsname{\@ifnextchar[{\qedEIGEN@c{#2}}{\qedEIGEN@bes{#2}}} %]
    }
    \qedVARIANT{OfProof}{$\squareblack$}
    \qedVARIANT{OfWork}{\rectangleblack}
    \qedVARIANT{OfSomething}{$\dashv$}
    \qedVARIANT{OnNeutral}{$\lozenge$} % \lozenge \bigcirc \blacklozenge
    \def\qedsymbol{\enndeOfProofSign}
    \def\proofSymbol{\enndeOfProofSign}

    \def\ra@pretheoremwork{
        \setlength{\theorempreskipamount}{\ownspaceabovethm}
    }
    \def\rathmtransfer#1#2{
        \expandafter\def\csname #2\endcsname{\csname #1\endcsname}
        \expandafter\def\csname end#2\endcsname{\csname end#1\endcsname}
    }

    \def\ranewthm#1#2#3[#4]{
        %% FOR \BEGIN{THM}
        \theoremstyle{\current@theoremstyle}
        \theoremseparator{\current@theoremseparator}
        \theoremprework{\ra@pretheoremwork}
        \@ifundefined{#1@basic}{\newtheorem{#1@basic}[#4]{#2}}{\renewtheorem{#1@basic}[#4]{#2}}
        %% FOR \BEGIN{THM}[...]
        \theoremstyle{\current@theoremstyle}
        \theoremseparator{\thmForceSepPt}
        \theoremprework{\ra@pretheoremwork}
        \@ifundefined{#1@withName}{\newtheorem{#1@withName}[#4]{#2}}{\renewtheorem{#1@withName}[#4]{#2}}
        %% FOR \BEGIN{THM*}
        \theoremstyle{nonumberplain}
        \theoremseparator{\thmForceSepPt}
        \theoremprework{\ra@pretheoremwork}
        \@ifundefined{#1@star@basic}{\newtheorem{#1@star@basic}[#4]{#2}}{\renewtheorem{#1@star@basic}[#4]{#2}}
        %% FOR \BEGIN{THM*}[...]
        \theoremstyle{nonumberplain}
        \theoremseparator{\thmForceSepPt}
        \theoremprework{\ra@pretheoremwork}
        \@ifundefined{#1@star@withName}{\newtheorem{#1@star@withName}[#4]{#2}}{\renewtheorem{#1@star@withName}[#4]{#2}}
        %% GENERATE ENVIRONMENTS:
        \umbauenenv{#1}{#3}[#4]
        \umbauenenv{#1@star}{#3}[#4]
        %% TRANSFER *-DEFINITION
        \rathmtransfer{#1@star}{#1*}
    }

    \def\umbauenenv#1#2[#3]{%
        %% \BEGIN{THM}...
        \expandafter\def\csname #1\endcsname{\relax%
            \@ifnextchar[{\csname #1@\endcsname}{\csname #1@\endcsname[*]}%
        }
        %% \BEGIN{THM}[ANFANG]...
        \expandafter\def\csname #1@\endcsname[##1]{\relax%
            \@ifnextchar[{\csname #1@@\endcsname[##1]}{\csname #1@@\endcsname[##1][*]}%
        }
        %% \BEGIN{THM}[ANFANG][SCHLUSS]
        \expandafter\def\csname #1@@\endcsname[##1][##2]{%
            \ifx*##1%
                \def\enndeOfBlock{\csname end#1@basic\endcsname}
                \csname #1@basic\endcsname%
            \else%
                \def\enndeOfBlock{\csname end#1@withName\endcsname}
                \csname #1@withName\endcsname[##1]%
            \fi%
            \def\makelabel####1{%
                \gdef\beweislabel{####1}%
                \label{\beweislabel}%
            }%
            \ifx*##2%
                \def\enndeSymbol{\qedEIGEN{#2}}
            \else%
                \def\enndeSymbol{\qedEIGEN{#2}[##2]}
            \fi
        }
        %% \END{THM}
        \expandafter\gdef\csname end#1\endcsname{\enndeSymbol\enndeOfBlock}
    }

    %% NEWTHEOREM EINSTELLUNGSOPTIONEN:
    %% F\"UR \theoremstyle
    %% plain            Emulates original LATEX defin, except uses param \theorem...skipamount.
    %% break            Header followed by line break.
    %% change            Header, Number and Text are interchanged, without a line break.
    %% changebreak        =change, but with a line break after Header.
    %% margin            Number in left margin, without a line break.
    %% marginbreak        =margin, but with a line break after the header.
    %% nonumberplain    =plain, without number.
    %% nonumberbreak    =break, without number.
    %% empty            No number, no name. Only the optional argument is typeset.
    %%    \theoremclass \theoremnumbering
    %%    \theorempreskip \theorempostkip \theoremindent
    %%    \theoremprework \theorempostwork

        \def\current@theoremstyle{plain}
        \def\current@theoremseparator{\thmnumberingseppt}
        \theoremstyle{\current@theoremstyle}
        \theoremseparator{\current@theoremseparator}
        \theoremsymbol{}

    \newtheorem{X}{X}[chapter] % for most theorems
    \newtheorem{Xe}{Xe}[chapter] % for equations
    \newtheorem*{Xdisplaynone}{Xdisplaynone}[chapter] % a dummy counter, that will never be displayed.
    \newtheorem{Xsp}{Xsp}[chapter] % for special theorems
    \generatenestedthmnumbering{arabic}{chapter}{X}
    \generatenestedthmnumbering{arabic}{chapter}{Xe}
    \generatenestedthmnumbering{Roman}{chapter}{Xsp}
    \let\theXsp\theshortXsp

        \theoremheaderfont{\upshape\bfseries}
        \theorembodyfont{\slshape}

    \ranewthm{thm}{Theorem}{\enndeOnNeutralSign}[X]
    \ranewthm{satz}{Satz}{\enndeOnNeutralSign}[X]
    \ranewthm{claim}{Behauptung}{\enndeOnNeutralSign}[X]
    \ranewthm{lemm}{Lemma}{\enndeOnNeutralSign}[X]
    \ranewthm{cor}{Korollar}{\enndeOnNeutralSign}[X]
    \ranewthm{folg}{Folgerung}{\enndeOnNeutralSign}[X]
    \ranewthm{prop}{Proposition}{\enndeOnNeutralSign}[X]

        \theorembodyfont{\upshape}

    \ranewthm{defn}{Definition}{\enndeOnNeutralSign}[X]
    \ranewthm{conv}{Konvention}{\enndeOnNeutralSign}[X]
    \ranewthm{obs}{Beobachtung}{\enndeOnNeutralSign}[X]
    \ranewthm{e.g.}{Beipsiel}{\enndeOnNeutralSign}[X]
    \ranewthm{fact}{Fakt}{\enndeOnNeutralSign}[X]
    \ranewthm{rem}{Bemerkung}{\enndeOnNeutralSign}[X]
    \ranewthm{qstn}{Frage}{\enndeOnNeutralSign}[X]
    \ranewthm{exer}{Aufgabe}{\enndeOnNeutralSign}[X]
    \ranewthm{soln}{Lösung}{\enndeOnNeutralSign}[X]

        \theoremheaderfont{\itshape\bfseries}
        \theorembodyfont{\upshape}

    \ranewthm{proof@tmp}{Beweis}{\enndeOfProofSign}[Xdisplaynone]
    \rathmtransfer{proof@tmp*}{proof}

    \def\behauptungbeleg@claim{%
        \iflanguage{british}{Claim}{%
        \iflanguage{english}{Claim}{%
        \iflanguage{ngerman}{Behauptung}{%
        \iflanguage{russian}{Утверждение}{%
        Claim%
        }}}}%
    }
    \def\behauptungbeleg@pf@kurz{%
        \iflanguage{british}{Pf}{%
        \iflanguage{english}{Pf}{%
        \iflanguage{ngerman}{Bew}{%
        \iflanguage{russian}{Доказательство}{%
        Pf%
        }}}}%
    }
    \def\behauptungbeleg{\@ifnextchar\bgroup{\behauptungbeleg@c}{\behauptungbeleg@bes}}
            \def\behauptungbeleg@c#1{\item[{\bfseries \behauptungbeleg@claim\erlaubeplatz #1.}]}
            \def\behauptungbeleg@bes{\item[{\bfseries \behauptungbeleg@claim.}]}
        \def\belegbehauptung{\item[{\bfseries\itshape\behauptungbeleg@pf@kurz.}]}

%% ****************************************************************
%% ALTE UMGEBUNGEN:
%% ****************************************************************

    \newcolumntype{\RECHTS}[1]{>{\raggedleft}p{#1}}
    \newcolumntype{\LINKS}[1]{>{\raggedright}p{#1}}
    \newcolumntype{m}{>{$}l<{$}}
    \newcolumntype{C}{>{$}c<{$}}
    \newcolumntype{L}{>{$}l<{$}}
    \newcolumntype{R}{>{$}r<{$}}
    \newcolumntype{0}{@{\hspace{0pt}}}
    \newcolumntype{\LINKSRAND}{@{\hspace{\@totalleftmargin}}}
    \newcolumntype{h}{@{\extracolsep{\fill}}}
    \newcolumntype{i}{>{\itshape}}
    \newcolumntype{t}{@{\hspace{\tabcolsep}}}
    \newcolumntype{q}{@{\hspace{1em}}}
    \newcolumntype{n}{@{\hspace{-\tabcolsep}}}
    \newcolumntype{M}[2]{%
        >{\begin{minipage}{#2}\begin{math}}%
        {#1}%
        <{\end{math}\end{minipage}}%
    }
    \newcolumntype{T}[2]{%
        >{\begin{minipage}{#2}}%
        {#1}%
        <{\end{minipage}}%
    }
    \setlength{\LTpre}{\baselineskip}
    \setlength{\LTpost}{0pt}
    \def\center{\centering}
        \def\endcenter{}

    \def\punkteumgebung@genbefehl#1#2#3{
        \punkteumgebung@genbefehl@{#1}{#2}{#3}{}{}
        \punkteumgebung@genbefehl@{multi#1}{#2}{#3}{
            \setlength{\columnsep}{10pt}%
            \setlength{\columnseprule}{0pt}%
            \begin{multicols}{\thecolumnanzahl}%
        }{\end{multicols}\nvraum{1}}
    }
    \def\punkteumgebung@genbefehl@#1#2#3#4#5{
        \expandafter\gdef\csname #1\endcsname{
            \@ifnextchar\bgroup{\csname #1@c\endcsname}{\csname #1@bes\endcsname}
        }%]
            \expandafter\def\csname #1@c\endcsname##1{
                \@ifnextchar[{\csname #1@c@\endcsname{##1}}{\csname #1@c@\endcsname{##1}[\z@]}
            }%]
            \expandafter\def\csname #1@c@\endcsname##1[##2]{
                \@ifnextchar[{\csname #1@c@@\endcsname{##1}[##2]}{\csname #1@c@@\endcsname{##1}[##2][\z@]}
            }%]
            \expandafter\def\csname #1@c@@\endcsname##1[##2][##3]{
                \let\alterlinkerRand\gesamtlinkerRand
                \let\alterrechterRand\gesamtrechterRand
                \addtolength{\gesamtlinkerRand}{##2}
                \addtolength{\gesamtrechterRand}{##3}
                \advance\linewidth -##2%
                \advance\linewidth -##3%
                \advance\@totalleftmargin ##2%
                \parshape\@ne \@totalleftmargin\linewidth%
                #4
                \begin{#2}[\upshape ##1]%
                    \setlength{\parskip}{0.5\baselineskip}\relax%
                    \setlength{\topsep}{\z@}\relax%
                    \setlength{\partopsep}{\z@}\relax%
                    \setlength{\parsep}{\parskip}\relax%
                    \setlength{\itemsep}{#3}\relax%
                    \setlength{\listparindent}{\z@}\relax%
                    \setlength{\itemindent}{\z@}\relax%
            }
            \expandafter\def\csname #1@bes\endcsname{
                \@ifnextchar[{\csname #1@bes@\endcsname}{\csname #1@bes@\endcsname[\z@]}
            }%]
            \expandafter\def\csname #1@bes@\endcsname[##1]{
                \@ifnextchar[{\csname #1@bes@@\endcsname[##1]}{\csname #1@bes@@\endcsname[##1][\z@]}
            }%]
            \expandafter\def\csname #1@bes@@\endcsname[##1][##2]{
                \let\alterlinkerRand\gesamtlinkerRand
                \let\alterrechterRand\gesamtrechterRand
                \addtolength{\gesamtlinkerRand}{##1}
                \addtolength{\gesamtrechterRand}{##2}
                \advance\linewidth -##1%
                \advance\linewidth -##2%
                \advance\@totalleftmargin ##1%
                \parshape\@ne \@totalleftmargin\linewidth%
                #4
                \begin{#2}%
                    \setlength{\parskip}{0.5\baselineskip}\relax%
                    \setlength{\topsep}{\z@}\relax%
                    \setlength{\partopsep}{\z@}\relax%
                    \setlength{\parsep}{\parskip}\relax%
                    \setlength{\itemsep}{#3}\relax%
                    \setlength{\listparindent}{\z@}\relax%
                    \setlength{\itemindent}{\z@}\relax%
            }
        \expandafter\gdef\csname end#1\endcsname{%
            \end{#2}#5
            \setlength{\gesamtlinkerRand}{\alterlinkerRand}
            \setlength{\gesamtlinkerRand}{\alterrechterRand}
        }
    }

    \def\ritempunkt{{\Large\textbullet}} % \textbullet, $\sqbullet$, $\blacktriangleright$
    \setdefaultitem{\ritempunkt}{\ritempunkt}{\ritempunkt}{\ritempunkt}
    \punkteumgebung@genbefehl{itemise}{compactitem}{\parskip}{}{}
    \punkteumgebung@genbefehl{kompaktitem}{compactitem}{\z@}{}{}
    \punkteumgebung@genbefehl{enumerate}{compactenum}{\parskip}{}{}
    \punkteumgebung@genbefehl{kompaktenum}{compactenum}{\z@}{}{}

    \let\ALTthebibliography\thebibliography
    \renewenvironment{thebibliography}[1]{%
        \begin{ALTthebibliography}{#1}
        \addcontentsline{toc}{part}{\bibname}
    }{%
        \end{ALTthebibliography}
    }

%% ****************************************************************
%% NEUE UMGEBUNGEN:
%% ****************************************************************

    \def\matrix#1{\left(\begin{array}[mc]{#1}}
        \def\endmatrix{\end{array}\right)}
    \def\smatrix{\left(\begin{smallmatrix}}
        \def\endsmatrix{\end{smallmatrix}\right)}
    \def\vector{\begin{matrix}{c}}
        \def\endvector{\end{matrix}}
    \def\svector{\begin{smatrix}}
        \def\endsvector{\end{smatrix}}

    \def\multiargrekursiverbefehl#1#2#3#4#5#6#7#8{%
        \expandafter\gdef\csname#1\endcsname #2##1#4{\csname #1@anfang\endcsname##1#3\egroup}
        \expandafter\def\csname #1@anfang\endcsname##1#3{#5##1\@ifnextchar\egroup{\csname #1@ende\endcsname}{#7\csname #1@mitte\endcsname}}
        \expandafter\def\csname #1@mitte\endcsname##1#3{#6##1\@ifnextchar\egroup{\csname #1@ende\endcsname}{#7\csname #1@mitte\endcsname}}
        \expandafter\def\csname #1@ende\endcsname##1{#8}
    }
    \multiargrekursiverbefehl{svektor}{[}{;}{]}{\begin{smatrix}}{}{\\}{\\\end{smatrix}}
    \multiargrekursiverbefehl{vektor}{[}{;}{]}{\begin{matrix}{c}}{}{\\}{\\\end{matrix}}
    \multiargrekursiverbefehl{vektorzeile}{}{,}{;}{}{&}{}{}
    \multiargrekursiverbefehl{matlabmatrix}{[}{;}{]}{\begin{smatrix}\vektorzeile}{\vektorzeile}{;\\}{;\end{smatrix}}

    \def\underbracenodisplay#1{%
        \mathop{\vtop{\m@th\ialign{##\crcr
        $\hfil\displaystyle{#1}\hfil$\crcr
        \noalign{\kern3\p@\nointerlineskip}%
        \upbracefill\crcr\noalign{\kern3\p@}}}}\limits%
    }

    \def\mathe[#1]#2{%
        \ifthenelse{\equal{\boolinmdframed}{\boolwahr}}{}{\begin{escapeeinzug}}
        \noindent%
        \let\eqtagset\boolfalsch
        \let\eqtaglabel\boolleer
        \let\eqtagsymb\boolleer
        \let\alteqtag\eqtag
        \def\eqtag{\@ifnextchar[{\eqtag@loc@}{\eqtag@loc@[*]}}%
        \def\eqtag@loc@[##1]{\@ifnextchar\bgroup{\eqtag@loc@@[##1]}{\eqtag@loc@@[##1]{}}}%
        \def\eqtag@loc@@[##1]##2{%
            \gdef\eqtagset{\boolwahr}
            \gdef\eqtaglabel{##1}
            \gdef\eqtagsymb{##2}
        }%
        \def\verticalalign{}%
            \IfBeginWith{#1}{t}{\def\verticalalign{t}}{}%
            \IfBeginWith{#1}{m}{\def\verticalalign{c}}{}%
            \IfBeginWith{#1}{b}{\def\verticalalign{b}}{}%
        \def\horizontalalign{\null\hfill\null}%
            \IfEndWith{#1}{l}{}{\null\hfill\null}%
            \IfEndWith{#1}{r}{\def\horizontalalign{}}{}%
        \begin{math}
        \begin{array}[\verticalalign]{0#2}%
    }
        \def\endmathe{%
            \end{array}
            \end{math}\horizontalalign%
            \let\eqtag\alteqtag
            \ifthenelse{\equal{\eqtagset}{\boolwahr}}{\eqtag[\eqtaglabel]{\eqtagsymb}}{}
            \ifthenelse{\equal{\boolinmdframed}{\boolwahr}}{}{\end{escapeeinzug}}%
        }

    \def\longmathe[#1]#2{\relax
        \let\altarraystretch\arraystretch
        \renewcommand\arraystretch{1.2}\relax
        \begin{longtable}[#1]{\LINKSRAND #2}
    }
        \def\endlongmathe{
            \end{longtable}
            \renewcommand\arraystretch{\altarraystretch}
        }

    \def\einzug{\@ifnextchar[{\indents@}{\indents@[\z@]}}%]
        \def\indents@[#1]{\@ifnextchar[{\indents@@[#1]}{\indents@@[#1][\z@]}}%]
        \def\indents@@[#1][#2]{%
            \begin{list}{}{\relax
                \setlength{\topsep}{\z@}\relax
                \setlength{\partopsep}{\z@}\relax
                \setlength{\parsep}{\parskip}\relax
                \setlength{\listparindent}{\z@}\relax
                \setlength{\itemindent}{\z@}\relax
                \setlength{\leftmargin}{#1}\relax
                \setlength{\rightmargin}{#2}\relax
                \let\alterlinkerRand\gesamtlinkerRand
                \let\alterrechterRand\gesamtrechterRand
                \addtolength{\gesamtlinkerRand}{#1}
                \addtolength{\gesamtrechterRand}{#2}
            }\relax
                \item[]\relax
        }
            \def\endeinzug{%
                \setlength{\gesamtlinkerRand}{\alterlinkerRand}
                \setlength{\gesamtlinkerRand}{\alterrechterRand}
                \end{list}%
            }

    \def\escapeeinzug{\begin{einzug}[-\gesamtlinkerRand][-\gesamtrechterRand]}
        \def\endescapeeinzug{\end{einzug}}

    \def\programmiercode{
        \modulolinenumbers[1]
        \begin{einzug}[\rtab][\rtab]%
        \begin{linenumbers}%
            \fontfamily{cmtt}\fontseries{m}\fontshape{u}\selectfont%
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    %% Undesirable solution, as the text is not hyperlinked.
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\let\cleardoublepage\clearpage

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%% MATHE:
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\begin{document}
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\begin{titlepage}
    \null

    \vraum

    \noindent\rule{\linewidth}{2pt}

        {\hraum\LARGE Lineare Algebra I\hraum}\\
        {\hraum\LARGE $\oast$\,\rule[0.175\baselineskip]{0.65\linewidth}{1pt}\,$\oast$ \hraum}\\
        {\hraum\Large Zusatzaufgaben aus der Übungsgruppe\hraum}

    \noindent\rule{\linewidth}{2pt}

    \vraum

    \noindent
    \hraum{\footnotesize Raj Dahya}\hraum\\
    \hraum{\small \itshape Fakultät für Mathematik und Informatik}\hraum\\
    \hraum{\small \itshape Universität Leipzig.}\hraum\\
    \hraum{\small Wintersemester 2020/2021 }\hraum
\end{titlepage}

%% ********************************************************************************
%% FILE: front/foreword.tex
%% ********************************************************************************

\chapter*{Vorwort}

Dieses Dokument enthält zusätzliche Aufgaben und Themen,
die in den Übungsgruppen erörtert wurden.

%% ********************************************************************************
%% FILE: front/contents.tex
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\kopfzeiledefault
\footnotesize
\setcounter{tocdepth}{1}
\def\contentsname{Inhaltsverzeichnis}

    \tableofcontents

    %% HAUPTTEXT:

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\def\chaptername{}

%% ********************************************************************************
%% FILE: body/linear-extensions.tex
%% ********************************************************************************

\chapter[Lineare Ausdehnung]{Lineare Ausdehnung}
    \label{ch:lin-ext}

In der Übungsgruppe in Woche 12 (am 3.2.2021) diskutierten wir
verzwickte Situationen und Fragentypen, die zum Thema linearer Ausdehnung vorkommen können.
Wir hatten das größtenteils theoretisch ausgelegt.
Hier wollen wir ein paar Aufgaben komplett durchrechnen.

\textbf{Beachte!} Hier geht es niemals darum,
eine lineare Ausdehnung \emph{exmplizit darzustellen},
sondern vielmehr
(1) \cite[Satz~6.1.13]{sinn2020} als zentrales Resultat anzuwenden,
(2) eine Basis aus den Inputvektoren zu generieren
    (ggf. durch Entfernung von „linear abhängigen“ Vektoren, ggf. durch Basiserweiterung, ggf. durch beides!)
(3) die Input und Outputvektoren in der partielldefinierten Funktion
zu untersuchen, und \uline{rein aufgrund dessen} ein Urteil zu treffen,
ob
    (3a) eine lineare Ausdehnung überhaupt möglich ist,
    (3b) eine injektive/nicht injektive lineare Ausdehnung möglich ist,
    (3c) eine surjektive/nicht surjektive lineare Ausdehnung möglich ist,
    (3d) eine Isomorphismus (=Bijektion)/nicht-Isomorphismus als lineare Ausdehnung möglich ist.

Nun, im Falle von Funktionen ${\phi:U\to V}$, wobei $U,V$ Vektorräume mit $\dim(U)=\dim(V)$,
sind wegen \cite[Korollar~6.1.11]{sinn2020} die Nebenfragen (3a)–(3c) alle äquivalent.
Im Falle $\dim(U)\neq\dim(V)$ machen wir von folgender Beobachtung Gebrauch:

\begin{obs*}
    Seien $U$, $V$ (endlich dimensionale) Vektorräume über einem Körper $K$
    und sei ${\phi:U\to V}$ linear.
    Da $\range(\phi)\subseteq V$ gilt offensichtlich $\dim(\range(\phi))\leq\dim(V)$.
    Und wenn wir eine Basis ${\{u_{1},u_{2}\ldots,u_{n}\}\subseteq U}$
    für $U$ fixieren, mit $n=\dim(U)$,
    so gilt wegen Linearität
    ${\range(\phi)=\vectorspacespan\{\phi(u_{1}),\phi(u_{2})\ldots,\phi(u_{n})\}}$.
    Das heißt, $\{\phi(u_{1}),\phi(u_{2})\ldots,\phi(u_{n})\}$
    ist ein Erzeugendensystem für $\range(\phi)$.
    Folglich gilt $\dim(\range(\phi))\leq n=\dim(U)$.
    Da per Definition $\rank(\phi)=\dim(\range(\phi))$,
    haben wir gezeigt,
    dass
        ${\rank(\phi)\leq\dim(V)}$
    und ${\rank(\phi)\leq\dim(U)}$
    \uline{stets gelten}.
    Kürzer formuliert:

        \begin{mathe}[mc]{rcl}
            \eqtag[eq:lin-abb-leq:ch:lin-ext]
            \rank(\phi) &\leq &\min\{\dim(U),\dim(V)\}\\
        \end{mathe}

    gilt immer für alle lineare Abbildungen ${\phi:U\to V}$
    und alle Vektorräume $U, V$.
\end{obs*}

Aus dieser Beobachtung können wir über (3b–3d) folgende Urteile generell treffen, wenn $\dim(U)\neq\dim(V)$:

    \begin{kompaktitem}
        \item
            Falls $\dim(U)>\dim(V)$ kann es bei offensichtlich höchstens nicht-injektive lineare Ausdehnungen geben,
            weil für ${\phi:U\to V}$ linear gilt $\rank(\phi)\leq\dim(V)<\dim(U)$,
            sodass laut \cite[Korollar~6.3.15(1)]{sinn2020} $\phi$ niemals injektiv sein kann.
        \item[]
            Darum lautet die Antwort zu (3b/3d) \emph{Gibt es injektive/bijektive...?} immer nein.
            Die Fragen (3b/3d) \emph{Gibt es nicht-injektive/nicht-bijektive...?} sind dann äquivalent zu (3a).
        \item
            Falls $\dim(U)<\dim(V)$ kann es bei (3c) offensichtlich höchstens nicht-surjektive lineare Ausdehnungen geben,
            weil für ${\phi:U\to V}$ linear gilt $\rank(\phi)\leq\dim(U)<\dim(V)$,
            sodass laut \cite[Korollar~6.3.15(2)]{sinn2020} $\phi$ niemals surjektiv sein kann.
        \item[]
            Darum lautet die Antwort zu (3c/3d) \emph{Gibt es surjektive/bijektive...?} immer nein.
            Die Fragen (3b/3d) \emph{Gibt es nicht-surjektive/nicht-bijektive...?} sind dann äquivalent zu (3a).
    \end{kompaktitem}

Daher können wir die Fragentypen in den Aufgaben immer teilweise sofort beantworten
und zum Teil vereinfachen,
je nachdem, ob $\dim(U)=\dim(V)$, oder $\dim(U)<\dim(V)$, oder $\dim(U)>\dim(V)$
gelten.

%% AUFGABE 1
\clearpage
\let\altsectionname\sectionname
\def\sectionname{Aufgabe}
\section[Aufgabe 1]{}
    \label{sec:1}
\let\sectionname\altsectionname

    Betrachten wir die Vektorräume $U:=\reell^{4}$ und $V:=\reell^{2}$.
    Betrachten wir die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$
    gegeben durch

        \begin{mathe}[mc]{ccc}
            u_{1} = \begin{svector} 0\\ 0\\ 1\\ 1\\\end{svector},
            &u_{2} = \begin{svector} 3\\ 0\\ 1\\ 1\\\end{svector},
            &u_{3} = \begin{svector} 30\\ 0\\ 0\\ 0\\\end{svector},\\
        \end{mathe}

        \begin{mathe}[mc]{ccc}
            v_{1} = \begin{svector} 5\\ 8\\\end{svector},
            &v_{2} = \begin{svector} -9\\ 11\\\end{svector},
            &v_{3} = \begin{svector} -140\\ 30\\\end{svector}.\\
        \end{mathe}

    \begin{qstn}
        Gibt es eine lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$,
        so dass

            \setcounter{columnanzahl}{3}
            \begin{multikompaktenum}{\bfseries i)}[\rtab][\rtab]
                \item
                    $\phi(u_{1})=v_{1}$
                \item
                    $\phi(u_{2})=v_{2}$
                \item
                    $\phi(u_{3})=v_{3}$
            \end{multikompaktenum}

        \uline{alle} erfüllt sind?
    \end{qstn}

        \begin{soln*}
            Wir beachten zuerst, dass $\{u_{1},u_{2}\}$ linear unabhängig sind\footnote{
                ich lasse hier die Beweise weg,
                aber man sollte die zeigen,
                z.\,B. durch das Gaußverfahren.
            }
            und dass $u_{3}\in\vectorspacespan\{u_{1},_{2}\}$,
            da ${u_{3}=10u_{2}-10u_{1}}$.
            Wir beachten auch, dass

                \begin{mathe}[mc]{rcccl}
                    10v_{2}-10v_{1} &= &\begin{svector} -140\\ 30\\\end{svector} &= &v_{3}\\
                \end{mathe}

            gilt.
            Darum können wir die Frage auf Bedingungen {i) + ii)} reduzieren:
            existiert eine lineare Abbildung, die {i) + ii)} erfüllt,
            dann wird wegen Linearität Bedingung iii) automatisch mit erfüllt.
            Existiert keine lineare Abbildung, die {i) + ii)} erfüllt,
            dann existiert natürlich auch keine, die i)--iii) erfüllt.

            Wir \uline{erweitern} nun die lineare unabhängige Menge
                $\{u_{1},u_{2}\}$
            zu einer Basis
                $\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$
            von $U$.
            Wähle außerdem beliebige Vektoren, $v'_{3},v'_{4}\in V$.
            Da $\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$ eine Basis von $U$
            ist und $v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\in V$,
            existiert laut \cite[Satz~6.1.13]{sinn2020}
            eine lineare Ausdehnung,
                ${\phi:U\to V}$,
            so dass

                \begin{mathe}[mc]{cccc}
                    \phi(u_{1})=v_{1},
                    &\phi(u_{2})=v_{2},
                    &\phi(u'_{3})=v'_{3},
                    &\phi(u'_{4})=v'_{4},
                \end{mathe}

            gelten. Insbesondere sind Bedingungen {i) + ii)} erfüllt.
            Also lautet wie oben argumentiert, die Antwort auf die Originalfrage: »Ja«!
        \end{soln*}

    \begin{qstn}
        Gibt es eine

            \setcounter{columnanzahl}{3}
            \begin{multikompaktenum}
                \item[] b) injektive
                \item[] b') nicht-injektive
                \item[] c) surjektive
                \item[] c') nicht-surjektive
                \item[] d) bijektive\footnote{
                    also einen »Isomorphismus«
                }
                \item[] d') nicht-bijektive
            \end{multikompaktenum}

        lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$,
        so dass i)--iii) erfüllt sind?
    \end{qstn}

        \begin{soln*}
            Da $\dim(U)>\dim(V)$,
            kann es generell keine injektiven linearen Abbildungen
            von $U$ nach $V$ geben.
            Also lauten die Antworten auf b), d) »Nein«,
            und da es mindestens eine lineare Ausdehnung existiert,
            lautet die Antwort auf b') und d') »Ja«.

            Es bleiben nur noch c) und c') zu bestimmen.
            Sei ${\phi:U\to V}$ eine lineare Ausdehnung von i)--iii).
            Dann wegen Bedingungen {i) + ii)} und Linearität gilt

                \begin{mathe}[mc]{rcccccl}
                    \range(\phi)
                        &\supseteq
                            &\vectorspacespan\{\phi(u_{1}),\phi(u_{2})\}
                        &= &\vectorspacespan\{v_{1},v_{2}\}
                        &= &V.\\
                \end{mathe}

            Die letzte Gleichung gilt, weil $\{v_{1},v_{2}\}$
            linear unabhängig ist\footnote{
                ich lasse wieder den Beweis weg,
                aber man sollte das machen
            },
            und somit eine Basis von dem $2$-dimensionalen Raum, $V$, ist.
            Darum ist $\range(\phi)$ surjektiv.
            Da $\phi$ beliebig war haben wir tatsächlich gezeigt,
            dass alle lineare Ausdehnungen von i)--iii) surjektiv sind.
            Darum lautet die Antwort auf c) »Ja« und auf c') »Nein«.
        \end{soln*}

%% AUFGABE 2
\clearpage
\let\altsectionname\sectionname
\def\sectionname{Aufgabe}
\section[Aufgabe 2]{}
    \label{sec:2}
\let\sectionname\altsectionname

    Betrachten wir die Vektorräume $U:=\reell^{4}$ und $V:=\reell^{2}$.
    Betrachten wir die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$
    gegeben durch

        \begin{mathe}[mc]{cccc}
            u_{1} = \begin{svector} 0\\ 0\\ 1\\ 1\\\end{svector},
            &u_{2} = \begin{svector} 3\\ 0\\ 1\\ 1\\\end{svector},
            &u_{3} = \begin{svector} 30\\ 0\\ 0\\ 0\\\end{svector},
            &u_{4} = \begin{svector} 3\\ 0\\ 2\\ 2\\\end{svector},\\
        \end{mathe}

        \begin{mathe}[mc]{cccc}
            v_{1} = \begin{svector} 5\\ 8\\\end{svector},
            &v_{2} = \begin{svector} 25\\ 40\\\end{svector},
            &v_{3} = \begin{svector} -140\\ 30\\\end{svector},
            &v_{4} = \begin{svector} 30\\ 48\\\end{svector}.\\
        \end{mathe}

    \begin{qstn}
        Gibt es eine lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$,
        so dass

            \setcounter{columnanzahl}{2}
            \begin{multikompaktenum}{\bfseries i)}[\rtab][\rtab]
                \item
                    $\phi(u_{1})=v_{1}$
                \item
                    $\phi(u_{2})=v_{2}$
                \item
                    $\phi(u_{3})=v_{3}$
                \item
                    $\phi(u_{4})=v_{4}$
            \end{multikompaktenum}

        \uline{alle} erfüllt sind?
    \end{qstn}

        \begin{soln*}
            Wir beachten zuerst, dass $\{u_{1},u_{2}\}$ linear unabhängig sind
            und dass $u_{3},u_{4}\in\vectorspacespan\{u_{1},_{2}\}$,
            da ${u_{3}=10u_{2}-10u_{1}}$ und ${u_{4}=u_{1}+u_{2}}$.
            Wir beachten auch, dass

                \begin{mathe}[mc]{rcccl}
                    10v_{2}-10v_{1} &= &\begin{svector} -140\\ 30\\\end{svector} &= &v_{3},\\
                    v_{1}+v_{2} &= &\begin{svector} 30\\ 48\\\end{svector} &= &v_{4}\\
                \end{mathe}

            gelten.
            Darum können wir die Frage auf Bedingungen {i) + ii)} reduzieren,
            weil wegen der o.\,s. Verhältnisse {iii) + iv)}
            für lineare Abbildungen automatisch mit erfüllt werden.

            Wir \uline{erweitern} nun die lineare unabhängige Menge $\{u_{1},u_{2}\}$
            zu einer Basis
                $\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$
            von $U$.
            Wähle außerdem beliebige Vektoren, $v'_{3},v'_{4}\in V$.
            Da $\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$ eine Basis von $U$
            ist und $v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\in V$,
            existiert laut \cite[Satz~6.1.13]{sinn2020}
            eine lineare Ausdehnung,
                ${\phi:U\to V}$,
            so dass

                \begin{mathe}[mc]{cccc}
                    \phi(u_{1})=v_{1},
                    &\phi(u_{2})=v_{2},
                    &\phi(u'_{3})=v'_{3},
                    &\phi(u'_{4})=v'_{4},
                \end{mathe}

            gelten. Insbesondere sind Bedingungen {i) + ii)} erfüllt.
            Also lautet wie oben argumentiert, die Antwort auf die Originalfrage: »Ja«!
        \end{soln*}

    \begin{qstn}
        Gibt es eine

            \setcounter{columnanzahl}{3}
            \begin{multikompaktenum}
                \item[] b) injektive
                \item[] b') nicht-injektive
                \item[] c) surjektive
                \item[] c') nicht-surjektive
                \item[] d) bijektive
                \item[] d') nicht-bijektive
            \end{multikompaktenum}

        lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$,
        so dass i)--iv) erfüllt sind?
    \end{qstn}

        \begin{soln*}
            Da $\dim(U)>\dim(V)$,
            kann es generell keine injektiven linearen Abbildungen
            von $U$ nach $V$ geben.
            Also lauten die Antworten auf b), d) »Nein«,
            und da es mindestens eine lineare Ausdehnung existiert,
            lautet die Antwort auf b') und d') »Ja«.

            Es bleiben nur noch c) und c') zu bestimmen.
            Beachte, dass in der Konstruktion von $\phi$ im o.\,s. Beweis
            wir $v'_{3},v'_{4}$ beliebig auswählen konnten.

            Zu c) wähle $v'_{3}:=\begin{svector} 1\\ 0\\\end{svector}$
            und $v'_{4}:=\zerovector$
            und sei ${\phi_{1}:U\to V}$ die lineare Abbildung
            im o.\,s. Beweis mit diesen Vektoren in der Konstruktion.
            Da $\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\}$ eine Basis für $U$ ist,
            gilt wegen Linearität von $\phi_{1}$

                \begin{mathe}[mc]{rcl}
                    \range(\phi_{1})
                        &= &\phi_{1}(\vectorspacespan\{u_{1},u_{2},u'_{3},u'_{4}\})\\
                        &= &\vectorspacespan\{\phi(u_{1}),\phi(u_{2}),\phi(u'_{3}),\phi(u'_{4})\}\\
                        &= &\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\}\\
                \end{mathe}

            und damit eine Basis des 2-dimensionalen Vektorraums, $V$.
            Darum gilt
                $%
                    \rank(\phi_{1})
                    \textoverset{Defn}{=}\dim(\range(\phi_{1}))
                    =\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\})
                    \geq\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v'_{3}\})
                    =2
                $,
            da \uline{per Wahl} $\{v_{1},v'_{3}\}$ linear unabhängig ist.
            Also, $\rank(\phi_{1})\geq 2=\dim(V)$.
            Folglich ist $\phi_{1}$
            laut \cite[Korollar~6.3.15(2)]{sinn2020}
            surjektiv.
            Die Antwort auf c) lautet also »Ja«.

            Zu c') wähle $v'_{3},v'_{4}:=\zerovector$
            und sei ${\phi_{2}:U\to V}$ die lineare Abbildung
            im o.\,s. Beweis mit diesen Vektoren in der Konstruktion.
            Wie oben gilt
                $%
                    \rank(\phi_{2})
                    \textoverset{Defn}{=}\dim(\range(\phi_{2}))
                    =\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v_{2},v'_{3},v'_{4}\})
                    =\dim(\vectorspacespan\{v_{1}\})
                    \leq 1
                $,
            da \uline{per Wahl} $v_{2},v_{3},v_{4}\in\vectorspacespan(\{v_{1}\})$
            und $v_{1}\neq\zerovector$.
            Also, $\rank(\phi_{2})<2=\dim(V)$.
            Folglich ist $\phi_{2}$
            laut \cite[Korollar~6.3.15(1)]{sinn2020}
            nicht-surjektiv.
            Die Antwort auf c') lautet also »Ja«.
        \end{soln*}

%% AUFGABE 3
\clearpage
\let\altsectionname\sectionname
\def\sectionname{Aufgabe}
\section[Aufgabe 3]{}
    \label{sec:3}
\let\sectionname\altsectionname

    Betrachten wir die Vektorräume $U:=\reell^{2}$ und $V:=\reell^{4}$.
    Betrachten wir die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$
    gegeben durch

        \begin{mathe}[mc]{ccc}
            u_{1} = \begin{svector} 1\\ 1\\\end{svector},
            &u_{2} = \begin{svector} 0\\ 2\\\end{svector},
            &u_{3} = \begin{svector} 1\\ 3\\\end{svector}\\
        \end{mathe}

        \begin{mathe}[mc]{ccc}
            v_{1} = \begin{svector} -9\\ 0\\ 0\\ 1\\\end{svector},
            &v_{2} = \begin{svector} 4\\ 0\\ 0\\ 2\\\end{svector},
            &v_{3} = \begin{svector} 5\\ 1\\ 0\\ 3\\\end{svector}.\\
        \end{mathe}

    \begin{qstn}
        Gibt es eine lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$,
        so dass

            \setcounter{columnanzahl}{3}
            \begin{multikompaktenum}{\bfseries i)}[\rtab][\rtab]
                \item
                    $\phi(u_{1})=v_{1}$
                \item
                    $\phi(u_{2})=v_{2}$
                \item
                    $\phi(u_{3})=v_{3}$
            \end{multikompaktenum}

        \uline{alle} erfüllt sind?
    \end{qstn}

        \begin{soln*}
            Beachte, dass $u_{3}=u_{1}+u_{2}$, aber

                \begin{mathe}[mc]{rcccl}
                    v_{1}+v_{2}
                    &= &\begin{svector} -5\\ 0\\ 0\\ 3\\\end{svector}
                    &\neq &v_{3}.\\
                \end{mathe}

            Angenommen, es gebe eine lineare Ausdehnung ${\phi:U\to V}$,
            die i)--iii) erfüllt.
            Dann muss
                $v_{3}=\phi(u_{3})=\phi(u_{1}+u_{2})=\phi(u_{1})+\phi(u_{2})=v_{1}+v_{2}$
            gelten. Laut der o.\,s. Gleichung kann dies aber nicht gelten.
            Darum lautet die Antwort »Nein«.
            Es gibt keine lineare Ausdehnung.
        \end{soln*}

%% AUFGABE 4
\clearpage
\let\altsectionname\sectionname
\def\sectionname{Aufgabe}
\section[Aufgabe 4]{}
    \label{sec:4}
\let\sectionname\altsectionname

    Betrachten wir die Vektorräume $U:=\reell^{2}$ und $V:=\reell^{4}$.
    Betrachten wir die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$
    gegeben durch

        \begin{mathe}[mc]{ccc}
            u_{1} = \begin{svector} 1\\ 1\\\end{svector},
            &u_{2} = \begin{svector} 2\\ 3\\\end{svector},
            &u_{3} = \begin{svector} 0\\ 1\\\end{svector}\\
        \end{mathe}

        \begin{mathe}[mc]{ccc}
            v_{1} = \begin{svector} 8\\ 0\\ 0\\ 4\\\end{svector},
            &v_{2} = \begin{svector} 16\\ 0\\ 0\\ 9\\\end{svector},
            &v_{3} = \begin{svector} 2\\ 0\\ 0\\ 1\\\end{svector}.\\
        \end{mathe}

    \begin{qstn}
        Gibt es eine lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$,
        so dass

            \setcounter{columnanzahl}{3}
            \begin{multikompaktenum}{\bfseries i)}[\rtab][\rtab]
                \item
                    $\phi(u_{1})=v_{1}$
                \item
                    $\phi(u_{2})=v_{2}$
                \item
                    $\phi(u_{3})=v_{3}$
            \end{multikompaktenum}

        \uline{alle} erfüllt sind?
    \end{qstn}

        \begin{soln*}
            Wir beachten zuerst, dass $\{u_{1},u_{3}\}$ linear unabhängig ist
            und dass $u_{2}\in\vectorspacespan\{u_{1}\}$,
            da ${u_{2}=2u_{1}+u_{3}}$.
            Wir beachten auch, dass

                \begin{mathe}[mc]{rcccl}
                    2v_{1}+u_{3} &= &\begin{svector} 18\\ 0\\ 0\\ 9\\\end{svector} &= &v_{2}\\
                \end{mathe}

            gilt.
            Darum können wir die Frage auf Bedingung {i) + iii)} reduzieren,
            weil wegen der o.\,s. Verhältnisse {ii)}
            für lineare Abbildungen automatisch mit erfüllt wird.

            Wegen linearer Unabhängigkeit ist $\{u_{1},u_{3}\}$
            bereits eine Basis des $2$-dimensionalen Raums, $U$.
            Deswegen brauchen wir in dieser Aufgabe keine Erweiterung zu machen.
            Da $\{u_{1},u_{3}\}$ eine Basis für $U$
            und $\{v_{1},v_{3}\}\subseteq V$,
            existiert laut \cite[Satz~6.1.13]{sinn2020}
            eine lineare Abbildung,
                ${\phi:U\to V}$,
            so dass

                \begin{mathe}[mc]{cc}
                    \phi(u_{1})=v_{1}, &\phi(u_{3})=v_{3},
                \end{mathe}

            gelten. Insbesondere sind Bedingung {i) + iii)} erfüllt.
            Also lautet wie oben argumentiert,
            die Antwort auf die Originalfrage: »Ja«!
        \end{soln*}

    \begin{qstn}
        Gibt es eine

            \setcounter{columnanzahl}{3}
            \begin{multikompaktenum}
                \item[] b) injektive
                \item[] b') nicht-injektive
                \item[] c) surjektive
                \item[] c') nicht-surjektive
                \item[] d) bijektive
                \item[] d') nicht-bijektive
            \end{multikompaktenum}

        lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$,
        so dass i)--iii) erfüllt sind?
    \end{qstn}

        \begin{soln*}
            Da $\dim(U)<\dim(V)$,
            kann es generell keine surjektive linearen Abbildungen
            von $U$ nach $V$ geben.
            Also lauten die Antworten auf c), d) »Nein«,
            und da es mindestens eine lineare Ausdehnung existiert,
            lautet die Antwort auf c') und d') »Ja«.

            Es bleiben nur noch b) und b') zu bestimmen.
            Sei $\phi$ eine lineare Ausdehnung, die i)---iii) erfüllt.
            Dann wegen Linearität von $\phi_{1}$
            und da $\{u_{1},u_{3}\}$ eine Basis von $U$ ist,
            gilt

                \begin{mathe}[mc]{rcccccl}
                    \range(\phi_{1})
                        &= &\phi_{1}(\vectorspacespan\{u_{1},u_{3}\})
                        &= &\vectorspacespan\{\phi_{1}(u_{1}),\phi_{1}(u_{3})\}
                        &= &\vectorspacespan\{v_{1},v_{3}\}
                \end{mathe}

            und damit
                $%
                    \rank(\phi)
                    \textoverset{Defn}{=}\dim(\range(\phi))
                    =\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v_{3}\})
                    =\dim(\vectorspacespan\{v_{3}\})
                    =1
                $,
            da $v_{1}\in\vectorspacespan\{v_{3}\}$
            und $v_{3}\neq\zerovector$.
            Also, $\rank(\phi)<2=\dim(U)$.
            Folglich ist $\phi$
            laut \cite[Korollar~6.3.15(1)]{sinn2020}
            nicht injektiv.
            Da hier $\phi$ beliebig gewählt wurde,
            sind alle linearen Ausdehnungen von i)--iii)
            immer nicht-injektiv.
            Darum lautet die Antwort auf b) »Nein«
            und auf b') »Ja«.
        \end{soln*}

%% AUFGABE 5
\clearpage
\let\altsectionname\sectionname
\def\sectionname{Aufgabe}
\section[Aufgabe 5]{}
    \label{sec:5}
\let\sectionname\altsectionname

    Betrachten wir die Vektorräume $U:=\reell^{2}$ und $V:=\reell^{4}$.
    Betrachten wir die Vektoren $u_{1},u_{2},u_{3}\in U$ und $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$
    gegeben durch

        \begin{mathe}[mc]{ccc}
            u_{1} = \begin{svector} 1\\ 1\\\end{svector},
            &u_{2} = \begin{svector} 2\\ 2\\\end{svector},
            &u_{3} = \begin{svector} 3\\ 3\\\end{svector}\\
        \end{mathe}

        \begin{mathe}[mc]{ccc}
            v_{1} = \begin{svector} 8\\ 0\\ 0\\ 4\\\end{svector},
            &v_{2} = \begin{svector} 16\\ 0\\ 0\\ 8\\\end{svector},
            &v_{3} = \begin{svector} 24\\ 0\\ 0\\ 12\\\end{svector}.\\
        \end{mathe}

    \begin{qstn}
        Gibt es eine lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$,
        so dass

            \setcounter{columnanzahl}{3}
            \begin{multikompaktenum}{\bfseries i)}[\rtab][\rtab]
                \item
                    $\phi(u_{1})=v_{1}$
                \item
                    $\phi(u_{2})=v_{2}$
                \item
                    $\phi(u_{3})=v_{3}$
            \end{multikompaktenum}

        \uline{alle} erfüllt sind?
    \end{qstn}

        \begin{soln*}
            Wir beachten zuerst, dass $\{u_{1}\}$ linear unabhängig ist
            und dass $u_{2},u_{3}\in\vectorspacespan\{u_{1}\}$,
            da $u_{2}=2u_{1}$ und $u_{3}=3u_{1}$.
            Wir beachten auch, dass

                \begin{mathe}[mc]{rcccl}
                    2v_{1} &= &\begin{svector} 16\\ 0\\ 0\\ 8\\\end{svector} &= &v_{2},\\
                    3v_{1} &= &\begin{svector} 24\\ 0\\ 0\\ 12\\\end{svector} &= &v_{3}\\
                \end{mathe}

            gelten.
            Darum können wir die Frage auf Bedingung {i)} reduzieren,
            weil wegen der o.\,s. Verhältnisse {ii) + iii)}
            für lineare Abbildungen automatisch mit erfüllt werden.

            Erweitere $\{u_{1}\}$ zu einer Basis $\{u_{1},u'_{2}\}$
            des $2$-dimensionalen Raums, $U$,
            und wähle einen Vektor $v'_{2}\in V$.
            Da $\{u_{1},u'_{2}\}$ eine Basis für $U$
            und $\{v_{1},v'_{2}\}\subseteq V$,
            existiert laut \cite[Satz~6.1.13]{sinn2020}
            eine lineare Abbildung,
                ${\phi:U\to V}$,
            so dass

                \begin{mathe}[mc]{cc}
                    \phi(u_{1})=v_{1}, &\phi(u'_{2})=v'_{2},
                \end{mathe}

            gelten. Insbesondere sind Bedingung {i)} erfüllt.
            Also lautet wie oben argumentiert,
            die Antwort auf die Originalfrage: »Ja«!
        \end{soln*}

    \begin{qstn}
        Gibt es eine

            \setcounter{columnanzahl}{3}
            \begin{multikompaktenum}
                \item[] b) injektive
                \item[] b') nicht-injektive
                \item[] c) surjektive
                \item[] c') nicht-surjektive
                \item[] d) bijektive
                \item[] d') nicht-bijektive
            \end{multikompaktenum}

        lineare Abbildung, ${\phi:U\to V}$,
        so dass i)--iii) erfüllt sind?
    \end{qstn}

        \begin{soln*}
            Da $\dim(U)<\dim(V)$,
            kann es generell keine surjektive linearen Abbildungen
            von $U$ nach $V$ geben.
            Also lauten die Antworten auf c), d) »Nein«,
            und da es mindestens eine lineare Ausdehnung existiert,
            lautet die Antwort auf c') und d') »Ja«.

            Es bleiben nur noch b) und b') zu bestimmen.
            Beachte, dass in der Konstruktion von $\phi$ im o.\,s. Beweis
            wir $v'_{2}$ beliebig auswählen konnten.

            Zu b) wähle $v'_{2}:=\begin{svector} 0\\ 1\\ 0\\ 0\\\end{svector}$
            und sei ${\phi_{1}:U\to V}$ die lineare Abbildung
            im o.\,s. Beweis mit diesen Vektoren in der Konstruktion.
            Per Wahl ist $\{v_{1},v'_{2}\}$ linear unabhängig.
            Da $\{u_{1},u'_{2}\}$ eine Basis für $U$ ist,
            gilt wegen Linearität von $\phi_{1}$

                \begin{mathe}[mc]{rcccccl}
                    \range(\phi_{1})
                        &= &\phi_{1}(\vectorspacespan\{u_{1},u'_{2}\})
                        &= &\vectorspacespan\{\phi_{1}(u_{1}),\phi_{1}(u'_{2})\}
                        &= &\vectorspacespan\{v_{1},v'_{2}\}
                \end{mathe}

            und damit
                $%
                    \rank(\phi_{1})
                    \textoverset{Defn}{=}\dim(\range(\phi_{1}))
                    =\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v'_{2}\})
                    =2
                $,
            da \uline{per Wahl} $\{v_{1},v'_{2}\}$ linear unabhängig ist.
            Also, $\rank(\phi_{1})\geq 2=\dim(U)$.
            Folglich ist $\phi_{1}$
            laut \cite[Korollar~6.3.15(1)]{sinn2020}
            injektiv.
            Die Antwort auf b) lautet also »Ja«.

            Zu b') wähle $v'_{2}:=\zerovector$
            und sei ${\phi_{2}:U\to V}$ die lineare Abbildung
            im o.\,s. Beweis mit diesen Vektoren in der Konstruktion.
            Wie oben gilt
                $%
                    \rank(\phi_{2})
                    \textoverset{Defn}{=}\dim(\range(\phi_{2}))
                    =\dim(\vectorspacespan\{v_{1},v'_{2}\})
                    =\dim(\vectorspacespan\{v_{1}\})
                    =1
                $,
            da \uline{per Wahl} $v'_{2}\in\vectorspacespan(\{v_{1}\})$
            und $v_{1}\neq\zerovector$.
            Also, $\rank(\phi_{2})<2=\dim(U)$.
            Folglich ist $\phi_{2}$
            laut \cite[Korollar~6.3.15(1)]{sinn2020}
            nicht-injektiv.
            Die Antwort auf b') lautet also »Ja«.
        \end{soln*}

%% AUFGABE 6
\clearpage
\let\altsectionname\sectionname
\def\sectionname{Aufgabe}
\section[Aufgabe 6]{}
    \label{sec:6}
\let\sectionname\altsectionname

{\itshape
    Unter Arbeit. \textbf{TODO}: Beispiel mit $\dim(U)=\dim(V)$ und mit Antwort »Ja« auf inj + »Ja« auf nicht-inj.
}

%% AUFGABE 7
\let\altsectionname\sectionname
\def\sectionname{Aufgabe}
\section[Aufgabe 7]{}
    \label{sec:7}
\let\sectionname\altsectionname

{\itshape
    Unter Arbeit. \textbf{TODO}: Beispiel mit $\dim(U)=\dim(V)$ und mit Antwort »Ja« auf inj + »Nein« auf nicht-inj.
}

%% AUFGABE 8
\let\altsectionname\sectionname
\def\sectionname{Aufgabe}
\section[Aufgabe 8]{}
    \label{sec:8}
\let\sectionname\altsectionname

{\itshape
    Unter Arbeit. \textbf{TODO}: Beispiel mit $\dim(U)=\dim(V)$ und mit Antwort »Nein« auf inj + »Ja« auf nicht-inj.
}

%% ********************************************************************************
%% FILE: back/index.tex
%% ********************************************************************************

\bibliographystyle{alpha}
\def\bibname{Literaturverzeichnis}
\nocite{*}

\bgroup
\footnotesize

%% ********************************************************************************
%% FILE: ./../loesungen/back/quelle.bib
%% ********************************************************************************

\begin{thebibliography}{Wal16}

\bibitem[Jec97]{jech1997}
Thomas Jech.
\newblock {\em {Set Theory}}.
\newblock Springer-Verlag, 1997.

\bibitem[Sin20]{sinn2020}
Rainer Sinn.
\newblock {Lineare Algebra I: Skript zur Veranstaltung Universit\"at Leipzig}.
\newblock Vorlesungsskript, 2020.

\bibitem[Wal16]{waldmann2016}
Stefan Waldmann.
\newblock {\em {Lineare Algebra 1: Die Grundlagen f\"ur Studierende der
  Mathematik und Physik}}.
\newblock Springer Berlin Heidelberg, 2016.

\end{thebibliography}
\egroup

\end{document}
