# Fragen zur Selbstkontrolle # Hier eine zufällige Stichprobe von Fragen für die Klausurvorbereitung. ## Verschiedene Fragen über Dimension ## 1. Sei V ein Vektorraum und 0 ∈ V der Nullvektor. Was ist dim({0}) ? 2. Sei V ein Vektorraum und u₁, u₂, u₃, u₄ ∈ V. Was sind mögliche Werte von dim(lin{u₁, u₂, u₃, u₄}) ? 3. Sei W ein Vektorraum über einem Körper K und U, V ⊆ W lineare Unterräume. - Wie wird der lineare Unterraum U + V definiert? - Wie verhalten sich dim(U) und dim(U+V)? - Wie verhalten sich dim(V) und dim(U+V)? - Wie verhalten sich dim(U+V) und dim(W)? 4. Gib die **Dimensionsformel für Vektorräume** an. 5. Seien W ein Vektorraum und U, V ⊆ W lineare Unterräume. Angenommen, dim(W) = 10 und dim(U) = 6 und dim(V) = 8. Was sind die möglichen Werte von dim(U ∩ V)? 6. Gib die **Dimensionsformel für lineare Abbildungen** an. 7. ρ : U ⟶ V sei eine injektive lineare Abbildung. Was können wir über dim(U) und dim(V) sagen? 8. Wie wird der Rang einer linearen Abbildung, ψ : U ⟶ V definiert? ## Verschiedene Fragen über lineare Unterräume ## 1. Was sind die Axiome eines linearen Unterraums? 2. Seien U, V Vektorräume über einem Körper, K. Wie wird der Vektorraum U × V definiert? 3. Sei R ⊆ U × V eine Relation. Wie prüft man, ob R ein linearer Unterraum ist? (D. h. packe die Aussagen noch genauer aus, was in diesem Kontext zu zeigen wäre.) ## Verschiedene Fragen über Basis ## 1. Gib eine Basis für den Vektorraum alle Polynome ≤ 4. Grades über ℝ an. 2. Gib eine Basis für den Vektorraum alle 3 x 4 Matrizen an. Was ist die Dimension dieses Vektorraums? 3. Was ist die Dimension des Vektorraums aller m x n Matrizen? 4. Wie bestimmt man die Basis des Lösungsraums einer Matrix? 5. Wie bestimmt man die Basis des Spaltenraums einer Matrix? ## Verschiedene Fragen über axiomatische Relationstypen ## 1. Was sind die Axiome einer partiellen Ordnungsrelation? 2. Was muss zusätzlich gelten, damit eine partielle Ordnungsrelation eine lineare Ordnungsrelation (auch »total« genannt) ist? 3. Was sind die Axiome einer Äquivalenzrelation? ## Verschiedene Aspekte von Beweisen ## In jedem der Aufgaben (ohne sie die Beweise komplett auszuführen), bestimme, (1) **was _zu zeigen_ ist** und (2) **wie man einen Beweis strukturieren kann**. ### Aufgabe 1. ### Sei W ein Vektorraum über einem Körper, K. Seien U, V lineare Unterräume von W. Zeige, dass U ∩ V ein lineare Unterraum von W ist. ### Aufgabe 2. ### Sei ψ : U ⟶ U eine lineare Abbildung, wobei U ein Vektorraum über Körper K ist. Sei λ ∈ K. Ein Vektor, x, heißt Eigenvektor mit Eigenwert λ, wenn ψ(x) = λx. Zeige, dass ρ genau dann einen Eigenvektor mit Eigenwert λ besitzt, wenn dim(Kern(ψ - λ)) > 0. (_Hier bezeichnet ψ - λ die lineare Abbildung U ⟶ U, x ⟼ ψ(x) - λx._) # Lösungen # ## Verschiedene Fragen über Dimension ## 1. 0 2. 0, 1, 2, 3, 4 3. . - U + V = { u+v | u ∈ U, v ∈ V } - U ⊆ U + V, ⟹ dim(U) ≤ dim(U + V) {u1, u2, ..., u_n} eine Basis für U {v1, v2, ..., v_m} eine Basis für V {u1, u2, ..., u_n, v_i1, ..., v_ir} eine Basis für U + V - V ⊆ U + V, ⟹ dim(V) ≤ dim(U + V) - U + V ⊆ W, ⟹ dim(U + V) ≤ dim(W) max{dim(U), dim(V)} ≤ dim(U + V) ≤ dim(W) 4. dim(U + V) = dim(U) + dim(V) – dim(U ∩ V) 5. 4,5,6. Dimensionsformel anwenden: dim(U ∩ V) = dim(U) + dim(V) - dim(U + V) = 6 + 8 - dim(U + V) max{dim(U), dim(V)} ≤ dim(U + V) ≤ dim(W) ⟹ 8 ≤ dim(U + V) ≤ 10 ⟹ 6 + 8 - 10 ≤ 6 + 8 - dim(U + V) ≤ 6 + 8 - 8 ⟹ 4 ≤ dim(U ∩ V) ≤ 6 6. für ϕ : U ⟶ V linear gilt dim(U) = dim(Kern(ϕ)) + dim(Bild(ϕ)) 7. für ρ : U ⟶ V linear, injektiv dim(U) ≤ dim(V) 8. für ψ : U ⟶ V linear, definiert man Rang(ψ) = dim(Bild(ψ)) ## Verschiedene Fragen über lineare Unterräume ## 1. W sei ein Vektorraum über einem Körper K. Sei U ⊆ W eine Teilmenge - NL: U ≠ Ø - ADD: U unter Addition stabil - SKM: U unter Skalarmultiplikation stabil oder - NL + LK: U unter linearen Kombinationen stabil: Seien u1, u2 ∈ U, und seien α1, α2 ∈ K. ZU ZEIGEN: α1·u1 + α2·u2 ∈ U. ... ... Also gilt α1·u1 + α2·u2 ∈ U. 2. U × V: - Elemente: (u,v), u ∈ U, v ∈ V - Vektoraddition: (u,v) + (u',v') = (u+u', v+v') - Skalarmultiplikation: α·(u, v) = (α·u, α·v) 3. Sei R ⊆ U × V. Dann R linearer Untervektorraum ⟺ - NL: R ≠ Ø - LK: Seien (u1,v1), (u2,v2) ∈ R, und seien α1, α2 ∈ K. ZU ZEIGEN: α1·(u1,v1) + α2·(u2,v2) ∈ R, m. a. W. (α1·u1 + α2·u2, α1·v1 + α2·v2) ∈ R ist zu zeigen. ... ... Also gilt (α1·u1 + α2·u2, α1·v1 + α2·v2) ∈ R. ## Verschiedene Fragen über Basis ## 1. dim(·) = 5, eine Basis ist: 1, x, x^2, x^3, x^4 2. eine Basis bilden bspw. { E_ij : 1≤i≤4, 1≤j≤3 }, also die 12 Matrizen ( 1 0 0 0 ) ( 0 1 0 0 ) ( 0 0 0 0 ) ( 0 0 0 0 ), ( 0 0 0 0 ), ... ( 0 0 0 0 ). ( 0 0 0 0 ) ( 0 0 0 0 ) ( 0 0 0 1 ) 3. m·n 4. A sei die Matrix. - A —> Zeilenstufenform (am besten normalisiert, aber muss nicht sein) - anhand Zeilenstufenform Bestimme freie Unbekannten und schreibe Lösung für unfreie Unbekannten in Bezug auf freie auf. - 0-1 Trick (setze alle freie auf 0 und jeweils eine auf 1 (oder ≠ 0) ==> bestimme Lösung) - ---> diese bilden eine Basis des Lösungsraums, das heißt von {x | Ax=0} - **Zur Kontrolle:** prüfen, dass Ae = 0 für alle e in Basis - **Beachte:** dim(Kern(A)) = Größe dieser Basis. 5. A sei die Matrix. - A —> Zeilenstufenform - merke die Stellen wo Treppen sind ---> entsprechende Spalten in A bilden eine Basis - **Beachte:** dim(Bild(A)) = Größe dieser Basis - **Zur Kontrolle:** prüfen, dass die Dimensformel für lineare Abbildungen gilt, d. h. dim(Kern(A)) + dim(Bild(A)) = dim(Inputvektorraum) = Anzahl der Spalten von A insgesamt ## Verschiedene Fragen über axiomatische Relationstypen ## Testet selbst, dass ihr die Axiome kennt (oder wisst, wo im Skript sie zu finden sind) und wie ihr im Beweis mit ihnen umgeht / wie ihr die für eine gegeben konkrete Relation zeigt! 🙂 ## Verschiedene Aspekte von Beweisen ## ### Aufgabe 1. ### Zu zeigen: (1) U ∩ V ≠ Ø, und (2) für u1, u2 ∈ U ∩ V und a, b ∈ K gilt a·u1 + b·u2 ∈ U ∩ V Zu (1): ... ... ... also ist .... in U ∩ V also ist U ∩ V nicht leer. Zu (2): seien u1, u2 ∈ U ∩ V und a, b ∈ K. Dann ... ... ... a·u1 + b·u2 ∈ U ∩ V. ### Aufgabe 2. ### (⟹) Sei angenommen, .... [1. Aussage]. Zu zeigen: .... [2. Aussage]. ... ... ... Also gilt [2. Aussage]. (⟹) Sei angenommen, .... [2. Aussage]. Zu zeigen: .... [1. Aussage]. ... ... ... Also gilt [1. Aussage].